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EvAU Junio 2022 - Matemáticas II - Ejercicio A2 - Contenido educativo

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Subido el 18 de agosto de 2023 por David M.

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Realizamos el ejercicio A2 de Matemáticas II EvAU junio 2022
Publicado también en, https://www.youtube.com/c/LaWebdelProfedeMates

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hola qué tal bienvenidos a un nuevo vídeo de la web del profe de mates en el que vamos a resolver 00:00:00
el ejercicio a 2 de la convocatoria ordinaria de madrid 2022 en evau dice el ejercicio sea la 00:00:21
función f de x igual veis que es una función a trozos que para el valor 0 vale 0 y para los 00:00:28
valores que sean distintos de 0 vale x cubo por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado. Lo 00:00:34
primero que pide es estudiar la continuidad y derivabilidad de f de x en x igual a 0. Lo segundo 00:00:40
que pide es que estudiemos si f de x presenta algún tipo de simetría par o impar. El tercer apartado 00:00:47
lo que dice es que calculemos la siguiente integral que es la integral entre 1 y 2 de la función f de 00:00:53
x partido de x a la 6 respecto de x, diferencial de x. Muy bien, pues vamos a empezar con el 00:00:59
apartado A, en el que observamos que la función f de x, que es x cubo por e elevado a menos 00:01:05
1 partido de x cuadrado, es continua en todo valor que sea distinto de 0, ya que x cubo 00:01:15
es un polinomio que multiplicado por una exponencial, pues entonces va a presentar continuidad 00:01:26
tanto la primera función como la segunda multiplicadas, con lo cual la función producto 00:01:31
va a ser continua. Así que tiene sentido que nos pregunten que qué pasa 00:01:35
en el x igual a 0. Ya sabéis que f de x 00:01:39
será continua en x igual a 0 00:01:42
así que si el límite 00:01:48
por la izquierda y por la derecha en el 0 00:01:52
de la función, claro, 00:01:57
coinciden, son un valor real y además son iguales que el valor de la imagen en el cero. 00:02:00
Así que lo que hay que hacer es, primeramente, ¿cuánto es f de cero? 00:02:10
f de cero, según lo que nos dicen, es cero. 00:02:15
Ahora, segunda parte, ¿cuánto es el límite? 00:02:18
Cuando x tiende a cero, me da igual por la izquierda o por la derecha, 00:02:21
porque la función a la izquierda y a la derecha del cero está construida mediante la misma expresión algebraica. 00:02:26
Así que el límite que va a haber que hacer es el de x cubo por e elevado a menos uno partido de x cuadrado. 00:02:32
¿Qué va a pasar con este límite? 00:02:39
Observar que es una multiplicación, una multiplicación en la que x cubo claramente va a ir hacia cero 00:02:41
y e elevado a menos uno partido de x cuadrado, el exponente, cuando x sea cercano a cero, 00:02:46
su exponente va a tender a menos infinito 00:02:53
va a irse hacia menos infinito 00:02:58
con lo cual elevado a un número cada vez más grande y en negativo 00:03:01
va a ir también a cero 00:03:05
la multiplicación de dos cosas que se van a cero es cero 00:03:07
así que observar como efectivamente los límites laterales 00:03:11
tanto por la izquierda como por la derecha 00:03:15
ya que la función está definida del mismo modo a izquierda y a derecha del cero 00:03:17
Esto coincide con la imagen de la función en el 0. 00:03:21
Así que aquí podemos decir ya que f de x es continua en x igual a 0. 00:03:26
¿Qué pasa con la derivabilidad en el 0? 00:03:36
Porque en el resto de valores también va a ser derivable. 00:03:39
Dos maneras de hacerlo. 00:03:43
La primera, ¿cuál es la derivada de f siempre y cuando estemos a las afueras del 0? 00:03:44
va a ser derivable porque va a ser una función que es producto de dos funciones derivables 00:03:50
que no tienen ningún tipo de problema, ningún valor que no sea el 0. 00:03:57
Entonces la derivada va a ser derivada del primero por el segundo sin derivar 00:04:01
más el primero sin derivar por el segundo derivado 00:04:06
que al tratarse de una función exponencial va a ser ella misma 00:04:14
por la derivada de lo de arriba, del exponente 00:04:18
que es la derivada de una fracción, x a la cuarta abajo 00:04:22
0 por x cuadrado, con un menos aquí 00:04:25
y luego menos, pero que sería más, 1 por 2x 00:04:30
o sea, 3x cuadrado 00:04:34
por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado 00:04:39
más, menos 1 partido de x cuadrado 00:04:42
y fijaros lo que pasa con las x, esto es 0 evidentemente, este x cuarta con este x3 se va a simplificar 00:04:47
y va a quedar x abajo, pero como tenemos este x, pues entonces va a quedar un 2 nada más, así que por 2. 00:04:55
Esto es siempre y cuando x sea distinto de 0, esa es la derivada en todos los valores que no sean el 0. 00:05:03
¿Qué ocurrirá cuando nosotros hacemos el límite de f' de x cuando x precisamente se va a cero? 00:05:09
Pues que será el límite de 3x cuadrado por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado más 2 por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado. 00:05:20
si valoramos nos damos cuenta de que nuevamente esta parte de aquí esta parte primera se va a ir a 0 00:05:31
se va a ir a 0 porque 3x cuadrado se va a 0 y elevado a menos 1 partido de x cuadrado 00:05:40
por las razones que hemos dado antes también se va a 0 00:05:46
además la segunda parte como he elevado a menos 1 partido de x cuadrado se va a 0 cuando x tiende a 0 00:05:48
va a tender a 2 por 0 es decir a 0 00:05:54
así que existe el límite tanto a la izquierda como a la derecha del 0 de f' 00:05:57
prima y ese valor va a ser cero, con lo cual existe derivabilidad en el cero que va a ser 00:06:02
precisamente cero. La otra manera de hacerlo es utilizar la definición conceptual de derivada. 00:06:07
¿Cómo sería? Nosotros tomaríamos el límite cuando h tiende a cero de f de cero más h menos f de cero 00:06:16
y partido de h. Eso va a ser entonces 00:06:28
el límite de f de h 00:06:32
menos f de 0 partido de h. 00:06:36
Es decir, el límite cuando h tiende a 0 00:06:41
¿de qué? ¿Cuál era la función? 00:06:45
Era x cubo, que sería h cubo entonces, por e elevado 00:06:49
a menos 1 partido de h cuadrado. 00:06:53
menos f de 0 que era 0 y partido de h 00:06:55
esto lo podemos simplificar 00:06:59
quedaría entonces el límite cuando h tiende a 0 00:07:01
de 1 abajo h cuadrado por e elevado a menos 1 partido de h cuadrado 00:07:06
¿qué ocurre aquí? 00:07:13
por lo mismo de antes 00:07:15
que h cuadrado se va a ir a 0 00:07:16
y que elevado a menos 1 partido de h cuadrado 00:07:18
también se va a ir a 0 00:07:20
con lo cual esto va a ser 0 00:07:21
así que este límite es finito 00:07:22
es 0 y es precisamente f' de 0. O sea que f es derivable en x igual a 0, ¿verdad? Como 00:07:25
podíamos haber dicho exactamente lo mismo antes con esta segunda sección también, 00:07:38
que era lo que se nos preguntaba, que si era derivable o no era derivable en x igual a 00:07:43
En el apartado b se nos pedía estudiar si la función f de x es par o impar. 00:07:46
Para estudiar esto sabemos que una función es par cuando f de x es igual a f de menos x. 00:08:03
¿Vale? Para todo x perteneciente a los reales. 00:08:16
¿Nuestra función es par? Vamos a verlo. 00:08:20
¿Quién sería f de menos x? 00:08:22
Donde ponga x, vamos a poner menos x. 00:08:24
Menos x al cubo por e elevado a menos 1 partido de menos x al cuadrado. 00:08:27
Como menos elevado al cubo es menos, entonces esto va a quedar menos x al cubo por e elevado a menos 1 partido de x al cuadrado. 00:08:35
se va a quedar exactamente igual porque menos al cuadrado es más así que se va a quedar menos 1 00:08:43
partido de x cuadrado eso no es no es efe de x así que efe de x no es para será impar pues una 00:08:48
función es impar cuando que cuando efe de x es igual a menos efe de menos x para todo x real 00:09:01
observar, por lo que hemos visto anteriormente 00:09:16
que f de menos x era menos x cubo por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado 00:09:19
entonces si yo le meto un menos delante 00:09:25
esto cambiará más y esto sí es f de x 00:09:27
así que f de x es impar 00:09:30
faltaría hacer una cosa 00:09:36
y es que aquí digamos que hemos estudiado 00:09:38
para todos los valores que sean distintos del 0 00:09:41
Pero en el caso del 0, fijaros que en el caso del 0, f de 0 es 0 y f de menos 0 sería lo mismo que f de 0, que es 0. 00:09:44
Con lo cual estaría cumpliendo la situación par en el valor 0. 00:09:57
Pero también estaría cumpliendo la situación impar, porque menos f de menos 0 sería menos 0, que sería 0. 00:10:01
así que podríamos decir que f de 0 es igual a menos f de menos 0 00:10:10
o sea es impar 00:10:16
también sería par en el 0 00:10:17
lo que pasa es que claro como la paridad se nos está estropeando 00:10:22
y lo hemos visto en los valores que sean distintos de 0 00:10:26
pues entonces la conclusión nuestra es que la función es impar para todo valor de x real 00:10:28
aquí técnicamente podríamos haber dicho que x es distinto de 0 00:10:36
¿no? y entonces ocurriría eso ¿verdad? sin embargo aquí 00:10:40
igual x distinto de 0 nos lleva a una conclusión contraria 00:10:44
es decir que si hay imparidad, no hay paridad 00:10:49
vale, vamos ahora con el apartado c que nos piden hallar la integral 00:10:51
entre 1 y 2 de la función 00:10:56
dividida entre x a la 6 diferencial de x 00:10:59
o sea que habría que hacerse la integral entre 1 y 2 de x cubo 00:11:04
por e elevado a menos 1 partido de x cuadrado partido de x a la serie diferencial de x. 00:11:08
Vamos a simplificar y se nos queda abajo x cubo y arriba e elevado a menos 1 partido de x cuadrado entre 1 y 2. 00:11:14
Recordar entonces que la integral de una función exponencial necesita de la derivada del exponente 00:11:26
para poder decir que su integral es e elevado a g de x. 00:11:33
Por otra parte, observar también que la derivada de menos 1 partido de x cuadrado, que lo hemos hecho antes, es menos 0 por x cuadrado menos, que sería más, 1 por 2x partido de x a la cuarta. 00:11:38
O sea, 2 partido de x cubo. 00:11:58
Precisamente nosotros lo que tenemos aquí es x cubo en el denominador, 00:12:03
es decir, nosotros podríamos poner esto como la integral entre 1 y 2 00:12:06
de e elevado a menos 1 partido de x cuadrado por, y aquí poner un x cubo, ¿veis? 00:12:10
Y lo único que nos faltaría para tener la derivada del exponente sería un 2. 00:12:18
Bueno, pues eso lo vamos a colocar nosotros, esto va de nuestra parte, este 2, 00:12:23
Pero claro, para compensar vamos a multiplicar a la integral por 1 medio. 00:12:29
De tal modo que nosotros podremos decir que esa integral será entonces 1 medio por la exponencial de menos 1 partido de x cuadrado entre los valores 1 y 2. 00:12:34
Regla de barra al canto, esto quedaría entonces 1 medio por elevado a menos 1 partido de 4 menos elevado a menos 1 partido de 1. 00:12:46
O dicho de otro modo, 1 medio por 1 partido de la raíz cuarta de menos 1 partido de e. 00:13:00
Y ese es el resultado final, esa es la integral. 00:13:13
Y hasta aquí la resolución del ejercicio A2 de la convocatoria ordinaria de la EBAU Madrid 2022 y me despido ya hasta un nuevo vídeo. Un saludo. 00:13:15
Idioma/s:
es
Autor/es:
David (El Profe de Mates)
Subido por:
David M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
20
Fecha:
18 de agosto de 2023 - 12:37
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ROSA CHACEL
Duración:
13′ 51″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
542.36 MBytes

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