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Relación entre el rango de una matriz cuadrada y su determinante - Contenido educativo

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Subido el 9 de enero de 2020 por Pablo M.

89 visualizaciones

Demostración de la doble implicación entre rango máximo y determinante no nulo.

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Hola a todos, en este tutorial vamos a ver un teorema muy interesante que en los libros suele estar demostrado hacia un lado 00:00:01
y lo vamos a demostrar hacia los dos, que dice que dada una matriz cuadrada de orden n 00:00:07
se cumple que el rango de A es igual a n si y solo si su determinante es nódulo. 00:00:13
Bien, si empezamos de izquierda a derecha, es decir, partimos de que el rango de la matriz es n 00:00:21
y queremos concluir que su determinante es no nulo. 00:00:30
Bien, esta es la implicación, que eso suele trabajar poco. 00:00:35
Si el rango de A es N, es porque podemos escalonar A hasta conseguir una matriz B triangular superior 00:00:38
con todos los elementos de la diagonal principal distintos de 0. 00:01:08
Esta matriz B, por ser triangular superior, va a tener exactamente por determinante el producto de los elementos de su diagonal, que como eran distintos de cero, van a ser también distintos de cero. 00:01:18
Pero esta matriz B se ha conseguido mediante combinaciones lineales de filas, de forma que va a tener el mismo determinante de A, es decir, no nulo. 00:01:40
bien, como veis es bastante sencillo 00:01:55
si pasamos hacia el otro lado 00:01:59
lo que queremos es concluir 00:02:02
que si el determinante es no nulo 00:02:05
obligatoriamente el rango de A 00:02:08
tiene que ser n 00:02:11
pero esto es equivalente 00:02:12
a demostrar 00:02:16
que si el rango de A no es n 00:02:18
es porque el determinante 00:02:22
tiene que ser nulo 00:02:24
que es más cómodo de mostrar 00:02:26
así 00:02:31
si el rango de A 00:02:34
no es N 00:02:36
tiene que ser 00:02:37
menor o igual 00:02:40
que N-1 00:02:42
luego existe al menos 00:02:43
una fila de la matriz 00:02:46
llamémosla FI 00:02:52
que es combinación lineal 00:02:55
de las anteriores 00:02:57
es de j igual a 1 hasta n de xj fj 00:02:58
con la y distinta de j y con algún xj distinto de 0 00:03:07
si suponemos por ejemplo x1, x2 y x3 distintos de 0 00:03:16
entonces 00:03:27
el determinante de mi matriz A 00:03:29
que va a ser una fila 1, una fila 2 00:03:33
hasta una fila J, una fila Y 00:03:36
perdón, la habíamos llamado Y 00:03:39
hasta una fila N 00:03:41
si hacemos a la fila J 00:03:43
le restamos X1 veces la fila 1 00:03:47
menos X2 veces la fila 2 00:03:49
menos X3 veces la fila 3 00:03:51
obtenemos por las propiedades de los terminantes 00:03:54
una matriz con determinante igual a la anterior 00:03:57
donde en lugar de tener la fila I 00:04:01
tenemos un 0 00:04:05
y el resto las tenemos todas igual 00:04:06
por tener una fila que es todo 0 00:04:11
pues este determinante también va a ser 0 00:04:13
conclusión, acabamos de demostrar 00:04:16
la doble implicación de que si el rango de A 00:04:19
es N, si, solo si 00:04:22
el determinante es no nulo 00:04:26
quizá desde mi punto de vista 00:04:28
una de las cosas más importantes 00:04:30
de los determinantes 00:04:32
un saludo 00:04:34
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Pablo Martínez Dalmau
Subido por:
Pablo M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
89
Fecha:
9 de enero de 2020 - 19:55
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
http://cloud.educa.madrid.org/index.php/s/BVIuubaLFIUqwnG
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
04′ 36″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
1440x1080 píxeles
Tamaño:
54.01 MBytes

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