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Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss - Bachillerato - Contenido educativo

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Subido el 18 de septiembre de 2025 por Jesús Pascual M.

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Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss

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El método de Gauss consiste en realizar reducción de forma muy sistemática. 00:00:00
La razón de esta sistematicidad es que Gauss lo empleó para realizar cálculos astronómicos 00:00:05
con una gran cantidad de ecuaciones y una gran cantidad de incógnitas, pongamos que 10 y 10. 00:00:10
O más, quiero decir. Entonces ahí hace falta ser ordenado. 00:00:16
Bien. Bueno, entonces, primero lo que hacemos es, por ejemplo, nombrar las ecuaciones. 00:00:19
Podemos hacer fila 1, fila 2 y fila 3. 00:00:25
entonces vamos a hacer reducción 00:00:28
de la fila 2 y la fila 3 00:00:30
respectivamente con la primera 00:00:31
para quitar la X 00:00:33
luego haremos reducción otra vez 00:00:35
para quitar la Y 00:00:39
y luego ya resolveremos de forma sencilla 00:00:39
bueno, pues por ejemplo 00:00:44
hagamos aquí la fila 2 y la fila 3 00:00:46
aquí es muy sencillo 00:00:50
porque como aquí hay uno nada más 00:00:52
pues lo que hay que hacer por ejemplo 00:00:54
es coger la fila 2 00:00:55
Y restarle la fila 1 multiplicada por 3 00:00:55
Y aquí, pues como sería coger la fila 3 y restarle dos veces la fila 1 00:01:00
Vamos a dejar la fila 2 y la fila 3 iguales 00:01:06
3X menos 2Y menos Z es igual a 4 00:01:10
Y la fila 3 00:01:15
2X más 3Y más 2Z igual a 2 00:01:17
Ahora vamos a hacer cálculos 00:01:22
cogemos la fila 1, esta multiplicada por menos 3 00:01:25
pues multiplicamos toda esta fila por menos 3 00:01:28
entonces sería menos 3x, menos por menos más 00:01:31
2 por 3 es 6, menos por menos más 00:01:37
4 por 3 es 12 00:01:41
y eso multiplicamos 7 por 3 es 21, menos por menos más 00:01:44
y ya calculamos obteniendo 00:01:49
que primero se nos va la x 00:01:53
Y ahora tenemos 4Y más 11Z es igual a 25. 00:01:55
Bien, ahora hacemos lo mismo con la otra fila. 00:02:05
Restamos 3 veces la fila 1, que sería menos 2X, menos por menos más, 4Y, menos por menos más, 00:02:09
8z igual a 14 00:02:25
Y ahora operamos 00:02:32
La x se nos va 00:02:34
Y nos quedan 00:02:36
7y más 10z 00:02:38
Igual a 16 00:02:41
Y ahora volvemos a escribir la información 00:02:42
La fila 1 se deja igual 00:02:45
Porque se va a emplear después tal cual está 00:02:48
Y ahora ponemos las nuevas filas 2 y 3 00:02:50
Que van a ser esas que están aquí 00:02:57
Nueva fila 2 00:03:00
Pues sería 4Y más 11Z es igual a 25 00:03:02
Nueva fila 3, 7Y más 10Z es igual a 16 00:03:10
Y ahora se nos ha quedado más simple 00:03:17
Tenemos arriba la X pero aquí solo tenemos la Y y la Z 00:03:19
Podemos renombrar otra vez las ecuaciones 00:03:22
Fila 1, 2, fila 3, fila 2, fila 3 00:03:26
Y ahora vamos a hacer reducción de la fila 3 con la fila 2 00:03:29
Bueno, aquí no está multiplicada por 1, con lo cual habrá que hacerlo de una forma un poco diferente 00:03:34
A ver, fila 2, fila 3 00:03:39
Por ejemplo, multiplicamos por 7 la fila 2 00:03:41
La fila 3 por 4 00:03:44
Y como necesitamos un signo menos 00:03:46
Pues por ejemplo, ahora estamos en la fila 3, ¿no? 00:03:49
Pues vamos a hacerlo 00:03:53
A ver, fila 2 multiplicada por 7 00:03:54
7 por 4, 28i, más 77z, es igual a 25 por 7, que es 175. 00:03:59
Ahora multiplicamos por 4, aquí la C, tenemos 7 por 4, 28, pero con un menos, estamos restando, menos por más menos, 4 por 10, 40, igual a 16 por 4, 64. 00:04:11
Y ahora ya realizamos la resta, y ahí se nos va, y nos queda que tenemos 37z es igual a 111. 00:04:27
Muy bien, pues ahora colocamos la información. 00:04:45
Las dos primeras filas se quedan igual, x menos 2y menos 4z es igual a menos 7. 00:04:48
y ahora la segunda fila se queda igual 00:04:56
4i más 11z es igual a 25 00:05:01
y ahora cambiamos la tercera fila por el resultado que hemos obtenido aquí 00:05:05
ahora tendríamos 37z es igual a 111 00:05:11
y ya tenemos un sistema mucho más sencillo que resolvemos 00:05:18
empezamos por la z 00:05:23
a ver si 37z es igual a 111 00:05:25
obtenemos que z es igual a 111 partido por 37 00:05:30
que es 3 00:05:33
ya tenemos la z 00:05:35
ahora ya hay que copiar la y 00:05:38
porque tenemos aquí una ecuación de solo la y y la z 00:05:40
volvemos a hacerlo 00:05:43
tenemos que 4y es igual a 25 menos 11z 00:05:47
eso es 25 menos 11 por 3 00:05:52
que sería 25 menos 33 00:05:54
que sería menos 8, por lo tanto y es igual a menos 8 partido por 4 que es menos 2 00:05:57
y ya tenemos la y y la z 00:06:03
¿Qué nos queda ahora? Pues la x y lo hacemos con la primera ecuación 00:06:07
vamos a ver si tenemos esto 00:06:12
vamos a hacerlo aquí 00:06:17
x es igual a menos 7 más 2y 00:06:21
más 4z es decir menos 7 00:06:26
más 2 veces menos 2 00:06:30
más 4 veces 3 00:06:32
esto es menos 7 00:06:34
menos 4 00:06:35
más 12 que es 1 00:06:37
así pues hemos obtenido 00:06:39
que x vale 1 00:06:42
y vale menos 2 00:06:47
y z vale 3 00:06:50
bien, lo hemos hecho lentamente 00:06:52
hay que observar que hay algunas variantes 00:06:56
en primer lugar 00:06:58
aquí lo hemos obtenido con mucha suerte 00:06:59
que la x 00:07:02
era lo más sencillo 00:07:04
que lo que restábamos 00:07:07
ya que había 1 00:07:07
porque aquí había 1 00:07:09
si por ejemplo 00:07:10
cogemos ese sistema 00:07:11
un poco más pequeñito 00:07:12
sabríamos que el 1 está abajo 00:07:13
pues podríamos haber cambiado 00:07:14
el orden de la ecuación 00:07:17
eso es lícito 00:07:17
dentro del método de Gauss 00:07:18
podríamos haber puesto 00:07:19
esta arriba 00:07:21
si nos dan ese sistema 00:07:23
podríamos obtener un segundo 00:07:25
poniendo esta arriba 00:07:26
aquí 00:07:27
y luego las otras dos 00:07:29
las podemos poner justo detrás 00:07:30
entonces podemos convertir un sistema 00:07:32
un poco más 00:07:34
ligeramente más complejo a un otro más sencillo 00:07:35
bien 00:07:40
segunda variante 00:07:40
a veces cuando hacemos estas opciones nos quedan un poco 00:07:41
más complicadas, en este caso pues 00:07:46
el 4, el 11 00:07:48
y el 35 son primos entre sí 00:07:50
igualmente esto, pero si ofrecemos 00:07:52
cosas que no son así, pues por ejemplo a veces 00:07:54
te puede parecer que te pongamos 00:07:56
24x 00:07:57
14x más 12y es igual a 48. Y aquí tenemos, pues, 14x menos 21y es igual a 35. Pues no haríamos reducción con el, perdón, me he expistado, lo siento, la y, la z, serían y, s y z. 00:08:02
Pues no haríamos reducción con el 24 y el 14 00:08:25
Significaríamos antes, por ejemplo, aquí podemos dividir entre 12 00:08:32
Y aquí tendríamos 2i más z es igual a 4 00:08:36
Y aquí podemos dividir entre 7 00:08:44
Y tendríamos 2i menos 3z es igual a 5 00:08:46
Y ya con esto la reducción sería mucho más sencilla 00:08:53
De hecho, solo voy a trastar una de las dos ecuaciones 00:08:58
Por ejemplo, pues esto con menos, esto con más, sería restar y ya tendríamos que 4z igual a menos 1, z igual a menos un cuarto. 00:09:00
No haría falta hacer base, se puede simplificar antes cuando tenemos cosas un poco más sencillas y se ve. 00:09:14
Bueno, pues esto es el método de Gauss. 00:09:20
Bien, ahora como ejercicio, realizad este sistema de ecuaciones por el método de Gauss 00:09:23
Y después corregimos 00:09:31
Pasamos a corregir el ejercicio 00:09:34
Bien, antes de nada, en estas ecuaciones no es necesario cambiar el orden 00:09:37
Hombre, quizás sería un poco más sencillo si estuviera arriba, pero bueno, no gran cosa 00:09:43
Así que directamente vamos a enumerar 00:09:48
Por explicación o por otra cosa 00:09:50
Gila 1, 2, y 2, y la 3 00:09:53
y hacemos reducción 00:09:55
empezamos haciendo reducción 00:09:57
pues de la fila 1 con la fila 2 00:09:58
o sea, estas 00:10:00
recordamos que siempre son la primera con las demás 00:10:02
con las demás con la primera 00:10:05
pues nada, en este caso 00:10:07
quise hacerlo más sencillo 00:10:09
o sea, poner 00:10:10
pues menos dos veces la fila 1 00:10:11
y después 00:10:14
pues tres veces la fila 2 00:10:15
pues vamos a ver, tendríamos 00:10:18
menos 6x 00:10:22
menos por menos más 00:10:24
2Y menos 2 por 4, 4Z 00:10:25
Igual a, menos 1 menos más, 8 00:10:30
La segunda la multiplicamos, la fila 2 por 3 00:10:34
6X, 3 por 3, 9, más 9Y 00:10:37
Menos 3Z, igual a 6 por 3, 18, menos 18 00:10:40
Y esto nos da, pues eso se simplifica 00:10:44
Tenemos 9 y 2, 11 00:10:50
Menos 7Z, igual a menos 10 00:10:53
Ya tenemos una de las ecuaciones 00:10:57
Ahora nuevamente cogemos la primera con la tercera. Por ejemplo, podemos hacer 5 veces f1 y 3 veces f2. 00:10:59
Pues adelante. 5 veces f1 sería 15x menos 5y más 10z igual a menos 20. 00:11:10
3BTSF2 sería menos 15X más 9Y menos 12Z igual a 18, igual que antes, y esto se nos va, porque da 0, y después obtenemos 4Y menos 2Z igual a menos 2. 00:11:21
con lo cual pues nada, ya podemos hacer 00:11:56
pasamos aquí a la información 00:12:01
aquí tendríamos, esta dejamos igual 00:12:04
3x menos y más 2z igual a menos 4 00:12:09
aquí ponemos esta 00:12:13
11y menos 7z igual a menos 10 00:12:15
y aquí podríamos poner esta de aquí 00:12:20
voy a poner otro color porque ni siquiera diré 00:12:22
4y menos 2z igual a menos 2 00:12:26
a ver, ahora si nos fijamos 00:12:30
esta se puede simplificar porque todos son múltiplos de 2 00:12:33
podemos pasarlo aquí 00:12:36
y hacer todo eso 00:12:38
pero bueno, también se puede hacer aquí abajo 00:12:40
entre 2 00:12:42
2i menos z igual a menos 1 00:12:44
vamos a hacerlo así 00:12:48
y ponemos 00:12:50
2i menos z igual a menos 1 00:12:56
ahora igual que antes 00:13:00
Numeramos las ecuaciones 00:13:03
Fila 1, fila 2, fila 3 00:13:06
La fila 1 se va a quedar igual 00:13:09
Hemos quitado esto 00:13:10
Y lo que nos interesa ahora es eliminarla 00:13:12
Y en una ecuación 00:13:15
Con lo cual habrá que hacer reducción con la fila 2 y la fila 3 00:13:17
Aquí tenemos la fila 2 00:13:21
Aquí tenemos la fila 3 00:13:23
Y en este caso pues nada 00:13:26
Por ejemplo multiplicamos aquí la fila 2 por menos 2 00:13:28
y la fila 3 por 11. De modo que si esta fila se multiplica por menos 2, obtenemos menos 00:13:32
22i más 14z es igual a 20. Quitando signos también. Y si esta fila se multiplica por 00:13:41
sería 22Y menos 11Z igual a menos 11. Realizamos esta suma de polinomios, esto se nos va porque 00:13:51
es de cero y tendríamos que 3Z es igual a 9. De modo que el sistema se nos queda en 00:14:07
otro que es 3x menos y más 2z es igual a menos 4, 11y menos 7z es igual a menos 10, 00:14:16
3z es igual a 9 y aquí tenemos ya un sistema escalonado. A ver, la razón por la cual se 00:14:29
ponen estos sistemas es porque esto es lo que se llama, y son sistemas equivalentes 00:14:39
porque tienen las mismas soluciones 00:14:43
esa es también la idea de Gauss, esa filosofía 00:14:44
bueno 00:14:47
vamos a dejar un poco de espacio 00:14:48
para resolver ahora lo que nos queda 00:14:51
y nada, pues ahora empezamos 00:14:52
vamos a ver 00:14:56
con S es igual a Z 00:14:58
Z es igual a 9 tercios 00:15:00
que es 3 00:15:02
y ahora sabiendo que Z es igual a 9 tercios 00:15:03
tomamos esta ecuación, vamos a ponerla aquí abajo 00:15:06
por espacio 00:15:08
11I menos 7Z es igual a menos 10 00:15:09
con lo cual 00:15:13
11Y es igual a menos 10 más 7Z, esto es menos 10 más 7 por 3, menos 10 más 21 y esto es 11. 00:15:14
Lo que significa que si 11y es igual a 11, y es igual a... 00:15:36
Y ahora ya, pues con estas dos soluciones y esta ecuación, calculamos la x. 00:15:43
Tenemos que 3x menos y más 2z es igual a menos 4. 00:15:54
Por lo tanto, 3x es igual a menos 4 más y menos 2z. 00:16:05
Y eso es igual a menos 4 más i, que vale 1, más 2 por 3 00:16:11
Eso sería menos 4 más 1 más 6 00:16:18
Y esto es 3 00:16:23
Disculpad, había una pequeña errata 00:16:25
¿Vale? Así que en despiste corregimos rápidamente esto 00:16:32
Esto es un menos 00:16:39
Y ahora lo que tenemos es 00:16:41
Menos 4 más 1 menos 6 00:16:44
y esto es menos 9 00:16:53
por lo tanto 00:16:55
3x es igual a menos 9 00:16:56
luego x es igual a menos 9 00:16:58
partido por 3 00:17:01
que vale menos 3 00:17:02
y ya tenemos las soluciones 00:17:04
x es igual a menos 3 00:17:06
y igual a 1 00:17:12
y z igual a 3 00:17:14
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
    • Segundo Curso
Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
9
Fecha:
18 de septiembre de 2025 - 8:34
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MARÍA GOYRI GOYRI
Duración:
17′ 19″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
149.12 MBytes

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