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Método de Gauss S.C.I. - Contenido educativo

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Subido el 10 de enero de 2021 por Olga P.

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Voy a resolver un tercer sistema por el método de Gauss. 00:00:00
Vamos a intentar, partiendo de este sistema, llegar a otro equivalente que sea escalonado 00:00:04
y vamos a ver qué nos ocurre en este caso. 00:00:12
Empezamos escribiendo la matriz asociada al sistema. 00:00:15
Vamos con los coeficientes de las x. 00:00:22
La y no está en la primera ecuación, luego su coeficiente es un cero. 00:00:27
La z, 1, 4, menos 1, y los términos independientes, 3, 8. 00:00:35
En este sistema ya tenemos un 0, donde estaba la variable, donde habría tenido que estar la variable i en la primera ecuación. 00:00:47
Vamos a buscar otro 0 en la columna de las i, es por ejemplo, en esa ecuación de ahí. 00:00:56
Vamos entonces a dejar fija la ecuación primera que ya tiene ese 0 00:01:04
Para hacer un 0 en la segunda ecuación en la posición donde he recuadrado 00:01:13
Lo que voy a hacer va a ser usar la tercera ecuación sumando e2 más e3 que tienen los coeficientes de la variable y opuestos 00:01:27
Ahí me sale un 0, vamos a verlo. Sumo 2 más 1, 3. Menos 1 más 1, 0. 4 menos 1, 3. 8 más 1, 9. 00:01:36
Y la tercera ecuación la dejamos como está. La tercera ecuación es la ecuación que en el sistema escalonado tiene las tres variables x, y, y, z. 00:01:49
Bien, antes de continuar haciendo ceros, vemos que la segunda ecuación, todos los coeficientes son múltiplos de 3. 00:02:00
Voy a simplificar la ecuación dividiendo entre 3 y dejo igual las otras ecuaciones. 00:02:09
1, 0, 1, dividiendo 3 entre 3, 1, 0 entre 3, 0, aquí un 1 y el término independiente 3. 00:02:15
Entonces, 1, 1, menos 1. Vamos a hacer un 0 más en la primera ecuación. Por ejemplo, voy a intentar hacer aquí un 0 en esta posición de aquí. 00:02:29
Para eso a la primera ecuación simplemente le quito la segunda y ¿qué me encuentro? Pues me encuentro que 1 menos 1 es 0, 0 menos 0 es 0, 1 menos 1 es 0, 3 menos 3 es 0. 00:02:47
Las otras dos ecuaciones quedan iguales. Es decir, que de la primera ecuación la información que obtenemos es que 0x más 0y más 0z nos da igual a 0. 00:03:08
Es decir, algo obvio, 0 igual a 0. Esa primera ecuación no nos está dando información. La información está contenida en las otras dos ecuaciones. 00:03:33
Veamos pues cómo resolver este tipo de sistemas. 00:03:50
Sistemas en los que tengo sólo dos ecuaciones que nos estén dando información y sin embargo tengo tres variables. 00:03:55
Tengo la ecuación primera me dice x más z igual a 3 y la ecuación segunda me dice x más y menos z igual a 1. 00:04:05
Este tipo de sistemas que tienen solución no tienen solución única, se les llama sistemas compatibles indeterminados. 00:04:18
Para resolverlos lo que vamos a hacer va a ser parametrizar una de las variables. 00:04:30
Voy a elegir una de las variables de la primera ecuación, por ejemplo voy a elegir x, voy a decir que x puede tomar cualquier valor, 00:04:35
lo represento ese valor que puede tomar con la letra griega lambda, lambda es cualquier número real, 00:04:44
y una vez que he elegido que x tiene que ser lambda, z ya no puede ser cualquier cosa, 00:04:51
la suma de x más z tiene que dar 3, luego z tendrá que ser 3 menos lambda. 00:04:57
Sustituimos estos valores de x y de z en la ecuación segunda del sistema 00:05:06
y calculamos cómo tiene que ser la variable y en función de lambda. 00:05:11
Sustituyo x por lambda. 00:05:16
La y, y ahora z, sería 3 menos lambda, igual a 1. 00:05:21
Eso quiere decir que y tiene que ser igual a 4 menos 2 veces lambda. 00:05:30
La solución, por lo tanto, del sistema no es única, hay infinitas soluciones, pero no son infinitas soluciones cualquiera, 00:05:41
sino que tiene que cumplir que si yo a x le doy el valor lambda, el valor de y tiene que ser 4 menos 2 veces lambda, 00:05:49
y el valor de z, 3 menos lambda, siendo lambda cualquier número real. 00:05:56
Yo podría encontrar esas soluciones, por ejemplo, si digo, lambda es igual a 0, 00:06:04
Pues ¿cuál será la solución? Será 0, 4, 3. 00:06:09
Si quiero que lambda sea igual a 1, pues la solución será 1, 2 y 2. 00:06:15
Y así, para los distintos valores de lambda, vamos encontrando las distintas soluciones del sistema. 00:06:24
Nosotros la solución la dejamos puesta en su forma general, la dejamos escrita así, de esta forma 00:06:30
Como veis, nosotros no necesitamos saber cómo va a ser el sistema 00:06:39
Nosotros encontramos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 00:06:46
y al escribirlo de forma escalonada, pues encontramos que hay una ecuación que no nos está dando información 00:06:50
y por lo tanto el sistema es compatible pero no tiene solución única. 00:06:58
Y entonces ahí empezamos a resolverlo utilizando un parámetro. 00:07:05
Con esto termino la colección de vídeos del método de Gauss. 00:07:11
Espero que os hayan sido útiles. 00:07:16
Subido por:
Olga P.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
71
Fecha:
10 de enero de 2021 - 21:22
Visibilidad:
Público
Centro:
IES PALOMERAS-VALLECAS
Duración:
07′ 19″
Relación de aspecto:
1.85:1
Resolución:
1376x744 píxeles
Tamaño:
17.71 MBytes

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