4. BASES DE V2 (PARTE 2) - Contenido educativo
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Definición de base de un espacio vectorial.
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Se dice que el conjunto de vectores, le hemos llamado B por lo de base,
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formado por los vectores U1, U2, etc., Un,
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forman una base de este espacio vectorial si cumplen estas dos condiciones.
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Tienen que ser linealmente independientes y, por otro lado,
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tienen que formar un sistema de generadores de dicho espacio vectorial.
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Eso quiere decir que cualquier vector de dicho espacio se va a poder escribir como una combinación lineal de ellos.
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Estamos dando aquí la definición general de base de un espacio vectorial de dimensión n.
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Como sabéis, en este curso nuestro espacio vectorial es de dimensión 2, estamos en el plano, estamos en v2.
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y lo hemos visto en el vídeo anterior que dados dos vectores u1 y u2
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que fueran linealmente independientes cualquier otro vector del plano
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se podía expresar como combinación lineal de ellos
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es decir, que las bases del espacio vectorial v2
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van a estar constituidas por dos vectores que sean linealmente independientes
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fijaros que la dimensión del espacio
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lo que me está dando es el número de vectores que tienen que conformar la base
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en este caso 2
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El curso que viene, que estudiaréis en geometría analítica
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Estaréis trabajando en V3, en el espacio
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Vectores ya en dimensión 3
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Las bases van a estar formadas por tres vectores
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Que son linealmente independientes
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De tal manera que cualquier otro vector que nosotros consideremos de dicho espacio vectorial se va a poder escribir como combinación lineal de los vectores de la base.
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Y de nuevo la dimensión del espacio, en este caso v3 es 3, coincide con el número de vectores que conforman la base.
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Veamos lo que pasa en V2.
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Consideremos los vectores AB y AC.
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¿Son linealmente independientes?
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Pues sí, gráficamente veo que tienen distinta dirección.
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Y cualquier combinación lineal de esos dos vectores, del vector AB y del vector AC,
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me da un vector AX que es combinación lineal de ellos.
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Si yo voy variando los valores de los escalares por los cuales multiplico esos vectores
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En este caso lo estoy llamando A y B
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Fijaros que si varío, puedo generar cualquier vector del plano
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Cualquier vector del plano lo podría escribir como combinación lineal de ellos
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Es decir, son linealmente independientes y forman un sistema de generadores del plano
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O sea, de V2. Cualquier vector de V2 lo puedo escribir como combinación lineal de ellos.
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Voy a cambiar ahora estos vectores de tal manera que sean linealmente dependientes, que tengan la misma dirección.
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Fijaros que en este caso los vectores AB y AC están sobre la misma línea.
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Es decir, tienen la misma dirección, son linealmente dependientes.
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¿forman una base de V2?
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Pues no, no forman una base de V2 porque al ser linealmente dependientes
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cualquier combinación lineal que haga de ellos
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fijaros, si voy variando los valores de A y de B, que son los escalares
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el resultado, el vector AX que obtengo
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siempre va a ser un vector que va a estar con la misma dirección
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que los vectores AB y AC. Es decir, la dimensión del espacio que generan es 1, no es 2.
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No puedo generar cualquier vector del plano. Por lo tanto, si U y V son linealmente independientes,
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el conjunto formado por ellos dos forman una base de V2.
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cualquier vector de V2 se va a poder escribir como una combinación lineal de ellos
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Se llama dimensión del espacio vectorial al número de vectores que forman dicha base
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y se llama coordenadas del vector respecto de esa base a los respectivos escalares
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por los cuales multiplico U y V que son los vectores de la base
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y que me dan el vector W.
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Vamos a ver con GeoGebra qué significa coordenadas de un vector respecto a una base.
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En este caso los vectores de la base son U y V.
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Son linealmente independientes.
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Como podéis ver, gráficamente tienen distintas direcciones.
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Las coordenadas del vector B respecto de esta base
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serán los escalares por los cuales tengo que multiplicar u y v para que el resultado sea b.
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En este caso, fijaros que los vectores son el 1, 0, u es 1, 0 y v es 0, 1.
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Pues en ese caso yo tengo que multiplicar el vector u por 2, el vector v por 2 también y sumar.
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El resultado sería el vector b.
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Vamos a modificar ahora los vectores de la base para que veáis que las coordenadas de b cambian entonces
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Por ejemplo, hemos cambiado el vector u que ahora es el 1 menos 1
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En este caso, los números escalares por los cuales tengo que multiplicar u y v han cambiado
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En este caso, para obtener B, tengo que multiplicar el vector U por 2 y el vector V por 4 y sumar con la regla del paralelogramo.
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Es decir, las coordenadas del vector B en esta nueva base serían 2, 4.
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Ya no son 2, 2, ya serían 2, 4.
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Vamos a ver un último ejemplo.
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Fijaros que en este caso estoy haciendo coincidir las direcciones de B y de V.
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En este caso, las coordenadas de este vector b respecto de la base serían 0, 2.
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¿Por qué? Porque el escalar por el cual tengo que multiplicar u es 0 y el escalar por el cual tengo que multiplicar v es 2.
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Fijaros que en este caso la proyección de b sobre la dirección de u es 0.
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Por eso la coordenada suya respecto de u es 0.
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Vamos a ver unos tipos de bases. Base ortogonal y base ortonormal.
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Se dice que una base es ortogonal si los vectores que la forman son perpendiculares entre sí.
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Veremos luego que la condición de ortogonalidad entre vectores es que su producto escalar sea igual a cero.
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La base ortonormal es una base que es ortogonal, pero que además los vectores tienen módulo unidad.
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Es decir, dos condiciones, que sean ortogonales y que el módulo de cada uno de ellos sea igual a uno.
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La base canónica es la que vamos a utilizar generalmente para decir las coordenadas de los vectores.
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Es la que usualmente estamos acostumbrados.
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Fijaros que los vectores que forman la base canónica son el vector 1, 0 y el vector 0, 1.
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Lo anotamos con las letras I latina y J.
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Es una base ortonormal. ¿Por qué?
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Porque el ángulo formado por esos dos vectores es de 90 grados.
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Como veremos después, el producto escalar de esos dos vectores es 0.
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Y por otro lado, los vectores que forman la base son de módulo unidad, vectores unitarios.
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Por eso es ortonormal.
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En esta construcción geogebra veis la base canónica formada por los vectores I y J.
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Y el vector 1, 0, J el vector 0, 1.
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Cualquier vector OP del plano lo puedo expresar como combinación lineal de ellos
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Y en este caso, pues fijaros que, por ejemplo, el vector OP, pues la combinación lineal sería 4i más 2j
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Es decir, las coordenadas de ese vector respecto de la base canónica serían 4 y 2
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En este otro ejemplo pues tenemos el vector OP cuyas coordenadas respecto de la base serían , porque OP se obtiene multiplicando el vector Y por , y el vector J por 4
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Francisca Florido Fernández
- Subido por:
- Francisca F.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1
- Fecha:
- 29 de julio de 2024 - 16:04
- Visibilidad:
- Clave
- Centro:
- IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
- Duración:
- 10′ 51″
- Relación de aspecto:
- 5:4 Es el estándar al cual pertenece la resolución 1280x1024, usado en pantallas de 17". Este estándar también es un rectángulo.
- Resolución:
- 1280x1024 píxeles
- Tamaño:
- 31.00 MBytes
