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PROBLEMAS DE COMBINATORIA - Contenido educativo
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En el siguiente vídeo vamos a repasar la parte de combinatoria realizando varios ejercicios.
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Vamos a utilizar nuestro esquemita para saber si tenemos que contar combinaciones, variaciones o permutaciones.
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Y contando casos y utilizando la regla de Laplace iremos resolviendo los problemas.
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En el primero me dicen que en un examen teórico de educación vial hay 14 preguntas sobre normas de circulación, 12 sobre señales y 8 sobre comportamientos cívicos.
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Lo que yo tengo que hacer es elegir dos de estas preguntas al azar y calcular la probabilidad de que en el caso A las dos sean de normas de circulación y en el caso B justamente que ninguna sea de las normas de circulación.
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Cuidado que estos dos casos no son contrarios. En uno las dos tienen que ser de circulación, en el otro ninguna. Podría darse el caso, la tercera situación, de que solo una de ellas fuera de normas de circulación.
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Lo primero que tengo que hacer, chicos, es ver cuántos exámenes posibles tengo. Esto equivaldría a saber el número de casos favorables.
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Perdón, casos posibles. Estos casos posibles los voy a utilizar tanto en el apartado A como en el apartado B, ¿vale? En los dos, pues todos los exámenes que puedo realizar utilizando estas condiciones son los mismos, ¿vale?
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Bueno, voy a ver entonces cuántos elementos tengo y de esos elementos cuántos tengo que coger. Bueno, pues lo que tengo es, mirad, fijaros, voy a ordenar las preguntas, primero tendría las preguntas de circulación, bueno, pues serían las 14 primeras preguntas, es decir, si yo las enumero, pregunta 1, pregunta 2, pregunta 3, bueno, pues hasta la 14, serían de normas de circulación, ¿de acuerdo?
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Pero las 12 siguientes, porque las voy a ordenar por tipo, serían de señales, es decir, desde la 15 hasta, pues si sumo 12 más, sería hasta la 26, ¿no? Estas 12, ¿vale? Aquí voy a poner que las de normas de circulación eran 14.
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Bueno, pues las de señales son 12 más. Ya tengo 26 preguntas. Y las 8 últimas, o sea, que serían ahora la 27, la 28, así hasta la última, que esta sería la 34. Estas 8 últimas serían de comportamiento cívico.
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¿De acuerdo? Bueno, ¿cuántos elementos tengo en total? Pues tengo 14 preguntas, estos serían los elementos totales que llamamos M14, ¿de acuerdo? Vale, perfecto, pues yo tengo que elegir, uy, perdón, 14, 34, he visto el 14 de arriba, 34 posibles preguntas tengo, ¿de acuerdo?
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Vale, pues yo entre todas estas 34 preguntas tengo que elegir 2. Ese sería el n. Vale, tengo que coger entre 34 elementos, tengo que elegir 2. Y ahora voy a ver de qué forma. Ahora es el momento en el que me voy a poner un ejemplito y voy a utilizar mi esquemita de aquí arriba.
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Vale, pues el ejemplo que me pongo es, imaginaros que yo he elegido la pregunta 11 y la 29. Esto es un examen. Viene muy bien, de verdad, hacerse un ejemplo, ¿de acuerdo?
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preparado para verlo, para palparlo, para realmente comprobar qué es lo que tengo. Este es un examen. Me he preguntado la 11 que da la casualidad de que son normas de circulación
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y la 29 que da la casualidad de que es de comportamiento cívico. Si lo primero que me tengo que preguntar es si importa el orden, voy a cambiar el orden para ver si realmente es otro examen.
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Bueno, pues yo cuando cambio el orden me doy cuenta de que el examen de arriba y el examen de abajo son el mismo examen.
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Y si son el mismo examen es porque da igual el orden de las preguntas.
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Si da igual el orden es porque el orden no importa.
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Lo que tengo son combinaciones.
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Tengo combinaciones y en concreto de 34 elementos tomados de dos en dos.
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En el momento en el que yo tengo algo en el que no importa el orden, enseguida puedo ver que son combinaciones.
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Mirad chicos, esto va a pasar cuando tenga que elegir, por ejemplo, entre muchos ingredientes en una comida.
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Da igual el orden en el que ponga los ingredientes.
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Los ingredientes, por ejemplo, de una pizza. La pizza va a acabar siendo la misma.
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O por ejemplo, si quiero mezclar colores, va a dar igual el orden en el que elija los colores. O si tengo que elegir equipos de personas donde todas las personas tenemos la misma importancia, pues da igual el orden en el que elijo las personas.
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Otra cosa sería que cada una tuviéramos un puesto.
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Bueno, pues ahora que sé que estos son combinaciones de 34 elementos tomados de 2 en 2, os recuerdo que las combinaciones, su fórmula, utiliza los números combinatorios.
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Mirad, en matemáticas el número combinatorio 34 sobre 2 se escribe así, y se lee 34 sobre 2.
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Que nadie me ponga aquí una rayita que no es ninguna fracción, ¿de acuerdo?
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No es 34 medios o 34 partido 2, es 34 sobre 2, ¿vale? Y se traduce en la fracción donde tengo en el numerador el factorial de 34, ¿vale? Y en el denominador no solo el factorial de 2, sino también el factorial de la diferencia 34 menos 2.
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Pues 34 menos 2 da 32, 32 factorial. Perfecto. ¿Qué era esto de los factoriales? Por si alguien no se acuerda, pues bueno, lo voy a poner aquí en naranja. La formulita me decía que si yo tengo un número n factorial, pues lo que tengo que hacer es empezar a multiplicar n factores, que va a ser el número n por el número anterior, n-1, por el anterior, n-2, así.
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así
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hasta llegar al 1.
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Con un ejemplo lo vais a ver enseguida, por ejemplo, el factorial de 3. Pues yo
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empiezo a multiplicar a partir del 3
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el anterior, que es el 2, hasta que llegue al 1.
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Esto sería 3 por 2, 6 por 1, 6
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factorial de 3, lo podéis comprobar con la calculadora,
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es 6.
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Facilísimo.
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A ver, ¿qué ocurre?
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Pues que yo, por ejemplo, cuando desarrolle el 34 factorial
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Pues tendré que decir, el primer número que voy a multiplicar es 34, el siguiente es 33, pero en vez de escribir ahora que voy a multiplicar también el 32, 31, 30, 29, no.
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Lo que puedo hacer es escribir 32 factorial. Aquí en este 32 factorial están incluidos los 32 números que me quedan por escribir.
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¿Por qué he parado aquí? Pues porque abajo como veis también tengo otros 32 números multiplicándose, el 32 factorial lo tengo tanto abajo como arriba, voy a poder simplificar y no se me puede olvidar que también tengo el 2 factorial, 2 factorial sería lo mismo que 2 por 1, ahí acabo pronto.
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Bueno, aquí fijaros chicos, esto lo puedo hacer siempre, el 32 factorial se va a simplificar, ¿vale? El de arriba con el de abajo y bueno, me va a quedar ese 34 por 33 entre 2 que exactamente da 561.
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Estos 561, chicos, serían, como hemos dicho, el número de casos posibles, o bueno, en este caso en concreto, el número de exámenes posibles
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¿Vale? Perfecto, son 561
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Bueno, pues ya sí, me voy a meter en el ajo y voy a ver cómo calculo el apartado A y cómo calculo el apartado B
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Bueno, hago espacio
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A ver, en el apartado A. Me pedían la probabilidad de que las dos preguntas del examen sean de normas de circulación. Vale, pues para hallar la probabilidad tengo que utilizar la PLAS, que no se me olvide que el número de casos posibles, hemos dicho hace un rato, eran 561.
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¿De acuerdo? Vale, pues ahora en el caso concreto estoy en el suceso en el que voy a tener un examen en el que justamente las dos preguntas que aparecen en el examen son de normas de circulación.
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Bueno, pues voy a ver cuáles serían en este caso el número de casos favorables. Favorables a tener dos preguntas de normas, ¿verdad?
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Vale, pues mirad. Vamos a ver lo primero de todo. ¿Entre cuántas preguntas podría elegir? Pues podría elegir únicamente entre las 14 primeras. La 1 la hemos separado antes entre rayitas, ¿verdad? Hasta la 14.
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Puedo elegir entre estas 14, no más allá de la pregunta 14 porque esas ya cambiaban de tipo, ya eran de sobre señales y sobre de comportamiento. Solo estas, ¿vale? Entonces mi M ahora va a cambiar, son 14.
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Oye, pero sigo eligiendo 2. O sea, que en es 2. Y oye, si ahora me pongo un ejemplo de un examen en el que las dos preguntas sean de normas, pues podría ser, por ejemplo, el 3 más el 9 y comprobaréis de la misma forma que antes, que es el mismo examen, que si yo pongo la pregunta 9 más la pregunta 3.
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Es el mismo examen porque el orden no importa. Y si el orden no importa, otra vez tengo combinaciones. ¿Qué es lo que va a cambiar ahora? Que las combinaciones son de 14 elementos, solo hay 14 preguntas en las que se cumpla, que son de circulación, de normas de circulación, y de esas cojo 2.
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Pues vuelvo a tener un número combinatorio, chicos, 14 sobre 2. No me digáis 14 partido 2, ni me pongas una fracción, por favor. Bueno, la formulita sería 14 factorial partido 2 factorial por, en el denominador también tengo que poner, 12 factorial, exacto, 12 factorial, ¿vale?
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Os animo a que simplifiquéis esta fórmula que ya os digo que va a salir 91. Hay 91 exámenes en los que yo voy a poder elegir entre estas 14 preguntas en concreto, las que me favorecen.
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Porque yo lo que estoy es calculando la probabilidad de que las dos preguntas sean de normas de circulación.
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Bueno, pues en este caso ya acabamos de ver por la regla de Laplace que si yo quiero tener un examen donde las dos preguntas sean de norma de circulación, pues estos exámenes serán 91 de los 561 posibles.
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Y esto daría una probabilidad de 0,16221. Bueno, no es mucho, la verdad, no es mucho. Vamos a pasar al caso B. El caso B la verdad es que es exactamente igual que el caso A.
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Os animo chicos a que intentéis vosotros calcular el número de casos favorables, pero en este caso a no tener ninguna pregunta sobre normas de circulación.
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Bueno, mirad, a ver si os sale lo mismo que a mí. El número de casos favorables en este caso a no tener preguntas sobre normas de circulación. Vamos a ponerlo así para acabar antes.
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En este caso voy a calcular los casos favorables. ¿Entre cuántas preguntas puedo elegir? No puedo elegir las 14 primeras. En el momento en el que elije alguna de las 14 primeras va a haber una pregunta sobre normas de circulación.
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Así que tengo que elegir desde la pregunta 15 hasta la pregunta 34. También puedo pensar que de las 34 preguntas que tenía voy a quitar las 14 primeras. Es decir, que me quedan 20.
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¿Vale? M va a ser 20. Cuidado con esto de restar 34 menos 15. Que no, que no es así. ¿Sabéis por qué? Porque si a 34 le restáis 15 realmente no estáis contando la pregunta 15 y la pregunta 15 sí que se puede elegir.
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Bueno, tengo 20 preguntas que son de señales y de comportamiento cívico, acordaros, ¿vale? Y de esas ya os digo que tengo que volver a elegir dos. Bueno, pues esto seguro que lo habéis calculado ya rapidísimo, ni os volvéis a cuestionar que son combinaciones porque el orden no va a importar.
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Da igual que cojáis la 16 y la 34, que la 34 y la 16, el orden no va a importar. Eso sí, ahora tengo combinaciones de 20 elementos tomados de 2 en 2. Este es el número combinatorio 20 sobre 2, quedaría exactamente 190. Comprobaldo, chicos.
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Y bueno, pues cuál va a ser esta probabilidad de no, bueno, mejor que no, voy a poner ninguna pregunta de normas de circulación.
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A ver, os animo a parar el vídeo e intentar hacerlo antes de que lo diga yo. ¿Qué va a ser ahora? 190 entre 561. Esta probabilidad sería un poquito más alta, da exactamente 0,33868.
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¿De acuerdo? Este sería el primer problema en el que hemos trabajado con combinaciones.
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En el siguiente problema, 64, me dicen disponemos de las cifras 1, 2, 3, 4 y 5. Estas son, digamos, los números que vamos a poder elegir, las cifras, perdón, que vamos a poder elegir.
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Con ellas se forman al azar números de dos cifras. Esto es importante. Los números que voy a hacer son números de dos cifras.
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calcula la probabilidad de que el número formado sea par
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si en el apartado A las cifras de cada número deben ser diferentes
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y en el apartado B si en cada número puede haber cifras repetidas
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A ver chicos, mirad, en este caso
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el juego, digamos, la forma de elegir los números cambia
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¿De acuerdo?
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Es decir, que la posibilidad de números que tengo
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Los números posibles, el número de casos posibles en A y en B es distinto. Son dos problemas totalmente diferentes. Es más, voy a intentar poner aquí en el apartado A y compararlo con el apartado B.
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En el apartado A es muy importante tener en cuenta que los números deben ser diferentes. Voy a poner aquí ya claramente cifras diferentes. Tengo que hacer números con cifras diferentes.
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Por cierto, estos números yo los tengo que elaborar o crear eligiendo entre estas cinco cifras. Por lo tanto, yo los elementos sobre los que elijo son en total cinco.
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M son 5, yo puedo elegir el 1, el 2, el 3, el 4 y el 5, pero de esos 5 elementos solo elijo 2, ¿de acuerdo?
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Vamos a ponernos un ejemplo, y además en este caso un ejemplo en el que las cifras sean diferentes.
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Pues por ejemplo, si elijo el 2 y el 3 en ese orden, tengo el número 23, ¿de acuerdo?
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Vale, pues ahora que ya me he puesto un ejemplo, me voy a mi esquemita y voy a ver si tengo combinaciones otra vez, variaciones o permutaciones. A ver, ¿importa el orden? Bueno, pues para saber si importa el orden voy a coger mi ejemplo y le voy a dar la vuelta. En vez de 23 voy a poner 32.
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Pregunta, ¿el número 23 es igual al número 32? Pues no, en este caso no es lo mismo. ¿Por qué no es lo mismo? Porque el orden cambia el número, el orden importa, ¿de acuerdo?
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Luego yo aquí, si importa el orden, en este caso sí, ¿de acuerdo? A ver, es muy importante chicos, aunque os parezca una tontería y que no vais a necesitar el ejemplo, el ejemplo habéis visto que os ayuda muchísimo.
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Elegid lo que os piden. Os han pedido formar números de dos cifras, ¿de acuerdo? Pues formad un número de dos cifras, ¿vale? Y comprobad que el 23 no es el mismo número que el 32, ¿de acuerdo?
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Además, estos ejemplos os van a ayudar a seguir respondiendo las preguntas. Intervienen todos los elementos. Se refiere a este número, a este ejemplo. ¿Han intervenido todos los números que yo podía elegir? No. ¿Ha intervenido el 1? No. ¿Ha intervenido el 4 y el 5? No. No han intervenido todos los números, ¿de acuerdo?
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Por lo tanto, ya no tengo permutaciones. ¿Y la última pregunta? ¿Se pueden repetir? Pues este claramente no, porque yo no puedo poner 3, 3. Hemos dicho que las cifras iban a ser diferentes. Por lo tanto, como no se pueden repetir, estos son variaciones ordinarias, que se suelen decir las normalitas.
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Son variaciones ordinarias y como hemos dicho, de 5 elementos tomados de 2 en 2. La formulita se parecía bastante a las combinaciones, pero no es un número combinatorio.
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Lo que tengo es arriba el factorial de 5 y cuidado que nadie se equivoque, abajo no tengo el factorial de 2, tengo el factorial de la resta, es decir, 5 menos 2 que es 3 factorial, ¿vale? 5 factorial sobre 3 factorial sería, ¿vale?
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Hay otra forma de aprenderse la formulita, a ver si esta os parece mejor. Mirad, de la siguiente forma, habéis visto que yo tengo que elegir dos elementos, dos cifras, porque esto son variaciones de cinco elementos tomados de dos en dos.
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Pues en la formulita también voy a coger solamente dos números. ¿Sabéis cuál? Pues el primero como en las factoriales, el 5. El primero va a ser el 5, ¿vale? Y como en el número factorial, ahora voy a multiplicar por el anterior, que sería el 4, ¿vale?
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Pero ya paro ahí. He dicho que tenía que coger solo dos números y ya los he cogido. Sería 5 por 4. Podéis comprobarlo, chicos. Mirad 5 factorial, sabéis perfectamente que lo puedo desarrollar hasta que llegue el 3 y en vez de escribir 3 por 2 por 1 escribo 3 factorial.
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Eso en el numerador, este 5 por 4 por 3 factorial sería este 5 factorial, ¿vale? Y como abajo yo tenía 3 factorial, podéis comprobar que el 3 factorial del numerador se puede simplificar con el 3 factorial del denominador y me quedaría 5 por 4.
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5 por 4, 20. Sin ningún problema. Todas estas serían los números. Puedo elegir 20 números con cifras diferentes eligiendo entre estas 5 cifras.
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Pero lo que me piden, esto por supuesto, son los casos posibles. Porque si yo lo que quiero es que sean par, no todos estos 20 números van a ser pares.
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No, no, no, no. Chicos, pensad que los que no van a ser pares son los que acaben en el 1 y los que acaben en el 3. Ah, perdón, y los que acaben en el 5. Luego, por tanto, solo pueden acabar en 2 y en 4.
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Vamos a poner en este espacio que tengo aquí cuáles serían los casos favorables. Bueno, pues en esto va a ser un poquito más rudimentario, chicos, porque mirad, está tan restringida la cosa que yo solamente puedo elegir para que sean pares los que empiecen por el que sea, pero acaben en dos y empiecen por lo que sea y acaben en cuatro.
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Además sigo en el apartado A, luego las cifras tienen que ser diferentes
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¿Sabéis cuántos números acaban en 2?
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Pues mirad, el 1 y el 2
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El 2 y el 2 no puedo porque las cifras no las puedo repetir
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Por lo tanto, el 3 y el 2, el 4 y el 2, el 5 y el 2
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Es decir, 4 casos, 4 números
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Mirad para que los veáis, son tan pocos que hasta los puedo escribir
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Serían el 12, el 32, el 42 y el 52. Estos son números de dos cifras en donde he elegido únicamente entre estas cinco cifras. Las cifras son diferentes y además son pares.
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Y los que acaben en 4, pues igual de rápido que arriba, el 14, el 24, el 34 y el 54. Oye, pregunta, ¿cuántos casos favorables tengo? ¿Cuántos números son pares? Pues 8.
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¿Vale? Ocho casos. A ver, ahora me diréis todos y nos aprendemos el esquema para después no utilizarlo. Bueno, pues en este caso es que son tan poquitos que los puedo contar, pues ya veis, enumerándolos de uno en uno.
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¿Vale? Entonces, en este caso, la probabilidad de que el número sea par, ¿vale? Serían 8 casos favorables de 20 posibles. ¿De acuerdo? Esto de aquí da 0,4. Bueno, pues es bastante probable que el número sea par.
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¿De acuerdo? Bastante, pero va a ser más probable que sea en par. ¿A que sí? Sí. Bueno, ¿qué ocurre en el apartado B? En el apartado B me siguen pidiendo la probabilidad de que el número sea par, pero en este caso las cifras se pueden repetir.
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¿Vale? El caso va a cambiar un poquito. Voy a borrar esto. ¿Vale? Y ahora ya sí voy a poner que estoy en el caso B. A ver, ¿en el caso B tengo que volver a contar los casos posibles? Pues sí, porque no es lo mismo.
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No es lo mismo si las cifras se repiten o no se repiten. Antes he puesto que eran cifras diferentes. Pues ahora tengo que poner que son cifras repetidas. Bueno, pueden ser repetidas, pero no necesariamente tienen que ser repetidas.
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Entonces, chicos, va a cambiar un poquito los casos posibles. Mirad, casos posibles. Voy a ponerlo aquí. Casos posibles. ¿Cuántos números tengo ahora? ¿Tengo otra vez 20? Pues seguramente tengo más porque puedo repetir.
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A ver, sigo podiendo elegir entre 5 elementos, ¿vale? El 1, 2, 3, 4 y 5. Sigo teniendo que elegir 2, ¿de acuerdo? Y ahora voy a ver si tengo otra vez variaciones o que tengo. ¿Importa el orden? Ah, he defraudado, he incumplido mi norma principal.
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Poner un ejemplo, mirad, ahora voy a poner un ejemplo donde se repitan las cifras, ¿vale? 33, ¿importa el orden? Ojo, vale, es que en este caso, claro, las cifras son iguales y me vais a decir que no importa el orden, da igual que ponga el 3 primero que el 3 segundo.
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Pero sí que importa el orden, chicos, porque ya os he dicho que no necesariamente tienen que ser cifras repetidas. Y si pongo otra vez el 23, ya sabéis que es un número diferente al 32. En este caso, se ve que el orden sí que importa. Por lo tanto, me voy para arriba. Sí que importa el orden.
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Bien, ¿intervienen todos los elementos? No, chicos, aquí solo he elegido, fijaros, aquí solo he elegido un elemento de los cinco que tengo. Aquí dos, no, no, en ningún momento elijo los cinco. No.
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Y ahora, ¿se pueden repetir? En este caso sí. A ver, si lo que cambia si se pueden repetir o no, quedaba clarísimo que iban a ser variaciones, ¿vale? En este caso lo voy a poner aquí, variaciones con repetición, ¿vale? Tengo cinco elementos tomados de dos en dos.
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Y la formulita de las variaciones con repetición es muchísimo más fácil. Mirad, son los cinco elementos que tengo al cuadrado, es decir, 25 números posibles.
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A poner esto son números posibles. Vale, pero en este caso, ¿cuántos me son favorables? Casos favorables. Pues los que son pares.
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Y chicos, pues lo siento mucho, pero otra vez voy a contar de uno en uno, porque mirad, otra vez van a ser los que acaban en 2, pues el 12, y ahora también está el 22, el 32, el 42 y el 52.
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Y los que acaban en 4, que no los voy a enumerar, pero son otros 5, chicos. Son 5 y 5, pues 10 casos, ¿vale? Voy a poner aquí 10 casos, ¿vale?
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A ver, en el examen vosotros si me vais enumerando y aquí por ejemplo me decís que serían desde el 14 hasta el último que son el 54, pues yo voy viendo que ya los tenéis localizados. Son 10 casos y por lo tanto en este segundo apartado la probabilidad de que el número sea par serán 10 números de los 25 probables.
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¿De acuerdo? Bueno, pues sorprendero, chicos. Es exactamente la misma probabilidad. Da igual que se puedan repetir o no las cifras, ¿vale? La probabilidad de que sea par en este caso también es 0,4. Es bastante probable, pero es más probable que sea en par, ¿vale?
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Vale, bueno, pues vamos con el último ejercicio. En el último ejercicio, chicos, lo que tengo son ocho amigos y amigas que han conseguido entradas para la final de un torneo de téminis y me dicen que las ocho butacas que han conseguido están en la misma fila y se sientan al azar.
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Vale, bueno, pues cuál sería la probabilidad de que Andrés y Carmen, que son dos de estos ocho amigos, se sienten en butacas contiguas. Vale, primero debería empezar viendo cuáles son todas las posibilidades de sentarse, ¿de acuerdo?
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Y una cosa que os quiero aclarar. Me han comentado que las butacas están en la misma fila por lo siguiente. Si unas butacas están... Uy, qué mal se ve. A ver, ¿qué importancia tiene que las butacas estén en la misma fila?
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Bueno, pues mira, sobre todo porque existen unos problemas en el que, bueno, pues el problema tipo es cuando la gente se va a sentar, pero en una mesa redonda. En una mesa redonda, chicos, no sería lo mismo que en una fila.
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¿Por qué? Hay menos posibilidades, chicos, ¿vale? Porque en este caso claramente hay una persona que es la primera. En cambio, si yo me siento en una mesa circular, bueno, pues no hay alguien que esté en el extremo, ¿vale? Y digamos que los casos se reducen, ¿de acuerdo? Vale, bueno, pues vamos allá.
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Vamos a ver primero, como os he dicho, los casos posibles. ¿Cuántos elementos puedo elegir? Pues yo puedo elegir entre los ocho amigos, ¿vale? Claro, porque mirad, si me pongo un ejemplo de amigos, pues vamos a llamar, en vez de darle nombres a los amigos, les voy a dar números, ¿vale?
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Bueno, pues una forma de sentarlos es del 8, 7, 6, así, como en orden descendente, ¿vale? Hasta el 1, ¿vale? Bueno, pues esto sería una forma, ¿de acuerdo?
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Bueno, pues yo tengo ocho elementos a elegir. Por cierto, ¿y los que elijo? Los que elijo son los ocho. Yo tengo que acabar sentando a los ocho. O sea, que los voy a elegir a todos.
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¡Ah! ¡Ay, Dios mío! Ya se me están cuadrando las cosas, ¿verdad? Porque mirad, chicos, ya que me he puesto un ejemplo, vamos a empezar a preguntar. ¿Importa el orden? Si alguien no lo tiene todavía claro, vamos, este ejercicio, este problema es que se trata de ordenar, chicos.
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Mirad, aquí el amigo 8 se ha sentado al principio. Como yo lo desordene, a ver, justamente lo desordeno y pongo al 8. Mirad, los pongo otra vez así en descendente, pero al 8 aquí al final.
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A ver, ¿esta situación, esta ordenación es igual a esta? Pues por supuesto que no, chicos. Es que en este caso, si de lo que se trata es de colocar a la gente, a las personas unas butacas, pues lo que tengo que hacer es ordenar y el orden, vamos, por supuesto que importa en una ordenación el orden.
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Bien, segunda pregunta, chicos, ¿intervienen todos los elementos? Pues sí, sí que intervienen todos, ¿vale? Tengo que ordenarlos a todos. Fijaros, aquí he elegido los ocho elementos, ¿vale? No puedo ordenar solo a cuatro, ¿vale? Tengo que ordenar a los ocho, ¿vale?
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Y ¿se pueden repetir? Pues en este caso no, porque los amigos son diferentes, ¿de acuerdo? No puedo sentar a dos personas en el mismo sitio. Por lo tanto, tengo un caso claro de permutaciones, ¿vale? Permutaciones, chicos, es una fórmula también muy, muy sencilla, ¿vale? Si tenéis permutaciones de 8 elementos, pues sería 8 factorial. Así de sencillo.
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En este caso, 8 factorial es exactamente 40.320. Vale, perfecto. Estas son todas las posibilidades de sentar a 8 personas en 8 butacas colocadas en la misma fila.
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Así. Bueno, pues si yo los de todas esas 40.320 ordenaciones elijo uno al azar, ¿cuál sería la probabilidad de que Andrés y Carmen se sienten en butacas contiguas?
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Mirad, os cuento el truco, ya uno cuando lleva mucho bagaje, ve enseguida cómo tratar esto
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¿Cuáles serían los casos favorables?
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Pues mirad, los casos favorables en los que Carmen y Andrés se sienten en butacas contiguas, es decir, que estén uno al lado del otro
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Es considerarlos a los dos un solo elemento
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Vale, entonces, como es un solo elemento, vale, digamos que imaginaros que Carmen y Andrés son el 1 y el 2. Vale, bueno, pues yo tengo el, bueno, vamos a decir mejor el 7 y el 8.
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Es más, no van a ser el 7 y el 8, van a ser el elemento 7. El elemento 7 es el pack porque son pareja y van juntos. El elemento 7 es el pack Andrés y Carmen.
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Claro, en esto lo único que ocurre es que ahora ya no tengo ocho personas, no tengo ocho elementos, tengo siete y todo lo demás es exactamente igual. Yo tengo aquí la ordenación obvia, uno, dos, tres, bueno, pues voy a ponerlos todos por una vez, que en total son siete.
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3, 4, 5, 6, 7
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Lo único que este elemento 7 son Andrés Carmen
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¿Lo entendéis?
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Vale, mirad
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Estos serían permutaciones de 7 elementos 7 factorial
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Que en concreto, bueno, pues da 5040
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Vale
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Y ahora os digo, a ver si lo entendemos
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Me faltan casos
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¿Sabéis por qué? Porque aquí yo he considerado una cosa que no tiene por qué cumplirse siempre y es que se van a sentar Andrés y Carmen.
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Pero puede ser que Carmen quiera sentarse al otro lado. Es decir, lo mismo, pero en vez del 1, 2, 3, 4, 5, 6 Andrés y Carmen, pues el 1, 2, 3, 4, 5, 6 Carmen y Andrés.
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¿Y qué supone esto, chicos? Pues porque cada una de las ordenaciones de los siete elementos, de las siete cifras que tengo aquí, un caso será con Andrés y Carmen y otro caso será con Carmen y Andrés.
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Por lo tanto, estas 5.040 posiciones se duplican, las tengo que multiplicar por 2. ¿Por qué? Porque ya os vuelvo a repetir, en el momento en el que tenga la cifra 7, pues voy a tener esa ordenación con Andrés y Carmen y con Carmen y Andrés.
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Se multiplicó por 2, 2 por permutaciones de 7, voy a tener 10.080 casos. Estos serían los casos favorables.
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Pues mirad, creo que en este espacio tengo suficiente hueco para poner ya la solución, porque si lo que me están pidiendo, cuál es la probabilidad de tener a Andrés y Carmen, vamos a ponerlo así, permitidme chicos que lo escriba así por falta de espacio.
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Si estuviera haciendo un examen en el que quiero sacar un 10, lo escribiría como Dios manda. ¿Cuáles son los casos favorables? Pues esos 10.080. Espero que hayáis entendido esto de que el elemento 7 puede ser Andrés y Carmen o Carmen y Andrés. Por eso se multiplica por 2.
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Y los casos posibles, lo habíamos dicho antes, eran súper fáciles, eran permutaciones de 8 elementos, 40.320. Bueno, pues gracias a la PLAS puedo decir que la probabilidad de que Andrés y Carmen se sienten juntos es de 0,25.
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Perfecto, bueno chicos, espero que hayáis entendido los tres problemas, los diferentes casos y ya veréis que con un poco de práctica esto se resuelve en un pispás.
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- Autor/es:
- MARIA JOSE GARRO CEBALLOS
- Subido por:
- Maria Jose G.
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- 28 de octubre de 2020 - 0:49
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- Público
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- IES LAS ROZAS I
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- 38′ 07″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
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