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2Bto - 01 - Matrices - 15 - Ecuaciones matriciales - Contenido educativo

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Subido el 26 de septiembre de 2020 por Beatriz N.

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Hola, en este nuevo vídeo vamos a estudiar qué son las ecuaciones matriciales. 00:00:01
En matemáticas llamamos ecuaciones matriciales a un tipo de ecuaciones en las que los elementos con los que trabajamos en dicha ecuación son matrices. 00:00:07
Y por tanto la incógnita también es una matriz. 00:00:16
En principio despejar la incógnita es ir hallando ecuaciones equivalentes a la original, 00:00:20
tal y como hacemos en las ecuaciones de primer grado, ¿vale? 00:00:29
No sé si vosotros estáis muy acostumbrados a decir la expresión de lo que está sumando pasa restando, 00:00:33
lo que está multiplicando pasa dividiendo, pero bueno, creo que sabéis que internamente nada pasa en matemáticas, 00:00:38
sino que lo que hacemos es que a los dos lados de la igualdad le sumamos o restamos lo mismo para mantener la igualdad en equilibrio, ¿vale? 00:00:45
De tal forma que, bueno, que voy eliminando elementos a ambos lados, en ambos miembros de la igualdad, ¿vale? 00:00:53
No sé si alguien después de escuchar esto va a flipar un poco, pero bueno, ahora con el ejemplo creo que recordaremos cosas de ecuaciones de primer grado. 00:00:59
Entonces, pero lo único que necesito saber en lo referente a matrices es que para poder despejar una ecuación, para poder despejar la matriz X, que es lo que a mí me pregunten, 00:01:08
tengo que recordar estas propiedades de las matrices, ¿vale? 00:01:18
El producto de una matriz por su inversa es la matriz identidad, ¿vale? 00:01:23
Es decir, cuando yo quiero quitar algo que está multiplicando a la incógnita, lo que hago es multiplicarle por su matriz inversa. 00:01:26
¿De acuerdo? ¿Por qué? Porque el producto de una matriz por su inversa siempre da la matriz identidad. 00:01:34
Tanto si la inversa viene multiplicando por la derecha como por la izquierda. 00:01:41
¿De acuerdo? Siempre me da la matriz identidad. 00:01:46
Nosotros vamos a buscar la matriz identidad porque la matriz identidad en el producto de matrices cuadradas es el elemento neutro 00:01:48
¿Qué quiere decir esto? Que si yo multiplico una matriz por la matriz identidad obtengo la matriz original, ¿de acuerdo? 00:01:56
Y lo último que tenéis que recordar es que la multiplicación no es conmutativa 00:02:03
Esto va a ser un pequeño escollo, un pequeño problemita porque no es igual multiplicar por la izquierda que por la derecha 00:02:08
¿Vale? Entonces vamos a tener que tener en cuenta por qué lado de cada uno de los miembros de la ecuación estoy multiplicando. 00:02:15
¿De acuerdo? Porque el producto no es conmutativo. 00:02:24
Venga, lo vais a entender perfecto con este ejercicio. 00:02:28
Mirad, en este ejercicio, en este ejemplo, nos dan tres matrices, hay una matriz 2x2 y dos matrices 2x3. 00:02:30
¿De acuerdo? En el que nos piden que hallemos la matriz X que cumpla que al multiplicar A por X y sumarle B obtenga C. 00:02:38
¿De acuerdo? Entonces lo primero que tengo que hacer es, en esta ecuación que a mí me dan, intentar despejar la X. 00:02:47
¿Vale? Es mi objetivo. En el momento que he despejado la X me quedará que X es igual a cierta expresión y ya hago operaciones con esa expresión. 00:02:54
¿Vale? Entonces, tenemos por un lado, a ver, que a por x más b tiene que ser, a ver, perdón, tiene que ser igual a c, ¿de acuerdo? 00:03:01
Lo primero que me está estorbando es la b que suma, ¿verdad? Entonces, ¿qué le voy a hacer a la, lo primero que le voy a hacer a esta ecuación, 00:03:17
La primera transformación es restar b a ambos miembros, ¿vale? De tal forma que, claro, cuando tengo aquí a x más b menos b, aquí me queda únicamente a por x, ¿vale? 00:03:25
Porque b más b menos b se anulan, se compensan y aquí me aparecería c menos b, ¿vale? Esa era la explicación de por qué lo que está sumando pasa restando, ¿vale? 00:03:37
que esta es la operación interna que le hacemos. Y si os dais cuenta, lo siguiente que me sobra, 00:03:46
o sea, para yo poder despejar la x, es que lo tengo multiplicando por a, ¿vale? 00:03:52
Nosotros cuando estábamos en ecuaciones de primer grado, lo que hacíamos es, bueno, 00:03:57
podríamos pensar aquello de lo que estás multiplicando pasa dividiendo, o realmente lo que hacíamos es 00:04:05
dividir ambos miembros, ¿verdad?, entre dos, hacer la misma operación a ambos lados. 00:04:09
En este caso, como hablo de matrices, la operación que tengo que hacer a ambos lados es aquella que me permita eliminar de aquí A. 00:04:15
Si os dais cuenta, A está multiplicando a X por la derecha, ¿vale? 00:04:22
Perdón, por su izquierda. 00:04:27
Por tanto, la operación que yo le haga tengo que tener en cuenta el orden del producto, ¿vale? 00:04:28
Para poder quitar A, le voy a multiplicar por su matriz inversa para luego poder obtener aquí una matriz identidad. 00:04:34
pero como multiplico por la matriz inversa por la izquierda, al otro miembro también le voy a tener que multiplicar por la izquierda, ¿vale? 00:04:40
Le tengo que hacer a ambos miembros de la igualdad de la ecuación la misma operación y como estoy multiplicando por la izquierda, 00:04:49
ambos miembros tengo que hacerlo por la izquierda. No puedo escribir por a elevado a menos 1 aquí a la derecha, 00:04:55
no puedo, prohibido porque el producto no es conmutativo, le tengo que hacer la misma operación al mismo lado, ¿vale? 00:05:03
¿Vale? Entonces, ¿qué he conseguido con esto? Que al multiplicar la inversa de una matriz por la propia matriz, esto me da la matriz identidad, ¿vale? 00:05:10
Y aquí tendría la identidad por x y al otro lado de la igualdad me ha quedado la matriz inversa por la diferencia de c menos b. 00:05:19
¿Qué sucede? Que ya hemos visto que el producto de la matriz identidad por otra matriz es la propia matriz, dado que la matriz identidad es el elemento neutro, ¿vale? 00:05:30
Por tanto, en el momento que ya me quito de encima la matriz identidad tendría despejada mi incógnita, ¿vale? 00:05:46
La matriz X, que es la que ando buscando, va a ser el resultado de multiplicar la inversa de A por la diferencia de las matrices C menos B. 00:05:54
Entonces, llegados a este punto, que ya tenemos aquí esto despejado, lo que tenemos que hacer es calcular A menos 1, ¿vale? 00:06:04
La inversa de A y después la diferencia de C menos B. 00:06:11
Entonces, lo primero que vamos a hacer es calcular la inversa de A con el método de Gauss, ¿vale? 00:06:16
Lo que vamos a hacer es escribir esta matriz por aquí, ampliada con la matriz identidad, ¿de acuerdo? 00:06:21
E ir haciéndole transformación. 00:06:30
Si recordamos, lo primero que busco es tener aquí un 1, como tengo un 2, lo que voy a hacer es transformar la fila 1, ¿vale? 00:06:33
En la suma, el resultado de sumarle a la fila 1 la fila 2, ¿por qué? 00:06:43
Porque cuando a 2 le sume menos 1, 2 más menos 1 es 2 menos 1, aquí voy a obtener un 1, ¿vale? 00:06:49
El resto de elementos me dan igual, lo primero que busco según la estrategia es hacer el a 1, 1, hacerlo 1, ¿vale? 00:06:55
Entonces, bueno, voy escribiendo, sabéis que la fila de abajo no le voy a hacer ninguna transformación, se quedaría como está 00:07:02
y en la fila de arriba le voy a sumar lo que tengo en la fila de abajo. 00:07:08
2 más menos 1 sería 2 menos 1 que es 1, menos 3 más 2 sería aquí un menos 1, 00:07:12
1 más 0 es 1 y 0 más 1 es 1, ¿de acuerdo? 00:07:19
Venga, en el momento que ya tenemos aquí hecho un 1, lo que quiero es obtener aquí, en el resto de elementos de la columna, un 0. 00:07:24
Entonces, para obtener un 0 en el elemento 2, 1, lo que voy a hacer es la transformación de que a la fila 2 le voy a sumar la fila 1, ¿vale? 00:07:30
Porque de esta manera se van a compensar, se va a anular aquí. 00:07:39
Como a la fila 1 no le hago nada, la dejo como está. 00:07:43
Y lo que le hago a la fila 2 es sumarle la 1. 00:07:47
Entonces tendría 1 más menos 1, es decir, 1 menos 1, 0. 2 más menos 1, 1. 0 más 1, 1. Y 1 más 1, 2. 00:07:48
Por último, ya tengo terminada la primera columna porque ya pertenece a la matriz de identidad 00:08:02
Lo siguiente que tendría que hacer es fijarme en el elemento de la diagonal principal que busco de la identidad 00:08:11
Que sea un 1, que ya lo tengo colocado, entonces lo único que me queda es hacer que ese elemento sea 0 00:08:19
Para lo cual voy a hacer la siguiente transformación, la fila 1 00:08:25
la voy a sustituir por la suma de la fila 1 más la fila 2 ¿vale? para que se compense 00:08:28
entonces como a la fila 2 no le hago nada la dejo como está 00:08:34
y lo que voy a hacer aquí es ir sumándole los elementos de debajo ¿vale? 00:08:37
1 más 0 es 1, menos 1 más 1 es 0, 1 más 1 es 2 y 2 más 1 es 3 00:08:43
entonces como ya he conseguido la identidad a la izquierda 00:08:51
Puedo concluir que la matriz inversa de A es la matriz 2, 3, 1, 2 00:08:57
¿De acuerdo? 00:09:04
¿Qué es lo siguiente que vamos a hacer? 00:09:06
Pues bueno, me queda, antes de poder hacer el producto final 00:09:07
Hacer la diferencia de C menos B, ¿vale? 00:09:11
Es lo que voy a hacer aquí debajo, a ver si me cabe todo 00:09:13
¿Vale? A ver, perdón, me ha salido una B muy fea 00:09:16
Voy a la matriz 6, 3, 1, 4, 1, 0 00:09:19
le voy a restar la matriz 4, 2 menos 3, 2, 0, 1. 00:09:28
Entonces tendré aquí el elemento 2, aquí el 1, 1 menos menos 3 es 4, 00:09:38
y por aquí tendré el 2, el 1 y el menos 1. 00:09:44
Venga, entonces por último para hallar x tengo que hacer el producto de la matriz inversa de A 00:09:49
por la diferencia de c menos b, es decir, el producto de la matriz 2, 3, 1, 2 por el producto de esta otra matriz. 00:09:55
Es un producto que puedo hacer, ¿vale? Porque si recordamos, ya sabéis que la multiplicación no siempre se puede hacer, 00:10:09
esto es 2 por 2, esto es 2 por 3, como el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, 00:10:16
la puedo hacer y el resultado final va a ser una matriz de 2 por 3, ¿vale? Entonces, bueno, 00:10:24
vamos a ir poquito a poco. Tendría como primer elemento la suma de 2 por 2 más 3 por 2 sería 00:10:30
un 10, aquí tendría 2 más 3, 5 y por otro lado 2 por 4 que es 8 más 3 por menos 1 que 00:10:36
es menos 3, 8 menos 3 es otro 5. Por aquí tendría 2 más 4 que es 6, por último tendría 00:10:47
1 más 2 que es 3 y 4 menos 2 que es 2. 00:10:56
Subido por:
Beatriz N.
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Fecha:
26 de septiembre de 2020 - 16:07
Visibilidad:
Público
Centro:
Sin centro asignado
Duración:
11′ 09″
Relación de aspecto:
1.78:1
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108.01 MBytes

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