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Integrales - Contenido educativo

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Subido el 12 de marzo de 2026 por Roberto A.

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Bueno, empezamos. Hoy es 6, ¿no? 6 de marzo del 2026. 00:00:00
Chavales, ¿tenéis la función última que puse el otro día? 00:00:08
¿Tenéis la función a mano? 00:00:14
¿Era x al cubo, no? 00:00:19
¿x al cubo menos 1? 00:00:21
¿x al cubo menos 1? 00:00:23
esta de aquí 00:00:23
había otra que puse yo a última hora 00:00:29
había otra, hola 00:00:31
la última, última que puse 00:00:37
x al cubo 00:00:41
x al cubo menos 6x al cuadrado 00:00:45
menos 6x al cuadrado 00:00:48
Más 11x, menos 6, ¿no? 00:00:51
Menos 3x, más 2, ¿verdad? 00:01:00
Vale. 00:01:03
Entonces, si no recuerdo mal, el dominio de f de x 00:01:04
era todos los reales menos el 1 y el 2. 00:01:06
Creo que sí, ¿no? 00:01:11
Sí, el 1 y el 2, ¿vale? 00:01:13
Entonces, ¿qué ocurre? 00:01:15
Hola, que si yo pruebo la de arriba, que era 1, menos 6, 11 y menos 6, ya vale. 00:01:16
Es un truco también que no sé si esto lo sabéis o no. 00:01:29
Cuando apliquemos Ruffini, si tú sumas los coeficientes, ¿vale? 00:01:33
Si sumas los coeficientes y te da 0, veis que yo aquí si sumo los positivos me da 12, 00:01:38
si sumo los negativos me da menos 12 00:01:45
el 1 siempre es solución 00:01:47
¿vale? eso no sé si lo sabéis 00:01:49
o no, entonces 00:01:51
¿no lo habéis escuchado nunca? 00:01:52
pues... pues sí 00:01:55
pero da la solución 00:01:59
ah sí 00:02:02
luego me lo enseña 00:02:06
¿sabéis que calculadora tienes tú? 00:02:08
entonces chavales, esto 00:02:15
si no me equivoco es... ¡Guau! Esa la tengo yo, por eso me lo tienes que enseñar, porque 00:02:16
yo eso no lo sé. Luego, luego tonto. Entonces, chavales, esto ya lo vimos, ¿vale? Porque 00:02:21
hoy voy a empezar integrales. Gemena, hazme un favor, ¿me repartes esto a la gente que 00:02:33
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:02:40
Un segundillo. 00:02:43
Esto se me quedaba como esto de aquí, ¿vale? 00:02:45
X menos 3. 00:02:51
Entonces, chavales, lo único que al final toda esta función que teníamos aquí es una recta, 00:02:53
una recta X menos 3, pero ¿qué tenemos que saber? 00:03:02
Que en x igual a 1 y en x igual a 2, ¿vale? 00:03:05
Tenemos discontinuidad evitable. 00:03:10
¿Por qué tenemos una discontinuidad evitable, chavales? 00:03:14
Porque si yo hago el límite de f de x, efectivamente, cuando x tiende a 1, 00:03:18
esto realmente da menos 2. 00:03:25
Pero ¿qué ocurre? 00:03:27
Que no existe f de 1. 00:03:28
¿Vale? Gracias, madre. 00:03:31
Y el límite de f de x cuando x tiende a 2, ¿vale? 00:03:32
Esto me da menos 1, pero ¿qué ocurre? 00:03:38
Que no existe f de 2. 00:03:40
Con lo cual tenemos discontinuidad evitable en las dos. 00:03:43
Y no sé si recordáis, para representar una recta es súper fácil, ¿verdad? 00:03:46
Porque yo hallo los puntos de corte, ¿verdad? 00:03:51
Hallo los puntos de corte. 00:03:55
Daros cuenta que ahora mi f de x es igual a x menos 3, ¿verdad? 00:03:56
Entonces, si yo hago los puntos de corte, ¿qué hago? 00:04:08
En el eje x, x' y es igual a 0, por lo tanto, x menos 3 es igual a 0, x es igual a 3. 00:04:13
Tengo el punto de corte 3, 0. 00:04:21
y en el eje y'x es igual a 0, por lo tanto, y es igual a f de 0, que es igual a menos 3. 00:04:23
Es decir, en el menos 3, en el 0, wow, en el 0 menos 3, ¿verdad? 00:04:32
0 menos 3. 00:04:41
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:04:43
Que yo paso por este punto, ¿verdad? 00:04:45
Que es el 0, 3, y paso por este punto, que es 0 menos 3. 00:04:47
si es igual a 0 00:04:54
x es igual a 3, 0 00:05:07
pasa por aquí 00:05:08
que es el 3, 0 00:05:10
y si x es igual a 0 00:05:12
pasa por aquí 00:05:14
entonces mi resta 00:05:15
chavales sería 00:05:19
wow 00:05:20
tal que así 00:05:22
sería la representación gráfica 00:05:28
Pero, ¿qué ocurre? En el 1 menos 2, en el 1 menos 2, chavales, en el 1 menos 2 yo tengo que poner aquí un agujero blanco y en el 2 menos 1 tengo que poner otro agujero blanco, ¿vale? 00:05:31
¿Por qué? Porque es una discontinuidad evitable, ¿de acuerdo? Sí, pero la representación gráfica es esta de aquí, ¿vale? 00:05:46
Carol, voy a decir una cosa y ahora me vas a hacer la pregunta, ¿vale? 00:05:54
Entonces, chavales, para el fin de semana, por favor, ejercicio, ¿vale? 00:05:57
Intentar representar f de x igual a x partido logaritmo neperiano de x 00:06:03
y f de x igual a logaritmo neperiano de x partido de x, ¿de acuerdo? 00:06:11
Esta es una función que incluso a mí a nivel de oposición me ha entrado. 00:06:18
Evidentemente con otras características, ¿no? Pero es que esta función ha entrado en la PAU también. Entonces, ¿por qué me interesa esta función y me interesa que la hagáis ustedes hasta donde podáis sin mirachas GPT y sin nada? Porque los límites son bastante interesantes, ¿vale? Los límites son bastante interesantes. 00:06:23
El dominio, chavales, tenemos que tener en cuenta bastantes cosas. Luego hay partes de la función, dependiendo de cuál es cuál, partes de recorrido que no existen, ¿de acuerdo? Entonces, los máximos, los mínimos son funciones muy completas, ¿vale? 00:06:44
Entonces, me interesa que le echéis un vistazo y que hagáis todos los pasos que se hace para representar un esbozo de estas dos funciones, ¿de acuerdo? 00:07:02
No sé si me va a dar tiempo hacerlo en clase, si no, yo os haré vídeos con cada una de ellas, explicativos, ¿vale? 00:07:11
¿De acuerdo? Y si no, pues intento venirme a un recreo para tal. 00:07:19
Lo que pasa es que como vamos a empezar integrales, integrales densos, ¿vale? 00:07:23
Entonces, si nos da tiempo, lo haría en clase. 00:07:27
Si no, yo seguramente haga vídeos para que veáis cómo se representan estas dos funciones, 00:07:29
porque la PAU ha entrado a veces, ¿vale? 00:07:34
Lo que pasa es que es súper interesante para límites, para dominio, para máximos, para mínimos y demás. 00:07:37
Las dos, ¿de acuerdo? 00:07:43
Dime, claro, que tenías una duda o algo. 00:07:45
Lo de representación de funciones, el tema es que solo los mapuches son sucesos. 00:07:46
Sí, ahí está básicamente todo. 00:07:51
Las fichas están bastante bien, más que nada porque hay... 00:07:54
Ahí no, son de otras, son del libro creo. Ahí lo que me he centrado más que nada, Carol, es en dominios, en puntos de corte y sobre todo asíntotas y posición, ¿vale? 00:07:56
¿Qué es lo que ocurre? Que yo a veces incluso ya hacía esbozos, yo creo que en todos, en casi todos, ya que tenía la función, pues hacía un esbozo de la misma para que veáis, pues eso, 00:08:13
Cuando el límite, cuando haces las asíntotas horizontales, pues tú sabes que es el límite más infinito y menos infinito. 00:08:24
Bueno, pues ya sabes dónde pone la flecha. 00:08:31
Si te sale asíntota, pues ya buscas la posición para ver si está por encima o por debajo de la asíntota. 00:08:33
Luego las asíntotas verticales, que las asíntotas verticales se suelen mirar o en las funciones a trozos o en los puntos donde no existe el dominio. 00:08:40
Por ejemplo, si tú aquí en esta de aquí no llegáis a esta conclusión, porque siempre lo que tenemos que hacer, chavales, es súper importante. Los puntos del dominio, los puntos del dominio, probar, probar, Jesús, si anulan el denominador, probar si anulan el denominador. 00:08:49
Y es tan fácil como hacer Ruffini. Bueno, lo bueno, sustituyo, que me hace 0 el 1 y el 2. Aquí yo si sustituyo el 1, me sale 0, ¿de acuerdo? Pero si sustituyo el 2, también me sale 0. 00:09:11
Y entonces lo único, me voy a Ruffini ya precisamente con el 1 y con el 2, para tener esta descomposición que me permite, ¿vale? Darme elementos comunes, raíces comunes y fijaros, no es lo mismo estudiar este tochaco de función que estudiar una recta. 00:09:26
claro, claro, claro 00:09:46
sabiendo también que realmente 00:09:58
esto me anula, ¿vale? 00:10:01
entonces con Ruffini tan solo pruebo 00:10:03
esos dos y ya está 00:10:04
si aquí me saliese una 00:10:06
ecuación de segundo grado 00:10:08
lo podría hacer 00:10:10
¿vale? pero aquí es que me ha salido 00:10:12
Vamos, está hecho adrede, ¿vale? Este ejercicio. Entonces, fijaros que al final se me queda una resta. Lo único, chavales, a la hora de representar, aquí tenéis que poner en el 1 menos 2 y este que era el 2, 1, ¿vale? El 2 menos 1, perdona, tenéis que poner agujeritos, ¿vale? Porque son discontinuidades evitables, ¿de acuerdo? ¿Vale? ¿Por qué? Porque sí existe el límite, pero no existe el valor de la función, no existe ni f de 1 ni f de 2, 00:10:14
porque no pertenece al dominio. 00:10:43
De cara también al examen del día 10 y del día 17, 00:10:46
chavales, si vamos a estudiar los máximos y los mínimos, 00:10:51
la concavidad y convexidad y demás, 00:10:55
sobre todo los máximos y los mínimos, 00:10:56
si un punto no pertenece al dominio, 00:10:58
no puede haber ni máximo, ni mínimo, ni nada, ¿vale? 00:11:00
No pertenece al dominio, 00:11:02
no existe la función en ese valor, ¿de acuerdo? 00:11:04
¿Vale? 00:11:07
Sí, me refiero a que me puedo encontrar 00:11:08
que puede ser a izquierda y a derecha, 00:11:09
a izquierda creciente y a la derecha decreciente 00:11:12
y si no pertenece al dominio 00:11:15
porque sobre todo hay ahí una asíntota 00:11:18
vertical, pues no podemos 00:11:20
decir que siempre que va decreciente a decreciente 00:11:24
sea un máximo, ¿vale? ¿Por qué? Porque no existe la función 00:11:27
en ese punto. Igualmente, si vamos también 00:11:30
a la izquierda es decreciente y luego a la derecha es creciente 00:11:33
pero no existe la función en ese punto 00:11:36
no puedo decir que es un mínimo porque además hay ahí 00:11:38
una asíntota vertical. 00:11:42
¿Vale, chavales? 00:11:45
¿Sí? 00:11:46
Estupendo. 00:11:47
Venga, os he dado, no sé si a alguien le falta. 00:11:48
Paula, ¿tú tienes? 00:11:51
Marco, no sé. 00:11:52
La tabla de derivadas, ¿vale? 00:11:53
Espero que luego vengan más compañeros. 00:11:56
¿Lo dejo luego a ustedes ir a repartir 00:11:58
a los compañeros que han faltado? 00:12:00
¿Os parece? 00:12:01
¿Sí? 00:12:02
Entonces, en esta tabla de derivadas, 00:12:03
la verdad, chavales, 00:12:06
que para derivar, 00:12:07
que no es complicado en exceso, 00:12:08
En las integrales, perdona, las integrales, chavales, en las integrales ocurre una cosa, ocurren dos realmente, para saber integrar tenemos que saber derivar, por eso es juego de palabras que me he equivocado, para saber integrar tenemos que derivar y luego pasa una cosa, nos pueden poner una integral, integrales hay, súper complicado me refiero, 00:12:11
Cuando tú derivas, que tienes las tablas, bueno, pues puedes cometer errores y demás, pero si tú tienes ahí todas las tablas de las derivadas, tú aplicas bien la regla de la cadena y demás, al final, tarde o temprano, vas a llegar bien a la solución de una derivada. 00:12:37
Sin embargo, con una integral nos pueden poner una integral que no hay forma de hacerla. Yo eso creo que ya os lo comenté, que incluso a mí en la oposición de matemáticas, siempre en mi academia me decían, dice, deja ese ejercicio para lo último, porque normalmente cuando te ponen una integral sola, dices tú, agárrate los machos, ¿no? Porque te elitan, ¿no? 00:12:54
Entonces, ¿qué ocurre? Que nosotros aquí, es verdad, hablando con Javier, nos vamos a centrar sobre todo en las integrales inmediatas y luego en las integrales por parte, las integrales circulares, luego también los cambios de variables. Entonces, yo os voy a dar truquillos para hacerlo y también las funciones racionales, las integrales racionales, ¿vale? Que tenemos que hacer ahí lo máximo posible. 00:13:18
Entonces, lo que yo os recomiendo mucho para este tema es que veáis en el aula virtual, que no sé si aquí, creo que lo tengo abierto, en el tema de integrales, yo, de primitiva, que es lo mismo, ¿vale? 00:13:42
Entonces, estos apuntes, la verdad que están bastante, bastante bien, ¿vale? Y yo lo voy a seguir un poco en clase y luego lo que quiero hacer son ejercicios de PAU, ¿vale? 00:14:00
Entonces, chavales, ¿qué no tenemos que nosotros quedar un poco? 00:14:16
Y os acordáis que hay distintos teoremas fundamentales, ¿no? 00:14:21
Está el teorema fundamental de la trigonometría, que no sé si os acordáis, 00:14:24
que era seno cuadrado más coseno cuadrado igual a 1. 00:14:28
Aquí hay ciertas ecuaciones que vamos a repasar también de trigonometría. 00:14:31
Pues igual existe también el teorema fundamental del cálculo, ¿vale? 00:14:35
Entonces, el teorema fundamental del cálculo, lo que yo quiero que veáis es que es súper completo y quien estudie matemáticas y demás, pues lo va a ver muchísimo más completo. 00:14:39
¿Qué es lo que ocurre? Que normalmente a vuestro nivel de segundo de bachillerato, ese teorema fundamental del cálculo es una base reducida a un caso especial donde al final lo que nosotros tenemos que quedarnos con la idea es una cosa. 00:14:53
Es decir, si yo tengo una función f de x, ¿no?, o una función f, yo tengo una función f, y yo la derivo, es decir, si la derivada de f de x resulta que es esta función f de x minúscula, ¿vale?, es decir, yo tengo una función que es f de x mayúscula. 00:15:10
Si yo la derivo, la derivada es f minúscula. 00:15:31
Bueno, pues resulta que si yo integro esa f de x, 00:15:35
esa f de x, ¿vale? 00:15:39
Me va a dar la función original. 00:15:41
Digamos, ¿eh? 00:15:46
x como f de x por dx. 00:15:48
Sí, dx. 00:15:50
Y ahora vamos a ver por qué se pone esto así en las integrales, ¿vale? 00:15:51
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:15:54
Normalmente a vuestro nivel se dice como que la integral, esto a mí no me gusta decirlo como tal, ¿vale? Es la inversa de la derivada. Ahora aparece esto, ¿vale? Que no sé por qué tarda un poco en ponerse. 00:15:56
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que nosotros también nos tenemos que valer, por eso es tan importante, chavales, por eso es tan importante saberse la tabla de derivadas, ¿vale? Es súper importante saberse la tabla de derivadas y esto ha pasado de mí y no se ha escrito. 00:16:15
Pero bueno, quedaros un poco con esta idea. Digamos que la integral es la parte inversa de la derivada, ¿vale? Entonces, chavales, un ejemplo práctico que pone aquí es que es este de aquí. 00:16:32
Yo creo que, mira, ahí aparece, ¿vale? Dice, si la derivada de x es 1, la integral de 1 es x, ¿vale? 00:16:47
Entonces, es lo que te digo, que si f de x es igual a x y la derivada de f de x es 1, pues la integral de 1 es precisamente esa x, ¿vale? 00:16:55
Entonces, ¿qué ocurre cuando nosotros derivamos una constante, chavales? ¿Cuánto es la derivada de una constante? 00:17:07
Entonces, lo que yo creo que veáis es una cosa. 00:17:12
Si yo tengo, chavales, f de x es igual a, bueno, voy a poner mayúscula, que estaban aquí utilizando en mayúscula. 00:17:16
f de x, ¿vale? Es igual a x cuadrado más 3. 00:17:25
Y f prima, bueno, f prima de x no. 00:17:31
¿Vale? Entonces, ¿cuál es la derivada? ¿Cuánto vale f prima de x? 00:17:36
2x, ¿estamos de acuerdo o no? 00:17:41
¿Qué ocurre si, chavales, si yo tengo g de x es igual a x cuadrado más 5? 00:17:44
Pues que g prima de x es igual a 2x. 00:17:50
¿Lo veis? 00:17:53
Entonces, ¿qué ocurre? 00:17:55
Como la derivada, perdona, la integral, entre comillas, es la inversa de la derivada, 00:17:56
cuando nosotros, chavales, vayamos a integrar 2x, ¿vale? 00:18:03
Cuando yo vaya a integrar 2x, ¿vale? 00:18:11
Que ahora aprenderemos cuál es su derivada. 00:18:13
Es x cuadrado, ¿de acuerdo? 00:18:16
Es x cuadrado y siempre se le añade una constante, ¿vale? 00:18:18
Una constante. 00:18:23
¿Por qué? 00:18:24
Porque esa constante, ¿qué ocurre? 00:18:25
Si yo derivo esto de aquí, me tiene que dar el argumento de la integral, ¿vale? 00:18:27
Me refiero, parece un lío. 00:18:36
Ya nada, me estás poniendo unas caras como que es muy lioso, no sé. 00:18:37
Lo que quiero que veáis es eso, que al final, cuando yo tengo que integrar una función, 00:18:41
por ejemplo, imaginaros esto, no tenemos por qué saberlo todavía, ¿no? 00:18:46
Pero, por ejemplo, si yo voy a integrar coseno de x, yo sé que me tiene que dar una función, ¿verdad? 00:18:50
¿Sí o no? Una función más una constante, ¿de acuerdo? 00:18:55
Y entonces yo lo que tengo que pensar, ¿qué función al derivarla me da coseno de x? 00:19:00
Efectivamente, ¿vale? 00:19:08
Entonces, precisamente, chavales, la integral de coseno de x, diferencial de x, es seno de x. 00:19:09
Porque si yo derivo todo esto de aquí, ¿cuánto me da la derivada de seno de x más una constante? 00:19:17
¿Cuánto me da la derivada? Coseno de x. 00:19:24
¿Vale? Esa es la idea que nos tenemos que quedar nosotros, ¿de acuerdo? 00:19:27
Para hacernos una idea de qué representa realmente la integral. 00:19:31
¿Vale, chavales? 00:19:37
Y además lo bueno de las integrales, cuando tú las haces, es que te da un resultado. 00:19:38
Bueno, pues si ahora tú derivas ese resultado, te tiene que dar el argumento de la integral. 00:19:44
¿Vale? Nos quedamos con esa idea. 00:19:52
¿Os parece eso complicado? Ahora vamos a verla más detenidamente. 00:19:54
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:19:58
Bueno, aquí lo que se explica, ¿no? 00:20:01
Que la integral de 1 es x más una constante, ¿por qué? Porque precisamente la derivada de x más una constante, ¿cuánto es? El 1, ¿vale? ¿Nos quedamos con eso más o menos? Sí, vale. 00:20:03
Bueno, propiedades básicas de integrales, ¿vale? 00:20:17
Las propiedades básicas de las integrales. 00:20:24
Y esto es importante. 00:20:26
Pues resulta que si yo tengo la integral de una suma, 00:20:28
la integral de una suma es la suma de integrales. 00:20:33
Pasaba igual con las derivadas, ¿os acordáis? 00:20:36
La derivada de una suma es la suma de derivadas. 00:20:38
Luego, súper importante. 00:20:41
Cuando yo tengo la integral de una constante, c es una constante, ¿vale? 00:20:42
c es igual a una constante. 00:20:49
Si yo tengo la integral de una constante por una función, es lo mismo que si yo saco la constante fuera y hago la integral de la función. 00:20:52
Esas son las propiedades básicas de una integral. 00:21:02
La integral, chavales, se representa con este símbolo, que este símbolo realmente es como una S grande, porque la integral, chavales, la integral, que luego hay un tema aquí de ampliación al final, realmente una integral es una suma infinita, ¿vale? 00:21:06
Una integral realmente es una suma infinita, ¿de acuerdo? Los que estudien matemática veréis las integrales de Riemann y demás, que al final es un sumatorio infinito de áreas, porque las integrales, ¿vale? 00:21:32
La integral geométricamente representa áreas, ¿vale? 00:21:46
Cuando veamos el tema siguiente, que son integrales definidas, 00:22:01
precisamente cuando nos piden las áreas comprendidas o bajo una función, 00:22:06
nosotros lo que hacemos es la integral de esa función, 00:22:12
pero con límites definidos. 00:22:15
Y me va a dar un número, ¿vale, chavales? 00:22:17
mientras que la integral indefinida me va a dejar, me va a salir normalmente en función de x, 00:22:19
la integral definida me tiene que salir un número, ¿vale? 00:22:27
Un número que puede ser logaritmo de pi, puede ser raíz de 3 partido de 4, 00:22:31
me puede salir 3, ¿vale? 00:22:37
Me puede salir cualquier número real, ¿vale? 00:22:38
Eso es la definida. 00:22:41
Entonces, chavales, yo tengo siempre la S esta de aquí, la forma de poner la función, la integral, perdón, tengo una función y luego lo que se pone es derivada de dx porque nosotros lo que nos está diciendo es sobre qué variable estamos integrando, ¿vale? 00:22:42
Esto es importante porque hay ciertas variables, ciertas integrales, perdona, que se resuelve con cambios de variables, ¿vale? Entonces, cuando hacemos los cambios de variables, también tenemos que cambiar este dx, pero eso ya lo veremos, ¿vale? 00:23:05
Entonces, siempre nos vamos a encontrar una integral de esta forma, ¿vale? 00:23:21
Con una S larga, con una función dentro y luego una D de x o de di o de dt o lo que sea, 00:23:26
es sobre lo que nosotros vamos a integrar. 00:23:34
Y que sepáis que una integral realmente es una suma infinita y que geométricamente representa áreas. 00:23:37
Y luego, propiedades importantes, la integral de una suma es la suma de integrales 00:23:44
Y la integral de una multiplicación, la integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. 00:23:48
Esto es exactamente igual que las derivadas, ¿os acordáis, no? 00:23:58
¿Sí? 00:24:02
Entonces, ¿qué ocurre, chavales? 00:24:04
Pues que aquí es lo que nos dicen, ¿no? 00:24:06
Si yo hago con las derivadas nos pasaba una cosa parecida, ¿verdad? 00:24:08
Si yo hacía la derivada de 3 seno de x, pues nosotros sacábamos el 3 fuera y derivábamos respecto a x el seno de x, ¿verdad? 00:24:15
Esto realmente, si os acordáis, esto era 3 coseno de x, ¿sí o no? 00:24:28
Da lo mismo sacar el 3 fuera y derivo el seno, que la derivada del seno es el coseno. 00:24:33
Pues aquí pasa igual. Cuando yo tengo la integral de 3 seno de x diferencial de x, es lo mismo que si yo saco el 3 e integro directamente el seno de x. 00:24:38
¿Alguien me sabría decir cuál es la integral de seno de x diferencial de x? 00:24:49
Es decir, antes de mirar las tablas, recordamos derivadas. ¿Qué función al derivar me daba el seno? 00:24:54
¿Os acordáis? El coseno, ¿verdad? 00:25:01
¿Pero qué ocurre? Que si yo derivo el coseno, que era menos seno, ¿verdad? 00:25:07
Pues entonces, una cosa que vamos a utilizar nosotros mucho, pero muchísimo, es poder multiplicar por números. 00:25:12
No podemos multiplicar nunca la variable x, ¿de acuerdo? O la variable de integración. 00:25:22
Pues yo puedo hacer aquí, multiplicar, poner aquí un menos, pero aquí tengo que poner otro menos, porque menos por menos, ¿cuánto he hecho? ¿Vale? Más. Entonces ahora sí, la derivada de coseno de x es menos seno de x. 00:25:28
¿Qué ocurre? Que como yo aquí he puesto un menos 00:25:44
Pues entonces tengo que poner aquí este menos de aquí 00:25:49
Pero eso ya lo veremos más detenidamente 00:25:52
Lo que yo sí quiero que veáis es que siempre al final 00:25:55
Cuando yo tenga esto de aquí y lo derive 00:25:59
Me va a dar lo que yo tenga 00:26:02
Es decir, la integral de seno de x diferencial de x 00:26:05
Es verdad que es menos menos seno de x diferencial de x 00:26:08
¿Verdad? Porque he multiplicado 00:26:12
por menos 1 y por menos 1 porque 00:26:14
menos por menos es más. Entonces, ¿cuál 00:26:16
es la derivada de menos seno de x? 00:26:18
Más una constante. ¿Cuál es la derivada 00:26:20
del coseno? El menos seno, ¿verdad? 00:26:22
Que con el menos me da seno 00:26:25
de x y la derivada de una constante es 0. 00:26:26
¿Esto de aquí me da 00:26:29
esto de aquí? 00:26:30
Sí, ¿verdad? Pues entonces 00:26:33
lo que yo quiero que veáis es que muchas 00:26:34
veces nos van a hacer falta 00:26:36
artilugios 00:26:38
de este tipo. Si yo 00:26:40
necesito un 2, pues yo voy a 00:26:42
meter un 2, pero tengo que poner luego 00:26:44
un medio para contrarrestar, ¿vale? 00:26:46
Si yo necesito un 6, 00:26:48
pues luego voy a tener que poner también un 00:26:50
sexto para contrarrestar 00:26:52
y que se quede igual 00:26:54
la función original. 00:26:55
¿Lo entendéis eso? 00:26:58
Entonces, chavales, 00:27:01
hay una serie de integrales inmediatas 00:27:02
que la verdad son un puntazo, 00:27:04
¿vale? Entonces, la integral 00:27:06
inmediata, que ya lo tenéis 00:27:08
ahí en la hoja, es 00:27:10
la integral de una constante. Yo sé que la integral de 1 es x. ¿Por qué la integral 00:27:12
de 1 es x? Porque cuando derivo x, ¿qué me da? 1. Y entonces, como veis siempre, es 00:27:17
la derivada x más una constante. ¿Por qué? Porque si yo derivo x más una constante respecto 00:27:23
de x, ¿esto cuánto me da? Me da 1. Que 1 precisamente es el argumento, ¿verdad?, de 00:27:31
la integral. ¿Por qué la integral de a derivada de x es ax más c? Porque si yo derivo ax más c 00:27:38
respecto de x, ¿cuál es la derivada de ax más c? La derivada de ax es a y la derivada de c ¿cuánto 00:27:49
¿Es lo que yo tengo aquí? 00:27:59
¿Sí o no? 00:28:04
Pues entonces, la integral de una constante es esa constante por x. 00:28:05
Y más la c, que es la constante de integración. 00:28:11
Esta c, que yo siempre os recomiendo que pongáis algo de esto de aquí, 00:28:14
es una constante de integración. 00:28:19
Esa c se pone siempre al final. 00:28:23
No, no es que sea de x, sino que tú cuando integras, cuando integras, tienes que añadir siempre una constante. 00:28:24
¿Por qué? Porque como la integral es la inversa de la derivada, yo aquí ponga la constante que yo quiera. 00:28:35
Siempre que yo derive esto de aquí, ax más una constante, me va a dar a. 00:28:42
¿Vale? Entonces eso es una costumbre. 00:28:49
Entonces, escuchadme, esta C solamente se añade en las integrales indefinidas. 00:28:52
¿Qué es una integral indefinida? 00:29:00
La que aquí no tiene número, ¿vale? 00:29:02
Luego veremos las definidas donde añadimos aquí números o cosas, ¿vale? 00:29:05
¿Sí o no? 00:29:10
Que es la que utilizaremos ya realmente para calcular áreas. 00:29:11
¿Vale, chavales? 00:29:16
¿Hasta ahora todo bien? 00:29:17
Vale. 00:29:18
Entonces, chavales, integral de una potencia, esto es súper importante, ¿vale? 00:29:19
Integral de una potencia 00:29:25
Cuando yo tengo una potencia, por ejemplo, de x, ¿vale? 00:29:26
¿Qué es lo que ocurre? 00:29:33
Para derivar potencias, no sé si os recordáis que cuando yo hago la derivada de una potencia 00:29:35
Era el exponente se ponía aquí, mi función se reducía el exponente en 1, ¿os acordáis? 00:29:40
Es decir, la derivada de x elevado a n era n por x elevado a n menos 1. 00:29:49
¿Os acordáis de eso, verdad? 00:29:55
Es decir, la derivada de x a la séptima respecto de x era 7x a la sexta. 00:29:56
¿Os acordáis? 00:30:08
¿Sí o no? 00:30:09
Entonces, la derivada de x cuadrado es 2x. 00:30:10
Entonces, ¿qué ocurre? 00:30:14
¿Cuál sería la integral de x? 00:30:16
Pues yo tengo que ver qué función al derivarla me da la x. 00:30:20
Pues entonces, fijaros, yo lo que necesito hacer es a mi x le elevo en una unidad su exponente, ¿de acuerdo? 00:30:27
Y lo divido por ese nuevo exponente. ¿Por qué? 00:30:36
Porque ¿cuánto es la derivada de x cuadrado más 2? 00:30:39
¿Cuál es la derivada de x cuadrado más 2? 00:30:43
Es 2 por x entre 2, que al final es x. 00:30:45
¿Os acordáis o no? 00:30:50
¿Vale? Y entonces siempre tengo que añadir la constante de integración. 00:30:53
¿Vale? 00:30:57
Igual, ¿cuál es la derivada de x al cubo? 00:30:58
Es 3x al cuadrado, ¿verdad? 00:31:00
Entonces, ¿cuál es la integral de x al cuadrado? 00:31:02
Pues la integral de x al cuadrado es x al cubo partido de 3 más la constante. 00:31:06
¿Por qué? 00:31:11
¿Por qué? Porque si yo derivo esto, chavales, si yo derivo esto, su derivada, ¿vale? Que sería 3x cuadrado partido de 3, ¿verdad? Más la derivada de una constante que es 0, ¿verdad? ¿Sí o no? Y entonces este 3 se va con este 3 y ¿qué me queda? x al cuadrado. 00:31:11
por lo que te digo 00:31:31
cuando, como tú estás haciendo la integral 00:31:35
de 3x al cuadrado 00:31:38
¿vale? fíjate, dime tu número 00:31:40
favorito 00:31:42
si yo derivo esto 00:31:43
¿cuánto me da la derivada? 00:31:49
x al cuadrado 00:31:53
¿vale? y ahora vamos a coger 00:31:54
10 que es 10 00:31:58
la nota que vais a sacar 00:32:00
¿y cuánto es la derivada 00:32:03
de esto de aquí, no? 00:32:04
¿Cuál es la derivada de x al cuadrado más 10? 00:32:14
¿Eh? 00:32:19
No. 00:32:22
x al cuadrado también, ¿vale? 00:32:24
Y le puedo poner yo aquí el número que yo quiera, 00:32:26
que siempre que yo derive x al cubo partido de 3 más cualquier constante, 00:32:29
me va a dar x al cuadrado, ¿vale? 00:32:35
Ese es el motivo por el que siempre al final yo tengo que añadir la c, 00:32:37
que es la constante de integración, dime. 00:32:41
¿Lo haces para que te diga que se mueva? 00:32:46
¿Vale? ¿Por qué? Porque es lo que os digo, 00:32:49
la inversa de la integral, digamos, es la derivada. 00:32:51
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:32:56
Por eso, lo bueno y lo malo de las integrales, 00:32:57
a ver, las integrales, ya os digo, 00:33:00
pueden poner una integral que yo no sabría hacerlo, 00:33:01
incluso mi profe de la academia que lleva dando tal, 00:33:04
hay ciertas integrales que más o menos, hombre, 00:33:08
tú sabes encauzarlas y demás, 00:33:11
pero te pueden poner lo más grande. 00:33:13
Es verdad que las integrales que ponen en la PAU no son efectivamente complicadas, ¿vale? 00:33:14
Entonces, por dar integrales podríamos estar un año entero solamente dando integrales, 00:33:20
fijaros, de todos los tipos que hay de todo. 00:33:24
Evidentemente estamos en segundo de bachillerato y nos vamos a centrar en las básicas, 00:33:27
pero siempre también con un poquito de complejidad. 00:33:31
Entonces, ¿por qué he soltado yo este rollo, Guilla? 00:33:34
¿Por qué he soltado yo este rollo? 00:33:39
me has preguntado porque realmente 00:33:40
ah, lo bueno, lo malo es eso que te digo 00:33:43
y lo bueno que es, es que se me va la olla 00:33:45
lo bueno es que tú 00:33:47
cuando tú crees que has resuelto 00:33:49
la integral, haz lo siguiente 00:33:51
deríbala 00:33:54
si al derivarla 00:33:55
esta te da el argumento 00:33:57
de la integral, es que has hecho 00:33:59
perfecta la 00:34:01
la integral, ¿vale? 00:34:03
me refiero a que eso nos pasa 00:34:05
como cuando las ecuaciones 00:34:07
tú cuando resuelves una ecuación 00:34:09
pues igual, hay ecuaciones de todo tipo 00:34:11
pero ¿qué es lo bueno de las ecuaciones? 00:34:13
que te dan unas soluciones 00:34:15
y tú tienes las herramientas 00:34:16
para saber si esas soluciones 00:34:20
son correctas o no 00:34:22
¿por qué? porque tienen que verificar la ecuación 00:34:23
pues aquí igual 00:34:25
tú haces la integral y te da una cosa 00:34:26
y dices tú, aquí me quedo 00:34:29
no, no, no, deríbala 00:34:31
y si lo derivas y te da lo de dentro 00:34:32
es que lo has hecho bien 00:34:34
en ciertos aspectos 00:34:35
sí 00:34:41
wow, no, gráficamente 00:34:42
no, es que por eso lo he puesto entre comillas 00:34:45
¿vale? 00:34:47
lo he puesto entre comillas, entonces chavales, esta fórmula 00:34:49
de aquí que es lo que me dice, que si yo 00:34:51
tengo x elevado a n, pues su 00:34:53
integral siempre es x elevado a 00:34:55
n más 1 partido 00:34:57
de n más 1, ¿de acuerdo? 00:34:59
¿cuál es la integral entonces de x a la quinta? 00:35:01
¿cuál es la integral de x a la quinta? 00:35:03
Es x a la sexta partido de 6 más la constante. 00:35:08
¿Vale, chavales? 00:35:14
Easy, easy. 00:35:15
Vale. 00:35:17
¿Esto de aquí qué ocurre? 00:35:18
Esto de aquí es súper importante. 00:35:19
¿Por qué no me vale para n igual a menos 1? 00:35:21
Porque fijaros que aquí, ¿qué me saldría para n igual a menos 1, chavales? 00:35:25
Un cerápio. 00:35:29
¿Y sabemos dividir entre 0? 00:35:30
No. 00:35:34
Y, chavales, ¿qué ocurre si fuese realmente x elevado a menos 1? Que esto es 1 entre x. ¿Recordáis, chavales, qué derivada, qué función su derivada me daba 1 partido de x? Logaritmo neperiano. 00:35:34
Esto es logaritmo neperiano y aquí, chavales, siempre, por favor, ponerme el logaritmo neperiano, el argumento, me lo ponéis en valor absoluto, ¿vale? ¿Alguien sabe por qué hay que poner el argumento del logaritmo en valor absoluto? ¿Eh? Porque no existe en el logaritmo de número negativo, ¿vale, chavales? Sí, venga. 00:35:54
entonces chavales 00:36:19
por ejemplo si tenemos 00:36:22
dime hija 00:36:24
aquí cuando tengamos una raíz 00:36:27
¿os recordáis cuál era la derivada de una raíz? 00:36:32
la derivada de una raíz era 1 partido de 2 raíz de x 00:36:35
entonces aquí, ¿qué es lo que os recomiendo? 00:36:37
que os recomiendo cuando tengamos una raíz 00:36:40
que la pongamos siempre como potente 00:36:42
raíz de x, no sé si recordáis 00:36:44
esto es x elevado a 1 medio 00:36:47
raíz cúbica de x, esto es x elevado a un tercio. 00:36:49
Y esto, apuntarlo, cuando yo tengo la raíz emésima de x elevado a p, por ejemplo, 00:36:54
esto es igual a x elevado a p partido de m. 00:37:06
¿Vale, chavales? Recordar estas propiedades de los radicales y de las potencias. 00:37:11
¿Vale? Es decir, todo radical no deja de ser una potencia 00:37:16
¿De acuerdo? De hecho no sé si recordáis en primero 00:37:21
El año pasado que los primeros ejercicios siempre había unos radicales del copón 00:37:23
Y muchos de ustedes lo intentáis resolver muchas veces como potencia 00:37:30
Se puede resolver, se puede resolver 00:37:34
Lo que pasa es que hay que tener un control 00:37:36
Tanto de la operación con fracciones como propiedades de potencia 00:37:38
que la mayoría de la gente pues 00:37:44
erra, ¿no? ¿Qué es lo que 00:37:46
ocurre? Que hay una serie también de propiedades 00:37:49
radicales que si las sabemos pues sería 00:37:50
un puntazo. Entonces, chavales, 00:37:52
¿qué ocurre con la integral de raíz 00:37:54
de x? Pues la integral de raíz 00:37:57
de x es realmente 00:37:58
la integral de x elevado a 1 medio 00:38:00
y si yo aplico lo de la 00:38:02
inmediata, lo que tengo 00:38:04
que hacer es 1 medio más 00:38:06
1, que me da 3 medios, ¿vale? 00:38:08
3 medios no es más que 1 medio más 00:38:11
uno. ¿De acuerdo? Y aquí pongo 00:38:12
tres medios más uno, pues 00:38:15
es c. Y luego 00:38:16
lo que quedaría bien bonito, como 00:38:18
ustedes, es pasar 00:38:20
este 00:38:22
este x elevado a tres 00:38:23
medios otra vez a raíz. 00:38:26
Hombre, así queda más bonito. 00:38:29
¿Vale? 00:38:32
A ver, yo prefiero que llegues hasta aquí. 00:38:32
¿Vale? 00:38:36
Pero luego, lo suyo es 00:38:36
que lo hagas. Si, chavales, 00:38:38
Si tengo 1 partido de x cuadrado, otra cosa, otra propiedad también, chavales, 00:38:41
x elevado a menos b es lo mismo que 1 partido de x a b, ¿vale, chavales? 00:38:46
Entonces, ¿qué ocurre? 00:38:53
Que 1 partido de x cuadrado es lo mismo que x elevado a menos 2, ¿de acuerdo? 00:38:54
Y entonces, si aplico la de esto, ¿esto qué sería? 00:38:59
Menos 2 más 1, que es igual a menos 1. 00:39:02
Por eso aquí tengo un menos 1 y aquí tengo un menos 1, ¿vale? 00:39:06
Y esta sería su integral. 00:39:10
¿Vale? 00:39:12
¿Qué podría ser la ley que has dicho de la variable x? 00:39:13
¿Eh? 00:39:16
Lo que has dicho es de la variable x. 00:39:17
Si yo tengo 1 partido de x, diferencial de x, y yo aplico lo que tal, esto sería x elevado a menos 1 diferencial de x, ¿no? 00:39:19
Si yo aplico lo que me han dicho, esto sería x elevado a menos 1 más 1 partido de menos 1 más 1. 00:39:29
1. Esto sería x elevado a 0, pero esto es 0 y esto es una indeterminación. Por eso 00:39:37
no vale, por eso no vale lo de para n igual a menos 1, no vale. Entonces, ¿qué es lo 00:39:43
que ocurre? Que esta de aquí, chavales, el 1 partido de x diferencial de x, esto realmente 00:39:52
es su integral, el logaritmo neperiano. ¿Por qué? Porque si yo derivo todo esto de aquí, 00:39:58
¿Cuánto es su derivada? 1 partido de x. ¿Vale, chavales? De hecho, si hacemos la integral de qué, venga, decirme, yo qué sé, raíz séptima de x al cuadrado diferencial de x, ¿cuál sería la integral de raíz séptima de x al cuadrado? 00:40:05
Pues lo que tengo que hacer es ponerlo como potencia, ¿verdad? 00:40:29
Y entonces esto como potencia, ¿qué sería? 00:40:32
¿X elevado a qué? 00:40:34
A dos séptimos. 00:40:36
¿Cómo, cómo, cómo? 00:40:40
Yo lo dejaría de la forma fea. 00:40:42
Pero si tú eres muy bonita, ¿cómo lo vas a dejar feo? 00:40:47
A ver, ahora te lo explico. 00:40:51
No es complicado, ¿vale? 00:40:53
Entonces, chavales, lo primero en este caso de aquí es ponerlo como potencia, ¿vale? 00:40:54
Dos séptimos. 00:40:59
Y ahora, esto es inmediata, entonces esto sería x elevado a 2 séptimos más 1, ¿vale? 00:40:59
Partido de 2 séptimos más 1 más la constante, ¿vale, chavales? 00:41:08
¿Y cuánto es 2 séptimos más 1? Pues x elevado a 9 séptimos. 00:41:14
¿Y esto qué es? 9 séptimos también más la constante. 00:41:19
Y ahora, ¿cómo se pone esto en bonito? 1 partido de 9 séptimos es 7 novenos, ¿verdad? Y ahora, x elevado a 9 séptimos, ¿qué significa? El denominador es el índice de la raíz y el otro exponente es el que va, el numerador es el exponente que va aquí. 00:41:23
Y aquí ya el culmen sería, esto es 7 novenos de x por la raíz de x cuadrado séptimo más c. 00:41:48
Esto ya sería orgánmico. 00:41:59
¿Vale, chavales? Dime. 00:42:04
¿Y la restricción de la c? 00:42:05
Sí, sí, se la tienes que arrastrar. 00:42:07
¿No se puede alquilar el x? 00:42:10
A ver. 00:42:12
lo que puedes ponerlo aquí 00:42:13
si quieres operas esto aparte 00:42:17
si quieres operas esto aparte 00:42:20
y luego cuando ya lo tengas en bonito 00:42:22
lo pones en bonito más c 00:42:24
¿vale? dime 00:42:26
¿puedes decirme cómo ha pasado 00:42:27
de la parte de arriba 00:42:30
de la raíz? 00:42:31
vale 00:42:35
recordarme, era 00:42:35
raíz séptima de x al cuadrado 00:42:37
¿no? diferencial de x 00:42:40
Y esto hemos dicho que es x elevado a 9 séptimo. 00:42:42
Hasta aquí bien, ¿no, Andrés? 00:42:45
9 séptimo. 00:42:48
No, pero digo... 00:42:49
Hasta aquí sí, ¿no? 00:42:50
Más la constante. 00:42:52
Entonces, chavales, voy a coger esto de aquí. 00:42:53
Es lo que te digo, gallito. 00:42:56
Tú haces que esto es a, por ejemplo. 00:42:58
Entonces, a es igual a x elevado a 9 séptimo partido de 9 séptimo. 00:43:00
Entonces, 1 partido... 00:43:07
Esto es lo mismo que 1 partido de 9 séptimos, ¿verdad? 00:43:09
Por x elevado a 9 séptimos, ¿sí o no? 00:43:13
1 partido de 9 séptimos es 7 novenos, ¿vale? 00:43:17
Y ahora, esto de aquí, recuerda que x elevado a a partido de b es lo mismo que raíz de b por x elevado a, ¿vale? 00:43:20
Entonces esto es x a la 9 raíz de 7. 00:43:32
Como este 9 es mayor que 7, ¿vale? Esto es lo mismo, chavales, que 7 noveno raíz de 7 x elevado a 7 por x al cuadrado, ¿verdad? Propiedades de potencia. Y esto, chavales, es una cosa que todavía me lo encuentro, ¿vale? 00:43:36
Si tengo aquí una suma, la raíz de una suma no es la suma de raíces, la raíz de una recta no es la recta de raíces, pero la raíz de una multiplicación sí es lo mismo que la multiplicación de raíces y la raíz de una división es la división de raíces, ¿vale? 00:43:54
¿Y esto cuánto es? X. Esto es 7 novenos por X raíz X, raíz séptima de X al cuadrado. 00:44:12
Entonces, ¿esto qué sería? Pues 7 novenos por X por raíz séptima de X al cuadrado más C. 00:44:23
¿Vale, gallito? Esta sería quizás la forma para no ir arrastrando en todo el momento la C. 00:44:32
¿Vale, chavales? ¿Sí? ¿Puedo pasar? Vale. Entonces, integral de 1 partido de x, ya lo hemos visto, ¿verdad? La integral de 1 partido de x es logaritmo neperiano de x más c, ¿vale? 00:44:38
¿De acuerdo? Esto es lo que hemos visto ya antes, ¿de acuerdo? Y es precisamente para evitar esta indeterminación, ¿vale? Del cero. ¿De acuerdo, chavales? ¿Sí? Vale. 00:44:58
entonces, un error muy común 00:45:12
y esto lo voy a poner porque es importante 00:45:14
hay gente que por lo que sea 00:45:16
se confunde a la hora 00:45:19
de hacer la integral del logaritmo 00:45:21
neperiano de x y pone que es 00:45:22
1 partido de x, ¿de acuerdo? 00:45:24
este es un error muy común 00:45:26
error 00:45:28
común, pero es lo que os digo 00:45:29
chavales, si imagina 00:45:33
imaginaos que caéis 00:45:35
¿vale? que caéis 00:45:37
y ahora yo os pregunto 00:45:39
¿cuál es la derivada 00:45:41
si f de x es igual a 00:45:43
1 partido de x? ¿Vale? 00:45:45
¿Cuánto vale la derivada de 00:45:48
1 partido de x? ¿Alguien se acuerda? 00:45:49
Menos 1 partido de x al cuadrado. 00:45:54
Menos 1 partido de x 00:45:55
al cuadrado. ¿Vale? 00:45:57
¿Sí o no? Entonces, ¿qué ocurre? 00:45:59
¿Esto es igual 00:46:01
que el logaritmo neperiano de x? 00:46:02
Ni de coña. ¿Vale? Entonces, 00:46:05
es lo que te decía, Carlos, que te 00:46:07
soltaba ahí un speech que es un rollo 00:46:09
o no sé qué, lo malo de las integrales 00:46:11
te pueden poner cualquier cosa, pero lo bueno 00:46:13
es que cuando tú terminas 00:46:15
de integrar, si derivas 00:46:17
te tiene que dar 00:46:19
esto de aquí 00:46:21
¿vale chavales? 00:46:22
esta se suele hacer por partes 00:46:24
¿vale? no sé si alguien ha visto ya a lo mejor en la academia 00:46:26
o ha adelantado 00:46:29
algo, lo que sea, esta se suele hacer por 00:46:30
partes, esta 00:46:33
esta integra, ¿vale? no es complicada 00:46:34
pero se hace por otros métodos 00:46:36
que todavía no hemos visto 00:46:39
¿Vale? Las funciones, las integrales trigonométricas, ¿vale? Como siempre. 00:46:40
Tenemos que sabernos las derivadas, ¿vale? Yo sé cuál es la integral del seno. 00:46:46
Pues la integral del seno, fijaros que es al revés. ¿Os acordáis cuál era la derivada del seno? 00:46:53
El coseno. Pues ahora la integral del seno es menos coseno. 00:46:57
¿Pero por qué? Porque si tú derivas menos coseno de x, ¿cuál es la derivada del coseno de x? Menos seno y menos por menos, más. ¿Cuál es la derivada de coseno de x? Pues seno de x. ¿Por qué? Porque si yo derivo seno de x, me da el coseno. 00:47:01
Y luego, chavales, estas de aquí. De las más importantes es la del arcotangente, ¿vale? ¡Oh, qué mal! Es la del arcotangente, ¿vale, chavales? Esta de aquí es una de las más importantes, pero con diferencia, y suele aparecer bastante. El arcotangente y logaritmo neperiano suelen aparecer bastante, ¿vale? 00:47:21
entonces chavales, exponenciales 00:47:44
exponenciales 00:47:47
esto de aquí, igual 00:47:49
esta de aquí la tenemos 00:47:51
que saber, de hecho hay un chiste 00:47:53
que es malísimo, un chiste yo creo que 00:47:55
de botellona, que dice que son 00:47:57
unos matemáticos que hacen una fiesta de disfraces 00:47:59
uno se disfraza de pi 00:48:01
el otro se disfraza de más, de menos 00:48:03
y demás, y hay uno que se disfraza del 00:48:05
número e, ¿no? fijaros la íntegra del 00:48:07
número e, que es ella 00:48:09
misma, ¿no? y entonces pues 00:48:11
estaba todo el mundo ahí, pues, de cachondeo 00:48:13
y tal, y el número E estaba todo solo. 00:48:15
Total, que se acerca el pi, que quería 00:48:17
ligar con el número E, y le dice, 00:48:19
pero que yo, intégrate, 00:48:21
¿no? Dice, ¿pa' qué? Si me voy a quedar 00:48:23
igual. Entonces, un chiste 00:48:25
malísimo, un chiste 00:48:26
de botellona, pero es lo que 00:48:29
ocurre. La integral 00:48:31
del número E elevado 00:48:32
a X es elevado 00:48:35
a X, ¿de acuerdo? Y aquí, 00:48:37
chavales, fijaros la jodienda. 00:48:39
Y esto lo desarrollo y ya me voy, ¿vale? 00:48:41
os dejo tranquilos por una vez en vuestra vida 00:48:43
fijaros una cosilla 00:48:44
fijaros una cosilla 00:48:46
yo siempre, nunca me acuerdo 00:48:48
de la derivada de esta de aquí 00:48:50
yo nunca me acuerdo 00:48:52
y si, lo que hacíamos, no sé si os acordáis 00:48:53
era logaritmo neperiano, ¿verdad? 00:48:56
y yo aplico el logaritmo neperiano de esto 00:48:58
que como es el logaritmo neperiano 00:49:00
de una, lo diré 00:49:02
de una 00:49:04
de una potencia, era el exponente 00:49:05
por el logaritmo neperiano de A 00:49:08
si yo ahora derivo esto 00:49:10
Si os recordáis, era y' partido de y, y si yo derivo esto, es logaritmo neperiano de a, ¿verdad? 00:49:12
Oye, que si me la sé, muy bien, pero yo como nunca me acuerdo, pues, ¿qué ocurre? 00:49:19
Que la derivada de a elevado a x es a elevado a x por logaritmo neperiano de a, ¿verdad? 00:49:24
Entonces, chavales, ¿qué ocurre? 00:49:32
¿Qué ocurre? Yo aquí, esta de aquí, si yo la multiplico y la divido por logaritmo neperiano de a, ¿cuál es la de qué función tiene como derivada esta? ¿Qué función tiene como derivada esta? A x, ¿verdad? 00:49:34
Entonces, esto es 1 partido logaritmo neperiano de a por a elevado a x más la constante, ¿vale, chavales? 00:49:57
Entonces, yo de esta, ¿vale? Yo de esta, fijaros, yo nunca me acuerdo. 00:50:06
Y además, fijaros, tengo la derivada, que la derivada tengo que multiplicar por logaritmo neperiano de a y aquí tengo que dividir. 00:50:13
Entonces, yo aquí siempre hago un poco todo esto, ¿vale? 00:50:20
pero porque yo nunca me acuerdo que la sabéis 00:50:24
pues para antes, ¿vale? 00:50:27
entonces chavales, lo que sí me gustaría 00:50:29
que me hicierais 00:50:31
este fin de semana, lo de 00:50:33
x partido logaritmo neperiano de x 00:50:35
de logaritmo neperiano partido de x 00:50:36
y si os podéis ver los vídeos que 00:50:38
hay subido en el aula de 00:50:41
integrales, ganamos bastante, ¿vale? 00:50:42
porque ya vamos a empezar 00:50:45
a ver esto de aquí que son 00:50:46
las funciones simples, pero yo aquí, como siempre 00:50:48
aprenderos la de la derecha 00:50:51
aprenderos la de la derecha 00:50:52
porque la otra es un caso 00:50:55
en el cual la función sea x 00:50:57
¿vale? 00:51:00
¿cuánto es la derivada de x? 00:51:01
entonces aprenderos la de la derecha 00:51:04
porque es la buena 00:51:06
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Idioma/s:
es
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es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
12 de marzo de 2026 - 10:59
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
51′ 11″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
100.21 MBytes

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