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Matemáticas 4º-ESO-Geometría Analítica, editorial Teide-unidad 6-apartados 1 a 3 - Contenido educativo

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Subido el 8 de enero de 2022 por Pablo V.

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Breve resumen histórico.
Introducción a los vectores.
Operaciones geométricas con vectores.
Operaciones analíticas con vectores.

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Sí, buenos días. Vamos a comenzar hoy la unidad 6, que trata sobre geometría analítica en el plano. 00:00:01
Vamos a utilizar para ello este programa que tenéis aquí delante. 00:00:07
No he decidido no ocultarlo, para que podáis ver también las manipulaciones que hago, 00:00:12
por si acaso alguno de vosotros quiere aprender a utilizar este programa, que se llama Inkscape, de gráficos vectoriales. 00:00:17
Como decía, la unidad 6 se llama geometría analítica en el plano. 00:00:25
Vamos a comenzar haciendo un breve repaso histórico sobre cómo se llevó a la geometría analítica. 00:00:30
La geometría analítica es la unión, la combinación, el trabajo conjunto de dos disciplinas muy diferentes de la matemática. 00:00:38
Por un lado la geometría y por otro lado el álgebra. 00:00:47
Entonces, el mayor trabajo de geometría que se aportó o el mayor hito en la geometría fueron los elementos de Euclides. Euclides fue un geometra y matemático griego del siglo III a.C. 00:00:51
Aquí tenéis una breve reseña de sus datos. 00:01:06
Él estuvo activo, no hay muchos datos sobre Euclides, sobre su vida, 00:01:11
pero sí que se sabe que estuvo activo y la mayor parte de su vida la pasó allí, en Alejandría, en el Antiguo Egipto. 00:01:16
Y su trabajo más famoso fueron los elementos, que es el libro más importante o el más exitoso en la historia de las matemáticas 00:01:26
y que es todo de geometría, o principalmente de geometría, aunque tiene parte de aritmética también. 00:01:35
Tenéis aquí una de las múltiples traducciones de los elementos euclides, en concreto una al castellano, del año 1576, 00:01:42
con esta portada tan bonita, está todo en internet, lo podéis recuperar, esta traducción, muchísimas otras versiones, 00:01:51
Y os he hecho algunas capturas de pantalla para que veáis la importancia que tuvieron los elementos de Euclides y su actualidad. 00:01:57
Porque si vosotros lo veis, parece que estáis leyendo un libro actual. 00:02:05
El libro comienza con la definición de los elementos geométricos más importantes, como puede ser el punto, 00:02:15
dice en concreto, punto es 00:02:20
cuya parte es ninguna 00:02:22
por ejemplo, línea es longitud 00:02:24
que no se puede ensanchar 00:02:26
como veis aquí las F 00:02:28
las S las hacían que parecían F 00:02:29
pero se puede entender muy bien 00:02:31
línea recta es la que igualmente 00:02:35
está entre sus puntos 00:02:37
y así muchos otros apartados 00:02:39
aquí por ejemplo, tenéis las cosas 00:02:44
que a una misma son iguales 00:02:47
también entre sí son iguales. Si a cosas iguales se añaden cosas iguales, los todos serán iguales. 00:02:48
Cuesta un poco leerlo, pero se entiende bien. 00:02:56
La importancia de los elementos de Euclides fue muy grande porque no solamente fue un compendio 00:02:59
de toda la geometría que existía hasta el momento, aportada por la cultura babilonia, 00:03:04
en Mesopotamia y también todas las aportaciones del Antiguo Egipto, sino por la forma de exponerla. 00:03:11
La exposición se basaba en una serie de postulados, en concreto cinco postulados, que los tenéis aquí a la derecha, 00:03:22
estos cinco, y a partir de estos cinco postulados se iban deduciendo, demostrando todos los demás teoremas. 00:03:30
¿Vale? Los cinco postulados de Euclides se mantuvieron intactos sin que nadie los cuestionara ni los tumbara hasta el siglo XIX, en la cual precisamente por este último quinto postulado de las rectas paralelas se vio que había un hueco y se empezaron a generar las geometrías no euclidianas, como se llaman. 00:03:36
Aquí tenéis el Teorema de Pitágoras, representado en este libro de los elementos de Euclides. 00:03:58
Eso sería, por un lado, lo que es la geometría. 00:04:07
Y, por otro lado, la evolución del álgebra tuvo un hito muy importante también en el siglo VII de nuestra era con Al-Khwarizmi. 00:04:10
Siglo VII, siglo VIII y IX. 00:04:20
Con Al-Khwarizmi, que le tenéis aquí representado, una representación aproximada. 00:04:23
cuyo libro más importante fue el Compendio de Cálculo por Reintegración y Comparación, que en árabe se llama Al-Gebra y Al-Muqabala. 00:04:28
La palabra álgebra viene precisamente de esta expresión árabe, al-gabar o álgebra. 00:04:36
No sé muy bien cómo se expresará, pero la palabra viene de aquí. 00:04:43
El álgebra que hacía Al-Khwarizmi era álgebra retórica, no se utilizaban letras en ningún lugar, 00:04:48
Por lo tanto, daros cuenta de lo complicado que era para él expresar las instrucciones o los procedimientos para resolver ecuaciones, 00:04:54
porque era todo redactado, todo álgebra retórica. 00:05:04
El álgebra de Al-Juazmi fue muy importante para la Europa, no solamente por el contenido que transmitió, 00:05:09
sino por los tipos de números con los que trabajaba Al-Juazmi, 00:05:15
que eran los números indios y árabes, que eran diferentes a los números romanos que se utilizaban en Europa 00:05:19
y que no se dejaron de utilizar hasta el siglo XII, principalmente por la introducción que hizo Fibonacci 00:05:28
y la defensa que hizo Fibonacci de los números arábicos o indios. 00:05:35
Aquí tenéis algunas imágenes de ese libro, dos páginas de ese libro. 00:05:41
Aquí veis que también se hacían representaciones geométricas de algunas de las ecuaciones, pero veis que no hay ninguna letra para representar ecuaciones, era todo redactado. 00:05:48
Ahora voy a hacer una breve explicación muy curiosa de cuál es el origen de la X que tanto usamos en álgebra y que tiene que ver con España, 00:05:58
porque uno de los primeros lugares en donde se tradujo el álgebra de Al-Khwarizmi al latín fue en España. 00:06:07
Concretamente, en 1145 se tradujo en Segovia por Roberto de Chester con el título de Liber Algebra y Almukabala. 00:06:17
Y los traductores se encontraban con una dificultad, y es que en los textos de Al-Khwarizmi, que veis aquí a la derecha, 00:06:27
se utilizaba para la incógnita la palabra árabe shayán, que significa algo, 00:06:35
y cuya inicial es esta letra, la letra árabe shin, que suena como una S líquida. 00:06:42
Y ese sonido no existía, nada parecido en español ni en latín. 00:06:50
Entonces se hizo una aproximación y se representó al español como shey, 00:06:55
y luego se simplificó con su inicial x. 00:07:00
Y también hay gente que dice que viene de la letra griega kappa o chi y que posteriormente se simplificó a la letra x. 00:07:02
Por lo tanto, que sepáis que el origen de la x tiene que ver con los traductores al latín de la obra de Al-Khwarizmi 00:07:10
y que su incorporación no fue por motivos didácticos, sino por motivos lingüísticos, 00:07:16
porque esta palabra árabe no sabían cómo incorporarla, cómo traducirla, y esto fue una abreviación. 00:07:22
Posteriormente, en el siglo XVI, los matemáticos Robert Record, en el siglo XVI, introdujo 00:07:28
el signo igual y el signo más en 1557 y ahora vamos a ver, por ejemplo, en uno de sus libros 00:07:38
cómo representó una de las primeras ecuaciones con letras. 00:07:45
Esta ecuación de aquí quiere decir 14x, que le ponían no sé por qué dos puntos 00:07:49
uno delante y otro detrás, aquí está el signo más, 14X más 15 igual a 71, ¿vale? 00:07:54
Es decir, Robert Record introdujo el signo igual y el signo más, 00:08:02
y la X ya se conocía desde el siglo XII por una abreviatura, una abreviación de la palabra griega shayán. 00:08:07
Y luego tenemos a François Viette, o Vieta en español, como se suele decir, 00:08:17
que fue uno de los grandes precursores del álgebra, el que más aportó a la notación que utilizamos actualmente, 00:08:23
porque hasta entonces en las disputas que se celebraron entre Cardano, Tartaglia, 00:08:32
no se utilizaban prácticamente letras, sino que se seguían resolviendo las ecuaciones de manera retórica 00:08:39
y se hablaba de la cosa, y todos los cálculos y las explicaciones se realizaban de manera retórica. 00:08:45
Aquí tenéis unas capturas de uno de sus libros, Inartem Analog Analiticem Isagoge, 00:08:54
donde podéis ver el empleo de la secuación de las letras para representar cantidades. 00:09:00
Posteriormente, el signo por, que también fue una aportación inglesa, 00:09:07
de William Outred 00:09:11
El signo de la multiplicación es del siglo de este matemático inglés 00:09:15
que vivió entre 1574 y 1660 00:09:22
Y ahora ya vamos a las aportaciones más importantes 00:09:25
a la geometría analítica, es decir, el casamiento, la unión del álgebra y la geometría 00:09:29
la realizaron estos tres matemáticos, dos franceses y uno holandés 00:09:34
René Descartes, que nació en 1596 y murió en 1650, que era matemático y filósofo, y él sí publicó sus aportaciones o sus descubrimientos, y Pierre de Fermat, que también era un gran matemático, pero que no publicó sus aportaciones. 00:09:38
y Fermat y Descartes fueron los que propusieron el empleo de las coordenadas 00:09:58
que luego llevaron el nombre de coordenadas cartesianas en honor a René Descartes 00:10:07
pero hay que tener en cuenta que René Descartes y Pierre de Fermat solamente se referían a un eje de coordenadas 00:10:12
el que utilizó o que propuso y defendió el empleo de dos ejes perpendiculares fue este francés Franz von Schulte 00:10:18
Aquí tenéis una representación de Rembrandt, nada más y nada menos. 00:10:25
Una vez hecha esa introducción, podemos ir ya a lo que es nuestro tema 6. 00:10:30
Aquí tenéis el libro de Teide, que es el que nosotros estamos utilizando, el que vosotros tenéis, 00:10:36
y en el cual yo he ocultado algunas partes que considero menos importantes para que no nos distraigamos. 00:10:43
Entonces, en este vídeo, para que no sea muy extenso, vamos a cubrir solamente los tres primeros apartados. 00:10:49
del tema. En concreto vamos a hacer una introducción a lo que son los vectores, luego vamos a ver 00:10:55
cómo se operan con vectores libres, con el método gráfico y posteriormente cómo se 00:11:03
operan vectores con el método analítico. En primer lugar, ¿qué es un vector? Un vector 00:11:08
es un segmento orientado, es decir, en Euclides y en geometría se sabe muy bien lo que es 00:11:15
lo que es un segmento, que es una parte de una recta. 00:11:23
Aquí tendríamos un segmento con el concepto tradicional, 00:11:26
una parte de una recta que tiene una longitud. 00:11:30
En geometría analítica se dice que un vector fijo es un segmento orientado, 00:11:35
es decir, es un segmento pero con más información. 00:11:42
Es un segmento cuyos dos puntos no son iguales. 00:11:45
Aquí los puntos inicial y final de un segmento tienen un nombre. 00:11:49
El primero, el origen, se llama origen y el final se llama extremo. 00:11:56
Y se representa el vector por la letra del origen y por la letra del extremo y encima se le pone una pequeña flecha. 00:12:01
¿Cuáles son los componentes de un vector? 00:12:11
Un vector se forma o tiene un módulo, que es la longitud del segmento A, que sería esta longitud, ¿vale? 00:12:14
O esta, es decir, como hemos dicho que un vector es un segmento, si aquí no le pinto ni el origen ni el extremo ni la orientación, 00:12:21
la longitud de este segmento sería el módulo, ¿vale? La longitud de esta flecha sería el módulo. 00:12:28
Luego tenemos una dirección. La dirección es la recta que soporta ese vector, ¿vale? 00:12:33
Es decir, la dirección en el lenguaje habitual, nosotros hablamos en el lenguaje coloquial de dirección para referirnos a lo que en matemáticas llamamos sentido. 00:12:40
Cuando nosotros decimos que ha habido un accidente en la carretera Madrid-Barcelona en dirección Barcelona, 00:12:55
en matemáticas diríamos en sentido Barcelona o en sentido Madrid, si nos queremos referir al sentido contrario. 00:13:03
La dirección en matemáticas, en geometría analítica, es la recta sobre la cual se encuentra el vector. 00:13:11
Y una dirección no tiene un sentido concreto, tiene dos sentidos. 00:13:20
¿Vale? La dirección es esto, es la recta en la cual se encuentra ese vector. 00:13:24
Y lo que normalmente nos referimos a ello como dirección en el lenguaje coloquial es en matemáticas, en geometría analítica, el sentido. 00:13:31
¿Vale? El sentido es la orientación del vector. 00:13:39
Por lo tanto, el sentido AB tiene sentido, el sentido es el que va de A a B, del origen al extremo, del inicio al fin. 00:13:42
¿Vale? Bien. 00:13:50
Bien, luego, si el vector fijo tiene su origen en el origen de coordenadas, hablábamos de un vector de posición y definimos las coordenadas de estos vectores como las coordenadas de su extremo, que lo determinan por completo. 00:13:52
Es decir, yo podría tener un vector aquí, pintado, por ejemplo, yo podría tener un vector aquí, y ese no sería un vector de posición. 00:14:04
Vector de posición solamente si yo el punto, el origen, lo tengo en el origen de coordenadas, como el que tenemos aquí representado. 00:14:22
Aquí tenemos el punto A43, que lo sabéis representar en coordenadas cartesianas, que por cierto voy a recordar cómo se llamaban cada uno de los orígenes, cada uno de los ejes de las coordenadas, ¿vale? 00:14:30
Como sabéis, este eje de aquí es el eje de abscisas. 00:14:43
Me ha quedado esto mal, abscisas, ahora lo cambiaré. 00:14:54
¿Vale? Vamos a quitarle el relleno, que no queremos relleno. 00:15:00
¿Vale? Abscisas, y estas son las ordenadas. 00:15:05
Ordenadas. 00:15:10
¿Vale? Estas son las ordenadas. 00:15:12
Bien, entonces aquí tenemos el punto A43, 00:15:14
y el vector de posición OA es el vector que va desde el origen de coordenadas hasta este punto. 00:15:18
¿Vale? 00:15:25
Parece lo mismo, pero bueno, no es exactamente lo mismo. 00:15:26
Nos iremos acostumbrando conforme lo vayamos usando. 00:15:28
Por otro lado, se dice que dos vectores fijos son equipolentes y tienen el mismo módulo, dirección y sentido. 00:15:32
Existen, por tanto, dado un vector fijo AB, infinitos vectores equipolentes AE. 00:15:38
Es decir, si yo tengo este vector de aquí, el vector AB, y yo este vector, no es el vector, 00:15:45
si no defino cualquier vector que tenga ese módulo, esa dirección y ese sentido, 00:15:54
lo puedo aplicar en muchos sitios y todos estos vectores serían equipulentes a este vector. 00:16:01
Y el conjunto de todos ellos se llama vector libre V. 00:16:06
Un vector libre es un vector que se puede aplicar o que se puede considerar aplicado en cualquier punto. 00:16:11
Y lo contrario es un vector fijo que está aplicado en un punto cualquiera. 00:16:18
Y cada uno de estos vectores son representantes del vector libre v 00:16:22
Bien, estos ejercicios no los considero muy interesantes, entonces los vamos a saltar 00:16:28
Vamos a empezar ya directamente con las operaciones con vectores libres, el método gráfico 00:16:35
Y aquí vamos a aprender cómo se suman y cómo se restan vectores de manera gráfica 00:16:40
Y cómo se multiplican por números que llamaremos escalares 00:16:46
Entonces, suma de vectores y coordenadas de un vector libre. ¿Cómo se pueden sumar dos vectores libres u y v? Para ello, como son vectores libres, nosotros los podemos mover de cualquier manera, es decir, los puedo desplazar y vamos a coger dos representantes de cada uno de ellos, de forma que se coloquen consecutivamente con el origen del segundo en el extremo del primero. 00:16:49
Y el vector suma será aquel que tiene como origen el origen de u y como extremo el extremo de v, ¿vale? 00:17:18
¿Esto qué quiere decir? Aquí lo tenéis representado. Yo aquí tengo el vector libre u y el vector libre v y me piden que lo sume. 00:17:25
Por lo que hago es coger este vector v, me lo llevo aquí, ¿vale? Aquí lo tenéis representado, que he puesto el origen de uno de ellos en el extremo de otro de ellos. 00:17:33
Entonces, el vector v me lo he llevado aquí, ¿vale? Y la suma de u más v será el vector que va del origen de u al extremo de v. 00:17:44
Voy a hacer otro ejemplo, ¿vale? Voy a hacer la mano alzada, ¿vale? Vamos a sumar, por ejemplo, el vector a, que yo aquí lo tengo, 00:17:57
el vector A y el vector B 00:18:07
que va a ir así, hacia abajo 00:18:13
un momento, lo voy a dibujar de un solo trazo 00:18:15
para que me sea más fácil 00:18:19
este es el vector B y este es el vector A 00:18:20
¿de acuerdo? 00:18:25
¿cómo se sumarían estos vectores? 00:18:26
yo tengo que sumar A más B 00:18:28
¿no? 00:18:30
bien, pues yo me cojo B 00:18:31
y me lo llevo 00:18:34
me llevo el origen de B en el extremo de B 00:18:35
y entonces el vector suma sería este de aquí 00:18:40
voy a ponerlo en rojo para que se vea más fácil, más bonito 00:18:46
el vector suma sería S 00:18:50
S sería A más B 00:18:54
A más B 00:18:57
y se representa así 00:18:59
¿vale? 00:19:01
bien 00:19:02
Esa es una de las maneras de sumar vectores, pero otra manera de sumar vectores de manera gráfica es mediante la regla del paralelogramo, que consiste en hacer algo muy parecido. 00:19:03
Pero en vez de llevarnos el vector v al extremo del vector u, nos lo llevamos al origen y construimos un paralelogramo. 00:19:16
¿Vale? Entonces, siguiendo con nuestro ejemplo, ¿cómo hubiera sido esto? ¿Vale? Yo me lo voy a copiar aquí, o lo voy a deshacer, mejor dicho. Yo esto lo voy a deshacer. 00:19:25
Un poquito, tengo que coger un poquito más de práctica. ¿Vale? Entonces, aquí el vector B, en vez de llevármelo al extremo, me lo voy a llevar al origen. 00:19:41
Y aquí voy a formar un paralelogramo. ¿Cómo se forma el paralelogramo? Así, de esta manera. Copio este vector ahí y copio este vector aquí, control-V. 00:19:55
¿Vale? Y ahora, uniendo este origen, la diagonal de ese paralelogramo va a ser la suma A contra Z, que me he equivocado, ¿vale? Este sería A más B, es decir, hay dos maneras de hacerlo, construir un paralelogramo o construir un trenecito, una cadena de vectores. 00:20:10
Aquí tendríamos A más B. Aquí no es necesario llevarse el vector exactamente, sino que basta llevarse el vector primero, dejar el vector primero y el vector segundo, y esto serían líneas discontinuas. 00:20:41
Y así haríamos el paralelogramo, ¿vale? 00:20:58
Bien, aquí nos están pidiendo, por ejemplo, que realicemos la suma de los vectores de manera gráfica. 00:21:03
Estos dos vectores, ¿cómo se sumarían u más v? 00:21:10
Voy a tapar la solución para que luego veáis que, o sea, para que la podáis ver, para que veáis que nos va a dar aproximadamente lo mismo, ¿vale? 00:21:14
Nos están pidiendo que sumemos el vector u más el vector v, ¿vale? Lo voy a hacer a mano alzada aproximadamente, sería así. Este sería mi vector, vamos a cambiar el color del trazo y el relleno sin relleno, ¿vale? 00:21:24
Este sería mi vector u y este sería mi vector v, que lo vamos a sumar de las dos maneras. 00:21:41
Vamos a ver, primero haciendo una cadena de vectores, una sucesión de vectores. 00:21:51
Lo estoy dibujando aproximadamente paralelo. 00:21:56
Este sería mi vector v, ¿vale? 00:21:58
Entonces ahora, por lo tanto, ya tengo hecho la cadena o el trenecito, como lo queráis llamar. 00:22:03
este sería u más v 00:22:08
u más v 00:22:11
¿de acuerdo? 00:22:13
y si lo hiciéramos por el paralelogramo 00:22:15
por la regla del paralelogramo 00:22:18
en vez de juntar origen con extremo 00:22:20
junto orígenes 00:22:24
es decir, este vector me lo llevo aquí 00:22:26
¿vale? 00:22:28
y ahora hago el paralelogramo 00:22:30
es decir, aproximadamente sería eso 00:22:33
Y este sería u más v 00:22:40
Si esto es v, esto sería u más v 00:22:43
Vamos a ver ahora cómo lo hace él 00:22:50
Si la solución es la misma 00:22:53
En primer lugar, colocamos los vectores libres 00:22:55
Uno a continuación de otro 00:22:59
Y después sumaremos 00:23:00
Él lo ha hecho por el método de la cadena de vectores 00:23:01
Por este método 00:23:04
Y nosotros lo hemos hecho de las dos maneras 00:23:05
Por la cadena de vectores 00:23:08
y por la ley del paralogramo. Es decir, puedo juntar orígenes o puedo hacer cadena. 00:23:09
Origen de 1 en el extremo del anterior. Pero veis que el resultado es el mismo. 00:23:16
Resta de vectores. ¿Cómo se haría la resta de dos vectores? 00:23:22
Pues lo primero que hacemos es recordar la resta que hacíamos en aritmética. 00:23:27
Es decir, siempre podemos considerar que la resta de dos elementos es la suma de uno más el opuesto de otro. 00:23:33
Entonces, si yo tengo un vector v, ¿cuál va a ser su opuesto? 00:23:40
El opuesto es un vector que tiene el mismo módulo, la misma dirección, 00:23:44
porque recordad que la recta que soporta un vector es la dirección, pero el sentido opuesto. 00:23:49
Entonces, si esto es v, esto es menos v, que es muy lógico. 00:23:54
Y restar dos vectores u y v equivale a sumar al primero el opuesto del segundo, u menos v es u más menos v, es decir, el opuesto del segundo, de la misma forma que se explicó anteriormente. 00:23:57
Entonces aquí tenemos u y v. ¿Cómo podemos restarlo? Pues hago u y v, lo invierto, lo estoy pasando a menos v. 00:24:10
Esta flecha que está aquí, está apareciendo ahora aquí. Y ahora sumo estos dos vectores y los suma por el método de la cadena. Pone aquí u, donde termina u, comienza menos v y esta va a ser la resta. Este vector de aquí va a ser u menos v. 00:24:20
Pero, de todos modos, hay una forma más directa y es saber que cuando tú tienes un vector y quieres hacer la resta, el vector siempre es el final menos el inicial. 00:24:43
Bien, perdón, continuamos con nuestra resta de vectores. 00:25:03
Hemos visto que se pueden restar vectores sumando a un vector su opuesto. 00:25:14
Pero hay una forma más simplificada de restar vectores de manera gráfica y la voy a explicar aquí a continuación. 00:25:19
Si yo tengo el vector A y el vector C y yo hago el vector que va de A a B, es decir, del extremo de A al extremo de C y le llamo a ese vector B, yo puedo decir que C, que el vector C, es la suma de A más B porque están haciendo una cadena, ¿no? Están seguidos. 00:25:27
Es decir, el origen de B parte del extremo de A. Por lo tanto, C sería A más B. 00:25:49
Y de aquí, si despejo B, el vector A pasaría restando y puedo decir que B es C menos A. 00:25:58
Es decir, B es C menos A. 00:26:07
Por lo tanto, siempre que tengamos un vector que va de la punta de un vector a la punta de otro vector, 00:26:11
sabemos que ese vector es la resta de dos vectores, de esos dos vectores, pero ¿cuál es el que va sumando, cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo? 00:26:17
Bien, pues siempre es el final menos el inicial, el extremo menos el origen, es decir, B es el final, C menos A, final menos inicial. 00:26:28
Siempre que haya un vector entre las dos puntas de dos vectores, ese vector va a ser la resta de los dos vectores. 00:26:42
Y siempre es el final, es decir, en este caso, c menos a. 00:26:52
Y si nos liamos, planteamos la ecuación en positivo y vamos a ver quién está sumando, quién es el vector c, que será la suma de a más b, 00:26:59
y lo pasamos hacia el otro lado y vemos si B es C menos A o A menos C, pero siempre recordemos que es final menos inicial, ¿vale? 00:27:08
Y ahora aquí viene lo mismo que yo os he dicho, pero comentado de otra manera, y es muy importante. 00:27:20
Lo que pasa es que el libro lo expresa de una manera un poco complicada, dice, la suma y la resta de vectores libres nos permite obtener las coordenadas de un vector libre cualquiera. 00:27:27
cualquiera. Dice, observa que según el gráfico, en el cual tenemos los ejes de coordenadas 00:27:35
y tenemos un punto A, el origen de coordenadas, y otro punto B. Y trazamos el vector que va 00:27:40
de A a B. El origen es A, el extremo es B. Y dice, observa que según el gráfico se 00:27:48
verifica que OA, el vector que parte de O y va hasta A, más el vector AB, es igual 00:27:55
Eso lo sabemos por la regla de la suma de vectores. Esto hace una cadena de vectores, un trenecito y este vector, el vector que va del origen al punto B, es la suma de OA más AB. 00:28:04
Por tanto, hace lo que yo os he hecho antes. Por lo tanto, AB es OB menos OA, que pasa restando. Es decir, AB es OB menos OA. Es decir, las coordenadas de un vector libre, ¿vale? 00:28:18
Él está diciendo que aquí AB es un vector libre, se obtienen restando, y ahora aquí está mal expresado en el libro, se obtienen restando a las coordenadas del extremo, es decir, a las coordenadas de B, se obtienen restando a las coordenadas del extremo las del origen de uno cualquiera de sus representantes. 00:28:36
Es decir, de manera simplificada, las coordenadas de un vector libre son siempre el final, el punto final, menos el inicial, o el extremo menos el origen. 00:29:06
En nuestro caso, si las coordenadas de A son A1, B1 y las de B son A2, B2, las coordenadas del vector AB serán las del final menos las del inicial, es decir, la abscisa final A2 menos la abscisa inicial que es A1, A2 menos A1. 00:29:18
Y las ordenadas de AB, es decir, la segunda coordenada de AB será la ordenada final B2 menos la ordenada inicial B1, ¿vale? 00:29:42
Bien, y ahora vamos a ver cómo se calcula el módulo de un vector libre y se representa con estas barras verticales. 00:29:54
¿Os acordáis? Son las mismas barras que utilizábamos para representar el valor absoluto de un número entero o de un número real, ¿vale? 00:30:03
El módulo de un vector libre U se denota con estas dos barras verticales y es la longitud de su segmento. 00:30:10
Cuando conocemos las coordenadas del vector U, del vector libre AB, su módulo es la raíz cuadrada de A cuadrado más B cuadrado. 00:30:19
Es decir, la raíz cuadrada de la primera coordenada al cuadrado más la segunda coordenada al cuadrado. 00:30:28
¿Y por qué eso es así? Pues por el teorema de Pitágoras, sencillamente. Si nosotros tenemos un vector AB, que va desde el punto A hasta el punto B, y aquí tenemos que la diferencia de ordenadas de AB es 3, o menos 3 en valor absoluto, y 2 en horizontal, en abscisas, el módulo de AB va a ser la hipotenusa de este triángulo rectángulo. 00:30:38
vale esa es la razón y esto lo tenéis que aprender muy bien esto que es recuadrado que es cómo se 00:31:04
calcula las coordenadas de un vector libre que es siempre final menos inicial y el módulo de 00:31:11
un vector a partir de sus coordenadas las tenéis que aprender muy bien vale bien ahora vamos a 00:31:17
explicar qué es una magnitud escalar hemos empezado definiendo los vectores como un 00:31:23
un segmento orientado. ¿Por qué se utilizan los vectores? Pues porque son muy importantes 00:31:29
en física, porque muchas magnitudes no basta con conocer el número que las representan. 00:31:36
No quedan definidas totalmente con un número, con una cantidad numérica, sino que se tiene 00:31:43
que decir, se tiene que indicar una dirección y un sentido. Como por ejemplo, un desplazamiento. 00:31:48
Si yo estoy en el plano cartesiano y digo me voy a desplazar 20 kilómetros, ¿eso nos dice algo? No, nos dice que nuestro punto final, si hemos ido en línea recta, estará en el extremo de una circunferencia de radio 20 kilómetros. 00:31:55
pero si queremos saber el punto exacto tendremos que dar una dirección y un sentido 00:32:14
lo mismo pasa con el viento, el viento no me vale decir que un viento tiene 10 metros por segundo 00:32:19
o 5 metros por segundo de velocidad 00:32:26
tendré que decir si está soplando del norte al sur o 15 grados este o 15 grados noroeste, etc. 00:32:29
hace falta una dirección y un sentido 00:32:38
Pues lo contrario de las magnitudes vectoriales son las magnitudes escalares. Las magnitudes escalares son las que quedan definidas de manera completa con un número. Por ejemplo, la masa de un cuerpo. 00:32:40
si yo digo que mi masa es 80 kilos 00:32:57
pues no tengo que decir en qué dirección o en qué sentido 00:33:01
o por ejemplo, qué otra magnitud puede ser escalar 00:33:04
la temperatura, yo digo que hace hoy una temperatura de 10 grados 00:33:11
y no tengo que decir ni dirección ni sentido 00:33:16
por lo tanto, magnitudes vectoriales, magnitudes escalares 00:33:18
Vectores, escalares. Vectores por un lado y escalares por otro. Los escalares que son, son números, son los números a los que estamos acostumbrados. 00:33:23
Y existe una aparición de vectores que es la multiplicación por escalares, ¿vale? Y es lo que vamos a explicar ahora. 00:33:32
El resultado de multiplicar un vector libre u por un número real no nulo, lambda, lambda es la letra griega lambda, 00:33:41
Este símbolo que yo os he puesto aquí es la letra griega lambda, que es el equivalente a nuestra L. 00:33:47
Nuestra L viene de la lambda griega. 00:33:53
Es un vector lambda U, es decir, yo tengo un vector libre U y lo multiplico por el vector lambda 00:33:57
y voy a tener otro vector que se va a llamar lambda U. 00:34:01
La flechita solamente afecta al U, no afecta a la lambda, es decir, no se pone encima. 00:34:07
Y ese vector va a tener la misma dirección, el módulo de lambda u, que yo lo pongo así, ya que se escribe así, con estas dos barras verticales, va a ser el valor absoluto de lambda, porque lambda puede ser, como es un número real, puede ser positivo o negativo. 00:34:12
es decir, el módulo de lambda u va a ser el valor absoluto de lambda por el módulo de u 00:34:30
y el sentido va a ser el mismo que u 00:34:37
si lambda es positivo y el sentido contrario 00:34:40
si lambda es positivo y el sentido contrario 00:34:44
entonces nos estaba pidiendo el ejercicio 00:34:47
que hiciéramos menos v medios más 2u 00:34:52
vale, pues entonces vamos a empezar con u 00:34:56
Que lo vamos a multiplicar por 2, ¿vale? Con esta posibilidad que yo tengo aquí de estirar manteniendo la inclinación, voy a multiplicarlo por 2, entonces esto me va a llegar aquí, hasta el punto 6, ¿vale? 00:34:59
Lo dejo ahí y esto va a ser mi vector 2u, ¿vale? Esto va a ser, lo voy a escribir aquí, a ver, este sería el vector 2u, ¿vale? Esto lo cambio a color rojo, ¿vale? Ese sería 2u. 00:35:13
Y menos v medios sería, haciendo el mismo procedimiento, de una manera aproximada, ¿vale? 00:35:37
Ahí pasaría aproximadamente a ser, si tenía la císara menos un medio, pues va a pasar a ser medio punto positivo. 00:35:50
Y si tenía tres negativos, va a pasar a ser, menos suben medios, va a ser aproximadamente uno y medio positivo, ¿vale? 00:36:04
Luego eso va a ser menos suben medios. 00:36:12
Y luego la suma, ¿cómo se hará? Pues tendré que poner esto en la otra punta, aquí, en la punta, el otro vector. 00:36:15
¿Y cuál va a ser la solución? Pues la solución va a ser esta, de aquí a aquí, ¿vale? 00:36:30
Y eso le vamos a dar el color rosa para que se resalte y le vamos a poner una flecha en la punta para que se vea bien. 00:36:39
Esa sería nuestra solución. 00:36:48
En concreto, esa sería menos v medios, vamos a ponerlo en rosa, menos v medios más 2u, ¿vale? 00:36:49
Ese sería el procedimiento, ¿vale? 00:37:06
Siguiente ejercicio. Operaciones con vectores. Método analítico. ¿Qué quiere decir método analítico? Pues que vamos a utilizar sumas y restas de las componentes de cada uno de los vectores. 00:37:08
Vamos a utilizar álgebra más que escuadra y cartabón y rectas paralelas. 00:37:27
Lo vamos a hacer todo con álgebra. 00:37:34
¿Cuáles son las operaciones con vectores que hemos visto en el apartado anterior por el método gráfico? 00:37:37
La suma y la resta de vectores. 00:37:42
Y por otro lado, la multiplicación por escalares. 00:37:45
En el primer lugar tenemos la suma de vectores. 00:37:48
Para ello tenemos que expresar cada vector con sus coordenadas cartesianas. 00:37:51
Por ejemplo, si yo tengo el vector a sub 1, b sub 1 y le quiero sumar o restar otro vector que tendrá coordenadas a sub 2, b sub 2, el resultado va a ser otro vector, pongo unos paréntesis separados con una coma, en la cual la primera componente, la componente de las abscisas va a ser la suma o la resta de las primeras componentes. 00:37:56
A sub 1, A sub 2, será A sub 1 más menos A sub 2, y la segunda componente será la suma o la resta, según lo que indique este signo, de las segundas componentes. 00:38:20
Es decir, B sub 1, B sub 2. Luego veremos un ejemplo. 00:38:33
¿Cómo se hará la multiplicación por escalares? 00:38:37
Escalares, recordad, se representan normalmente con la letra griega lambda, y la lambda representa un número, ¿vale? 00:38:39
Y aquí tengo mi vector lambda, que multiplica el vector a su 1, b su 1, será lambda a su 1, coma lambda b su 1, ¿vale? Bien, entonces, si yo ahora mismo me piden aquí este ejercicio que yo haga, voy a tapar las soluciones, ¿vale? 00:38:47
Las soluciones, y esto es lo que yo había hecho. A ver, ¿cómo estaba hecho esto? Vale, esto lo había hecho y lo he tenido que repetir porque no había grabado el vídeo, no le había dado a grabar. 00:39:03
Vale, entonces me están diciendo aquí que yo tengo el vector u, 2, 5, y el vector v, menos 1, menos 3, y el vector w, 4, menos 7, y me dicen que haga estas operaciones, ¿vale? La primera operación es u menos w, más w, o sea, u menos v, más w. 00:39:24
Entonces yo aquí lo que hago es escribir las componentes de cada uno de los vectores 00:39:43
El vector u es 2, 5, pues lo pongo aquí, menos, menos 00:39:50
Y ahora v, ¿cuál es v? menos 1, menos 3, lo pongo 00:39:54
Y w más 4, menos 7, pues esto va a ser igual a un vector 00:39:59
Escribo unos paréntesis y pongo una coma 00:40:05
¿Cuál va a ser la primera componente? 00:40:07
pues la suma o la resta de las primeras componentes vale para que quede más claro voy a hacer esto 00:40:09
voy a poner en color para que se vea mejor cuáles son las primeras componentes y eso lo vamos a 00:40:17
poner por ejemplo de color rosa de color rosa hay algo aquí que se me queda por marcar 00:40:27
que esto no es fácil 00:40:36
entonces decir 00:40:39
la primera componente del vector resultado 00:40:46
es la suma o la resta de las primeras componentes 00:40:50
2 menos menos 1 que pasa a más 1 00:40:54
y 4, por lo tanto yo voy a tener 00:40:57
2 más 1, 3 más 4, 7 00:41:00
Este va a ser la primera componente. Lo voy a poner también en rosa. 00:41:03
Bien, la segunda componente del vector resultado lo voy a dejar todo en azul y será 5, que es la segunda componente, menos menos 3, que pasa a ser más 3, y más menos 7, que es menos 7. 00:41:11
5 y 3, 8. Menos 7, 1. Ese es el resultado. ¿Vale? El vector 7, 1. Que vemos que coincide con lo que da el libro. 7, 1. Lo tenemos ahí. 00:41:22
Siguiente ejercicio. Un poco más complicado. Y que además me he equivocado antes haciéndolo en directo. Y no lo he corregido. Vamos a ver ahora dónde estaría el error. 00:41:35
Me dicen 3w, pues pongo 3 veces 4 menos 7, eso está correcto, menos 5, y ahora abro corchetes y pongo u, que es 2, 5, menos 2, que multiplica v, que es menos 1, menos 3, ¿vale? 00:41:43
Cierro paréntesis, cierro corchete. Y esto ahora es un escalar que multiplica a un vector 3, que multiplica a 4, menos 7, va a ser 3 por 4, 12, 3 por menos 7 es menos 21. 00:42:00
Cierro paréntesis. Y ahora, menos 5 que multiplica a, y aquí voy a hacer lo primero, multiplicar este escalar por este vector, ¿vale? 00:42:17
Menos 2 por menos 1 es menos 2, y 2 por menos 3 es menos 6, ¿vale? 00:42:29
Bien, y ahora el siguiente paso, dejo el 12, menos 21, lo dejo igual, y el menos 5 lo voy a dejar igual, y voy a operar este vector que está dentro de los corchetes. 00:42:37
Primera componente, 2 menos menos 2, va a ser 2 más 2, y la segunda componente va a ser 5 menos menos 6, que pasa a 5 más 6, ¿vale? Es decir, esto va a ser 12, menos 21, este signo lo voy a quitar de aquí porque si no va a parecer que está duplicado, menos 5, que multiplica a 2 más 2, 4, y 5 más 6, 11, ¿vale? 00:42:52
Es decir, 12, menos 21, menos 5 por 4, 20, y 5 por 11, aquí está el error de antes, este era mi error, control Z, todo esto lo voy a borrar, todo esto lo borro, porque está equivocado desde ahí, ¿vale? 00:43:18
Y entonces vamos a seguir, y esto es menos 20, y ahora seguimos por aquí con, vamos a seleccionar el color azul, a ver, porque no me lo coge, vale, ya tengo el color azul, y esto es menos 5 por 4, 20, y 5, y menos 5, o sea, y 5 por 11, 50 y 5, 50 y 5, ¿vale? 00:43:49
Quito el relleno, que me está molestando, ¿vale? Y esto va a ser igual a qué? A 12 menos 20, menos 21, menos 55. 00:44:25
Y esta que es igual, 12 menos 20 es menos 8, y menos 51 menos 55 es menos 76. 00:44:41
Vamos a ver si le da lo mismo al libro, y lo hemos hecho bien, menos 8 menos 76, ¿vale? 00:44:57
Luego sería correcto. 00:45:05
Bien, vamos a hacer el siguiente ejercicio resuelto. 00:45:08
Tengo la solución tapada, ¿vale? La tengo tapada. Nos dice, dado el vector AB de coordenadas 3, menos 2, con A, 1, 5, encuentra el punto B. 00:45:10
Vamos a venirnos un poquito hacia la izquierda. Nos dicen que el vector AB es 3, menos 2, y A es 1, 5, que encontremos el punto B. 00:45:23
Entonces, es muy importante recordar lo que hemos dicho antes. Muy, muy importante. Cuando yo tengo el punto AB, el vector AB, que es un vector libre, y yo conozco el origen, me están pidiendo el extremo. 00:45:33
Y eso sabemos siempre que es, lo que decíamos antes, si yo aquí tengo un vector, no voy a dibujar las coordenadas, no tienen por qué ser las mismas, este es mi punto A y este es mi punto B, este es el vector OA y este es el vector OB. 00:45:49
El vector AB siempre es el final menos el inicial, OB menos OA, eso es igual a AB. 00:46:24
Y si alguien tiene dudas, pues que vea este triángulo compuesto así. 00:46:48
Está claro que OB es la suma de OA más AB, por lo que escribimos OB es igual a OA más AB, ¿sí? 00:46:55
Y aquí tenemos que despejar AB, AB es igual a OB menos OA, ¿lo veis? 00:47:12
Es decir, siempre el final menos el origen, el inicial, las coordenadas del punto final menos las coordenadas del punto inicial, ¿vale? 00:47:28
Entonces, yo aquí sé, lo voy a escribir, sustituyo 3, menos 2, es igual a OB, que es lo que yo no sé, lo desconozco, OB, perdón, perdón, perdón, 00:47:41
Esto es OB menos OA, que sí que lo conozco, que es el punto, que son las coordenadas del punto 1, 5, ¿vale? Por lo tanto, OB es igual a 3, menos 3, y el punto 1, el vector 1, menos 5, que está restando, pasa sumando, más 1, 5. 00:47:57
¿Y eso a qué va a ser igual? Eso va a ser igual a 3 más 1, menos 3 más 5, o lo que es lo mismo, el punto 4, 2, ¿vale? 00:48:26
Vamos a ver si lo tenemos bien 00:48:44
Ese ejercicio 00:48:46
4, 3 00:48:47
Que me he confundido yo 00:48:54
Es el punto 00:49:00
Bueno, es que esto es un 2 00:49:02
Me he copiado mal el enunciado 00:49:06
Es el punto 3 menos 2 00:49:08
3 menos 00:49:10
¿Vale? 00:49:14
Por lo tanto, eso es 00:49:16
Esto es un 2, esto es un 2, f6, y esto es un 2, y esto entonces sería un 3. 00:49:18
oprimir F6 00:49:49
3, ¿vale? 00:49:52
recopiamos la denuncia, ¿de acuerdo? 00:49:55
bien, ¿cómo sería el siguiente ejercicio? 00:49:57
dado el vector AB 00:49:59
dado el vector AB, que es 3 menos 2 00:50:00
con B menos 4, 3 00:50:05
encuentra el punto A 00:50:07
ahora es distinto, nos dan 00:50:09
las coordenadas 00:50:13
del extremo y nos piden 00:50:14
las del origen, ¿vale? 00:50:17
Bueno, pues vamos a sustituir hasta aquí, todo eso nos vale, ¿de acuerdo? 00:50:19
Todo eso nos vale, lo que hemos puesto ahí, y nosotros sabemos que AB siempre es el final menos el inicial, 00:50:26
las coordenadas del punto final menos el inicial. 00:50:34
Vale, pues escribimos a, b, que es 3, 2. 3, 2 es igual a qué? 3, menos 2. 3, menos 2 es las coordenadas del punto final, que las conozco, menos 4, 3, menos las coordenadas del punto inicial, que lo escribimos como o, a. 00:50:37
¿Vale? Entonces, ahora OA lo paso, que está restando en este miembro, lo paso a la izquierda sumando y me va a quedar OA es igual y este vector que está a la izquierda sumando pasa restando, es menos 4,3 menos 3, menos 2. 00:51:03
Y eso va a ser igual a un vector. ¿Cuál va a ser la primera componente? Menos 4 menos 3. La segunda componente va a ser 3 menos menos 2, que pasa a 3 más 2. 00:51:28
Y esto es igual a menos 7,5, ¿vale? Vamos a ver si lo tenemos bien. Menos 7,5, correcto, ¿vale? Ahora nos dice, calcula la distancia entre los puntos A, 3, 5 y B, menos 1,4, ¿vale? 00:51:44
Pues entonces, para calcular la distancia sabemos que si nosotros tenemos un punto A y un punto B, la distancia que hay entre AB es el módulo del vector AB, o si queréis, en este caso daría lo mismo, hacer el módulo del vector BA, lo que más rabia nos dé. 00:52:07
Entonces, vamos a calcular el vector AB. ¿Cuál es el vector AB? Pues las coordenadas del punto B, que serían menos 1, 4, siempre final menos inicial, final, porque es el punto B, menos el inicial, que es 3, 5. 00:52:38
¿Y eso cuánto daría? Un vector, dibujo primero la estructura, los paréntesis y la coma, y ahora pongo menos 1 menos 3, y ahora 4 menos 5, y eso es menos 1 menos 3 es menos 4, y ahora 4 menos 5 es 1. 00:53:01
Bien, ese es el vector AB. ¿Cómo calculo el módulo del vector AB? Hemos dicho que el módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la primera componente al cuadrado más la segunda componente al cuadrado. 00:53:22
¿Y eso cómo lo haríamos? La raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado más 1 al cuadrado, es decir, sería igual a la raíz cuadrada de menos 4 al cuadrado es 16 más 1, es decir, la raíz cuadrada de 17. 00:53:41
Eso se dejaría así. Vamos a ver si lo tenemos bien o yo me he equivocado. Raíz cuadrada de 17. Aquí vamos a utilizar la anotación del libro, que también es correcta, es interesante. Esto es la distancia y se pone así, a, b. 00:54:01
De acuerdo, otro ejercicio 00:54:29
Obtén el punto medio del segmento 2, 7 y B, 4, 5 00:54:34
Para esto hay que pensar un poquito 00:54:39
Nos están diciendo que tenemos 00:54:41
Si nosotros tenemos unos ejes de coordenadas 00:54:43
Y tenemos dos puntos, el punto A y el punto B 00:54:48
Que hallemos el punto medio 00:54:51
¿Qué se nos puede ocurrir aquí? 00:54:55
Este lo vamos a llamar el punto P. No lo he dibujado muy bien. Vamos a ponerlo más bien ahí. Este sería el punto P. ¿Cuáles serían las coordenadas del punto P? ¿Qué es lo que podemos hacer? Os dejo pensar un poco. ¿Cómo se podría hacer? 00:54:57
Recordamos las cosas que sabemos hacer 00:55:18
Sabemos sumar y restar vectores por el método gráfico y por el método analítico 00:55:21
Estamos en el apartado analítico, vamos a utilizar el método analítico o algebraico 00:55:26
Sabemos sumar y restar vectores y sabemos multiplicar por escalares 00:55:31
Escalares mayores y menores que 1 00:55:36
Dicho eso, ¿cuál sería la solución? 00:55:39
Nosotros aquí sabemos que este sería el vector OA 00:55:46
porque este es el origen de coordenadas, y este sería el vector OB, esto sería OB, y este sería el vector OA, ¿vale? 00:55:49
Bien, entonces, está claro que a mí me están pidiendo el vector OB, ¿vale? Lo voy a poner aquí en rosa. 00:56:03
Este es el vector que a mí me están pidiendo 00:56:12
Ups, sería... 00:56:16
No quiero hacerlo con la otra herramienta 00:56:22
Ah, sí 00:56:35
Este es el vector que a mí me están pidiendo, el vector OP 00:56:36
¿Cómo se podría calcular el vector OP? 00:56:42
Pues sería el vector OA más el vector AB partido por 2 00:56:47
¿No? 00:56:52
Vale, pues lo vamos a escribir 00:56:54
Es decir, OP es igual al vector OA más un medio del vector AB 00:56:56
El vector A lo conocemos porque conocemos el punto A 00:57:15
El vector B lo conocemos, por lo tanto conocemos AB 00:57:22
Pues ya lo tenemos todo. Es decir, vamos a calcular en primer lugar el vector AB. 00:57:27
AB es siempre final menos inicial, es decir, coordenadas del punto B menos las coordenadas del punto inicial del origen extremo menos origen. 00:57:32
Y esto es igual a, dibujo primero la estructura, que a mí me gusta más, 4 menos 2. 00:57:46
4 menos 2. Y ahora es 5 menos 7. 5 menos 7. ¿Y esto cuánto es? Esto es igual a 2, menos 2. Ese es AB. AB es eso. ¿Cuánto será un medio de AB? 00:57:53
Pues lo hacemos, muy fácil, un medio de AB es igual a un medio que multiplica a 2, menos 2, es decir, que eso es igual a 1, menos 1. 00:58:11
Ya conocemos un medio de AB y conocemos OA, ¿vale? 00:58:29
Por lo tanto, OP es igual, lo vuelvo a escribir, OA más un medio de A. 00:58:34
Idioma/s:
es
Autor/es:
Pablo Valbuena
Subido por:
Pablo V.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
89
Fecha:
8 de enero de 2022 - 15:56
Visibilidad:
Público
Centro:
CP INF-PRI-SEC ADOLFO SUÁREZ
Duración:
58′ 50″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
286.29 MBytes

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