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Trigonometría: 23.Razones 30º y 60º - Contenido educativo
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- Deduccción detallada de las razones exactas de los ángulos 30º y 60º.
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Vamos a calcular ahora, con la mayor exactitud posible, las razones trigonométricas de 30 y 60 grados.
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Partimos en esta ocasión de un triángulo equilátero de lado 1.
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Ahí lo tenemos.
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Los tres lados miden un metro y los tres ángulos miden 60 grados.
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Si trazamos la altura de este triángulo, nosotros estamos interesados en calcular cuál es la longitud de esa altura.
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Resultaría que el lado de abajo, que media un metro, queda dividido en dos mitades exactamente iguales, de medio metro cada una,
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y el ángulo de 60 grados de arriba queda dividido también en dos mitades de 30 grados cada una.
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Si nos fijamos en este triángulo que acabamos de resaltar en rojo, resulta que nos damos cuenta que es un triángulo rectángulo
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que tiene un ángulo de 30 grados y otro de 60 grados, y eso es justo lo que nos interesa.
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Morramos lo demás, y con esto es por lo que vamos a trabajar.
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Tenemos un triángulo rectángulo, sabemos cuáles son las medidas de la hipotenusa y del cateto de abajo,
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y nos falta tan solo por calcular la medida del otro cateto, la medida del cateto A.
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Bueno, no tenemos nada más que usar el tiromé de Pitágoras, ahí lo tenemos.
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Un medio al cuadrado, que es el cateto de abajo, más A al cuadrado, el otro cateto, es igual al cuadrado de la hipotenusa, que mide 1.
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Por tanto, despejando, tendríamos que A es igual a la raíz cuadrada de 1 menos un medio al cuadrado,
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nos hemos traído el un medio al cuadrado del primer miembro, lo hemos pasado al segundo miembro restando,
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si ahora calculamos un medio al cuadrado, un medio al cuadrado es un cuarto,
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y si hacemos esa recta, uno menos un cuarto, una recta de fracciones, sencilla, que nos daría tres cuartos.
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La raíz cuadrada de una fracción es la raíz cuadrada del numerador dividido entre la raíz cuadrada del denominador,
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y eso es a lo que podemos llegar.
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La raíz cuadrada de 3, tenemos que dejarla indicada, y la raíz de 4 es 2.
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Tenemos ya, por tanto, cuánto mide el otro cateto, ahí le hemos colocado nuestro triángulo,
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mide raíz de 3 partido por 2, y ya tenemos todos los datos para poder calcular las razones trigonométricas,
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tanto de 30 como de 60 grados.
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Es además un triángulo muy fácil de trabajar porque la hipotenusa mide 1,
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y eso nos va a hacer que sea mucho más sencillo el cálculo de todas las razones trigonométricas.
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Vamos a calcular ya las razones trigonométricas de 30 y de 60, y empezamos con las de 30 grados.
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El seno de 30 grados sería cateto opuesto dividido entre hipotenusa,
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1 medio es lo que mide el cateto opuesto a 30 grados,
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y 1 es lo que mide la hipotenusa.
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Por tanto, el seno de 30 grados es igual a 1 medio.
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Ya sabemos que el seno de 30 grados es 1 medio,
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o 0,5, recordemos que es un número sin dimensiones.
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El seno de 30 grados es 1 medio.
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Así como los lados, si tienen dimensiones, por supuesto, son longitudes,
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los lados lo que nosotros estamos trabajando es con longitudes,
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pero el cociente, el resultado del cociente es un número sin dimensiones.
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El seno de 30 grados es 1 medio, o 0,5.
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Vamos ahora a por el coseno, el coseno de 30 grados sería cateto contiguo a 30 grados,
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por tanto, raíz de 3 partido por 2, es la medida de ese cateto,
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dividido entre 1, que es lo que mide la hipotenusa.
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Por tanto, el coseno de 30 grados vale raíz de 3 partido por 2.
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Este es el número exacto, coseno de 30 grados, raíz de 3 partido por 2.
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Vamos ahora a por la tangente.
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La tangente de 30 grados sería también el resultado de dividir el cateto opuesto a 30 grados,
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es decir, 1 medio,
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dividido entre el cateto contiguo,
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que mide raíz de 3 partido por 2.
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Lo hemos colocado de esta manera porque vamos a tener que hacer una división de fracciones
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y aunque podríamos haberlo puesto igual que hemos hecho con el seno y el coseno,
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pero va a ser más claro así.
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Bueno, pues para hacer la división, colocamos nuestra línea de fracción
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y tenemos que hacer la siguiente operación,
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y es multiplicar así, en cruz, recordemos cómo se dividían fracciones,
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1 por 2 nos daría 2, que viene arriba,
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y de la misma manera, 2 por raíz de 3,
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2 raíz de 3 que viene abajo.
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Eso es lo que daría el resultado de esa división.
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Si ahora simplificamos, un 2 en el numerador y un 2 en el denominador podemos simplificarlos
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y nos quedaría 1 partido raíz de 3 para la tangente de 30.
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Como hay una raíz en el denominador, pues ya sabemos que tenemos que racionalizar,
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multiplicamos por raíz de 3 arriba y abajo,
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y nos queda arriba raíz de 3 y abajo 3, ¿de acuerdo?
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Esa sería la tangente de 30 grados, raíz de 3 partido por 3,
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con toda la exactitud posible.
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Vamos ahora por la cosecante, la cosecante de 30 grados,
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hemos colocado además enfrente del seno,
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para darnos cuenta de que lo que tenemos que hacer es justamente el número inverso,
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por tanto hay que dividir 1 entre un medio,
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y eso nos daría 2.
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También simplemente darnos cuenta de que cambiamos el 2 por el 1 en el seno de 30,
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cambiamos el numerador por el denominador, pues eso nos daría 2.
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La secante de 30 grados sería el número inverso,
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el número que resulte de cambiar el numerador por el denominador en la raíz de 3 partido por 2,
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o también podemos ponerlo así, nos daría por tanto 2 dividido entre raíz de 3,
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tendríamos que racionalizar, multiplicamos por raíz de 3 arriba y abajo,
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y nos quedaría arriba 2 raíz de 3 y abajo 3.
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Por último, para la cotangente de 30 grados podemos hacerlo de varias maneras,
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la más sencilla sería simplemente fijarnos en que en uno de los pasos intermedios
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teníamos que la tangente de 30 grados era 1 partido raíz de 3,
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justo antes de racionalizar, y entonces pues nos daría que esa división,
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que es simplemente cambiar el numerador por el denominador,
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y nos daría que la cotangente de 30 grados es raíz de 3.
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Bueno, ya tenemos todas las razones trigonométricas de 30 grados,
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vamos a por las de 60 ahora.
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Vamos ahora por las de 60 grados,
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colocamos aquí nuestro triángulo para poder trabajar cómodamente,
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empezamos con el seno, el seno de 60 grados sería cateto opuesto a 60 grados,
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es decir, raíz de 3 partido por 2,
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dividido entre 1, que es lo que mide la hipotilusa,
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por tanto el seno de 60 grados es raíz de 3 partido por 2,
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justo lo que valía el coseno de 30,
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es lógico que sea así, puesto que son ángulos complementarios.
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El coseno de 60 grados sería ahora,
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lo que mide el cateto contiguo a 60 grados,
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es decir, 1 medio,
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dividido entre lo que mide la hipotilusa,
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y por tanto el coseno de 60 vale 1 medio.
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Para la tangente de 60 tendríamos que hacer una división,
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que consistiría en dividir lo que mide el cateto opuesto a 60 grados,
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es decir, raíz de 3 partido por 2,
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dividido entre 1 medio, que es lo que mide el cateto contiguo.
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Si hacemos la división, lo más sencillo sería simplificar los denominadores,
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y eso nos daría raíz de 3.
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La tangente de 60 grados vale raíz de 3,
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justamente lo mismo que medía la cotangente de 30.
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La cosecante de 60 grados sería el número inverso con respecto del seno,
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y por tanto sería 1 dividido entre raíz de 3 partido por 2,
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eso nos daría 2 partido raíz de 3,
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como vemos es simplemente cambiar el numerador por el denominador en el seno de 60,
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y como tenemos la raíz de 3 abajo,
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tenemos que hacer lo mismo que hicimos antes,
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que es racionalizar, multiplicamos por raíz de 3 arriba y abajo,
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y eso nos da 2 raíz de 3 partido por 3,
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para la cosecante de 60 grados.
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La secante de 60 grados la obtendríamos
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haciendo el número inverso de 1 medio, que es el coseno,
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y eso da 2.
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Por último, la cotangente de 60 grados la obtendríamos de
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hacer, en este caso, un medio dividido entre la raíz de 3 partido por 2.
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Hemos optado por hacerlo de esta manera para
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ver que no siempre hay que hacer las cosas exactamente igual,
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y la cotangente de 60 resultaría de dividir
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un medio entre la raíz de 3 partido por 2,
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es decir, hacer coseno dividido entre seno.
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Esa es otra forma de conseguir la cotangente.
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Un medio dividido entre la raíz de 3 partido por 2,
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hemos hecho ya estos cálculos, justamente antes,
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y nos da 2 partido 2 raíz de 3,
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ya vimos antes cómo se multiplicaba en cruz,
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al dividir dos fracciones,
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y eso da 1 partido raíz de 3, simplificando,
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y si racionalizamos, igual que hemos hecho antes,
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nos da raíz de 3 partido por 3 para la cotangente de 60.
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
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- Primer Curso
- Autor/es:
- José Antonio Ortega
- Subido por:
- EducaMadrid
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 1459
- Fecha:
- 6 de noviembre de 2007 - 10:41
- Visibilidad:
- Público
- Enlace Relacionado:
- José Antonio Ortega
- Descripción ampliada:
Realizado por José Antonio Ortega, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada y Profesor de Enseñanza Secundaria en el IES "Diego Gaitán" en Almogía (Málaga).
Extraído de Open Trigo.- Duración:
- 10′ 47″
- Relación de aspecto:
- 4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
- Resolución:
- 800x600 píxeles
- Tamaño:
- 12.49 MBytes