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Gravitación - Campo gravitatorio de una masa puntual - Contenido educativo

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Subido el 25 de octubre de 2020 por Sergio M.

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Concepto de campo gravitatorio creado por una masa puntual. Discusión acerca del campo gravitatorio de un objeto extenso.

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¡Hola! En este vídeo vamos a estudiar el concepto de campo gravitatorio 00:00:00

para una masa puntual, aunque luego acabaremos con objetos algo extendidos. 00:00:03

Pues bien, en este diagrama, y visto en vídeos anteriores, 00:00:10

tenemos, por ejemplo, la fuerza que una masa M grande crea sobre una masa M pequeña. 00:00:15

Ya sabéis que, por la tercera ley de Newton, existe la fuerza que la M pequeña crea sobre la M grande, 00:00:21

pero no nos interesa aquí. A nosotros lo que nos interesa es saber qué es lo que ocurre aquí. 00:00:27

Muy bien, pues la pregunta sería, ¿qué ocurre si de repente esa masa pequeña desaparece? 00:00:34

¿Se nos acaba la fiesta? Es decir, ¿esta masa M grande ya no tiene con quién jugar? 00:00:42

La respuesta es que no acaba todo aquí, porque en ese punto que nos interesa, esta zona, ahí, resulta que la masa M grande sigue perturbando el espacio, no solamente ahí sino en todo el espacio a su alrededor, desde donde está hasta el infinito. 00:00:47

Ese vector rojo que veis ahí es algo que la masa M grande está creando en ese punto que nos interesaba y no es otra cosa que lo que llamamos campo gravitatorio de la masa M grande en ese punto. 00:01:07

¿Y en qué consiste esto? Imaginad que nos preguntamos por qué fuerza habría sobre una masa que hipotéticamente colocásemos aquí, uno podría decir, bueno, pues calculo la fuerza que la masa M grande crea en ese punto, ¿de acuerdo? 00:01:28

donde voy a poner una masa test m pequeña, pero divido entre la masa m pequeña. 00:01:49

¿Para qué? Para hacerlo por cada kilogramo de masa que yo colocase ahí. 00:01:57

Esto, además, según la ley de Newton, sería una aceleración 00:02:02

y es la visión cinética que tendríamos del campo gravitatorio. 00:02:06

¿Cómo se aceleran los objetos bajo su influjo? 00:02:11

Lo llamamos G en analogía con, como lo hemos llamado hasta ahora, en el entorno de la superficie de la Tierra. 00:02:14

Como veis, la fuerza es una magnitud vectorial y por tanto el campo gravitatorio también lo va a ser. 00:02:24

Si introducís la expresión matemática para esta fuerza, tenemos G, M grande, M pequeña, 00:02:31

dividido entre la distancia que lo separa al cuadrado en una dirección radial u sub r que 00:02:39

tenemos ahí dibujada y todo esto dividido entre la masa las cuales como veis se cancelan dejándonos 00:02:46

por tanto una expresión para el g que crea la masa m grande a su alrededor a una distancia r 00:02:54

igual a menos g por m entre r al cuadrado en la dirección radial pero no olvidéis este signo menos que lo que dice es que va a ser una fuerza atractiva 00:03:01

la que va a surgir aquí cuando coloquemos esa masa. El campo gravitatorio por tanto es también un campo gravitatorio que en cada punto va hacia el centro 00:03:14

hacia la masa que está colocada justamente en ese centro. 00:03:25

Si os interesa el valor del módulo, basta con hacer g y cogeríamos el valor absoluto de esta parte, 00:03:30

puesto que el módulo de este vector, como bien sabéis, es 1. 00:03:41

Nos quedaría g por m entre r al cuadrado. 00:03:45

Nos podemos preguntar, por ejemplo, por las unidades de g 00:03:50

Y fijaos en que estas serán las de g mayúscula 00:03:54

Que se pueden sacar, dado que estos son newtons 00:03:58

Como newtons por metro cuadrado 00:04:01

Dividido entre kilogramo al cuadrado 00:04:04

Y a su vez, si os fijáis 00:04:08

Multiplicando a la masa 00:04:14

Kilogramos 00:04:17

Y divididos entre la distancia al cuadrado 00:04:19

Es decir, metros al cuadrado 00:04:23

Pues bien, estos metros cuadrados se nos van con estos, estos kilogramos se nos van con este cuadrado 00:04:25

y nos quedan newtons partido por kilogramo por un lado, es decir, efectivamente es una fuerza por unidad de masa 00:04:32

pero si además recordáis que los newtons son kilogramos, es decir, masa por aceleración, metros partido segundo cuadrado 00:04:40

y todo esto lo tenemos que dividir entre kilogramos 00:04:49

tenemos finalmente también que se puede considerar como una aceleración 00:04:53

que sufriría un cuerpo en ese punto, metros dividido entre segundo al cuadrado. 00:04:59

Fijaos además en esto en un sentido matemático. 00:05:04

¿Cómo depende de la distancia? Pues depende como el inverso de r al cuadrado. 00:05:08

¿Y eso qué significa? Significa por ejemplo que si nosotros dibujamos 00:05:13

y los campos gravitatorios en distintos puntos, es decir, aquí, aquí, aquí y aquí, dado que están a la misma distancia van a tener el mismo módulo 00:05:18

pero apuntarán radialmente hacia ese centro, pero y si consideramos puntos que están a distintas distancias, pues vemos que según te alejas 00:05:29

tiene que ir decayendo ese módulo. ¿Por qué? Porque la intensidad de campo gravitatorio va como el inverso de r al cuadrado. 00:05:38

De modo que si por ejemplo duplicas la distancia, g no se hace la mitad sino que se hace un cuarto. 00:05:48

Es decir que si r pasase a ser dos veces r, g pasaría a ser no g medios sino g cuartos. 00:05:55

Y por último, ¿qué ocurriría si el objeto es extenso? Es decir, imaginad un planeta que tiene una masa m y tiene un radio r. En este caso, la pregunta sería, ¿podemos considerar esto como puntual? 00:06:07

Y la respuesta es, bueno, depende de donde estés. Si estáis fuera del planeta, es decir, si estáis en la situación en la que r minúscula es mayor que el radio de ese planeta, si estáis en el exterior, más allá de su superficie, la respuesta es sí. 00:06:23

Se puede considerar como si fuese un objeto puntual. ¿Por qué? Pues mirad, vamos a utilizar un argumento de simetría. 00:06:41

como sabéis aquí nos gusta mucho integrar que es coger a cachitos así que vamos a considerar todo este objeto extenso de masa m 00:06:48

y lo vamos a partir en trozos y voy a por ejemplo coger un trozo por aquí y su simétrico su espejo por el otro lado si queréis 00:06:57

voy a considerar el mismo cacho de masa pero por los lados contrarios bueno pues el hecho de que esto tenga una cierta masa 00:07:05

atraerá a una que estuviese aquí o creará un campo areta de lo que estuviese ahí apuntando así hacia él. 00:07:11

Pero claro, su compañero por el otro lado hará lo mismo de esta manera. 00:07:20

Dado que tienen la misma masa y están a la misma distancia, lo que van a hacer es tener el mismo módulo 00:07:26

y ahora fijaos en las componentes. La parte que apunta hacia los lados se va a contrarrestar 00:07:31

Y lo único que se va a sumar es la componente que tienen radialmente. Bueno, pues la suma de todas esas contribuciones finalmente va a dar lugar a este vector que tenemos aquí dibujado. 00:07:37

¿Cuándo? Cuando hemos sumado todos los cachos de forma completamente simétrica. Es decir, que en la parte donde r es mayor que r grande tenemos que nos da igual que el objeto sea extenso o que sea un punto. 00:07:49

Sin embargo, cuando estamos en el caso en el cual r es menor que r, en este caso como estamos dentro, 00:08:06

ahí hay que cambiar los cálculos, hay que realizar unas integrales y la forma en la que varía el campo es lineal y de otra manera. 00:08:18

Eso sí, justamente cuando r es igual a r, la expresión matemática para el campo aquí tiene que tener el mismo valor que el campo aquí. 00:08:25

Es decir que justamente en ese valor se va a cumplir que g es igual a g por la masa del planeta entre r al cuadrado, que es lo que obtendríamos con esta expresión que hemos conocido anteriormente. 00:08:34

Muy bien, aquí lo dejamos. 00:08:50