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Integrales indefinidas y definidas - Contenido educativo

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Subido el 19 de marzo de 2026 por Roberto A.

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Pues no he grabado el ejercicio de antes, madre mía, hoy es 18 de marzo del 2026, ¿vale? 00:00:02
He desarrollado todo esto, lo subiré, ¿vale? Lo subiré arriba esta tarde. 00:00:12
Entonces, si recopilamos, fijarse, esta me la inventé pero es muy completa. 00:00:18
¿Qué quiere decir? ¿Que caerá una cosa así en el examen? 00:00:27
Pues yo te diría que no, tan larga, porque es muy largo, un ejercicio muy largo. En la EBAU, pues recebemos que no, en la PAU recebemos que no salga algo así, ¿vale? Porque al final lleva muchísimo, muchísimo tiempo. 00:00:30
completo, como completo es 00:00:43
como ejercicio súper completo 00:00:45
entonces si recopilo 00:00:48
esto es menos un tercio 00:00:49
del logaritmo negruiano de x menos 1 00:00:51
menos 00:00:54
1 partido es 00:00:55
x menos 1, ¿verdad? 00:00:57
y esto es más 00:01:00
un tercio y aquí 00:01:02
no sé si lo tenéis apuntado 00:01:03
me tenéis que ayudar 00:01:05
esto era un sexto, ¿verdad? 00:01:06
sí, un sexto de toda 00:01:10
esa integral, ¿verdad? 00:01:11
Entonces, esto es un sexto más un sexto y esta integral daba, por un lado, el logaritmo neperiano de x cuadrado más x, ¿verdad? 00:01:13
Logaritmo neperiano de x cuadrado más x más 1, ¿verdad? 00:01:32
Y ahora esto daba más 2 raíz de 3 tercios de k bar. 00:01:35
Arco tangente de 2x más 1 raíz de 3 más c. 00:01:43
¿Vale, chavales? 00:01:56
Entonces, este ejercicio es muy completo para repasar todo lo de las fracciones simples. 00:01:56
¿Por qué? 00:02:02
Porque tenemos una fracción simple que se repite, una fracción simple real que se repite, por lo tanto tengo que poner aquí ya vale tanto el a como el b para x menos 1, ¿de acuerdo? 00:02:03
Y luego como la otra es una función compleja, son las soluciones son complejas, ¿de acuerdo? Pues entonces tengo que poner una ecuación de primer grado arriba. 00:02:20
Y de este tipo, normalmente, que son un follón, nos va a salir un logaritmo neperiano y un arcotangente. ¿Vale? ¿Sí? ¿More or less? More or less. Para mi gusto son complicadas, ¿eh? Son complicadas, sobre todo estas últimas. Las otras no, porque salen del tirón, salen del tirón. 00:02:31
Sí, yo ya lo he hecho. 00:02:53
Yo ya lo he hecho para sacar la A, la B, la C y la D. 00:02:57
¿Vale? 00:03:01
¿Vale? 00:03:04
Entonces aquí, mira, perdóname un segundillo. 00:03:05
Tengo aquí el chuletario. 00:03:09
Resulta que aquí me sale esto. 00:03:11
Aquí me sale esto. 00:03:13
Y para X menos 1, tengo que mirar la chuleta, ¿eh? 00:03:15
Para X menos 1 me sale aquí. 00:03:19
Me saldría. 00:03:22
menos 2a menos 4c más 4d igual a 2 tercios, ¿vale? 00:03:23
Y luego, chaval, he hecho para x igual a 2 y para x igual a 2 me sale 7a más 12 más d igual a menos 4 tercios, ¿vale? 00:03:30
Y entonces, con esto, a ver, este ejercicio, o solo hacemos este ejercicio y otro, o es bastante, bastante largo, ¿eh? Bastante, bastante largo. Yo aquí uno que os recomiendo para que hagáis para casa es este mismo, pero sin el cuadrado, ¿vale? Sería este de aquí, yo os lo recomiendo para casa, no, aquí no es. 00:03:42
es este de aquí 00:04:09
sin el cuadrado, ¿de acuerdo? 00:04:15
Entonces es mucho más sencillo. 00:04:18
¿Vale? 00:04:22
Yo os recomiendo que hagáis para casa 00:04:22
este de aquí. 00:04:24
Si el anterior separado es demasiado largo, 00:04:27
¿para ti cuáles son los normales? 00:04:30
A ver, normalmente 00:04:32
la PAU, a ver, un logaritmo neperiano 00:04:33
va a caer 00:04:36
la de dividir, chavales, 00:04:38
tened cuidado aquí una cosa, 00:04:39
si el grado del de arriba es mayor o igual que el de abajo 00:04:41
tenemos que hacer la división. Esas sí 00:04:44
se hacen rápido, ¿vale? Esas sí 00:04:46
se hacen rápido. Y esas normalmente 00:04:48
también acaban el logaritmo 00:04:50
neperiano, la mayoría. Seguramente 00:04:52
hoy, chavales, suba 00:04:54
otras 20 hojas. 00:04:56
Llevo 20 hojas. Seguramente suma 00:04:58
más. Entonces, para que las tengáis, 00:05:00
voy a subir de momento 20 00:05:02
hojas y luego seguramente suba unas 10 00:05:04
más o una cosilla así, ¿vale? O 00:05:06
18 hojas y luego subo más. 00:05:08
De mogollón de integrales hechas para que 00:05:10
las veáis, ¿vale? Entonces, de 00:05:12
integrales que podemos tener un curso entero 00:05:14
solamente de integrales. Entonces, lo 00:05:16
único es que sepáis los distintos tipos 00:05:18
que hay y cómo, sobre todo, cómo meterle 00:05:20
mano. Y después, ¿qué ocurre una cosa? 00:05:22
Hay algunas integrales que ahí os lo voy 00:05:24
a subir y ya os lo he subido, que 00:05:26
se puede hacer de dos tipos. Uno con un cambio 00:05:28
de variable, otro... Entonces, 00:05:30
la de por parte son muy 00:05:32
importantes. La de 00:05:33
las racionales también 00:05:35
son muy importantes y 00:05:38
por supuesto tenéis que saber las que son 00:05:40
directas, ¿vale? Las que son inmediatas 00:05:42
que se llaman, ¿verdad? Que he dicho directas. 00:05:44
¿Vale, chavales? 00:05:46
¿Sí? 00:05:48
¿Y hasta ahí todo bien? Venga, vamos 00:05:49
a empezar un tema nuevo 00:05:52
que son la integral definida, 00:05:53
¿vale? La integral definida 00:05:56
no es 00:05:57
tan complicado, entre 00:06:00
comillas, siempre y cuando 00:06:02
sepamos integrar, ¿vale? 00:06:03
Claro, claro, es que es 00:06:08
uno de los... Y los volúmenes de 00:06:10
revolución también, que ahí eso es, digamos, la parte 00:06:12
más. No. Bueno, a ver, a ver. Las integrales indefinidas son integrales como tal, ¿vale? 00:06:14
Son integrales. ¿Qué es lo que ocurre? Que las integrales definidas son iguales que las 00:06:23
integrales sin definir, pero yo ya tengo unos límites de integración, ¿de acuerdo? Y 00:06:29
entonces eso normalmente me va a dar, en vez de ya no aparece la constante, ya no aparece 00:06:34
la constante C 00:06:39
y lo que sí me va a tener que dar 00:06:41
al final un valor concreto 00:06:44
que es lo que tú me dices 00:06:46
es o la medida del área 00:06:47
o luego también un volumen 00:06:49
¿de acuerdo? 00:06:51
Sí, las anteriores 00:06:55
son indefinidas, ¿por qué? 00:06:56
porque no tenemos límites 00:06:57
de integración, pero luego 00:06:59
todo lo que vamos a ver ahora 00:07:01
es exactamente igual 00:07:03
¿vale? Entonces chavales 00:07:05
¿qué es lo que quiero que veáis 00:07:06
ustedes de una integral definida? Pues una integral definida al final es el área entre la gráfica, ¿vale? 00:07:09
Cuando yo tengo esto de aquí, a ver si lo he cogido bien. A ver, una integral definida de una función es el área 00:07:18
entre la gráfica, ¿de acuerdo? Y el eje x, ¿vale? Y entonces, entre el intervalo a y b. Por lo tanto, ¿qué 00:07:30
diferencia estamos viendo con lo de antes? Que antes la integral definida 00:07:38
aquí no aparecía el a y el b, ¿lo veis? Y ahora sí 00:07:42
aparecen, ¿de acuerdo? Ahora sí aparece. Y entonces se lee 00:07:45
integral entre a y b de la función. La única 00:07:50
diferencia entre una integral definida y una integral sin definir es que 00:07:53
ahora nos aparecen unos límites de integración que se llama, ¿eh? Que es a y b. 00:07:57
¿De acuerdo? Entonces, ¿qué quiero yo que veáis como diferencia? 00:08:02
Que para que veáis que no es complicado, ¿vale? 00:08:05
Si yo tengo, chavales, la integral de x cuadrado menos x, diferencial de x, ¿esto qué es, chavales? 00:08:07
Esto era x al cubo partido de 3, ¿verdad? 00:08:16
Menos x al cuadrado partido de 2 más mi constante de integración. 00:08:20
¿Estamos todo el mundo de acuerdo? 00:08:27
Sí, ¿verdad? 00:08:28
Vale, pues ahora, si yo tengo x cuadrado menos x diferencial de x, yo ahora lo voy a integrar entre dos puntos, ¿vale? Entre dos puntos, por ejemplo, voy a integrarlo entre el menos 1 y el 2, me lo estoy inventando, ¿vale? 00:08:29
Entonces, fijaros la diferencia ahora. 00:08:48
Yo ahora aquí no tenía ni el 1 ni el menos 2, es una integral indefinida, 00:08:51
por eso no están definidos los límites de integración. 00:08:54
Pues ahora yo lo voy a integrar entre el menos 1 y el 2. 00:08:58
¿Vale, chavales? ¿Sí o no? 00:09:02
Y entonces, ¿esto qué es? 00:09:03
Pues esto se hace exactamente lo mismo, lo único que ahora ponemos unos corchetes, ¿vale? 00:09:06
Unos corchetes y tenemos x al cubo partido de 3 menos x cuadrado partido de 2, ¿de acuerdo? 00:09:11
Ya no pongo esa constante de integración y ahora está entre menos 1 y 2. 00:09:19
¿Y esto cómo se resuelve, chavales? 00:09:25
Esto es la famosa regla de Barru, que ya la veremos, ¿vale? 00:09:27
No sé si alguno la ha visto ya. 00:09:31
Lo que hago es sustituyo la x por este valor 2, ¿vale? 00:09:34
Es decir, esto sería 2 al cubo partido de 3 menos 2 al cuadrado partido de 2, que ahora aparece, ¿vale? 00:09:39
Menos, ahora sustituyo la x por el otro límite, que es menos 1, ¿vale? 00:09:50
Entonces, es menos 1 al cubo partido de 3 menos menos 1 al cuadrado partido de 2. 00:09:57
¿Lo veis, chavales? 00:10:06
¿Lo veis complicado? 00:10:09
¿Lo veis complicado de decir? 00:10:11
Necesito saber integrar 00:10:13
Si no se integra, malagueña 00:10:15
Es lo mismo, carcado 00:10:17
Lo único que ahora, en vez de yo dejarla aquí 00:10:19
Porque yo aquí, fíjate, Carlos, ya he acabado 00:10:21
¿Vale? 00:10:23
Ahora digamos que hay un pasito más 00:10:25
Yo ahora tengo que, primero, y siempre es lo mismo 00:10:27
¿Eh, chavales? 00:10:29
El límite de arriba menos el límite de abajo 00:10:30
¿Vale? Siempre es igual 00:10:33
Entonces esto sería ocho tercios menos dos, ¿verdad? Ocho tercios menos dos es cuatro tercios, ¿no? Cuatro tercios. Y esto es menos un tercio menos un medio. Un tercio menos un medio que es menos un sexto. 00:10:34
8 tercios menos 2, ¿cuánto es? 00:10:58
2 tercios, ¿vale? 00:11:00
Esto es 2 tercios. 00:11:01
Y ahora, menos 1 tercio menos... 00:11:03
Ah, menos 1 tercio menos 1 medio es menos 5 sextos, ¿no? 00:11:06
¿Sí? 00:11:13
Menos menos 5 sextos. 00:11:15
Y esto, chavales, ¿a qué es igual? 00:11:18
Pues esto es 4 más 5, esto es 9 sextos, si no me equivoco. 00:11:20
¿Me lo puede hacer 2 tercios menos menos menos 5 sextos? 00:11:25
Esto es 9 sextos. 00:11:32
Que es 3 medios, gracias. 00:11:34
¿Vale? 00:11:38
Entonces, ¿esto qué es geométricamente qué es, chavales? 00:11:38
Pues, fijaros. 00:11:44
¿Tenéis el de este ahí? 00:11:48
Si yo represento la... 00:11:50
Hostia, es que esto no lo puedo perder, ¿eh? 00:11:56
Es de primero, yo llevo. Entonces, ¿cuál era la función? Perdonadme, ¿x cuadrado menos 2 menos x? Fijaros, chavales, esta es mi parábola de Cristo, ¿vale? Y yo lo he hecho entre menos 1, es decir, yo pongo aquí x es igual a menos 1 y x es igual a cuánto? A 2. 00:11:57
Vale, pues yo el área que he calculado, chavales 00:12:26
Voy a coger esto de aquí 00:12:30
El área que yo he calculado es esto de aquí 00:12:32
El 2 tercio es la suma de todo esto de aquí, ¿vale? 00:12:37
¿Lo veis? 00:12:45
Menos esto, más esto de aquí 00:12:46
Y aquí en este caso, en este caso, es que tendríamos que haber hecho límites de interacción entre medias, ¿vale? 00:12:50
Es que no he visto la gráfica como es, ¿vale? 00:12:57
Entonces, lo que hemos hecho, habría que matizarlo, ¿vale? 00:12:59
Habría que matizarlo, porque me lo he inventado y resulta que tenía que hacer los límites de integración porque cambia de signo, ¿vale, chavales? 00:13:05
Pero yo creo que en el fondo sale bien. 00:13:13
Yo lo que quería explicaros, aquí es que me he precipitado con esto. 00:13:14
Porque lo que quiero explicaros es que, fíjate, la inmediata es únicamente sustituir por los límites de integración, ¿vale, chavales? 00:13:20
Lo que pasa es que como aquí justo no me he dado cuenta, si esto lo hago, mira, para no... 00:13:27
Aquí lo suyo es haberlo hecho a partir del 1, ¿vale? 00:13:33
A partir del 1, por ejemplo, del 1 al 4, ¿vale? 00:13:36
Y entonces ya sería del 1 al 4 mejor que esto de aquí, ¿vale? 00:13:40
Entonces, yo lo que quiero aquí es que sepáis la idea, ¿vale? 00:13:43
Lo que quiero que sepáis de aquí es la idea, ¿vale, chavales? 00:13:48
Vamos a continuar y perdonad porque no me he dado cuenta de eso de ahí. 00:13:51
Venga. 00:14:01
Entonces, funciones integrables, nada, 00:14:02
diremos que una función f es integral si existe la integral, ¿vale? 00:14:05
No hay otra cosa más, ¿de acuerdo? 00:14:10
Si existe la integral, es decir, podemos asignar un área al recinto formado por la gráfica de la función y el eje x. 00:14:13
Es decir, si yo tengo realmente, lo voy a dibujar aquí mejor, ¿vale? Si yo tengo aquí una función, ¿de acuerdo? Que sea como sea, perdona, yo tengo mi función que es así, por ejemplo, ¿vale? Una cosilla así. 00:14:19
Y yo tengo aquí el a y tengo aquí el b, ¿vale? La integral definida de esta función, esto es f de x, ¿vale? Pues la integral definida entre a y b de f de x es esto que estoy haciendo aquí en verde, ¿vale? 00:14:34
Es el área, es el área de la función bajo la función y el eje x, ¿de acuerdo? Sería todo esto de aquí, ¿vale, chavales? Esa es la definición de variable de integral definida, ¿vale? Este área de aquí y se calcula con la integral de f de x entre a y b, ¿vale, chavales? 00:14:53
¿Sí o no? ¿Sí? ¿Más o menos? Venga. A la hora de realizar es lo mismo, ¿de acuerdo? Allí, bueno, ahí te explican muchísimo y demás, ¿vale? 00:15:18
esto también es importante 00:15:34
saberlo, ¿vale? dice 00:15:41
si una función es 00:15:43
si una función 00:15:45
f de x continua 00:15:48
y es creciente en a y b 00:15:50
entonces es integrable 00:15:52
¿vale? y luego 00:15:54
otra propiedad que es esta 00:16:01
la vamos a utilizar muchísimo y la es la que 00:16:03
tendríamos que haber utilizado 00:16:05
¿se me ha cerrado? 00:16:08
está pasando esto 00:16:17
chavales, esta propiedad también es muy importante 00:16:18
¿vale? ¿qué quiere decir 00:16:22
esta de aquí? 00:16:23
que si yo chavales, integro 00:16:25
wow 00:16:27
entre 00:16:29
entre A y C 00:16:31
¿vale? es decir 00:16:34
yo aquí, fijaros 00:16:35
si yo tengo aquí esto es lo mismo ¿vale? 00:16:37
el ejemplito de antes ¿vale? 00:16:42
voy a intentar simular 00:16:44
la misma función 00:16:46
aquí tenía A y B 00:16:47
¿verdad? 00:16:58
Si yo tengo aquí A, lo voy a cambiar a C, ¿vale? 00:16:58
Y yo tengo aquí una B entre medias. 00:17:02
Si yo integro primero entre A y B, luego integro entre B y C, ¿de acuerdo? 00:17:05
La suma de las dos equivale a haber integrado entre A y C, ¿vale? 00:17:12
Esto que parece de perogrullo es una propiedad muy importante y alguna vez que otra la vamos a utilizar, ¿vale, chavales? 00:17:17
Lo que me viene a decir esto es que si yo integro entre A y C y tengo un punto intermedio de ese intervalo AC que es B, si yo integro entre A y B y luego integro entre B y C y lo sumo, pues entonces tengo el mismo valor que si hubiese integrado de AC. 00:17:24
¿Vale, chavales? 00:17:45
¿Sí o no? 00:17:46
¿Sí? 00:17:48
Vale. 00:17:49
Respecto a lo que he puesto aquí, 00:17:50
aquí, 00:17:58
mañana os hago una comprobación. 00:17:59
¿De acuerdo? 00:18:01
Que no sé dónde la he puesto. 00:18:03
Una comprobación para que veáis que es exactamente igual, 00:18:08
pero vamos a utilizar precisamente esta propiedad que acabo de decir. 00:18:10
¿Vale, chavales? 00:18:13
¿Sí? 00:18:15
Mañana lo hago, ¿vale? 00:18:16
Para avanzar hoy un poquito más. 00:18:19
Entonces, chavales, 00:18:23
¿qué es lo que me dice aquí? 00:18:24
dice una función por ejemplo 00:18:30
la parábola que es igual a x al cuadrado 00:18:31
dice es integrable entre menos 2 y 1 00:18:34
lo es entre menos 2 y 0 00:18:36
por ser continua y decreciente 00:18:39
y entre 0 y 1 00:18:41
por ser continua y decreciente 00:18:43
por lo tanto es integrable 00:18:44
en los dos sentidos 00:18:46
¿de acuerdo? 00:18:47
al final lo que me está diciendo 00:18:48
es que yo integro todo esto de aquí 00:18:50
que me da un área 00:18:51
integro todo esto de aquí 00:18:52
que me da también otro área y lo sumo, ¿de acuerdo? 00:18:54
Venga, vamos a ir al tema Fernanda mejor, ¿vale, chavales? 00:18:59
Mira, ¿os acordáis, chavales, de la integral de la... 00:19:05
¡Guau! 00:19:11
La función de la circunferencia. 00:19:12
¿Os acordáis de la función de la circunferencia o no? 00:19:17
Una circunferencia centrada en A, B es de este tipo. 00:19:21
Esto es una circunferencia centrada en AB de radio R, ¿vale? 00:19:27
¿Qué ocurre? ¿La circunferencia como tal es una función, chavales? 00:19:45
¿Sí? ¿La circunferencia como tal es una función? No. 00:19:50
¿Por qué? Porque si yo tengo, chavales, lo que no sé es cómo... 00:19:54
Voy a intentar hacer aquí... 00:20:01
Un segundillo. 00:20:03
Un segundo. A ver, chavales. Un compás. Como cuando tocan las palmas. Un compás. Monísimo el compás, ¿verdad? A ver si me sale lo que yo quiero. Natillas, Danone. A ver. 00:20:07
que tan chiquitillo 00:20:40
tiene whatsapp 00:20:43
esto sería una circunferencia 00:20:51
vale chavales 00:20:54
centrada en el 0,0 00:20:56
¿verdad? 00:21:01
¿y qué ocurre? 00:21:02
¿esto es una función? 00:21:04
no, ¿por qué no es una función? 00:21:06
porque por ejemplo para este valor de aquí 00:21:07
yo tengo dos posibles valores y eso es contradictorio con una función, ¿de acuerdo? 00:21:09
Porque para una única entrada tan solo hay una única salida. 00:21:17
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? 00:21:21
Que normalmente se representa esto de dos tipos, ¿vale? 00:21:22
Como x cuadrado menos r al cuadrado y también como menos x cuadrado menos r al cuadrado, ¿de acuerdo? 00:21:27
Y así ya tenemos esta parte aquí y esta parte aquí, ¿vale? 00:21:37
¿Qué es lo que me dice este ejercicio? 00:21:43
¿Qué es lo que me dice este ejercicio? 00:21:46
Que lo que queremos saber es hallar la siguiente integral, ¿de acuerdo? 00:21:47
La siguiente integral, es decir, la integral entre 0 y 5 de la raíz de 25 menos x al cuadrado, ¿vale? 00:21:52
Diferencial de x. 00:22:00
Esto, si no lo sabemos, resulta... 00:22:01
Esto me he equivocado. 00:22:06
perdonad, esto es r al cuadrado menos x al cuadrado, perdonad, ¿vale? Y aquí igual. 00:22:07
Esto, chavales, es r al cuadrado menos x al cuadrado, r al cuadrado menos x al cuadrado. 00:22:22
Es decir, si yo tengo una circunferencia, chavales, centrada en 0, 0 y de radio r5, ¿cuál sería su función? 00:22:28
Sería x al cuadrado más y al cuadrado igual a 25, ¿sí o no? 00:22:40
Recordamos esto de aquí, que es 0, 0, y esto es r al cuadrado, perdona, sería 25. 00:22:47
Entonces, ¿qué ocurre? Que y sería más menos la raíz de 25 menos r al cuadrado, menos x al cuadrado. 00:22:56
¿Estamos de acuerdo todos, no? 00:23:05
Porque precisamente lo que acompaña a la x y a la y es cero. 00:23:06
Esta es la función general de una circunferencia, ¿vale? 00:23:16
Si está en el 0, 0, pues yo tengo x cuadrado más y cuadrado. 00:23:20
Si estuviese en el 1, 2, sería x menos 1 al cuadrado más y menos 2 al cuadrado. 00:23:26
Porque me dan esta función de aquí, ¿vale? 00:23:34
Estoy explicando de dónde viene esta función, ¿vale? 00:23:36
Entonces, ¿qué ocurre? 00:23:39
chavales, ¿alguien recuerda 00:23:41
cuál era el área de una circunferencia? 00:23:43
pi por r cuadrado 00:23:46
¿vale? pi por r cuadrado 00:23:49
¿sí o no? y aquí yo ¿qué es lo que 00:23:50
tengo realmente? aquí ¿qué es lo 00:23:52
que tengo? un cuarto ¿vale? 00:23:55
entonces esto me tiene que dar 00:23:57
pi cuartos por 00:23:58
25 por 25 00:24:00
¿vale? que sería 00:24:03
25 pi cuartos 00:24:04
¿vale? gráficamente 00:24:06
esto me tendría que dar, pues 00:24:08
Fijaros cómo hacemos esto de aquí, chavales. 00:24:10
Si me piden esto, yo a lo mejor no caigo que esto es una circunferencia, ¿no? 00:24:13
Lo que quiero que veáis es una cosa, un momentillo, que si me piden esto, 00:24:18
lo que yo quiero que veáis es que yo a lo mejor no caigo que esto es una circunferencia. 00:24:23
Lo que os quiero demostrar es que yo estoy diciendo que esto es una circunferencia, 00:24:27
es más, es un cuarto de circunferencia, ¿de acuerdo? 00:24:32
Y que yo al hacer esta integral de esta función entre 0 y 5, 00:24:35
me va a salir precisamente 25 pi cuarto. 00:24:39
¿Vale? 00:24:43
Pero yo cuando veo esto 00:24:44
no tengo por qué saberlo. 00:24:45
Hombre, si lo sabéis mejor. 00:24:46
Más que nada porque tú lo haces 00:24:47
y si sabes que es una circunferencia 00:24:49
que está centrada en el 0, 0 00:24:50
y que es de radio 5 00:24:52
y lo haces entre 0 y 5 00:24:54
te tiene que salir el cuarto de la circunferencia. 00:24:56
¿Vale? 00:25:00
Son técnicas que nos pueden aparecer 00:25:00
y estas son bastante típicas en la tabla. 00:25:01
Dime. 00:25:04
Vale, yo voy a preguntar si te lo hago en el dibujo. 00:25:05
No. 00:25:07
Es lo que te digo. 00:25:07
es lo que te digo. Lo que yo creo que os familiaricéis 00:25:08
un poco con esto. Cuando yo tengo una raíz 00:25:10
de un número al cuadrado menos x 00:25:12
al cuadrado, es que es una circunferencia 00:25:14
centrada en el 0, 0 00:25:17
y de radio el 25 00:25:18
al cuadrado que es 5. ¿Vale? 00:25:20
Entonces, ¿qué es lo que quiero que 00:25:23
veamos, chavales? Que yo esto sí 00:25:24
lo sé hacer, ¿no? O no sé hacer 00:25:26
esta 00:25:28
integral. 00:25:29
¿La sabemos hacer o no? 00:25:32
¿Eh? 00:25:40
Dime, dime, dime. 00:25:44
Si lo pones como potencia, ¿qué es? 00:25:46
¿La raíz de qué? 00:25:49
De 5 menos x por 5 más x, ¿no? 00:25:51
¿Sí o no? 00:25:57
¿Y esto qué sería, chavales? 00:25:58
Entre 0 y 5 de raíz de 5 menos x, ¿verdad? 00:26:00
Por la raíz de 5 más x, ¿sí o no? 00:26:07
¿Sí o no? 00:26:14
Esto me voy a pasar al otro lado. 00:26:15
Esto de aquí, chavales. 00:26:29
¿Esto la puedo descomponer en dos fracciones? 00:26:30
¿La integral de una multiplicación es la multiplicación de integrales o no? 00:26:36
¿La multiplicación de integrales es la integral de una multiplicación o no? 00:26:47
Entonces, ¿qué podemos hacer, chavales? 00:26:57
¿Qué podemos hacer? 00:27:02
¿Integración por partes? 00:27:06
¿Sí o no? 00:27:08
¿Qué me dices? 00:27:09
¿Cómo se haría esa integral? 00:27:15
¿Hay dos novenos franjeras? 00:27:31
Bueno, la raíz elevada a 1 medio, pero ¿cuánto es la derivada de esto? 00:27:32
Menos 2x, ¿la tiene? 00:27:42
No la tiene. 00:27:44
¿A alguien se le ocurre cómo podemos hacer este tipo de integrado o no? 00:27:46
Hombre, tiene solución, pues ya lo sabemos. 00:27:51
¿Cuánto da? 00:27:55
¿A alguien se le ocurre o no? 00:27:59
Un cambio de variable, por ejemplo, ¿no? 00:28:02
¿25 menos x al cuadrado es igual a t al cuadrado o no? 00:28:06
¿Conseguimos algo o no? 00:28:10
Y entonces, ¿qué ocurre? 00:28:13
Si yo ahora esto lo derivo, pero tengo un problema, ¿no? 00:28:17
Menos 2X diferencial de X es 2T diferencial de T, ¿verdad? 00:28:20
¿Sí o no? 00:28:24
¿Y ahora qué ocurre? 00:28:26
Que diferencial de X que es T diferencial de T partido de X. 00:28:28
Y la X aquí, ¿cómo lo despejo, guillo? 00:28:33
Es esto, ¿no? 00:28:42
Lo cual tenemos aquí un problemón, ¿no? 00:28:45
¿O no? Me quedo igual, ¿no? 00:28:47
¿Cómo podría resolver esto? 00:29:03
¿La t dónde, Guillo? 00:29:06
Esto es la x, ¿no? 00:29:16
Me sale derivada de t 00:29:25
es t diferencial de t 00:29:27
partido raíz de 25 00:29:29
menos t al cuadrado. 00:29:32
¿Sí o no? 00:29:33
¿Eh? ¿Y ahora qué hago? 00:29:35
¿Esto qué me quedaría? 00:29:37
Entre 0 y 5, ¿cuánto vale todo esto? 00:29:39
T, ¿verdad? 00:29:42
¿Y diferencial de T qué sería? 00:29:44
T diferencial de T partido la raíz de 25 menos T al cuadrado, ¿no? 00:29:46
Tendría T al cuadrado diferencial de T partido raíz de 25 menos T al cuadrado. 00:29:52
¿Me he equivocado? 00:29:58
Pues, a través de una T, que te sale la raíz como... 00:30:05
Chavales, esto de aquí, 00:30:08
esto de aquí se hace con un cambio de variable 00:30:11
donde, si no recuerdo mal, 00:30:14
x es igual a seno de t. 00:30:17
x es igual a seno de t. 00:30:28
Entonces lo que quiero que tengáis es cuidado muchas veces. 00:30:31
Esto de aquí se hace... 00:30:35
¿El qué? 00:30:37
Sí, pero que no ganamos nada. 00:30:40
Lo que quiero que veáis es que esto no es lo mismo 00:30:42
la integral de una multiplicación 00:30:44
no es la multiplicación de integrales. 00:30:46
¿Vale? Entonces esto a veces 00:30:49
me los encuentro. Esto lo he hecho 00:30:50
a dredes. 00:30:52
Es que no recuerdo 00:30:56
si es coseno de t o seno de t. 00:30:56
Cuando es 00:31:04
circunferencia, este tipo. 00:31:04
¿Vale, chavales? 00:31:08
Seno de t. Y aquí es que tenemos 00:31:14
que aplicar la de... 00:31:16
Esta es jodida, ¿eh? Esta no creo 00:31:18
que os entre. Esta no creo 00:31:20
que os entre, pero lo que quiero que veáis, lo que a mí 00:31:22
me interesa es que descartéis 00:31:23
cosas, porque aquí vais a empezar la metemano 00:31:26
y no vais a llegar a ningún lado. 00:31:28
¿Vale? ¿Sí o no? 00:31:29
Entonces, hay ciertas integrales, 00:31:32
sobre todo las de área, 00:31:34
que se pueden resolver razonadamente 00:31:35
si tú sabes que esto es 00:31:38
un cuarto de circunferencia. 00:31:40
¿Vale? 00:31:44
Un cuarto de circunferencia. 00:31:45
¿Vale, chavales? Sí, mi propósito aquí no es 00:31:48
resolver la ecuación. 00:31:49
es que os deis cuenta de cosas que nos pueden pasar con la ecuación, ¿vale, chavales? 00:31:50
Con la integral, ¿vale? Venga, chavales, estas propiedades de aquí 00:31:55
súper importantes, ¿vale? Propiedades de la integral. 00:31:59
Esta con el cambio de variable, esa jodida, ¿eh? 00:32:06
Sí, con el área lo tienes ya del tío. Lo que yo 00:32:11
mi intención con esta integral era que os dierais cuenta 00:32:14
de cosas que asumís que son, ¿vale? 00:32:18
que además os acordáis 00:32:21
ustedes, tenéis ahí, bueno 00:32:23
yo os he subido en la tarea 00:32:25
os he subido todas las 00:32:27
de estas trigonométricas 00:32:29
¿recordáis la del coseno del 00:32:31
ángulo mitad? 00:32:33
¿recordáis la del coseno 00:32:36
del ángulo mitad? pues aquí se aplica en esta 00:32:38
integral, ¿vale chavales? 00:32:39
¿dime? 00:32:45
¿de qué? 00:32:49
¿de? 00:32:49
que quiero avanzar 00:32:51
a ver chavales, la primera 00:32:55
la integral de 00:32:59
¿cuál es el área comprendido debajo 00:33:02
de una función entre un punto y sí mismo? 00:33:04
cero 00:33:07
¿vale? si f de x 00:33:08
es mayor que cero, es integrable en a, b 00:33:10
entonces la integral entre 00:33:12
a y b de f de x 00:33:14
si f de x es menor que cero 00:33:15
es lo mismo que 00:33:18
la integral es negativa. 00:33:19
¿Esto qué quiere decir? 00:33:23
A ver, esta de aquí gráficamente os lo digo. 00:33:25
La primera. 00:33:27
Yo tengo aquí mi función. 00:33:29
Por ejemplo, esto de aquí. 00:33:31
La primera, ¿qué me quiere decir? 00:33:33
Si yo esto es a y esto es b, 00:33:37
evidentemente la integral entre a y b es todo esto, ¿sí o no? 00:33:40
Pero si yo hago la integral entre a y a de f de x, 00:33:44
¿cuánto vale la integral 00:33:48
el área entre a y a? 00:33:50
cero 00:33:53
¿qué me quiere decir la segunda? 00:33:54
que si yo tengo 00:33:56
esto de aquí 00:33:57
¿vale? yo tengo aquí 00:33:59
a y b y mi función 00:34:02
es negativa ¿veis que aquí 00:34:04
mi función es negativa? ¿sí o no? 00:34:06
pues aquí la integral 00:34:09
entre a y b de f de x 00:34:10
es menor que cero 00:34:13
¿vale? eso es lo que 00:34:14
me quiere decir la segunda 00:34:16
Esta es la que ya hemos visto, ¿vale? 00:34:18
Las propiedades, es decir, la integral entre a y b es lo mismo que la integral entre a y b y entre b y c, más b y c. 00:34:21
La primera, lo único que quiero decir, ¿cuál es el área que hay comprendida debajo de una función entre un punto y sí mismo? 00:34:30
0, 0, ¿vale? 00:34:38
Eso es 0. 00:34:41
Luego, entre a y b, si la función es negativa, la integral también me sale negativa, ¿vale? 00:34:42
¿Sí o no? Aquí me dice que si yo integro lo que hemos puesto antes, ¿no? Por ejemplo, esto de aquí. Si yo tengo aquí A, aquí tengo B y aquí tengo C, la integral entre A y C de F es igual a la integral entre A y B de F más la integral de B a C y F. ¿Vale? Es lo que me dice. 00:34:47
¿Sí? Venga, ¿qué más? Esta de aquí, si f es continua en a, b y existen y son infinitos los límites laterales, ¿de acuerdo? Entonces formamos la siguiente función continua. 00:35:09
Es decir, si yo tengo los límites laterales, los límites de integración, tengo aquí esta función y esto de aquí, y sobre todo f es continua, entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que la integral de toda esta función realmente es la integral de la función continua, ¿vale? 00:35:24
Esto parece de vero grullo, pero bueno, me refiero a que por muchas veces no es más fácil integrar solamente esto de aquí. ¿Vale, chavales? Se cumple esa propiedad. 00:35:50
Eso es importante. 00:36:02
Lo vamos a aplicar sin saberlo. Lo hemos aplicado sin saberlo, ¿vale? 00:36:04
Y ahora, chavales, esto de aquí, ¿qué me quiere decir esta propiedad, chavales? 00:36:08
Que si yo tengo la integral entre a y b, y esto es súper importante, ¿vale? 00:36:17
Porque aquí, por ejemplo, una de las cosas que nos van a pedir es, por ejemplo, el área comprendida entre dos curvas, ¿vale? 00:36:23
Entonces, la integral entre a y b de f de x más la integral de a y b de g de x es igual a la integral de la suma de las dos. 00:36:30
¿Vale? Y cuando yo tengo una constante, pues igual lo que ya sabemos, ¿no? La constante se saca fuera de la integral y se hace la integral. ¿De acuerdo? Entonces, si para cada x que está entre a y b, f de x es más chico que g de x, lo que me quiere decir que el área de f es mejor que el área de a, de g. 00:36:40
Entonces, chavales 00:37:03
A ver una cosita, por favor 00:37:06
Este tema también entra 00:37:09
Chavales, hacerme 00:37:18
Esto de aquí 00:37:20
Hacerme esto de aquí, ¿vale? 00:37:32
Gracias. 00:37:34
¡Gracias! 00:38:08
Gracias. 00:38:38
¡Gracias! 00:39:08
¿Esto de aquí cuál sería la integral de todo esto? 00:39:38
Esto es 4x a la cuarta partido de 4, ¿verdad? 00:39:50
Menos 4x a la quinta partido de 5, ¿no? 00:39:58
Y ahora que ocurre, que los límites de integración, vamos a poner más fácil, ¿vale? 00:40:03
Entre 0 y 1, que yo voy a hacerlo rápido. 00:40:09
Entonces tú aquí lo sustituyes por 1, pues venga, entre 6 y 1. 00:40:11
Ah, que lo haces primero por uno y después por otro. 00:40:15
Claro, pero escúchame una cosa. 00:40:18
Esto realmente es x a la cuarta menos 4, ¿no? 00:40:22
De x a la quinta menos 3x, ¿vale? 00:40:25
entonces primero 00:40:28
lo sustituyes por 6 00:40:30
esto es 6 a la cuarta 00:40:32
menos 4 quintos 00:40:34
por 6 a la quinta 00:40:36
menos 3 por 6 00:40:37
vale, decido eso tanto 00:40:39
y luego es 1 menos 00:40:41
4 quintos menos 3 00:40:44
es una resta 00:40:46
es una resta 00:40:48
siempre, por ahí viene la neve 00:40:49
¿estoy con la pinta todavía en la cadena? 00:40:51
¿estamos con una 00:40:53
son las 00:40:56
A ver, yo... 00:40:56
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Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Roberto Aznar
Subido por:
Roberto A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
9
Fecha:
19 de marzo de 2026 - 0:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES JIMENA MENÉNDEZ PIDAL
Duración:
41′ 09″
Relación de aspecto:
1.97:1
Resolución:
1024x520 píxeles
Tamaño:
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