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Demostración de la fórmula de Euler con subtítulos integrados - Contenido educativo

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Subido el 19 de julio de 2023 por Carlos V.

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Demostración de la fórmula de Euler hundiendo una isla con subtítulos integrados generados automáticamente por YouTube (contienen errores). Vídeo original en: https://youtu.be/7ZqtpVqAwJU

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hola muy buenas en este vídeo vamos a hablar sobre la fórmula de euler que se escribe euler 00:00:00
y la fórmula de euler tiene que ver con coger un poliedro una cosa con caras vértices y aristas 00:00:06
una cara es lo que estás pensando pues es una superficie digamos plana en principio aunque no 00:00:14
tendría por qué ser plana plana ahora vamos a ver ejemplos vale un vértice pues es este puntito 00:00:21
de aquí y una lista pues es el borde de una cara no o sea que los vértices son donde se juntan las 00:00:28
aristas de las caras y las aristas son donde se juntan las caras no una cosa así verdad bueno 00:00:35
entonces uno querría contar cuántas caras vértices y aristas hay aquí y bueno pues contar las caras 00:00:42
en este caso por ejemplo es muy fácil esto tiene seis caras es como si fuera un dado muy grande 00:00:48
como si fuera un dado cuántos vértices hay pues también es sencillo aquí arriba y cuatro vértices 00:00:53
se puede ver muy fácil y abajo hay otros cuatro vértices verdad y ya hay más vértices con lo 00:01:00
cual hay ocho vértices cada seis vértices 8 cuántas aristas hay bueno pues las aristas las 00:01:06
puedes contar hay estas cuatro de arriba también hay las cuatro de abajo pero hay otras cuatro así 00:01:12
como verticales que unen la parte de arriba con la de abajo con lo cual en total hay 4 y 4 8 y 00:01:17
4 12 verdad entonces si uno coge las caras que eran 6 y se la suma al número de vértices que 00:01:22
eran 8 6 y 8 te da 14 y el número de aristas es 12 ahí no es lo mismo sería bonito que caras más 00:01:31
vértices fuera igual a aristas no es lo mismo pero por dos caras más vértices en este caso 00:01:39
sale aristas más 2 12 más 2 es 14 voy a coger otra cosa por ejemplo un balón de baloncesto 00:01:44
esto bueno pues ya he avisado antes las caras no tienen por qué ser exactamente planas esto 00:01:53
vamos a suponer que las líneas negras del balón son las aristas vale los vértices pues donde se 00:01:59
crucen aristas donde se toque una con otra y las caras pues pues las superficies que quedan 00:02:05
delimitadas entre aristas verdad entonces vamos a contar aquí caras vértices y aristas por ejemplo 00:02:14
caras es muy fácil comenzamos aquí en la marca del balón que apenas se puede leer y tampoco la 00:02:20
vamos a decir para no hacer publicidad hombre siempre se puede decir el balón es muy malo 00:02:25
y la publicidad que te hago por la que te quito verdad siempre es una estrategia pero en principio 00:02:30
vamos a contar simplemente y entonces tendría esta primera 1 2 3 4 5 6 7 8 y ya hemos vuelto 00:02:37
a la del principio con lo cual tendría ocho caras un balón de baloncesto tiene ocho caras los vértices 00:02:48
son fáciles de contar porque si os fijáis solamente hay vértices aquí que hay 1 2 y 3 y por el otro 00:02:55
lado que hay 1 2 y 3 3 y 3 6 o sea que 8 caras 8 caras y 6 vértices 8 y 6 son 14 verdad y las 00:03:01
aristas son un poco más difíciles de contar pero bueno vamos a empezar primero a contarlas 00:03:12
por ejemplo como hemos contado las caras comenzamos aquí en esta lista verdad esta la cuento una 00:03:17
esta la cuento 2 3 4 5 6 7 8 he contado 8 pero me faltan unas pequeñitas que serían estas 2 9 10 00:03:25
y las otras dos de aquí que serían 11 y 12 vale con lo cual las caras que son 8 más los vértices 00:03:41
que son 6 que son 14 son 2 más que las aristas porque las aristas son 12 también pues de nuevo 00:03:48
caras más vértices sale igual a aristas más 2 una coincidencia muy buena tenemos aquí no asustarse 00:03:54
un balón de humano que es muy parecido al de fútbol pero es más pequeño y esto se llama un 00:04:02
icosaedro truncado aunque el nombre no nos interesa mucho aquí ya sólo contar caras 00:04:11
vértices aristas podría parecer difícil pero vamos a pensarlo un momento por ejemplo para 00:04:17
contar digamos el número de caras vale pues uno puede contar sabéis que hay pentágonos y hexágonos 00:04:24
uno puede contar los pentágonos por un lado los hexágonos por otro por ejemplo entonces bueno 00:04:33
sin rompernos mucho la cabeza pues se puede ver que hay aquí tres pentágonos como formando una 00:04:37
especie de triángulo verdad pues los toco así con estos tres dedos vale y bueno pues por el otro 00:04:43
lado hay otros tres pentágonos también entonces ya llevo seis pentágonos contados no y digamos 00:04:51
que más o menos los únicos pentágonos que me faltan por contar son los que van por este 00:04:56
caminito central que no puedo tocar porque no tengo más manos entonces lo que puedo hacer es 00:04:59
comenzar en uno de ellos por ejemplo este pentágono que tiene un código de barras lo cuento como uno 00:05:04
y ahora sigo 2 3 4 5 6 y ya está ya está contado entonces hay seis aquí y tres aquí y tres aquí 00:05:09
3 y 3 6 y 6 12 hay 12 pentágonos 12 pentágonos en total vale ahora tengo que contar los hexágonos 00:05:20
también puedo contarlos de una manera similar por ejemplo miro estos cinco hexágonos que están 00:05:27
rodeando un pentágono todo pentágono está rodeado por cinco hexágonos luego podemos usar eso también 00:05:34
para contar las cosas más deprisa pero en principio miro estos cinco hexágonos que están juntos y por 00:05:38
aquí por el otro lado también tengo cinco hexágonos juntos ya llevo 10 y lo mismo sólo tengo que 00:05:46
recorrer bueno pues el caminito central que me ha quedado empezando en un hexágono por ejemplo este 00:05:51
que es el de el de inflar el balón vale entonces comienzo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 entonces tenía 00:05:55
5 a este lado y 5 este lado 10 y otros 10 del centro 20 hexágonos con lo cual en total hay 00:06:06
20 hexágonos y 12 pentágonos tiene 32 caras nos ha costado pero las hemos contado 32 caras 00:06:14
bueno cómo puedo contar los vértices a poder hacer un truco muy fácil fijaos que cualquier vértice es 00:06:20
un vértice de un pentágono seguro que sí porque cada pentágono en verdad está rodeado por cinco 00:06:27
hexágonos bueno si no mira la geometría tiene un batón en casa lo puede estudiar al final cualquier 00:06:34
vértice del balón es el vértice de un pentágono como sé que hay 12 pentágonos y cada pentágono 00:06:40
tiene cinco vértices hay lo que es importante es que claro ningún vértice es vértice de los 00:06:49
pentágonos a la vez porque digamos que los hexágonos como que separan los pentágonos entonces 00:06:53
pues ya lo tenemos 12 por 5 hay 60 60 vértices con lo cual las caras son 32 y los vértices son 00:06:58
60 entonces 32 más 60 son 92 y cuántas aristas hay pues las aristas resulta que es más fácil 00:07:09
contarlas dos veces que contarlas una sola vez y porque es así bueno pues porque cada arista 00:07:18
es compartida por dos caras imaginaos ya sabemos que vamos a contar por ejemplo las aristas que 00:07:24
tienen entre todos los pentágonos ya sabemos que hay 12 pentágonos con lo cual hay 12 por 5 60 00:07:30
que son digamos aristas de los pentágonos vale y cuántas aristas de los hexágonos hay pues sabemos 00:07:36
que hay 20 hexágonos por 6 pues 120 120 aristas de los hexágonos entonces 120 más 60 que da 180 00:07:43
es el número de aristas de los pentágonos y las de los hexágonos pero claro estamos contando por 00:07:52
ejemplo dos veces esta lista porque lo estamos contando una vez por este sábado y una vez por 00:07:56
este pentágono y así con cada una de las aristas con lo cual 180 es el doble del número de aristas 00:08:00
así que el número de aristas es 90 fijaos que sabíamos que las caras más los vértices nos 00:08:06
daban 32 más 60 que nos daban 92 y las aristas acabamos de decir que son 90 o sea que en este 00:08:13
caso también caras más vértices es igual a aristas más 2 y si miráis otro tipo de balones o de pelotas 00:08:23
o de cosas que tengáis por casa con caras vértices y aristas veréis que casi siempre os va a salir 00:08:30
caras más vértices igual a listas más 2 digo casi siempre porque hay que tener cuidado por ejemplo 00:08:36
si tenéis una pelota de tenis a mano fácilmente la tendréis si no mira en realidad podría considerar 00:08:42
que solamente tiene una arista que hace una forma así un tanto rara y dos caras verdad pero en ese 00:08:49
caso si uno cuenta como si no tuviera ningún vértice pues le sale que caras que son 2 más 00:08:56
vértices que uno consideraría cero es igual a aristas que es una más uno no en ese caso sería 00:09:03
igual a listas más 1 bueno el truco la cosa es que digamos que como que no vale poner una arista 00:09:12
que no tenga un vértice o sea que si uno dibuja una línea pues tiene que tener un vértice que 00:09:20
te puedes inventar donde tú quieras para que cuadre digamos la fórmula ahora vamos a ver bien 00:09:25
porque en un momento o si uno se imagina un balón de estos que no tiene ninguna arista absolutamente 00:09:30
entonces podría pensar que es un balón con una sola cara y en principio no podría decir bueno 00:09:36
pues vértices y aristas ninguno entonces claro pues entonces caras más vértices pues lo mismo 00:09:41
sería aristas más uno pero no hay que imaginarse el balón con con un con un vértice no como el 00:09:49
vértice de inflarlo igual que este balón como si solamente tuviera ese vértice y entonces si 00:09:56
sería una cara y un vértice y no tendría ninguna vista con lo cual saldría aristas más 2 y otra 00:10:00
cosa todavía que también os va a dar problemas por otros motivos digamos no tan técnicos de que 00:10:05
haya que poner justo un vértice o que se considera así es que si cogéis por ejemplo algo con forma 00:10:13
de donuts y lo partís en con caras vértices y aristas pues tampoco os va a ocurrir porque tiene 00:10:17
un agujero digamos que lo hace ser muy distinto que esta bola entonces nosotros vamos a considerar 00:10:24
sólo las cosas con caras vértices y aristas que en cierto sentido sean parecidas a esta bola que 00:10:31
estirándola o deformándola hinchando deshinchando estirando de aquí pero sin romperla sin hacer 00:10:36
agujeros pues tuvieran más o menos la forma de esta esfera y ya digo que bueno vamos a poder 00:10:41
probar la fórmula de hoy desde que caras más vértices igual a aristas más 2 pero para eso 00:10:47
tendremos que vernos las primero con nuestros amigos los grafos y hablamos ahora sí de los 00:10:52
grafos que es un grafo un grafo son vértices y aristas pues eso que he pintado ahí por ejemplo 00:11:00
es un grafo vale también muchos más vértices y aristas vale todo lo que quieras eso también sería 00:11:10
un grafo incluso eso y luego poner por aquí esto otro también sería un grafo sólo que este grafo 00:11:20
tendría dos piezas verdad es lo que se llamaría un grafo disconexo entonces si hago así ahora 00:11:28
tendría un grafo conexo en lugar de un grafo disconexo vale o si hago así pues tendría dos 00:11:34
grafos conexos si considero este por un lado y este por otro o un grafo disconexo si considero 00:11:40
así las dos piezas vale dentro de los grafos hay algunas cosas que tiene un nombre especial 00:11:45
por ejemplo esto que estoy pintando aquí eso que estoy pintando ahí es lo que se llama un ciclo 00:11:52
en este caso un ciclo de longitud 5 esto es un ciclo de longitud 3 vale y bueno pues más o menos 00:11:59
te estás imaginando lo que es un ciclo es una cosa en la que tú vas de un vértice al siguiente como 00:12:06
si fuera un caminito así sin repetir vértices salvo el primero donde lo repites con el último 00:12:12
digamos que haces como una pista de escalas trip pero la más aburrida de todas vale digamos que 00:12:16
es un punto un punto luego había otras pistas de escalas y te acuerdas que eran así que tenían 00:12:22
un puente y todo sí pero esta es tipo la pista está así aburrida el escalas trip y a todo el 00:12:25
mundo le compraban primero vale bueno entonces en el mundo de los grafos hay unos hay unos que 00:12:31
tienen un lugar muy destacado que son los árboles vale un árbol pues podría ser esto es un árbol 00:12:38
que es verdad que se parece a bueno a la idea que uno tiene de un árbol no en otoño que ha 00:12:51
perdido las hojas o algo así o podría ser también esto que voy a pintar también sería un árbol 00:12:56
vale y esto ya se parece más a lo mejor a una persona vale si quieres le puedes poner 00:13:12
también dedos por aquí lo que uno quiera vale entonces cómo se define un árbol exactamente 00:13:19
pues un árbol es un grafo que tiene solamente una pieza y que no tiene ciclos esa es la definición 00:13:28
o sea es un grafo con exo y sin ciclos fijaos que ahí este árbol es de una sola pieza este 00:13:33
señor es de una sola pieza si consideraron los dos juntos ya tendría un grafo disconexo no sería 00:13:39
un árbol pero sería un bosque en este caso la unión de los árboles o de 20 árboles es un bosque 00:13:44
pero nos van a interesar los grafos que solamente tienen una pieza vale y que no tienen ciclos 00:13:50
fijaos que aquí no hay ningún caminito cerrado como estos vale no no puedo volver a un vértice 00:13:56
haciendo así un escalete claro es algo que vaya y vuelva por el mismo sitio pero eso no no vale 00:14:04
y por qué son tan especiales los árboles los árboles son maravillosos no está tan mal 00:14:09
bueno no me construiría una casita aquí pero los árboles son preciosos si tú les quitas cualquier 00:14:19
arista por ejemplo si este árbol le quito esta lista entonces pasan a tener dos piezas en este 00:14:25
caso tendríamos esta pieza y la otra pieza pues que sería toda esta vale o sea que son de una 00:14:31
pieza pero en cuanto les quites cualquier arista pasan a tener dos piezas y además tienen otra 00:14:39
propiedad y es que si les añades cualquier arista entre dos de sus vértices yo que sé por ejemplo 00:14:46
añado esta lista entonces formas un ciclo fijaos aquí ya ha formado un ciclo o sea que son conexos 00:14:51
y no tienen ciclos pero si les quitas una lista pasan a ser desconexos y si les añades una arista 00:14:59
pasan a tener ciclos sí que en cierto sentido los árboles tienen un equilibrio y perfecto que los 00:15:05
hacen muy muy especiales de hecho se usan para muchísimas cosas en informática ingeniería y 00:15:12
matemáticas también una propiedad de los árboles muy importante es que siempre tienen exactamente 00:15:17
una arista menos que vértices por ejemplo bueno este árbol tendría cero aristas y un vértice 00:15:23
este árbol tendría una lista y los vértices este árbol tendría dos aristas y tres vértices siempre 00:15:29
un vértice más que aristas vale y la razón pues es que todo árbol se puede construir como esté 00:15:37
haciendo ahora mismo es decir añada un nuevo vértice y lo uno a uno de los que ya existiera 00:15:43
vale siempre puedes hacer así cualquier árbol y entonces en cualquier árbol 00:15:48
pues se tiene que el número de aristas es exactamente uno menos que el número de vértices 00:15:57
quizá te estás preguntando qué tienen que ver los grafos con los poliedros que nosotros estábamos 00:16:02
considerando al principio contando sus caras sus aristas y sus vértices por ejemplo que 00:16:11
tiene que ver esto con un grafo bueno aquí uno podría dibujar un vértice en cada vértice y una 00:16:15
lista en cada lista y tendría como un grafo así en tres dimensiones verdad pero mejor aún uno puede 00:16:23
coger este poliedro y aplanarlo en cierto sentido hacer un grafo que se va a llamar el grafo plano 00:16:30
donde puedo poner esto en un papel y la forma de hacerlo es considerar que le quitaramos una 00:16:38
de las caras por ejemplo esta cara es fácil y considerado aquí imaginaos que la arrancada 00:16:45
bueno esta sola paz no debería de estar ni siquiera y me quedo solamente con esas cinco 00:16:50
caras restantes verdad esas cinco caras restantes y que podría hacerles así sobre el plano y me 00:16:55
quedaría una cosa pues tan que así verdad esta sería la cara que ha apoyado hace un momento y al 00:17:01
desdoblar las otras y aplastar las contra el plano me quedaría exactamente este grafo 00:17:07
así que si uno mira un poquito el dibujo de aquí desde aquí pues pretende ver olvidándose 00:17:19
destacada ya digo pues no vería algo muy parecido a eso y de hecho como esta cara 00:17:26
arrancado pero sus cuatro bordes son estos cuatro bordes que estamos viendo aquí digamos que esa 00:17:32
cara correspondería a la cara de fuera la cara de fuera con lo cual este grafo si contamos sus 00:17:37
caras contándola de fuera como una de ellas tiene 1 2 3 4 5 y 6 caras los vértices son 8 y las 00:17:43
aristas son 12 o sea que digamos toda la información que queríamos de esto ya la hemos plasmado ahí 00:17:49
en un plan vale entonces con cualquier poliedro podemos hacer lo mismo le quitamos una de las 00:17:55
caras y cogemos el resto y lo ponemos así vale sobre un plano entonces nos va a quedar lo que 00:18:00
se llama un grafo plano vale entonces lo que vamos a probar es que en cualquier grafo plano 00:18:05
el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2 y la prueba 00:18:12
que vamos a dar de la fórmula de hoy leer consiste en hundir una isla esta prueba aparece en el libro 00:18:18
de discreet mathematics elementary un millón de lobas pelicán y bester gombi aunque fernando 00:18:24
chamizo me comenta que ya aparece en el número en el libro de números y figuras de rademacher 00:18:32
y toeplitz de hace muchos años y quizá la prueba sea antigua desconocemos al autor original y bueno 00:18:38
para hacer la prueba pues más o menos hay que hacer unas torres y unos muros que representan 00:18:46
pues la isla ahora veréis por qué es una isla esto y bueno tengo que agradecer en primer lugar 00:18:54
anhelo en el o maestre de díver mates podéis entrar en díver mates punto es y cotillear por 00:18:59
ahí porque me ha impreso con su impresora 3d todas estas torrecitas y estos muros para poder realizar 00:19:05
la prueba que vais a ver a continuación asimismo para actuar como agua porque va a ver algo que 00:19:14
de agua en principio había pensado distintas ideas entre ellas usar perdigones que hicieran 00:19:22
las veces de agua porque el agua se cuela por todos los sitios y es difícil de hacerlo y bueno 00:19:29
la verdad es que no funciona de esto tengo perdigones tengo un montón de perdigones tengo 00:19:35
perdigones para parar un tren si alguien necesita perdigones o se lo cura algún uso chulo de los 00:19:39
perdigones pues que me lo diga porque realmente es una cosa a tener en cuenta pero no funciona 00:19:45
y agradezco a la gente de más ya que la idea que me dieron de usar gel como que el de baño que hace 00:19:51
las veces de agua pero al ser más denso no se cuela tanto creo que fue pepa de más diablo a 00:20:01
que me lo dijo y si no fue pues lo lamento y debo dar el crédito a otra persona que lo dijera pero 00:20:05
bueno como fue una especie de brain storming sobre qué usar pues pues entonces me parece que fue ella 00:20:11
pero no puede estar seguro y es una idea muy buena usar gel para el agua vale y bueno pues 00:20:18
ya dados todos los créditos vamos a hundir la isla y voy a hacer un primer plano de la isla 00:20:25
para que lo podáis ver mejor y vamos ya con el hundimiento de la isla como veis hemos representado 00:20:31
con las torres los vértices de un grafo y con los muros las aristas este podría ser cualquier 00:20:36
grafo plano correspondiente a un balón de fútbol por ejemplo incluso podría tener aristas en medio 00:20:42
de las caras como esta arista que estaría en el medio de la cara exterior recordad que también es 00:20:47
una cara y por qué decimos que esto es una isla bueno porque debemos imaginarnos que está rodeada 00:20:51
por el mar vale pero mejor que imaginarlo vamos a hacerlo 00:20:58
perfecto ya se entiende lo que quiere decir que es una isla y lo que vamos a hacer es hundirla 00:21:03
imaginemos que vienen los atacantes y nosotros queremos hundir la isla antes de que la hundan 00:21:17
ellos lo vamos a hacer economizando el número de aristas que quitamos vale el número de muros que 00:21:21
tiramos por si luego hubiera que reconstruirla o lo que fuera entonces vamos a seguir la siguiente 00:21:27
regla siempre vamos a tirar una arista tal que por un lado esté mojada y por el otro lado esté 00:21:32
seca vale de esta manera siempre que quitemos una arista hundiremos una de las regiones por 00:21:39
ejemplo voy a empezar quitando no sé esta lista de aquí 00:21:45
y ahora sí podemos decir que hemos hundido la isla completamente muy bien pues ya hemos 00:22:02
hundido la isla y qué es lo que nos ha quedado nos ha quedado un árbol fijaos que eso es un árbol 00:22:29
y cómo estamos seguros de que eso es un árbol bueno no puede tener ciclos porque si tuviera 00:22:36
algún ciclo pues entonces ese ciclo no se habría llenado de agua simplemente así que no puede 00:22:41
tener ciclos vale y la otra condición que tiene que cumplir para ser un árbol es que sea de una 00:22:48
pieza que sea conexo y eso es verdad por cómo hemos ido quitando los muros porque fijaos que 00:22:52
siempre que hemos quitado un muro hemos quitado precisamente un muro de un ciclo vale sí porque 00:22:59
siempre quitábamos un muro de una región que todavía no había sido inundada verdad para 00:23:06
quitar la conexión de un ciclo necesitas quitarle al menos dos aristas porque esto sigue siendo 00:23:11
conexo por este otro lado aunque tú hayas roto la conexión por aquí para desconectar un ciclo 00:23:16
hace falta quitarle al menos dos aristas al ciclo pero siempre quitábamos una lista de un ciclo con 00:23:20
lo cual es imposible que hayamos desconectado el grafo así que partíamos de un grafo plano con 00:23:25
exo y al quitar una arista otra arista otra arista de manera que siempre por un lado estuvieran mojadas 00:23:31
por el otro secas y hundir la isla nos ha quedado un árbol vale muy bien pues ya estamos muy cerca 00:23:37
de probar la fórmula de hoy porque cuántas aristas hay en total bueno las que hemos quitado más las 00:23:42
que han sobrevivido eso es verdad sí entonces el número de aristas total el número de aristas será 00:23:48
igual a las que hemos quitado pero cuántas hemos quitado bueno cada vez que quitamos una 00:23:55
uníamos una región pero acordaos que había otra región exterior por la que hemos quitado ninguna 00:24:01
que la hemos hundido desde el inicio entonces hemos quitado tantas como caras menos una verdad 00:24:07
por cada cara hemos quitado una eso es verdad pero por la cara exterior no hemos quitado ninguna así 00:24:14
que el número de aristas que hemos quitado es exactamente el número de caras menos una vale y 00:24:23
bueno cuántas aristas hay en total pues bueno las que hemos quitado más las que han sobrevivido y 00:24:30
cuántas han sobrevivido a pues tantas como aristas tiene un árbol pero sabemos que todos los árboles 00:24:35
tienen número de aristas igual al número de vértices menos uno vale por lo tanto si ponemos 00:24:39
a un lado las caras más los vértices y pasamos este uno y este otro con las aristas pues tenemos 00:24:49
que caras más vértices da aristas más dos que es la fórmula de euler que estábamos buscando 00:24:58
bueno pues esperemos que os haya gustado y nos vemos en el próximo vídeo 00:25:11
Autor/es:
Carlos Vinuesa
Subido por:
Carlos V.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
18
Fecha:
19 de julio de 2023 - 11:15
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MANUEL ELKIN PATARROYO
Duración:
25′ 18″
Relación de aspecto:
1.79:1
Resolución:
640x358 píxeles
Tamaño:
94.60 MBytes

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