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Presentación y 1ª Sesión T1.- Números Enteros 25-09-2025 - Contenido educativo

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Subido el 26 de septiembre de 2025 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de Matemáticas 2 del día 25 de septiembre. 00:00:01
Mi nombre es Ángel Sánchez, soy vuestro profesor también de Ciencias. 00:00:08
Os voy a contar un poquito, aunque ya lo he explicado en Ciencias, lo repito aquí en Matemáticas, 00:00:14
por lo que tenéis solo uno de los módulos, cómo funciona la evaluación del curso 00:00:20
y cómo está organizado el curso de Matemáticas 2. 00:00:25
Bueno, pues la forma de evaluar en este módulo va a ser trimestral, tendréis un examen solo al trimestre, que le podéis hacer según estas dos modalidades que os voy a contar. 00:00:28
Primera modalidad, pues solo hacer una prueba escrita del 100% del contenido de la evaluación, o sea, evaluar sobre 10 puntos, o realizar la modalidad de evaluación continua en la que la prueba escrita trimestral valdría 7 puntos y los otros 3 puntos, o sea, el otro 30%, consistiría en entregar las tareas y actividades que os vaya proponiendo en cada tema. 00:00:49
que eso lo vais a poder ver siempre debajo de la actividad del tema, 00:01:19
pues pondré cuáles son las que tienen que entregar los alumnos de distancia. 00:01:23
Además de esas actividades, pues tendréis que entregar como un resumen del tema 00:01:29
de los conceptos principales. 00:01:33
Este resumen, pues lo quiero para que os sirva luego un poco 00:01:36
para repaso de última hora antes del examen. 00:01:39
Y los ejercicios, para que vayáis practicando poco a poco 00:01:44
lo que vamos tratando en cada tema, no lo dejéis todo para el último día 00:01:48
que si no es mucha tela y en matemáticas pues no vale el palizón de última hora 00:01:53
porque hay que practicar y dejar a la cabeza que asiente los conceptos 00:02:03
y que tenga soltura suficiente y agilidad suficiente para luego poderse enfrentar al examen 00:02:07
Una asignatura teórica, como puede ser la misma de ciencias que yo también os doy, pues sí podría pegarme esa paliza de los dos días antes, empollármelo todo, y más en ciertos temas que son de conocimientos generales que seguro que muchas cosas las sabéis. 00:02:14
Pero en matemáticas se necesita estudiar con lápiz y papel, hay que practicar, porque si no nos vienen todas las dudas del mundo y hasta una suma ya no sabemos hacerla y dudamos de su resultado. 00:02:29
bueno, si optáis por esta opción de la evaluación continua 00:02:41
os pido por favor que me mandéis un correo 00:02:45
diciendo que os vais a acoger a esta evaluación 00:02:49
aparte de que así ya os tengo contactados 00:02:51
pues para cuando luego me mandéis los ejercicios y los resúmenes 00:02:55
pues os tenga ya clasificados 00:02:58
estos ejercicios y resúmenes 00:03:00
como os he dicho antes también en ciencias 00:03:02
pues me haríais una foto 00:03:04
y me lo mandáis en formato JPG 00:03:06
para que luego yo pueda abrirlo con la tableta que tengo 00:03:10
y os pueda corregir sobre estas mismas archivos 00:03:14
haceros las correcciones 00:03:18
si me lo mandáis en formato GIF o cualquier otro formato 00:03:21
pues no me lo reconoce la tableta 00:03:24
y no os lo puedo corregir encima 00:03:26
y mandaros correcciones de matemáticas escritas ahí en un correo 00:03:28
pues no hay quien las entienda 00:03:33
es mejor que yo os pueda marcar encima de lo que habéis hecho 00:03:34
lo que está mal y escribiros al lado de la corrección, porque lo vais a entender 00:03:38
mucho mejor. Entonces, por favor, como os estoy 00:03:42
diciendo, aseguraos de 00:03:46
que el formato sea el correcto, ¿vale? 00:03:49
Bueno, ¿qué tendríamos que hacer 00:03:57
para que se puedan sumar estas dos notas de la evaluación continua? 00:04:01
Pues, como os he dicho antes, JPG o 00:04:07
PDF también, nos valdría para los dos lados, los PDF también los deja aquí, los deja corregir 00:04:09
¿vale? o sea que como queráis 00:04:14
pues tendríamos que sacar mínimo un 3 00:04:15
en el examen para poder sumar los puntos 00:04:21
de la parte de evaluación continua, si yo tengo un 3 en el examen 00:04:26
y he conseguido dos puntos en la parte de evaluación continua, pues ya tengo mi 5 00:04:29
para aprobar ese trimestre ¿vale? 00:04:33
Si no llego a ese 5, pues me puedo quedar en un 4 y hacer media con el módulo de 100 medias. 00:04:37
Pero ojo, que ese 4 sea del 3 del examen más un punto de las actividades. 00:04:50
No me vale que haya sacado un 2 en el examen y un 2 en las actividades y digo, ah, pues es que ya tengo un 4 para hacer media. 00:04:56
No, el examen siempre, para poder sumar los puntos de las actividades, tiene que haber tenido mínimo un 3, que sería el equivalente a haber sacado un 4 sobre 10, ¿vale? 00:05:02
La nota de final de curso, pues sería la media de las notas de las tres evaluaciones. 00:05:15
Que alguna de las evaluaciones no la haya aprobado, pues tendré una recuperación en la evaluación siguiente, en la que ya tendré que hacer el examen ese de 10 puntos, ¿vale? 00:05:21
¿Que no apruebo la evaluación en esa recuperación? Pues en junio, a principio de junio, tenemos las pruebas ordinarias en las que se volverían a hacer recuperaciones por evaluaciones independientes, a no ser que tenga las tres suspensas, que entonces tendría que hacer un examen global de todo el curso. 00:05:34
que aún así no consigo aprobar y llegar a esa media de 5 00:05:51
pues tendríamos que hacer un examen extraordinario 00:05:56
que ese sería directamente sobre 10 puntos y para el que ya no valen las notas de clase 00:05:59
y sacar un 5 o mínimo un 4 para poder hacer media con la nota de ciencias. 00:06:04
Lo tenéis explicado en este documento que le tenéis justo a continuación de los vídeos que vamos a ir colgando. 00:06:11
lo he explicado también en la clase de ciencias 00:06:19
si hay alguna duda pues me escribís y me preguntáis 00:06:24
lo que queráis, vamos a ver ahora como 00:06:28
organizaría los temas y sus ejercicios de esta parte de 00:06:32
matemáticas y a comenzar con el primer tema 00:06:36
como no he podido hacer con vosotros porque no os conozco 00:06:39
pues una evaluación inicial para ver como venimos 00:06:43
pues no vamos a empezar por el tema primero de números racionales 00:06:46
he preparado un tema de repaso de números enteros 00:06:51
que os pueda ayudar a recordar y refrescar 00:06:53
pues esos conceptos que a lo mejor tengáis un poco olvidados 00:06:57
de la parte de aritmética 00:07:00
para que luego en las fracciones, que es el primer tema 00:07:02
el tema de números racionales, pues no nos cueste tanto 00:07:07
bueno 00:07:10
este sería la unidad 0, como os digo 00:07:11
que vamos a trabajarlo sobre números enteros, aunque os hablaré 00:07:15
también de cositas de números naturales. Yo os presentaré siempre 00:07:20
el tema con teoría 00:07:24
lo mínimo posible para no liaros mucho y siempre 00:07:28
acompañada de ejemplos a continuación. Pues teoría, un ejemplo. Teoría, un ejemplo 00:07:31
para que os sirva para fijar esos conceptos teóricos y poderos fijar 00:07:36
en el ejemplo. ¿Vale? Los temas no van a ser 00:07:40
muy largo, ya estáis viendo este tema de repaso, pues son seis páginas, porque como 00:07:44
os decía antes, pues en matemáticas lo que hay que hacer es practicar, conceptos se pueden 00:07:51
comprimir mucho, pero luego hay que practicar y ahí sí que nos extenderemos un poco más 00:07:56
y las hojas de ejercicio serán un poquito más largas, como son bastante largas en algunos 00:08:03
casos, por eso no os mando que me entreguéis todos los ejercicios, sino que hago una selección 00:08:10
de los mínimos que me ayuden a ver cómo vais y a que me podáis preguntar las dudas 00:08:15
que os vayan surgiendo. ¿De acuerdo? Bueno, pues vamos a empezar con ese primer tema de 00:08:24
repaso o digamos de recordatorio de las operaciones con números enteros que nos sirvan luego 00:08:30
de base para poder hacer lo mismo con números 00:08:38
racionales. Lo primero que quiero que recordemos 00:08:42
es los tipos de números que teníamos 00:08:47
y los tipos de números que tenemos son los siguientes 00:08:50
los primeros, los números naturales, que es 00:08:54
el cero y todos los números positivos y que 00:08:58
los utilizamos para contar, ¿vale? 00:09:02
aparecieron, de hecho, con esa necesidad de tener que contar 00:09:06
los primitivos 00:09:10
lo que hacían cuando querían contar algo era hacerlo por asociación 00:09:13
cogían y si iban a cazar animales 00:09:18
lo que hacían era coger tantas piedrecitas como animales habían visto 00:09:22
habían visto cinco 00:09:27
gacelas, vamos a poner 00:09:30
y hacían pues cinco rayitas o cogían cinco piedrecitas, o sea que iban asociando con algo que fuese más gráfico 00:09:33
lo que habían visto para contárselo a sus compañeros. 00:09:45
Realmente nuestro sistema de numeración que tiene también la base en esto, 00:09:48
porque lo que hacemos nosotros con las grafías de los números que tenemos es contar ángulos. 00:09:56
El 1 es un ángulo, el 2 original era dos ángulos, el 3 era tres ángulos, luego se han ido volviendo un poquillo más redonditos estos números más bonitos, pero se basaba en ese mismo criterio de semejanzas al principio, ¿de acuerdo? 00:10:02
entonces, números naturales 00:10:26
cero y los números positivos 00:10:28
el cero no tiene 00:10:31
ángulos entonces como se representaba 00:10:33
pues originalmente no se representaba 00:10:35
de hecho, pues podéis encontrar que en muchos 00:10:37
libros el cero no le toma como 00:10:39
un número natural 00:10:41
el cero cuando se 00:10:42
expresaban números de más de 00:10:45
una cifra y había 00:10:46
que incluir ese cero lo que hacían era dejar un 00:10:49
espacio, pero claro 00:10:51
el espacio es un poco relativo 00:10:52
depende de lo grande que escriba yo, de lo separado que escriba 00:10:55
entonces no se entendía bien cuando se quería reflejar ese 0 00:10:58
pues que hicieron, representar 00:11:02
ese 0 marcando ese huequito que querían dejar 00:11:06
nuestro sistema de numeración 00:11:11
se llama decimal posicional, decimal 00:11:14
porque trabaja con 8 dígitos distintos 00:11:18
del 0 al 9 y posicional 00:11:22
porque dependiendo de qué posición ocupe 00:11:29
ese dígito tendrá un valor u otro 00:11:33
este primer 1 es una unidad 00:11:36
pero este segundo 1 no es una unidad, son 10 unidades 00:11:40
y este tercer 1 ya son 100 unidades 00:11:47
¿vale? entonces 100 más 10 más 1 00:11:54
el 101 que nosotros reconocemos. Entonces, como dígito independiente 00:12:02
estoy utilizando la misma grafía, pero al ocupar una posición concreta 00:12:07
su valor cambia. Bueno, pues como he dicho 00:12:12
solo un poco por recordarlo, nuestro sistema es 00:12:17
decimal posicional. Diez dígitos distintos 00:12:21
valor de esos dígitos dependiendo siempre 00:12:31
de la posición que ocupan. Vale, ya 00:12:35
tenemos nuestros números naturales, los empezamos a 00:12:39
utilizar porque necesitábamos contar cosas 00:12:43
empezamos a hacer operaciones, quiero sumar dos números 00:12:46
naturales, ningún problema, porque el resultado va a ser otro número natural 00:12:51
quiero multiplicar dos números naturales, ningún problema, el resultado va a ser 00:12:55
otro número a natural, puesto que la multiplicación es 00:13:00
una agrupación de sumas del mismo número. Ahora 00:13:03
cuando quiero restar ya puedo tener problemas 00:13:07
porque si yo quiero restar 5 a 4 00:13:11
ya no hay un número que lo represente 00:13:15
si quiero restar 4 a 5 ningún problema 00:13:19
porque me sobra 1 y el 1 es un número natural, un número positivo 00:13:24
pero cuando quiero hacer al revés, restar 5 a 4, lo que quiero indicar es que me falta uno 00:13:27
y había que cambiar esa grafía original. ¿Cómo la cambiamos? Pues poniéndole un menor delante. 00:13:33
Si el número es positivo, significa que tengo, digamos, si es negativo, es que me falta. 00:13:40
Entonces, a ese conjunto de los números naturales que teníamos, le añadimos los números negativos. 00:13:47
unos con otros conforman el conjunto de los números enteros 00:13:54
además, esos números enteros, esos signos 00:14:00
me ayudan a referirme en más cosas 00:14:04
por ejemplo, a la temperatura 00:14:06
puedo expresar con los mismos dígitos 00:14:08
y añadiendoles el signo 00:14:12
si estoy con una temperatura por encima de cero 00:14:14
o por debajo de cero 00:14:17
me vale también para indicar en un ascensor 00:14:19
si voy al sótano o voy a los pisos superiores 00:14:22
me vale para indicar a qué altura estoy respecto al nivel del mar 00:14:25
si estoy por debajo del nivel del mar porque voy en un submarino 00:14:29
o estoy volando en un avión 00:14:32
o sea que luego los físicos le sacaron más partido 00:14:34
a esto del signo de los números 00:14:39
que originalmente apareció con la necesidad de hacer esas restas 00:14:40
que no éramos capaces de hacer solo con los números naturales 00:14:46
Entonces, números enteros son los naturales, que son los positivos, y les añadimos los negativos. 00:14:49
Después de los números enteros, pues resulta que con los números enteros podía hacer esas restas, ya sin problema. 00:14:58
Pero quiero seguir haciendo operaciones y me voy a hacer divisiones, que son las fracciones, que vamos a ver este año. 00:15:06
Cuando yo quiero dividir 6 entre 3, ningún problema. 00:15:13
Pero si quiero dividir 3 entre 6, ya no hay números para reflejar esos decimales que me salen. 00:15:19
Me hace falta añadir más números. 00:15:26
Son los números decimales. 00:15:31
¿Qué son números decimales? 00:15:34
Pues veremos que pueden ser exactos o pueden ser periódicos, que es que se repitan indefinidamente 00:15:36
y no se acaben nunca, pero el caso es que tienen decimales 00:15:42
y para representar esos números necesito añadir a mi grupo de los números enteros 00:15:45
todos esos números decimales que veremos en el tema de números racionales 00:15:51
que muchos de ellos los puedo escribir como una fracción 00:15:57
y le llamaré entonces números racionales porque se pueden poner en forma de ración 00:16:01
y otros será imposible escribirlos como fracción y serán los que llamemos números irracionales, 00:16:06
que serán aquellos que tienen infinitos decimales y que no se repiten. 00:16:13
Por ejemplo, el número pi, la razón áurea, pi en transarios decimales, decimales, decimales, decimales y eso no se acaba nunca. 00:16:18
Y por último, que eso no lo veremos nunca, a no ser que hagáis bachillato y de ciencias alguno, 00:16:25
Pues aparecen los números reales, que es la combinación de racionales más irracionales y nos faltaría un grupo aquí que serían los números complejos, que eso ya sigue de ninguna manera, porque esos números hay que trabajar con ellos de forma geométrica, ya no vale la forma aritmética para tratarlos. 00:16:34
Hay que tratarlos como si fuesen vectores en un plano. 00:16:58
Esos ni siquiera los he puesto porque no ven una cuenta ni vamos a verlos por ningún sitio. 00:17:02
Hasta los irracionales sí, porque eso sí que, aunque no haremos operaciones con ellos, sí que tenemos que identificarlos 00:17:09
y saber que todos estos juntos, racionales e irracionales, conforman los números reales. 00:17:14
Voy a hacer un gráfico de esto en un momentito. 00:17:22
Tendríamos los primeros, los números naturales, con una n sola o una n de dos palitos. 00:17:27
Estos están dentro de los números enteros. 00:17:46
Los números enteros estarían dentro de los números racionales, que se representan con una q. 00:17:53
aparte habría otro conjunto distinto que son los irracionales 00:18:01
y si juntamos estos números racionales 00:18:07
más los números irracionales 00:18:14
tenemos el conjunto de los números reales 00:18:17
por si lo veis en algún libro este gráfico 00:18:24
nosotros vamos a estar tratando solo con estos tres primeros 00:18:26
que son los naturales y enteros 00:18:33
que se supone que ya sabríamos manejarlos 00:18:42
pero como están dentro de los racionales 00:18:45
pues los vamos a tener todo el rato por ahí dando vueltas 00:18:47
deberíamos empezar nuestro curso aquí 00:18:51
con esos números racionales 00:18:55
pero vamos a empezar aquí 00:18:57
recordando los conceptos que nos van a hacer falta 00:19:00
para tratar mejor esos números racionales, por si alguien 00:19:04
los tiene un poco olvidados o hasta 00:19:09
no lo he visto nunca, por decirlo de alguna manera 00:19:12
bueno, pues vamos a ver que hacemos 00:19:17
que hacemos con esos números naturales 00:19:20
que estaban dentro del 1% de los números enteros 00:19:25
que nos pueda ser útil luego más adelante 00:19:30
hemos dicho que los utilizamos para contar 00:19:32
y son el 0 más los positivos 00:19:36
muy bien, está ahí todo de acuerdo 00:19:40
ahora, que me interesa 00:19:42
recordar aquí lo primero 00:19:45
que luego me va a ayudar mucho 00:19:48
y que muchas veces nos presenta un dolor de cabeza grande 00:19:50
porque confundo los conceptos 00:19:53
pues quiero distinguir lo que es un múltiplo 00:19:55
de lo que es un divisor 00:19:58
diremos que si tengo dos números cualquiera 00:19:59
los vamos a llamar con letras, en mate nos gustan mucho las letras aunque no somos de lengua 00:20:04
si los llamo a y b digo que el número a es múltiplo del número b 00:20:09
si yo consigo poner ese número a como el número b multiplicado por algo 00:20:14
o sea que a es un múltiplo de b 00:20:20
si está en la tabla de multiplicar del número b por decirlo de alguna manera 00:20:24
Ejemplo, el 12 es un múltiplo de 3 porque puedo escribir 12 como 4 por 3. 00:20:29
Ya está, sin más. 00:20:36
He podido generar la tabla de multiplicar del 3 y me he encontrado en ella al 12. 00:20:38
Pues nada, siempre que quiera generar múltiplos de un número, lo que hago es su tabla de multiplicar. 00:20:44
Ejemplo, como os pongo aquí, pues múltiplos del 4, ¿quién van a ser? 00:20:52
4 por 1 es 4, 4 por 2 es 8, 4 por 3 es 12, su tabla de multiplicar. 00:20:56
Vamos a ver el concepto al revés. 00:21:02
Tengo esos dos mismos números A y B y quiero ver qué significa que el número B sea divisor del número A. 00:21:04
Pues yo digo que un número es divisor de otro si al hacer la división me sale exacta, o sea, no me sale nada de resto. 00:21:14
ejemplo, el 8 es un divisor del 40 00:21:21
porque puedo escribir, hacer la división 00:21:25
de 40 entre 8 y me sale 5 00:21:29
entonces cuando yo quiero calcular todos los divisores de un número 00:21:32
lo primero que hago es 00:21:37
tener en cuenta que siempre el 1 00:21:41
y el propio número son divisores 00:21:45
O sea, ya tengo dos divisores mínimos. 00:21:48
Y después lo que voy haciendo es lo que vamos a llamar y recordar que es factorizarle. 00:21:52
Empiezo a dividir entre los números naturales el 2, a ver si me sale exacta, entre el 3, entre el 5. 00:21:58
Veo que entre el 4 no hace falta que divida porque si no he podido dividir entre 2, 00:22:06
ya no voy a poder dividir entre 4, que es un número par, ni entre 6, ni entre 8. 00:22:10
Entonces, cuando yo quiero calcular los divisores de un número, 00:22:14
por ejemplo el 45 que teníamos antes, lo que hago es ver qué divisores naturales tiene 00:22:18
mirando sólo hasta la mitad de él, más o menos, porque cuando pase esa mitad, 00:22:24
cuando pase en este caso por encima del 22, ya no voy a poder volver a dividir al 45 sin que me salga resto. 00:22:33
Entonces, cuando yo he encontrado esos divisores primeros y hago combinaciones de ellos, 00:22:40
por ejemplo dije que se podía dividir entre 1 y entre 45 00:22:47
esos estaban fijos, también le puedo dividir entre 3, que ahora vamos a ver 00:22:51
unos criterios en los que esto lo veo más rápido, le podría dividir entre 5 00:22:55
le puedo dividir entre 9, yo anda, pues si he podido dividir 00:22:59
entre 3 y entre 5, seguro que entre 3 por 5 también puedo dividir, que sería el 15 00:23:03
si he podido dividir entre 5 y entre 9, entre 5 por 9 también lo puedo dividir 00:23:06
que es el 45, o sea que se me van a generar combinaciones 00:23:11
de los iniciales que vuelven a ser también divisores 00:23:15
yo no voy haciendo todas las divisiones de todos los números uno por uno 00:23:18
sino que voy buscando lo que se llaman números primos y luego hago combinaciones 00:23:22
de esos números primos, lo vamos a ver más adelante a recordar también 00:23:27
que era un número primo, ahora antes de recordar eso quiero recordar 00:23:30
esto que nos va a ser muy útil, que son los criterios 00:23:35
de divisibilidad, que es la forma de ver sin hacer 00:23:38
la cuenta de la división, si un número va a poder ser dividido entre otro o no. 00:23:43
Vamos a ver los más importantes. 00:23:49
El 2, el 3 y el 5. 00:23:52
Luego tendríamos también criterio para el 7 y para el 11, pero no os lo voy a contar 00:23:56
porque es un poco más enrevesado y a lo mejor os liáis. Si nos sale en algún 00:23:59
ejercicio, os lo cuento directamente en el ejercicio. 00:24:03
Digo, un número va a ser divisible entre 2 00:24:07
si termina en 0 o en cifra par. Siempre. 00:24:10
Sea lo grande que sea, lo único que tengo que fijarme es en la última cifra. 00:24:15
Si la última cifra del número es un 0 o un número par, que será el 2, el 4, el 6 o el 8, 00:24:19
ya sé que el número entero se va a poder dividir por 2, que la división me va a salir exacta. 00:24:26
Voy a saber que un número es divisible entre 3 si al sumar sus cifras me sale un múltiplo de 3. 00:24:32
Como este es un poco más complicado, pues vamos a ver un ejemplo. 00:24:38
Digo, tengo el 325. Sumo sus cifras. 3 más 2 y más 5, que me va a dar 10. 00:24:42
Podría volver a hacer otra vez el mismo criterio 00:25:02
1 más 0, que me da 1 00:25:04
¿El 1 es múltiplo de 3? ¿El 1 se puede dividir entre 3? 00:25:07
No, pues entonces no es divisible 00:25:11
Entre 3 00:25:15
Pues entonces este original tampoco 00:25:21
Ahora, imaginaos que pongo el 321 00:25:25
Y bueno, pues 3 más 2 y más 1, ¿qué me va a dar? 00:25:32
6 y este si es divisible entre 3 00:25:38
pues vamos a ver que el original también se va a poder dividir 00:25:43
entre 3 00:25:58
si yo hiciese la división, lo divido entre 3 00:25:59
3 entre 3 a 1, resto 0, bajo el 2 00:26:05
2 entre 3 a 0, bajo el 1 00:26:09
21 entre 3 a 7, resto 0 00:26:14
O sea que, habiendo visto que la suma era divisible entre 3, ya sé, sin hacer la división, aquí la he hecho para comprobar que era cierto, sé que si hago la división del número grande, también va a ser divisible entre 3. 00:26:17
Luego, este criterio es muy útil y me va a ahorrar mucho tiempo al hacer las cuentas. 00:26:33
Para el 4, que le vamos a usar menos, pero lo pongo aquí, nosotros como he dicho vamos a utilizar los números primos, el 2, el 3, el 5, el 7, el 11. 00:26:38
El 4, ¿cómo sé si es un número múltiplo de 4? Pues fijándome en sus dos últimas cifras. 00:26:48
Si las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4, por ejemplo, 0, 4, 0, 8, 12, 16, 20, el número entero sería múltiplo de 4. 00:26:53
números divisibles entre 5, todos aquellos que acaben en 0 o en 5 00:27:05
y ahora, si quisiese ver alguno que es combinación de los anteriores 00:27:11
por ejemplo el 6, que es 2 por 3, pues lo que tengo que hacer es 00:27:15
juntar las dos condiciones del 2 y el de 3 00:27:19
que eran, que fuesen divisibles entre 2 00:27:23
siendo número par, y que la suma de sus cifras fuese 00:27:26
múltiplo de 3, ¿vale? si queréis, vemos un ejemplo 00:27:30
para que os quede esto claro, que no es un criterio nuevo 00:27:35
sino que es la mezcla de dos que ya teníamos 00:27:40
digo, por ejemplo, el 00:27:42
200 00:27:45
222 00:27:48
¿vale? SPAR 00:27:58
entonces múltiplo de 2 00:28:02
o divisible entre 2 y por otro lado 00:28:05
como si sumo sus cifras me da 00:28:19
6 pues también es divisible 00:28:23
entre 3 pues como es divisible entre 2 y entre 3 00:28:27
también es divisible entre 6 00:28:32
vamos a ver que es verdad 222 00:28:38
si lo divido entre 6, 3 por 6, 18, a 22, 4, bajo el 2, 42, 7 por 6, 42, resto 0. 00:28:42
No tendría que haber hecho la división si me sé la regla del criterio de divisibilidad, 00:28:54
que es lo que pretendemos recordar aquí en este momento. 00:29:00
¿Divisibles entre 10? Pues si acaban en 0, que sería lo mismo que decir que es par, 00:29:06
y múltiplo de 5, como el criterio del 5 es que 00:29:12
acabe en 0 o en 5, pues estoy restringiendo 00:29:16
a que cumpla las dos condiciones a la vez 00:29:21
y el que fuese divisible entre 2 era que terminase 00:29:24
en 0 o número par. Pues la condición que se repite en los dos sitios 00:29:28
es que termine en 0, ¿vale? En la del 5 00:29:33
y en el 2. Pues esa es con la que me quedo. Que termine en 0 00:29:37
y ya sé que es múltiplo de 10 o que se puede dividir entre 10, como quiera llamar. 00:29:41
Pues como siempre, un ejemplo de esos criterios de divisibilidad. 00:29:47
¿Para qué utilizaré esto? 00:29:54
Pues para factorizar números compuestos. 00:29:57
Ahora vamos a ver qué es. 00:30:00
Pero antes de llegar a eso, lo que quiero ver es que en los ejercicios os he puesto ya ejercicios 00:30:02
para que repaséis esto y veáis si lo habéis entendido o no. 00:30:09
Pues este primero que me dice que clasifique dentro de qué conjuntos está cada uno de esos números, el siguiente trocito que me dice que busque múltiplos y divisores, primero digamos un poco a ojo y segundo ya buscando los criterios de divisibilidad, utilizando los criterios de divisibilidad. 00:30:12
o sea que, os vuelvo a repetir 00:30:35
en matemáticas hay que ponerse con lápiz y papel 00:30:38
y ver qué pasa 00:30:41
no me puedo mirar solo la teoría 00:30:44
y fiarme de que el día del examen 00:30:46
no solo me voy a acordar de esa teoría 00:30:48
sino que voy a ser capaz de hacer las cuentas a la primera 00:30:50
sin haber practicado antes 00:30:53
esto es como verse todos los días a Arguiñano 00:30:54
y pretender luego hacer una paella 00:30:58
sin haber practicado nunca a la primera 00:31:00
pues mejor no invites a nadie 00:31:02
porque los mismos no te vuelven a hablar, ¿vale? 00:31:04
Entonces, hay que practicar. 00:31:06
No hagáis pereza, que son pocos ejercicios, 00:31:09
pues pedís más o buscáis en Internet. 00:31:12
En Internet los puedo buscar resueltos, 00:31:14
puedo hacer, pues a los que estáis trabajando, 00:31:16
pues a lo mejor a la que vais y venís en el transporte público, 00:31:19
pues buscaros de esos interactivos que vais haciéndolos con el móvil 00:31:22
sin tener que escribirlos, solo pensándolo, 00:31:27
a ver que os salen, que os vayan fijando los conceptos, 00:31:28
pero hay que practicar antes o después. 00:31:32
Si no, pues mal vamos. 00:31:34
Bueno, vamos a recordar qué era esto de factorizar un número, 00:31:37
pero para primero saber qué es factorizar, primero quiero saber qué es un número compuesto. 00:31:42
Hay dos tipos de números. 00:31:46
Los números primos, ¿qué les ocurre a los números primos? 00:31:50
Pues que solo tienen dos divisores, al 1 y a ellos mismos. 00:31:55
¿Quiénes son los números primos? 00:32:02
Pues el 2, que solo se puede dividir entre 1 y entre 2, el 3, que solo se puede dividir entre 1 y entre 3, el 5, que solo se puede dividir entre 1 y entre 5, iríamos poniendo toda la cadena de números primos. 00:32:03
¿El 1 sería un número primo? Pues no, porque el 1 solo tiene un divisor, que es el 1, y para que sea número primo tengo que tener 2, el 1 y otro más, distinto. 00:32:17
¿Vale? Y ahora diremos que un número es compuesto 00:32:30
si no es primo, si tiene más de dos divisores 00:32:34
por ejemplo, el 20 sería compuesto porque lo puedo 00:32:38
dividir entre 1, entre 2, entre 4, entre 00:32:42
5, entre 10, entre 20, o sea que 00:32:46
tiene más de dos divisores, los números primos 00:32:50
solo tienen dos divisores exactamente, que es lo que se llaman divisores 00:32:54
propios. ¿Vale? ¿En qué consistía 00:32:58
esto de factorizar un número compuesto? Pues consiste 00:33:02
en escribirle como un producto de 00:33:06
números primos. Lo de la rayita, que todos a lo mejor 00:33:10
tenemos la imagen en la cabeza. Vamos a ver con el ejemplo qué es lo que 00:33:14
hacemos. Lo pongo el número 72 y 00:33:18
empiezo, os aconsejo que empecéis siempre de 00:33:22
de abajo hacia arriba, de números más pequeños a números más altos. 00:33:25
¿Por qué? Porque la cabeza hace las cuentas mejor 00:33:31
cuando estoy repartiendo entre poca gente que cuando tengo que repartir entre muchos. 00:33:35
Entonces digo, bueno, voy a ver si el 72 le podría dividir entre 2. 00:33:40
Si pienso en los criterios de divisibilidad, digo, pues sí que voy a poder, 00:33:45
porque como acaba en 2, que es un número par, pues voy a poderle dividir seguro. 00:33:48
Bueno, pues el 72 lo divido entre 2, el divisor le voy a ir poniendo siempre a la derecha de la rayita y el resultado de la división le pongo debajo. 00:33:53
72 entre 2 me da 36. ¿Podría seguir dividiendo en 36 entre 2? Pues sí, porque sigue siendo un número par. 00:34:02
Pues hago la división, 36 entre 2 me va a dar 18. ¿Puedo seguir dividiendo 18 entre 2? 00:34:13
sí, pues vuelvo a hacer otra la división 00:34:19
18 entre 2 me da 9 00:34:22
¿podría seguir 00:34:24
dividiendo 9 entre 2? no 00:34:26
porque el 9 es un número impar, entonces 00:34:27
el 2 ya le he agotado 00:34:29
voy al siguiente número primo que era el 3 00:34:31
digo, ¿voy a poder 00:34:34
dividir el 9 entre 3? sí 00:34:36
porque era múltiplo directo, está en la tabla 00:34:37
hago la división, 9 entre 3 00:34:40
a 3 00:34:42
¿puedo seguir dividiendo 00:34:43
el 3 entre 3? o sea, ya no vuelvo a 00:34:46
probar en los números que hay por debajo, el 2 00:34:48
lo vuelvo a probar nunca más, pero el 3 tengo que mirar si sigue repetido 00:34:49
¿puedo dividir 3 entre 3? Sí, y me da 1, cuando llego a este 00:34:53
1 final, es cuando considero que he acabado 00:34:58
la factorización, si no llego a ese 1 final no he terminado 00:35:02
faltan términos, tengo que ponerlos todos 00:35:06
porque ahora quiero escribir ese 72 00:35:08
como un producto de números entre los que ha sido 00:35:13
posible dividirle. Pues, ¿qué números han sido? El 2, pero el 2 resulta que se ha repetido. 00:35:18
Pues en vez de ponerle 2 por 2 por 2, lo que hago es utilizar la nomenclatura de las potencias 00:35:24
y digo, el 72 es 2 tres veces, o sea, la base, que se llama este número grande, la elevo 00:35:31
a otro número chiquitito que se llama exponente, que me está diciendo que el 2 de abajo, el 00:35:41
número grande se está repitiendo tres veces como veíamos aquí y eso lo tendría que multiplicar 00:35:47
por el 3, pero como se repetía dos veces, pues por 3 al cuadrado. Luego digo que la 00:35:52
factorización o la descomposición del 72 en números primos es esta, 2 elevado a 3 00:35:58
o 2 al cubo, que se llama también, por 3 elevado a 2, ¿vale? Si yo quisiese ver cuántos 00:36:05
divisores tienen 72, pues lo que haría sería hacer combinaciones 00:36:15
de estos números, y lo hago mejor desde aquí, diría, se puede dividir 00:36:19
entre 1, se puede dividir entre 2, 00:36:23
entre 2 por 2 que es 4, entre 2 por 2 00:36:27
que es 8, entre 2 por 3 que es 6, entre 4 00:36:30
por 3 que es 12, entre 8 por 3 que es 24, 00:36:35
entre 8 por 9 que es 72, o sea, hasta que 00:36:39
llevo al número, al valor real 00:36:43
voy haciendo todas las combinaciones posibles de los factores 00:36:47
que me han salido. Esa es la forma de encontrar todos los divisores de un 00:36:51
número. Un poquillo a lo mejor farragosa, pero solo es ir con cuidado 00:36:55
y en orden, poquito a poquito, asegurándome que no me 00:36:59
dejo ninguna combinación sin poner. ¿Vale? Bueno, pues 00:37:03
espero que esto lo hayáis recordado un poco 00:37:07
porque lo vamos a utilizar mucho en el tema de fracciones 00:37:09
porque me va a hacer falta utilizarlo para poder calcular 00:37:13
el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 00:37:17
de varios números. De hecho, pues el mínimo común múltiplo 00:37:21
lo vamos a utilizar muchísimo. Recordamos que era esto 00:37:26
y paramos por hoy. Bueno, pues 00:37:33
el mínimo común múltiplo de dos números 00:37:37
o demás, es 00:37:41
aquel número que es múltiplo común de todos 00:37:45
y es el menor de esos múltiplos comunes. A lo mejor en el cole 00:37:48
algunos hacíais este truco, que era el, quiero hacer 00:37:53
el mínimo común múltiplo del 4 y el 6. Me escribía la tabla del 4, 00:37:57
me escribía la tabla del 6 y buscaba ver cuáles coincidían. 00:38:02
Pues coincide el 12, coincide el 24, 00:38:07
coincide el 36 y ahora decíamos 00:38:09
¿y cuál es el más pequeño de esos números que coinciden? 00:38:11
pues el más pequeño es el 12 00:38:16
pues entonces digo que el mínimo común múltiplo 00:38:18
o sea, el menor de los múltiplos que tienen en común 00:38:21
el 4 y el 6 es ese 12 00:38:25
¿vale? muy bien, si los números son pequeñitos 00:38:27
genial, me puedo hacer la tabla 00:38:30
pero si los números son muy grandes 00:38:33
si me dicen que haga el mínimo común múltiplo de 1232 00:38:35
y de 424, pues a ver quién es el guapo que hace la tabla 00:38:38
hasta que coincidan los dos, me puedo tirar los días 00:38:43
¿vale? pues hacíamos otra cosa 00:38:47
más apropiada, que era lo siguiente 00:38:50
factorizo los dos números, ¿vale? en este caso 00:38:54
el 60 y el 40, o el 60, si hacemos lo de la rayita 00:38:59
me va a salir, ¿qué es? lo vemos en un segundo 00:39:03
la factorización del 60 me va a salir 00:39:06
puedo dividir entre 2, 60 entre 2 me da 30 00:39:12
sigo dividiendo entre 2 porque acabo en 0, 30 entre 2 00:39:16
me da 15, ya no puedo seguir dividiendo entre 2 porque 00:39:21
el 5 es un número impar, voy a ver si pudiese dividir 15 entre 3 00:39:24
pues como 15 es 5 más 1 es 6 00:39:29
que es múltiplo de 3, sí que puedo dividir entre 3, pues divido entre 3 00:39:32
y me da 5, el 5 no le puedo seguir dividiendo entre 3 00:39:36
voy al siguiente número primo que era el 5, lo divido entre 5 00:39:41
y he llegado al 1 que quería, entonces escribo que el 60 00:39:44
es 2 elevado a 2, porque el 2 salió 00:39:48
dos veces, por un 3 y por un 5 00:39:52
el otro número que quería era el 40 00:39:57
voy a ver cuál es la factorización del 40 00:40:00
vuelvo a hacer lo mismo, ay, perdón 00:40:03
vuelvo a hacer lo mismo la rayita, digo como acaba en 0 00:40:06
pues le puedo dividir entre 2 y me da 20, como sigue acabando en 0 00:40:14
puedo seguir dividiendo entre 2 y me da 10, como sigue acabando en 0 00:40:19
lo puedo dividir entre 2 y me da 5, el 5 ya sé que es un número primo 00:40:23
pues he terminado, entonces digo que el 40 es 00:40:27
2 elevado a 3, porque el 2 se repetía 00:40:30
tres veces y por un cinco, ya tengo 00:40:35
las factorizaciones de los dos números compuestos. ¿Qué me dice 00:40:39
ahora la teoría que haga? Pues me dice que 00:40:43
coja los factores comunes y no comunes 00:40:47
con los exponentes más grandes, los factores primos. ¿Qué es eso 00:40:50
de los factores primos? Pues estos que nos han salido aquí. 00:40:55
El dos al cuadrado, el tres, el cinco, el dos al cubo y el tres, el cinco. 00:40:59
Y me dice, ¿comunes y no comunes? Pues comunes y no comunes es que estén repetidos o no. El 2 está repetido en los dos sitios. El 5 está repetido en los dos sitios, pero el 3 no. 00:41:03
Entonces, ese mínimo común múltiplo que yo quiero, ese mínimo común múltiplo de 60 y 40 va a salir de coger el 2 al cubo, que es el repetido con el exponente más grande, por el 3, que era el factor que no estaba repetido, 00:41:16
y por el 5, que es otro factor que está repetido 00:41:40
en los dos sitios. Pues el número que yo estaba buscando 00:41:44
es 8 por 3 y por 5 00:41:48
y 8 por 3 y por 5 sería el 120. 00:41:52
El número más bajito que es 00:41:58
múltiplo de 60 y de 40 a la vez es el 120. 00:42:00
Si yo hiciese la tabla de multiplicar del 60 me saldría 60 00:42:05
por 1, 60. 60 por 2, 120. 00:42:08
60 por 3, 00:42:13
180, perdón. Si hago la del 40, tendría 00:42:16
40 por 1, 40. 40 por 2, 80. 40 por 3, 120. 00:42:20
O sea, ya se habría repetido el 120 en las dos tablas de multiplicar. 00:42:25
Aquí no habría sido tampoco muy difícil, pero 00:42:29
ya que os decía antes, con números muy grandes sí se complicaría mucho. 00:42:32
entonces hago esto, factorizo los números 00:42:36
busco los factores repetidos y no repetidos 00:42:39
y cojo los que tengan los exponentes más grandes 00:42:44
para calcular el máximo común divisor 00:42:47
el máximo común divisor sería lo contrario 00:42:53
el mayor de los divisores comunes a los dos números 00:42:56
pues podría hacer la tabla de los divisores 00:42:59
que ya es mucho más complicado 00:43:03
y luego buscar cuál es el más grande de los que me han salido repetidos 00:43:04
los divisores del 12 eran el 1, el 2, el 3, el 4, el 6 y el 12 00:43:09
los del 28, el 1, el 2, el 4, el 7, el 14, el 28 00:43:12
ya es más difícil buscarlos 00:43:16
y ahora tendría que ver 00:43:17
de todos los que se han repetido 00:43:18
cuál es el más grande, que es el 4 00:43:20
así es un lío 00:43:21
mientras que si lo hago 00:43:23
utilizando las factorizaciones 00:43:24
lo que tengo que hacer es 00:43:27
factorizar los números 00:43:28
o sea, hacerlo de la rayita como antes 00:43:30
y coger los factores primos 00:43:32
sólo los comunes 00:43:35
sólo los que se repitan 00:43:37
y con el menor exponente 00:43:38
pues si yo llego aquí y quiero hacer 00:43:41
el máximo común divisor del 60 00:43:45
y el 40, ya solo puedo coger los repetidos 00:43:52
que eran el 2 y el 2 y el 5 00:43:56
y el 5, yo la digo de entre ese 2 00:44:00
elevado a 2 y ese 2 elevado a 3, ¿con cuál me tengo que quedar? 00:44:03
pues me dice que el que tenga menor exponente 00:44:08
o sea que me tengo que quedar con el 2 elevado a 2 00:44:11
entre ese 5 y ese 5 como son iguales 00:44:13
pues da igual con el que me quede 00:44:17
pues 5, pues resulta que el divisor que estaba buscando yo es 00:44:18
4 por 5, 20 00:44:22
el 20 es el divisor más grande 00:44:25
de 60 y de 40 a la vez 00:44:27
el 20 es el divisor más grande 00:44:30
de 40 y 60 a la vez 00:44:33
Bueno, pues hasta aquí hemos llegado y hasta aquí quien quiera puede ir haciendo estos primeros ejercicios, los que correspondan con los que os he mandado para entregar y seguir recordando cosas. 00:44:35
Aquí tenemos ejercicios de aplicaciones del máximo común divisor y mínimo común múltiplo a problemas que os contaré el próximo día que haremos alguno de ellos. 00:44:51
¿Vale? Pues por ahí lo dejamos aquí 00:45:06
cualquier duda que tengáis o cualquier consulta pues me escribís 00:45:10
un correo y me decís. Venga, buena tarde. 00:45:14
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Angel Luis Sanchez Sanchez
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26 de septiembre de 2025 - 14:51
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