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FU2. 1.3 Funciones cuadráticas. Ejercicio 3 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:20
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones cuadráticas. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones cuadráticas, que son aquellas que, como podemos 00:00:40
ver tienen por expresión algebraica un polinomio de segundo grado. Habitualmente se representará 00:00:52
y igual a a por x al cuadrado más b por x más c. El coeficiente principal a tiene que ser distinto 00:00:57
de cero porque si lo fuera tendríamos una función lineal o bien una función constante. En cuanto a 00:01:04
c va a ser la ordenada en el origen. Esta es una forma de representar algebraicamente las funciones 00:01:09
cuadráticas. Una forma alternativa es aquella a la que llegaríamos completando cuadrados. Utilizando 00:01:15
estos términos ax cuadrado más bx y podríamos llegar a una expresión algebraica como esta que 00:01:22
tenemos aquí y igual a a por x menos xv al cuadrado más yv y vemos que la variable independiente se 00:01:27
encuentra únicamente aquí dentro de este cuadrado. Este a es el mismo a de la primera expresión 00:01:37
algebraica, el coeficiente principal de antes. En cuanto a xv se podría determinar como menos b 00:01:44
partido por 2a y a este yv que se corresponde con el valor de la función cuando x es igual a xv 00:01:50
sería c menos b cuadrado partido por 4a. La representación gráfica de cualquier función 00:01:56
cuadrática es una parábola dependiendo de cuál sea el signo del coeficiente principal. Si a es 00:02:03
positivo tiene el vértice hacia abajo y las ramas hacia arriba mientras que si a es negativo tiene 00:02:10
el vértice hacia arriba y las ramas hacia abajo. Y no en vano he hablado de vértice y es que este 00:02:14
xv e iv se corresponden con las coordenadas x e y del vértice. De ahí la anotación. De ahí que 00:02:20
esta representación algebraica sea especialmente importante, puesto que estamos poniendo de 00:02:28
manifiesto cuál es la posición del vértice de la parábola. Es el extremo relativo y es uno de los 00:02:33
puntos más importantes de ella. En cuanto a las características más importantes de 00:02:39
estas funciones, las tenemos listadas a continuación. Su dominio, como corresponde a cualquier función 00:02:45
polinómica, es toda la recta real. En cuanto a la imagen, depende del valor del coeficiente 00:02:50
principal. Si es positivo, será desde la y del vértice hasta más infinito, intervalo 00:02:55
cerrado. Si es negativo, el coeficiente principal será desde menos infinito hasta la y del 00:03:00
vértice. Este extremo también cerra. En cuanto a los puntos de corte con los ejes, bien, el punto 00:03:06
de corte con el eje de las y tiene como ordenada y igual a c, como habíamos dicho anteriormente, 00:03:11
el término independiente se corresponde con la ordenada del origen cuando tenemos esta forma de 00:03:16
representar algebraicamente la función. Y en cuanto a los puntos de corte con el eje de las x, se van 00:03:21
a calcular igualando ax cuadrado más bx más c a cero. Y tenemos esta expresión que es la 00:03:26
tradicional, la conocida, para una ecuación de segundo grado. En cuanto a la monotonía, 00:03:32
depende del coeficiente principal. Si es positivo, sabemos que es una parábola con las ramas hacia 00:03:39
arriba. El primer trozo de la función hasta alcanzar el vértice es una función decreciente 00:03:46
y a partir de ahí, desde el vértice hacia más infinito, la función será creciente. Justamente 00:03:50
al contrario, si es negativo, en este caso tenemos una parábola con las ramas hacia abajo, el primer 00:03:55
tramo desde menos infinito hasta la x del vértice va a ser una función creciente y a partir de ahí 00:04:00
hasta más infinito será una función decreciente. Esta función va a tener un único extremo relativo 00:04:05
que es el vértice. La abscisa, la localización en x del vértice es x del vértice igual a menos b 00:04:11
partido por 2a como hemos visto anteriormente. La imagen se calcularía sustituyendo esta x del 00:04:18
vértice en la ecuación de la función. Dependiendo de cómo sea el coeficiente principal se tratará de 00:04:24
un mínimo o de un máximo. Si a es positivo, es una parábola con las ramas hacia arriba, el vértice es 00:04:30
un mínimo. Si a es negativo, es una parábola con las ramas hacia abajo, el vértice será un máximo. 00:04:35
En cuanto a la curvatura, depende una vez más del signo del coeficiente principal. Si a es positivo 00:04:42
y es una parábola con las ramas hacia arriba, tiene este aspecto como si se tratara del símbolo 00:04:48
de unión. Tenemos una función que es convexa en todo su dominio, en toda la recta real. Mientras 00:04:52
que si A es negativo, tenemos una función que es una parábola con las ramas hacia abajo, 00:04:59
se parece al símbolo de la intersección y en ese caso tenemos una función que es cóncava, 00:05:05
cóncava en todo su dominio, en toda la recta real. Y tenemos que tener cuidado porque convexo 00:05:10
y cóncavo son términos que no están unívocamente definidos. Dependiendo del matemático con 00:05:17
el que estemos hablando, de cuál sea su campo de especialización, es posible que en un 00:05:23
cóncavo y convexo a lo contrario que nosotros. Esa es la razón por la cual siempre que hablemos 00:05:29
de cóncavo y convexo acompañaremos el término con esta pequeña representación para que quede 00:05:34
bien claro acerca de a qué nos estamos refiriendo. En cuanto a las asíntotas, las parábolas no tienen, 00:05:39
van a ser funciones continuas en todo su dominio, en toda la recta real, como todas las funciones 00:05:46
polinómicas, y algo muy importante es que las parábolas son simétricas con respecto de la 00:05:50
recta vertical que pasa por el vértice. De tal forma que si a la hora de hacer la representación 00:05:56
gráfica tenemos una de las ramas de la parábola desde el vértice hacia la derecha o hacia la 00:06:01
izquierda, podemos completar el dibujo de la parábola teniendo en cuenta que va a ser el 00:06:06
reflejo especular de la otra que tenía. Vamos a estudiar un par de ejemplos. Se nos pide que 00:06:11
estudiemos y representemos las siguientes funciones y vamos a comenzar con esta función a de x igual 00:06:18
a 2x al cuadrado menos 4x más 1. Lo primero que queremos hacer es buscar cuál es esa expresión 00:06:24
algebraica alternativa en donde aparece manifiesto el ax y la y del vértice. Vamos a completar 00:06:30
cuadrados. Para ello vamos a hacer lo siguiente. Partimos de la expresión inicial 2x cuadrado 00:06:36
menos 4x menos 1 y vamos a comenzar extrayendo como factor común de los dos primeros términos 00:06:41
de aquellos que contienen la x el coeficiente principal, que en este caso es 2. Así que 00:06:47
Tomamos estos dos primeros términos y sacamos el factor común 2. 00:06:53
Y lo tenemos aquí, 2, factor común d. 00:06:57
Bueno, si a 2x cuadrado le extraigo el 2, me queda solo x al cuadrado, claro. 00:07:00
Y aquí a menos 4x, si le extraigo un 2, me va a quedar menos 2x. 00:07:05
Esto entre paréntesis y el menos 1 que tenía anteriormente. 00:07:09
2 por, entre paréntesis, x cuadrado menos 2x. 00:07:13
Siempre vamos a hacer esto para tener aquí una x al cuadrado. 00:07:17
Ahora, lo que tenemos dentro de los paréntesis queremos que sea el cuadrado de una suma o el cuadrado de una resta. 00:07:20
En este caso que tengo x al cuadrado menos 2x va a ser el cuadrado de una resta. 00:07:28
La identidad notable para el cuadrado de una resta me dice que aquí debería haber tres términos, igual si fuera el cuadrado de una suma debería haber tres términos. 00:07:34
Y me falta precisamente el término que no lleva x. x al cuadrado menos 2x, me falta un término sin x. 00:07:41
Bien, fijaos, x al cuadrado menos 2x, esto va a ser el cuadrado del primero, 00:07:48
porque yo voy a querer poner x más algo al cuadrado, x menos algo al cuadrado. 00:07:54
Esto va a ser siempre más o menos, dependiendo, el doble del primero por el segundo. 00:07:58
Como aquí tengo 2 por x, x es el primer término, el 2 es por el doble, el segundo va a ser 1. 00:08:04
De tal forma que voy a acabar expresando esto como x menos 1 al cuadrado. 00:08:12
Si fuera así, tendría que tener x al cuadrado, menos 2 por 1 por x, menos 2x, y luego más 1 al cuadrado, que es más 1, ese más 1 me falta. 00:08:17
Bien, voy a completar cuadrados, voy a completar añadiendo dentro del paréntesis más 1 y menos 1. 00:08:27
Tengo que añadir más 1 y menos 1 para que la igualdad se mantenga. Sumo 1, resto 1, no estoy haciendo ningún cambio. 00:08:34
Pero haciéndolo así, si me quedo solo con los tres primeros términos, 00:08:39
x cuadrado menos 2x más 1 es el cuadrado de una resta. 00:08:43
Son los términos de una identidad notable. 00:08:46
Voy a aislar esos tres términos, este menos 1 que he añadido aquí al final del todo como coda, 00:08:48
lo voy a sacar fuera del paréntesis, con cuidado de que tengo un 2 multiplicando. 00:08:53
Me voy a quedar con 2 por, dentro del paréntesis, x cuadrado menos 2x más 1, 00:08:57
y voy a sacar fuera del paréntesis menos 1 por 2, como vemos aquí. 00:09:02
al final menos 2 por 1 menos 1 es este menos 3 que tengo aquí 00:09:06
y en cuanto a x al cuadrado menos 2x más 1 es la identidad notable x menos 1 al cuadrado 00:09:10
fijaos x menos 1 al cuadrado sería x al cuadrado el cuadrado del primero 00:09:17
más 1 que sería el cuadrado del segundo 00:09:21
menos porque tengo un menos el doble del primero por el segundo 00:09:24
2 por x y por 1 que es este 2x que tenía 00:09:28
Así pues, adx, que es 2x cuadrado menos 4x menos 1, equivale a 2 por x menos 1 al cuadrado menos 3. 00:09:31
Leo directamente cuál es la posición del vértice de esta parábola. 00:09:40
Y es el punto 1 menos 3. Este punto que tengo aquí, el vértice de la parábola. 00:09:45
Como el coeficiente principal es positivo, sé que es una parábola con las ramas hacia arriba, así que el vértice es un mínimo. 00:09:50
En cuanto a cómo pintar la función, podría hacer una tabla de valores, sustituir valores, lo más inteligente es a uno de los lados del vértice, puesto que lo que ocurre en el otro es el reflejo especular, así que directamente calculo uno de los puntos y puedo pintar el simétrico en el otro, al otro lado de la recta vertical que pasa por el vértice. 00:09:56
una alternativa es utilizar directamente este valor del coeficiente principal, este 2. 00:10:15
Si a partir del vértice me muevo una unidad hacia la derecha o hacia la izquierda, 00:10:21
puesto que es una función simétrica, la función se va a encontrar hacia arriba o hacia abajo 00:10:25
tantas unidades como me indique el coeficiente principal. 00:10:29
Hacia arriba porque el coeficiente principal es positivo en este caso y tengo un 2. 00:10:32
Así que desde el vértice si me muevo una unidad hacia la derecha, 00:10:36
tengo que pintar la función dos unidades hacia arriba. 00:10:40
igualmente si me hubiera desplazado una unidad hacia la izquierda. Si en lugar de una unidad me 00:10:42
moviera dos unidades hacia la derecha o hacia la izquierda a partir del vértice, lo que tengo que 00:10:49
hacer es moverme hacia arriba o hacia abajo. En este caso sería 2 al cuadrado por este valor. 2 00:10:54
al cuadrado es 4, por este 2, 8. Así que me tengo que mover dos unidades hacia la derecha a partir 00:11:01
del vértice y a partir de aquí contar 8 unidades hacia arriba. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Este 00:11:07
punto que tengo aquí, el punto 3, 5, es un punto de la parábola. Igualmente, si me muevo dos unidades 00:11:14
hacia la izquierda y subo ocho unidades, me encuentro con este punto de la parábola, que será 00:11:19
el punto menos 1, 5. En cuanto al resto de características de la función, bien, pues el dominio es 00:11:24
toda la recta real. La imagen, puesto que la coeficiente principal es positivo, es desde la 00:11:35
ley del vértice, que en este caso es menos 3, hacia arriba, hacia más infinito, con este extremo cerrado. 00:11:39
Los puntos de corte con los ejes los puedo determinar bien analíticamente o bien gráficamente. 00:11:45
En este caso, el punto de corte con el eje de las y es ese punto 0, menos 1. 00:11:51
El menos 1 se corresponde con este término independiente. 00:11:55
En cuanto a los puntos de corte con el eje de las x, se determinan resolviendo la ecuación 2x cuadrado menos 4x menos 1 igual a 0. 00:11:59
Lo que obtengo son estos valores que tengo aquí. 00:12:06
El punto 1 menos raíz de 3 partido por 2, 0. Y el punto 1 más raíz de 3 partido por 2, 0. Fijaos que ambos puntos son simétricos con respecto a esta recta que pasa por el vértice. Me estoy moviendo una unidad y un poquito hacia la derecha, una unidad y un poquito hacia la izquierda. 00:12:10
Puesto que es una parábola con las ramas hacia arriba, es decreciente desde menos infinito hasta la x del vértice y creciente desde la x del vértice hacia más infinito. 00:12:29
El vértice, el punto 1 menos 3, es un mínimo, puesto que el coeficiente principal es positivo, es una función convexa en todo su dominio, en toda la recta real, 00:12:39
siendo una función polinómica es continua en todo su dominio, en toda la recta real, y es simétrica con respecto de la recta vertical que pasa por el vértice. 00:12:48
Así que es simétrica con respecto a la recta x igual a 1. 00:12:57
Vamos a hacer lo mismo con la otra función b de x igual a menos x al cuadrado menos 6x menos 4. 00:13:02
La tenemos aquí. 00:13:08
Igualmente vamos a buscar expresar esta función poniendo de manifiesto la posición del vértice. 00:13:09
Vamos a completar cuadrados. Vamos a hacer lo mismo de antes. 00:13:16
Me fijo en la expresión algebraica, me fijo en los dos primeros términos que son los que contienen x 00:13:19
y voy a sacar de factor común el coeficiente principal, que en este caso es menos 1. 00:13:24
Si a menos x cuadrado extraigo el signo menos, me queda x al cuadrado. 00:13:29
Si a menos 6x le extraigo el signo menos como factor común, me queda más 6x. 00:13:32
Así que tengo menos, entre paréntesis, x cuadrado más 6x y este menos 4. 00:13:37
x cuadrado más 6x dentro del paréntesis va a ser el cuadrado del primero 00:13:42
y el doble del primero por el segundo en una identidad notable, 00:13:47
Que en este caso va a ser el cuadrado de una suma, puesto que aquí tengo un más. 00:13:51
Dado que 6x es el doble del primero por el segundo, y 6 es 2 por 3, el segundo tiene que ser 3. 00:13:55
Así que 3 al cuadrado es 9. Voy a buscar expresar esto completando cuadrados de tal forma que sea el cuadrado de una suma de la siguiente manera. 00:14:02
En el paréntesis escribiré x al cuadrado más 6x, que ya lo tenía, más 9, menos 9. 00:14:12
Más 9 y menos 9 se cancelan, estoy manteniendo la igualdad. 00:14:19
Y la razón de añadir aquí este 9 es porque así tengo el cuadrado del primero, x al cuadrado, 00:14:22
el cuadrado del segundo, estoy pensando en el 3, 3 al cuadrado es 9, 00:14:28
y el doble del primero por el segundo, 2 por x y por 3, 2 por 3 es este 6 que tengo aquí, de ahí saqué el 9. 00:14:31
Igual que antes, este menos 9 que tengo aquí lo voy a extraer fuera, cuidado con este menos que tengo delante, 00:14:39
Y lo que voy a tener es menos, dentro del paréntesis, x cuadrado más 6x más 9, fuera del paréntesis, menos por menos, más 9 y el menos cuadro que tenía anteriormente, 9 menos 4 es este 5 y x cuadrado más 6x más 9 es la identidad notable x más 3 al cuadrado. 00:14:44
Y aquí estoy viendo cuál es la posición del vértice. La x del vértice es menos 3, la y del vértice es 5. El vértice es el punto menos 3, 5, este que tengo aquí dibujado. 00:15:02
dibujado. Necesito completar cuadrados para encontrar el vértice. Podría haber utilizado 00:15:11
la fórmula x del vértice igual a menos b partido por 2a y directamente a partir de esta expresión 00:15:16
menos b sería 6 partido por 2a que sería menos 2, la x del vértice es menos 3. En cuanto a la y del 00:15:21
vértice calculo el valor de la función, sustituyo b de menos 3 y encontraría el valor 5. Podría 00:15:29
hacer una cosa o la otra. Una vez que tengo el vértice puedo pintar el resto de la parábola 00:15:35
con la tabla de valores, igual que antes, lo inteligente es tomar valores o a la derecha o a la izquierda del vértice 00:15:42
y aprovechar la simetría de la función para, calculado un punto, dibujar el simétrico. 00:15:47
Otra posibilidad es utilizar el coeficiente principal, que en este caso es menos 1. 00:15:52
Si a partir del vértice me desplazo una unidad a la izquierda o a la derecha, 00:15:57
la función en este caso baja porque el coeficiente principal es negativo, 00:16:01
una unidad porque el coeficiente principal es menos 1. 00:16:05
Así que una unidad hacia la derecha, una unidad hacia abajo, aquí tengo el punto, menos 2, 4, una unidad hacia la izquierda, una unidad hacia abajo y aquí tengo el punto, menos 4, 4. 00:16:08
Si en lugar de una me muevo dos unidades hacia la derecha o hacia la izquierda, lo que tendré que hacer es calcular 2 al cuadrado por menos 1. 00:16:18
2 al cuadrado es 4, por menos 1 es menos 4. Me tengo que bajar 4 unidades. 00:16:30
Desde el vértice, una, dos unidades hacia la derecha, bajo cuatro unidades, una, dos, tres, cuatro. 00:16:35
Y aquí tengo el punto menos uno, uno. 00:16:41
Y subsimétrico, el punto menos cinco, uno. 00:16:43
Ya que estamos, y si en lugar de una o dos unidades me desplazo tres unidades a derecha o izquierda, 00:16:46
lo que tengo que hacer es calcular tres al cuadrado por el coeficiente principal. 00:16:52
Tres al cuadrado es nueve, el coeficiente principal es menos uno, nueve por menos uno es menos nueve. 00:16:57
Fijaos, tres unidades hacia la derecha, una, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve unidades hacia abajo, tengo el punto cero menos cuatro. 00:17:01
En cuanto a las características de la función, su dominio es toda la recta real, como buena función polinómica, dado que el coeficiente principal es negativo. 00:17:12
La imagen va desde menos infinito hasta la y del vértice, que en este caso es cinco, con este extremo cerrado. 00:17:22
Los puntos de corte con los ejes se pueden determinar gráficamente o analíticamente. 00:17:29
El punto de corte con el eje de las y se corresponde a la ordenada con este valor menos 4, 00:17:33
es la ordenada del origen, así que corta en el punto 0, menos 4. 00:17:38
Y en cuanto a los cortes con el eje de las x, los vamos a determinar resolviendo la ecuación 00:17:42
menos x cuadrado menos 6x menos 4 igual a 0. 00:17:46
Empleamos la fórmula y obtenemos para las abscisas los valores menos 3 menos raíz de 5 y menos 3 más raíz de 5. 00:17:50
Vemos que es simétrico con respecto de la línea vertical que pasa por el vértice. 00:17:57
Dos unidades y un poquito a la derecha, dos unidades y un poquito hacia la izquierda. 00:18:02
En este caso, siendo el coeficiente principal negativo, la función es creciente desde menos infinito hasta la x del vértice 00:18:06
y decreciente desde la x del vértice hasta más infinito. 00:18:13
El vértice es un máximo relativo, el punto menos 3, 5, como vemos aquí. 00:18:17
Como el coeficiente principal es negativo, esta función es cóncava en todo su dominio, en toda la recta real. 00:18:22
Por supuesto, es continua en toda la recta real por ser una función polinómica. 00:18:27
Y es simétrica con respecto a la línea recta vertical que pasa por el vértice. 00:18:31
Así que es simétrica con respecto a la recta vertical x igual a menos 3. 00:18:37
Mencionaba anteriormente que en el caso en el que se nos pida representar gráficamente la función a partir de la expresión algebraica, 00:18:44
Podríamos operar indistintamente con la expresión polinómica habitual, por ejemplo en el caso de b, menos x al cuadrado menos 6x menos 4, 00:18:51
o bien completar cuadrados con un poco de trabajo y al final operar con esta expresión en la cual tenemos de manifiesto la posición del vértice, 00:18:59
que en este caso, teniendo menos x más 3 al cuadrado más 5, sería el punto menos 3, 5. 00:19:09
Completar cuadrados lleva un poco de tiempo y entonces en ciertas ocasiones preferimos, por no hacer esto, utilizar la expresión algebraica que se nos hubiera dado, que sería esta. 00:19:16
Insisto en que podemos encontrar el vértice con la fórmula x del vértice igual a menos b partido por 2a y la y del vértice sustituyendo en la función para calcular cuál es la ordenada que le corresponde. 00:19:26
Bien, pues en el caso en el que a partir de la representación gráfica, si nos pide que encontremos cuál es la expresión algebraica, necesariamente vamos a utilizar esta segunda opción. 00:19:38
Porque los elementos característicos que vamos a poder leer claramente en la gráfica van a ser uno de ellos el vértice y el otro lo que hemos llamado factor de forma. 00:19:50
Y puesto que vamos a encontrar el vértice claramente, ¿qué mejor expresión que aquella en la que tenemos el vértice? 00:19:59
Aquí, por ejemplo, si nos dieran la representación gráfica, veríamos claramente que el vértice es este punto de coordenadas menos 3, 5. 00:20:05
Igual que en el caso anterior, vuelvo hacia atrás, podríamos ver muy claramente que el vértice es este punto con coordenadas 1, menos 3. 00:20:14
Pues bien, ahí tenemos ya dos de los parámetros que tenemos que sustituir en la ecuación de la parábola. 00:20:21
dentro del paréntesis restando la x del vértice y fuera del paréntesis sumando la y del vértice. 00:20:27
Aquí que el vértice es 1, menos 3, en el paréntesis pondré x menos 1 y por fuera menos 3. 00:20:35
En este otro caso, que el vértice es el punto menos 3, 5, dentro del paréntesis pondré x más 3 y fuera del paréntesis más 5. 00:20:41
¿Qué nos faltaría por determinar el coeficiente principal? Eso que hemos llamado factor de forma. 00:20:50
Bien, si yo veo que esto es una parábola, lo único que necesito hacer es, a partir del vértice, moverme una unidad hacia la derecha o hacia la izquierda y contar cuántas unidades hacia arriba o hacia abajo tenemos que desplazarnos para encontrar la función. 00:20:55
Si tenemos que movernos hacia arriba, el coeficiente principal será positivo, si es hacia abajo será negativo y el valor se corresponderá con cuántas unidades me tengo que desplazar. 00:21:09
Por ejemplo, en este caso, si a partir del vértice me muevo una unidad hacia la derecha, veo que tengo que descender una unidad para encontrarme con la función. 00:21:18
Bien, pues en ese caso el coeficiente principal es menos uno. 00:21:27
En el ejemplo anterior, si desde el vértice me muevo una unidad hacia la derecha, veo que tengo que subir dos unidades para encontrarme con la función. 00:21:30
Pues bien, en ese caso el coeficiente principal es más dos, más porque he ido hacia arriba y dos porque he ascendido dos unidades. 00:21:39
Con eso, solo con ver el vértice y cuánto tengo que ascender o descender para encontrarme la función cuando me desplazo desde él una unidad a derecha o a izquierda, 00:21:45
tengo los tres parámetros con los cuales puedo escribir la ecuación de la función. 00:21:55
En este caso, ya que estoy con el apartado A, habría escrito 2 por x menos 1 al cuadrado menos 3. 00:21:59
Y esta sería ya la ecuación de la parábola. 00:22:06
Si quisiera expresarla en la forma polinómica habitual, porque me gustara o porque me lo pidieran, lo único que tenía que hacer es desarrollar el cuadrado y agrupar términos. 00:22:08
Haría este camino hacia arriba y me encontraría con la expresión 2x cuadrado menos 4x menos 1, en el caso en el que me la pidieran o en el caso en el que para mí fuera mejor. 00:22:18
En este caso, lo mismo. Una vez que he decidido que el coeficiente principal es menos 1, escribiría la ecuación y igual a menos 1 por x más 3 al cuadrado más 5. 00:22:28
Y si quisiera expresarlo en la forma polinómica habitual, desarrollaría el cuadrado y agruparía términos para encontrarme con la expresión menos x cuadrado menos xx menos 4. 00:22:40
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:22:49
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:22:59
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:23:03
Un saludo y hasta pronto. 00:23:09
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
2
Fecha:
17 de noviembre de 2025 - 8:33
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
23′ 37″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
56.87 MBytes

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