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FU2. 3 Funciones radicales. Ejercicio 6 resuelto - Contenido educativo

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Subido el 17 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:20
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones radicales. 00:00:31
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones irracionales, vamos a estudiar las funciones 00:00:40
radicales que son aquellas cuya expresión algebraica va a contener la variable independiente 00:00:51
en el argumento de un radical. Nos vamos a restringir a las funciones más sencillas 00:00:57
que van a ser aquellas que tengan como expresión algebraica f de x igual a la raíz enésima 00:01:03
dependiendo del índice veremos que tenemos distintos tipos de funciones de x menos x 00:01:09
0 dentro del argumento más y sub 0. Y este x 0 y sub 0 va a ser algo relevante a la hora de 00:01:14
representar gráficamente la función. Lo veremos más adelante. ¿De qué va a depender la representación 00:01:22
gráfica? Pues esencialmente del índice del radical y nos vamos a encontrar con dos tipos de funciones 00:01:28
radicales dependiendo de si el índice es par o impar. Lo vamos a ver inmediatamente a continuación. 00:01:33
El dominio y la imagen va a depender de si el índice es par o impar. 00:01:40
Características, todas ellas van a depender de la paridad del índice. 00:01:46
Veremos que el dominio de la función, si en es par, va a ser desde el valor x0 cerrado hacia más infinito abierto 00:01:50
y la imagen desde el valor de y0 cerrado hacia más infinito abierto. 00:01:56
Así que el punto x0 y 0 va a ser relevante, es el punto donde se va a iniciar la representación gráfica de la función. 00:02:02
Mientras que si n es impar, tanto el dominio como la imagen van a ser toda la recta real. 00:02:08
Los puntos de corte con los ejes se van a determinar de existir resolviendo la ecuación f de x igual a 0 para encontrar los puntos de corte con el eje de las x, 00:02:15
o bien el valor numérico f de 0 para encontrar el punto de corte con el eje de las y. 00:02:25
De ser x igual a 0 perteneciente al dominio de la función, evidentemente. 00:02:30
En cuanto a la monotonía, si n es par, la función va a ser creciente en el intervalo abierto desde x0 hasta más infinito 00:02:34
Si n es impar, la función va a ser creciente en todo su dominio, en toda la recta real 00:02:44
Tan solo si n es par, la función va a tener un mínimo relativo en el punto x0 y 0 00:02:50
Si n es impar, la función no va a tener extremos relativos 00:02:55
En lo que respecta a la curvatura, si en es par la función va a ser cóncava en el intervalo abierto que va desde x0 hasta más infinito, 00:02:59
si en es impar la función tiene dos tramos. 00:03:08
Un primero desde menos infinito hasta x0 donde es convexa y uno segundo desde x0 hasta más infinito donde es cóncava. 00:03:12
Y solo si en es impar va a haber un punto de inflexión en ese punto x0 y 0 donde cambia la función de convexa a cóncava. 00:03:20
Este tipo de función no tiene asíntotas, todas ellas van a ser continuas en todo su dominio, 00:03:27
dependiendo de si n es par o impar, desde x0 más infinito viene toda la recta real. 00:03:32
Y tan solo en el caso en el que n es impar, van a ser funciones simétricas con respecto de ese punto x0 y 0. 00:03:37
Vamos a ver a continuación algunos ejemplos. 00:03:45
En este ejercicio se nos pide que estudiemos y representemos las funciones. 00:03:48
adx igual a raíz cuadrada de x más 4 más 1. 00:03:52
Aquí vemos que el índice 2 es par, x0 es menos 4, puesto que en el argumento espero ver x menos x0, 00:03:56
y x menos menos 4 es este x más 4 que tengo aquí, e y0 es 1. 00:04:03
A continuación después veremos la función b de x, que se define como raíz cúbica, 00:04:07
aquí vemos índice impar de x menos 1, x0 vale 1, menos 2, así que en este otro caso y0 va a ser menos 2. 00:04:12
Vamos a comenzar con este primer caso, adx igual a raíz cuadrada de x más 4 más 1. 00:04:20
Decíamos que el dominio de esta función iba a comenzar en el valor de x0 cerrado hacia más infinito. 00:04:28
Bien, eso se debe a que en el caso de las raíces con índice par no podemos extraer la raíz de un número negativo, 00:04:35
no está definido más que la raíz de 0 y a partir de ahí de todos los números positivos. 00:04:43
¿Cuál es el conjunto para el cual x más 4 es mayor o igual que 0? 00:04:49
Pues el conjunto que va desde menos 4 cerrado hasta más infinito. 00:04:54
Esa es la razón de definir el dominio de esta manera. 00:04:59
En cuanto a la imagen decíamos que iba a ser el intervalo que comenzaba en este valor de y sub 0, que en este caso es 1 cerrado, hacia más infinito. 00:05:03
Bien, para ver los puntos de corte con los ejes de x e y, bien, pues para ver si hay puntos de corte con el eje de las x, igualaríamos la expresión algebraica raíz de x más 4 más 1 a 0, vemos que esa ecuación no tiene solución, luego no hay puntos de corte con el eje de las x, y para ver el punto de corte con el eje de las y, lo que vamos a hacer es calcular el valor numérico a de 0. 00:05:12
y tenemos que hacer raíz cuadrada de 4, que es 2 más 1, que es 3, y encontramos ese punto 0, 3. 00:05:36
Sabemos que la función va a ser creciente en el intervalo abierto de su dominio, 00:05:45
así que desde menos 4 abierto hasta más infinito, 00:05:49
que en el punto menos 4, 1, x0 y 0 va a haber un mínimo, 00:05:52
que la función va a ser cóncava en el intervalo abierto de su dominio y continúa en todo su dominio. 00:05:56
Entonces lo que vamos a hacer es pintar la función como vemos aquí. 00:06:03
Comenzando en el punto , ahora este x igual a menos 4 y igual a 1 no son asíntotas, 00:06:08
son dos líneas que me van a permitir encontrar este punto. 00:06:17
Bien, comenzando a partir de aquí, lo que tenemos que hacer es representar una función que sea creciente. 00:06:20
Las raíces cuadradas son funciones inversas de las parábolas, 00:06:27
Así que no es de extrañar que esta forma con la que estamos representando la función raíz cuadrada nos recuerde a una parábola tumbada. 00:06:30
Son funciones la una inversa con respecto de la otra. 00:06:39
Así que siempre que vayamos a pintar la función raíz cuadrada pensemos en la función x cuadrado. 00:06:42
Si fuera raíz cuarta pensemos en la función x a la cuarta. 00:06:49
Y démosle siempre, a partir de este punto, una curvatura similar a la que le daríamos a x al cuadrado, x a la cuarta, etc. 00:06:52
En el caso concreto de esta función, podríamos ir buscando ciertos valores característicos para poder ir representándola adecuadamente. 00:07:02
Lo que podemos hacer es una tabla de valores. 00:07:13
Entonces, si sustituyo x por 0, me puedo encontrar con el punto de corte 0,3 que habíamos pintado anteriormente. 00:07:16
Pero puedo sustituir el valor x igual a menos 3. 00:07:24
Para buscar cuál es el valor a de menos 3, raíz cuadrada de menos 3 más 4, que es 1, y la raíz es 1, más 1. 00:07:28
Bien, cuando la x vale menos 3, la función toma la altura 2, pasa por el punto menos 3, 2, y tendría este punto de aquí. 00:07:36
Podría ir haciendo esto, haciendo una pequeña tabla de valores, para poder hacer esta representación de una forma mucho más precisa. 00:07:43
En el caso de la función b vamos a operar análogamente. 00:07:53
Vamos a fijarnos en este valor de x0 igual a 1 y en este valor de y0 igual a menos 2. 00:07:57
Y vamos a representar ese punto x igual a 1 y igual a menos 2 dentro de nuestro gráfico. 00:08:02
Y una vez más, estas dos líneas, x igual a 1 igual a menos 2, no son asídotas, sino que nos van a ayudar a encontrar este punto que tenemos aquí. 00:08:08
Sabemos que el dominio de esta función, dado que el índice es impar, va a ser toda la recta real y la imagen también, toda la recta real. 00:08:17
Podemos buscar los puntos de corte con los ejes, corte con el eje de las x igualando b de x a 0 y veríamos que obtenemos la abstisa x igual a 10, el punto sería el 10, 0. 00:08:24
Y en cuanto al punto de corte con el eje de las i, buscamos el valor numérico b de 0, dado que 0, por supuesto, forma parte del dominio. 00:08:37
Sustituyendo, tenemos raíz cúbica de menos 1, que es menos 1 menos 2, así que tenemos la ordenada menos 3. 00:08:45
La función pasa por el punto 0 menos 3. 00:08:52
Y lo que tenemos que hacer es pintar una función que sea creciente en toda la recta real, 00:08:55
que en el primer tramo hasta este punto sea convexa, que en el segundo tramo a partir de este punto sea cóncava, 00:09:00
que pase por el punto 0, menos 3 y nos queda fuera de la representación gráfica que estamos haciendo, 00:09:08
que pasará por el punto 10, 0. 00:09:14
Sabemos que este punto va a ser un punto de inflexión, tenemos que pintar una función continua en toda la recta real 00:09:16
y sabemos que tiene que ser simétrica con respecto de este punto, con respecto del punto de inflexión. 00:09:22
Nuevamente podemos ayudarnos para hacer una representación gráfica adecuada de una tabla de valores y podemos ir sustituyendo distintos valores reales para poder ir haciendo una buena representación. 00:09:30
También podemos aprovechar la simetría. Por ejemplo, sabemos que la función es simétrica con respecto de este punto y sabemos que la función pasa por el punto 0, menos 3. 00:09:42
Entonces, con respecto a este punto, una unidad hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. Bueno, pues podemos buscar cuál es su simétrico con respecto de este punto. Una unidad hacia la derecha, una unidad hacia arriba. Este punto de corte nos da su simétrico también en la función que podría ser este. 00:09:54
Por otra parte, si hubiéramos representado el punto de corte con el eje de las X, que sería el punto 10,0, que estaría por aquí, 00:10:10
podríamos nosotros pensar que nos hemos desplazado con respecto desde este punto nueve unidades hacia la derecha 00:10:18
y que hemos trazado el punto con respecto a este punto dos unidades hacia arriba. 00:10:26
Y hacer lo mismo buscando el simétrico. 00:10:30
Desplazarnos nueve unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo. 00:10:33
De una u otra manera, aquí tenemos cuál es la forma de este tipo de función. 00:10:37
En el caso de antes comentábamos que no era de extrañar que la forma fuera así, como una parábola tumbada, puesto que la inversa de la raíz cuadrada es la función x al cuadrado. 00:10:44
Bueno, pues en este caso ocurre algo similar. 00:10:59
Si nosotros tenemos en la mente cuál es la forma de la función y igual a x al cubo, 00:11:01
es muy similar a esta, y es que la función raíz cúbica es inversa de la raíz x al cubo. 00:11:06
Al igual que hemos hecho en los casos anteriores, podemos preguntarnos 00:11:13
cómo podríamos determinar la expresión algebraica que le corresponde a las distintas representaciones gráficas. 00:11:16
Bien, siempre que veamos una curva así, de esta forma, o bien una curva como la de este otro ejemplo, 00:11:23
hemos de pensar en funciones irracionales, en funciones radicales. 00:11:30
En el caso en el que veamos una única rama, pensaremos en que la raíz va a tener índice par, 00:11:34
y en el caso en el que veamos una función continua en toda la recta real, con estas dos ramas así, de esta forma, 00:11:40
pensaremos en que tenemos una raíz con índice impar. 00:11:45
En cuanto a los dos parámetros x0 e y0 que teníamos en la expresión algebraica, 00:11:49
no tenemos más que, en este caso, buscar el punto donde se inicia la función 00:11:56
y en este otro caso buscar el punto de inflexión, donde cambia la curvatura, en este caso de convexa a cóncava. 00:12:00
Y ahí el punto nos va a indicar los valores de x0 y de y0. 00:12:08
Así que en el argumento de la raíz, en cuanto veo que este punto es el 1 menos 2, 00:12:11
pondré x menos 1 y fuera pondré menos 2, fijaos, y en el caso anterior lo mismo, cuando veo que esta 00:12:16
función comienza en el punto menos 4, 1, en el argumento de la raíz pondré x más 4, x menos menos 4, 00:12:23
fijaos, y fuera pondré más 1. Nos ocurre algo similar a lo que nos ocurría en el caso de las 00:12:30
funciones racionales cuando teníamos las funciones potenciales con exponente entero negativo, y es que 00:12:39
sabemos en este caso que el índice va a ser par, pero no sabemos si es 2, 4, 6, etc. 00:12:46
En este otro caso sabemos que el índice es impar, pero no sabemos si es 3, 5, etc. 00:12:51
Bien, en este caso lo que necesitamos es buscar un punto conocido dentro de esta función 00:12:57
y sustituir para ver cuál sería el exponente que le correspondería. 00:13:03
Por ejemplo, en este caso, si yo sé que es raíz de índice par, pero no sé cuál es, 00:13:08
de x más 4 más 1 y estoy viendo que la función pasa por el punto 0, 3, por ejemplo, 00:13:14
lo único que tendría que hacer es sustituir la x por 0, que la imagen sea 3 00:13:22
y preguntarme por cuál debe ser el índice de la raíz para que ese punto pertenezca a la función. 00:13:27
En ese caso encontraría que el índice debe ser 3. 00:13:32
Aquí en este caso exactamente igual, por ejemplo, el punto de corte 0 menos 3 00:13:35
O bien este punto 2 menos 1, puntos que vea claramente que pertenecen a la función. 00:13:40
Si mi única duda es el índice de la raíz, lo único que tengo que hacer es sustituir el valor de x, poner el valor de y correspondiente y buscar cuál es el índice que le va a corresponder. 00:13:46
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:14:00
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:14:06
No dudéis en traer vuestras dudas y inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:14:11
Un saludo y hasta pronto. 00:14:16
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
2
Fecha:
17 de noviembre de 2025 - 8:52
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
14′ 44″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
35.18 MBytes

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