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AL1. 2.4 Producto de matrices - Contenido educativo
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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES
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Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases
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de la unidad AL1 dedicada a las matrices. En la videoclase de hoy estudiaremos el producto
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de matrices. En esta videoclase vamos a estudiar el producto de dos matrices. Dadas dos matrices
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A y B. A de dimensiones n por Q y B de dimensiones Q por M. Se define la matriz producto A por B
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como aquella que, veamos, en primer lugar, para que el producto de matrices esté bien definido,
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el número de columnas de la primera matriz, en este caso vemos que es Q, debe necesariamente
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coincidir con el número de filas de la segunda. Por eso vemos aquí también Q. Así que, número de
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columnas en la primera matriz debe necesariamente coincidir con el número de filas en la segunda
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matriz. La matriz producto A por B va a tener el mismo número de filas que la primera matriz,
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sea cual sea, y el mismo número de columnas de la segunda matriz, sea cual sea. Así que si estamos
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multiplicando AN por Q por B, Q por M, este número y este número, número de columnas de A,
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número de filas de B coincide, correcto, la matriz A por B va a tener dimensiones N por M,
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mismo número de filas de A, mismo número de columnas de B, como vemos aquí. ¿Cómo se determinan los
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elementos de esa matriz A por B? Bueno, pues aquí en el texto leemos que se obtienen multiplicando
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escalarmente las filas de la primera matriz A por las columnas de la segunda matriz B. Y aquí vemos
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a qué me refiero con eso del producto escalar de filas por columnas.
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Esta es la definición algebraica.
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Vamos a verlo mejor con un ejemplo.
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Voy a avanzar y voy a utilizar como ejemplo este ejercicio 7,
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donde tenemos dos matrices A y B.
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A, 2x2, es una matriz cuadrada de orden 2,
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y B, también 2x2, también una matriz cuadrada de orden 2.
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Lo que es relevante aquí es que A es 2x2, B es 2x2,
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el número de columnas de A es 2,
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Coincide con el número de filas de B, que también es 2.
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La matriz A por B, cuando la calculemos, va a tener el mismo número de filas que la matriz A, o sea 2,
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y el mismo número de columnas que la matriz B, o sea 2.
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Veremos más adelante, cuando hablemos de las propiedades, que en el caso de las matrices cuadradas,
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cuando se multiplican, van a tener que ser del mismo orden y obtendremos una matriz del mismo orden que las anteriores.
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Aquí hemos visto que A2x2 por B2x2 producirá una matriz 2x2.
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Pero a donde yo quería llegar con este ejemplo es,
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¿qué quiere decir eso del producto escalar de las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda?
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Bien, veamos, lo que vamos a hacer con la primera matriz va a ser siempre considerar sus filas.
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Y en el caso de la segunda, siempre sus columnas.
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Y lo que tenemos que hacer es ir tomando en orden la primera y la segunda fila de A,
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la primera en la segunda columna de B, tantas como haya.
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En este caso, en la primera fila de A vemos los elementos 2 y menos 3.
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Y en la primera columna de B, vamos a empezar por orden, vemos los elementos 4 y menos 1.
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Para que el producto de matrices esté bien definido, el número de columnas en la primera matriz
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debe coincidir con el número de filas en la segunda.
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Así que cuando me fijo en la primera fila o las sucesivas de A y en la primera columna o las sucesivas de B,
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cada fila de A y cada columna de B tiene el mismo número de elementos y esto es importante porque
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los elementos de A por B se van a determinar multiplicando sucesivamente los elementos de
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las filas y las columnas de A y de B y sumando. Me explico. En la matriz A por B el elemento que
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ocupa la posición 1,1 se determina multiplicando escalarmente la primera fila de A, la primera
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columna de B. Y la operación que vamos a hacer es la siguiente. Fijaos, 2 por 4, multiplico los dos
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primeros elementos, más menos 3 por menos 1, multiplico los siguientes elementos. 2 por 4 va a
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ser 8, menos 3 por menos 1 va a ser 3, 8 más 3 igual a 11. El elemento 1, 1 de la matriz A por B, el que
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está en la primera fila primera columna va a ser 11. El resultado de multiplicar escalarmente la
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primera fila de A por la primera columna de B. Lo voy a repetir con otro caso. ¿Cuál va a ser el
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elemento 1, 2 de la matriz A por B? El elemento que está en la primera fila segunda columna. Va a ser
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el resultado de multiplicar escalarmente la primera fila de A por la segunda columna de B. Así que
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recogeremos 2 por 2. Multiplico los dos primeros elementos de esta fila y de esta columna. Resultado
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4. Ahora multiplicaré menos 3 por 5. Multiplico los segundos elementos en esta primera fila y en
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esta segunda columna. Ese resultado es menos 15. Ahora tengo que sumar 4 más menos 15 es igual a
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menos 11. Pues bien, el elemento 1, 2 de la matriz A por B, primera fila, segunda columna, va a ser
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menos 11, el resultado de multiplicar escalarmente la primera fila de A por la segunda columna de B.
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Haciendo esta operación, agotando todas las combinaciones de todas las filas de A y todas
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las columnas de B, completaré la matriz A por B, como podremos ver más adelante cuando
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resolvamos estos ejercicios. Vuelvo atrás para ver cuáles son las propiedades, antes de resolver
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ver estos productos cuáles son las propiedades del producto de matrices nos
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van a recordar algunas de ellas las correspondientes a las operaciones con
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los números reales por ejemplo la propiedad asociativa si tengo que
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multiplicar tres matrices a por b por c en primer lugar necesito que las
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dimensiones sean las adecuadas cuando multiplico a por b necesito que el
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número de columnas de a coincida con el número de filas de b y cuando más
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adelante vaya a multiplicar b por c necesitaré que el número de columnas de b a su vez coincida
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con el número de filas de c. Bueno pues si las dimensiones coinciden y son las adecuadas de
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esta manera va a ser lo mismo multiplicar en primer lugar las dos primeras matrices y a
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continuación multiplicar por la tercera que multiplicarle a la primera matriz el resultado
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de multiplicar las dos siguientes. Hemos de tener mucho cuidado porque en general el producto de
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matrices es no conmutativo. Ojo, esto no quiere decir que el resultado de multiplicar A por B y
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B por A no coincida nunca. Quiere decir que no tenemos garantizado que A por B y B por A coincidan.
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Podrá ser que fruto del azar A por B y B por A coincidan, sean iguales, pero no tiene por qué. De
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De hecho, en un momento dado, lo veremos más adelante con alguno de los ejemplos, es posible que A por B exista porque las dimensiones sean las adecuadas, pero B por A no, porque las dimensiones no vayan a coincidir.
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Hemos de tener mucho cuidado con esto.
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Como podemos ver aquí, es condición necesaria, aunque no va a ser suficiente, para que las matrices se comuten, para que el producto de matrices sea comutativo, que las matrices sean cuadradas del mismo orden.
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En el ejemplo que veíamos un poco más adelante, este ejemplo 7, A es una matriz cuadrada de orden 2, B es una matriz cuadrada de orden 2.
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Tanto A por B como B por A van a estar bien definidas por ser matrices cuadradas del mismo orden.
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Ahora, ¿coincidirán A por B y B por A o no? Dependiendo de cómo sean las matrices. En este caso habría que hacer las operaciones.
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En este otro ejemplo 6, con estas matrices A, perdón, 1 por 3 y B, 3 por 1, no son matrices cuadradas, desde luego no son del mismo orden.
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A por B y B por A no van a coincidir, seguro. Seguimos con las propiedades del producto de
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matrices. Vemos que tiene la propiedad distributiva respecto de la suma de matrices tanto por la
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derecha como por la izquierda. Si a una matriz C le multiplicamos por la izquierda por una suma A
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más B, podemos hacer la suma y luego multiplicar la matriz C o podemos multiplicar A por C en este
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orden, luego b por c también en este orden y sumar. Fijaos que para que esto esté bien definido las
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dimensiones deben ser las adecuadas. Y digo por la derecha o por la izquierda porque en general el
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producto es no conmutativo. Tenemos que pensar en qué es lo que pasa si a esta matriz c en lugar de
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multiplicarle la suma a más b por la izquierda le sumara esta suma a más b por la derecha. En ese
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caso la condición para las dimensiones es diferente y lo que debe ser, o lo que dice
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la propiedad, perdón, es que va a ser lo mismo sumar a más b y multiplicar c por el resultado
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de esta suma que multiplicar primero c por a y luego c por b y sumar estas dos matrices. Fijaos
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en el orden, insisto, en general el producto de matrices es no conmutativo. Cuando tengo a más b
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por C, esta C está multiplicando a la derecha, así que multiplicaré A por C, C a la derecha, B por C, C a la derecha. Cuando tengo C por A más B, esta matriz C está
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multiplicando la suma por la izquierda, así que tendré que hacer C por A con C por la izquierda y C por B con C por la izquierda. Luego, cuando tenga en consideración
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qué es lo que pasa con la suma, una vez que tenga o bien inicialmente estas matrices o bien al final estos resultados, os recuerdo que la suma sí es conmutativa.
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Luego, habría dado lo mismo haber puesto a por c más b por c que b por c más a por c.
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Porque la suma de matrices sí es conmutativa, pero tened mucho cuidado con el producto de matrices.
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Puede que fruto del azar sea conmutativo, pero en general no podemos asumirlo, salvo que lo hayamos demostrado o nos lo digan.
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Así que debemos tener mucho cuidado con el orden en el que hacemos la multiplicación.
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En el caso del producto de matrices también tenemos un elemento neutro, es la matriz identidad del orden adecuado
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Es una matriz que al multiplicarla por la izquierda o por la derecha a nuestra matriz me va a producir la misma matriz de partida
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Para que una matriz tenga elemento neutro con respecto al producto debe ser una matriz cuadrada, por supuesto
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Y lo que vamos a hacer es considerar que la matriz identidad del mismo orden va a ser elemento neutro
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La matriz de identidad por esta matriz cuadrada multiplicada por la izquierda o multiplicada por la derecha va a producir la misma matriz cuadrada. Esta propiedad será importante más adelante.
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En cuanto a la traspuesta del producto también tenemos una propiedad que nos dice. Podemos multiplicar A por B y transponer el resultado o bien lo que podríamos hacer es transponer la matriz B y multiplicar a su derecha por la matriz A.
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Fijaos en que esto es importante, el orden cambia.
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A por B y el resultado traspuesto se podría calcular multiplicando B traspuesta por A traspuesta.
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Fijaos en que el orden ha cambiado.
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Aquí tengo A por B y luego la traspuesta.
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Si hago primero las traspuestas, primero B y luego A.
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Con esto que hemos visto ya podemos resolver estos dos ejercicios que resolveremos en clase y en una videoclase posterior.
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En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.
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Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.
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No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.
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Un saludo y hasta pronto.
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- Idioma/s:
- Autor/es:
- Raúl Corraliza Nieto
- Subido por:
- Raúl C.
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- Fecha:
- 22 de agosto de 2024 - 15:45
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- IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
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