Área del hexágono regular | Mediateca de EducaMadrid

Y aquí va la última figura. Esto es un hexágono regular, ¿vale? 00:00:01

Lo que vamos a hacer se podría hacer igual en cualquier polígono regular. 00:00:06

La idea es exactamente la misma que la del hexágono, ¿de acuerdo? 00:00:11

La del hexágono es un poco más fácil de recortar, pero la idea, vais a ver, que es completamente lo mismo para cualquier... 00:00:15

para un vectágono, un octógono, lo que sea. Para todos la idea es la misma, ¿vale? 00:00:22

Mirad, esto es un hexágono regular, que por tanto todos sus lados son iguales y sus ángulos también son iguales. 00:00:30

¿De acuerdo? Bueno, en este caso, siempre que tengamos un polígono regular, podemos marcar el centro del polígono, 00:00:41

que es donde se unirían los triangulitos que salen a la hora de hacer las divisiones. 00:00:50

Y tenemos que podríamos trazar un segmento que fuera de este centro al punto medio de un lado. 00:00:59

¿Lo veis? Es un segmento que va del centro al punto medio del lado. 00:01:09

es un segmento perpendicular 00:01:14

y si lo vemos así, fijaos 00:01:19

si lo vemos así, ese segmento 00:01:23

es como la altura de este triángulo 00:01:25

olvidad de esto, es la altura de ese triángulo, ¿verdad? 00:01:28

ya está 00:01:31

este segmento, en cualquier polígono regular 00:01:32

es lo que se llama apotema 00:01:36

no lo confundáis con el segmento que iría 00:01:38

del centro al vértice, a cualquiera de los vértices. 00:01:43

Eso se llama un radio. 00:01:47

No, es el segmento que va al punto medio. 00:01:49

¿Vale? Este trocito. 00:01:53

¿Cuál es la clave? 00:01:55

Bueno, esta. 00:01:57

Imaginaos que yo sé construir un rectángulo con este triángulo de aquí. 00:01:59

Pues entonces hago un rectángulo con este, con este, con este, con este, 00:02:05

y ya lo tendría. 00:02:08

¿Lo veis? Es lo que vamos a hacer, de hecho. 00:02:09

Y por cierto, aprovecho, el hexágono es el único polígono regular, el único, que si hacemos esta división, se cumple que este lado es igual que este, es decir, es el único polígono regular en el que los triángulos que aparecen son equiláteros. 00:02:11

Si esto lo hiciéramos con un pentágono o con un heptágono o con cualquier otro polígono de una cantidad de lados diferente a 6, nos salen diferentes estos dos lados, diferentes a este. 00:02:37

Estos siempre son iguales, estos lados siempre son iguales, obviamente, pero saldrían diferentes a la base. 00:02:51

Tened eso en cuenta a la hora de calcular, si tuvierais que calcular, los ángulos interiores y los ángulos exteriores. 00:02:58

Voy a hacerlo en el hexágono porque ya aprovecho un poco y os recuerdo cosas de polígonos, ¿vale? 00:03:07

Los seis ángulos medirían 360, y eso quiere decir que este mediría, pues, dividido entre 6, 360 entre 6. 00:03:13

O sea, este sería 60. 00:03:23

Y por tanto, como este triángulo es isósceles, porque este lado seguro que es igual que este, 00:03:28

En el caso del hexágono también es igual que este, pero en cualquier otro caso no sería igual. 00:03:34

Bueno, pues estos dos miden lo mismo. 00:03:40

Si tienen que medir en total 180, pues entre estos dos miden 180 menos 60. 00:03:44

En este caso, pues entre estos dos medirían 120 y serían también 60 y 60. 00:03:49

Pero en el caso de otro polígono regular, si aquí me hubiera salido, por ejemplo, 72, 00:03:55

que es lo que sale cuando trabajamos con un pentágono, aquí me saldría que entre estos dos medirían 108, 00:04:02

que es lo que me falta para 180, y por tanto cada uno de ellos saldría de 54. 00:04:09

Eso es simplemente cuando queráis trabajar con polígonos regulares que no sean el hexágono. 00:04:15

Volvemos a recortar el hexágono. Voy a recortar este hexágono por todos los triángulos, 00:04:24

en este caso equiláteros, insisto que normalmente van a salir isósceles 00:04:33

¿os acordáis del vídeo del rombo? 00:04:37

en el rombo me salían triángulos isósceles y construíamos el rectángulo muy fácil 00:04:41

pues aquí va a pasar igual 00:04:45

aquí lo bueno es que como son equiláteros no tengo que preocuparme demasiado 00:04:47

de colocarlos bien porque van a salir igual 00:04:53

ahora cojo cada uno de mis triángulos equiláteros 00:04:58

que todos son iguales que este, y todos los recorto por la altura, es la misma, os recuerdo, la altura es la misma que la apotema, 00:05:06

la altura del triángulo es la misma que la apotema del hexágono. 00:05:20

Este es más laborioso, pero la idea va a ser muy parecida. 00:05:29

Y de hecho, en realidad es bastante sencillo después de montar. 00:05:46

Tenemos otro, ese se me ha colado un pelín, y el último. 00:05:49

Tenemos ya los seis triángulos cortados, insisto en que en el caso de un polígono regular cualquiera, 00:06:12

estos triángulos no van a ser equiláteros si no es un hexágono, van a ser isósceles, eso seguro, 00:06:19

con lo cual vais a poder hacerlo exactamente igual. 00:06:27

Vale. Esto era el lado del triángulo, ¿verdad? Que era lo mismo que el lado del hexágono. Igual. 00:06:30

Bueno, pues lo que vamos a hacer ahora es hacer así. Con ese lo coloco así. 00:06:37

Ah, ya tengo aquí un rectángulo. Eso ya lo hayamos hecho. 00:06:44

Tenemos un rectángulo que, ojo, con este rectángulo. 00:06:49

Este rectángulo tiene como altura la apotema y como base la mitad de la base del triángulo, que es la misma que la mitad de la base del hexágono, ¿vale? 00:06:53

Porque la base del triángulo y del hexágono eran lo mismo, ¿vale? 00:07:12

Voy a seguir haciendo eso mismo, porque si tengo un rectángulo, pues le junto aquí otro, aquí le ponemos otro, lo voy a colocar así, aquí tenemos otro, por ponerlos todos igual, aquí otro, y el último lo tenemos aquí. 00:07:16

Ya tengo un súper rectángulo 00:08:05

Pero aquí la clave es darse cuenta de que en realidad 00:08:13

En cuanto tengo uno, lo demás 00:08:17

Pues va a ser multiplicar por 6, ¿no? 00:08:18

En este caso, pues, porque son 6 00:08:22

Si tuviera 9, pues por 9, ya está 00:08:25

¿Y qué sale? ¿Qué sale en ese caso? 00:08:28

Vamos a ver qué sale, entonces 00:08:31

O sea, ya lo tengo, el área es 00:08:32

La altura del triángulo, que es lo mismo que la apotema 00:08:34

Es igual, multiplicado por la base entre 2 y todo eso por 6, ¿vale? 00:08:38

Pero vamos a ver esta expresión de una forma un poco más concreta. 00:08:44

Fijaos, sería el área, bueno, el área es como siempre, ¿eh? 00:08:50

Base del rectángulo por la altura del rectángulo. 00:08:55

Pero ¿cuál es la base y cuál es la altura? 00:08:59

Pues mirad, la base en este caso es todo esto, toda esta longitud aquí. 00:09:01

O sea, la base del hexágono entre 2, pero por 6, porque aquí hay 6. 00:09:08

Repito que si hubieran sido 15, pues es por 15, la base por la altura. 00:09:17

La altura del rectángulo es la altura del triángulo, que es lo mismo que la apotema, ¿eh? 00:09:28

Insisto, la altura del triángulo y la apotema son lo mismo. 00:09:34

Vamos a poner esto un poco más mono. 00:09:38

¿Qué es la base por 6? 00:09:39

Recordad el hexágono 00:09:45

Esta base multiplicada por 6, ¿qué es? 00:09:47

Pues el perímetro, el perímetro del hexágono 00:09:55

Si yo tuviera un pentágono 00:09:57

La base por 5, porque aquí me saldrían 5 triángulos 00:10:01

La base por 5 sería también el perímetro del pentágono 00:10:05

¿Vale? Siempre me va a salir la base por el número de lados que tiene, o sea, el perímetro, que es A, la apotema, y todo dividido entre 2. 00:10:11

¿Vale? Y esta es la fórmula más habitual. Perímetro de todo el hexágono multiplicado por la apotema del hexágono y dividido entre 2. 00:10:34

Y aquí hemos visto por qué sale. Recordad que en caso de que tuviéramos un pentágono, sería perímetro del pentágono por la apotema, que es esta, entre dos. 00:10:46

Solo que en este caso, este lado no coincide con este lado. Y en el caso del hexágono sí, pero da igual, para el área es exactamente la misma idea. 00:11:00

perímetro de toda la figura 00:11:11

multiplicado por la apotema 00:11:13

dividido entre 2 00:11:15

porque nos van saliendo los 6 triángulos 00:11:16

cuya área es 00:11:19

la altura del triángulo 00:11:20

que es la misma que la de la apotema 00:11:22

multiplicado por la base pero entre 2 00:11:24

porque hemos dividido el triángulo entre 2 00:11:26