N II M1 12 Potencias | Mediateca de EducaMadrid

Hoy vamos a ver cómo se trabaja con las potencias 00:00:01

y para ello vamos a definir primero, o mejor dicho, conceptuar un poco 00:00:05

qué es esto de las potencias, en particular la potencia de exponente entero. 00:00:11

Bueno, pues cuando multiplicamos muchas veces un mismo número, 00:00:20

Por ejemplo, si tenemos multiplicado el 3 cinco veces, esto sería muy engorroso de desarrollar los problemas. 00:00:25

Así que la potencia no es ni más ni menos que un recurso matemático que nos permite simplificar la expresión que estamos poniendo aquí. 00:00:39

Estas potencias se basan en un número, que es la base, y un exponente, que es el número de veces que se repite esta base. 00:00:49

O sea, las potencias tenemos a elevado a n, siendo a la base y n el exponente. 00:01:04

Entonces, este exponente se refiere al número de veces que se está multiplicando ese mismo número. 00:01:20

Y la base es el número que se repite esa cantidad de veces. Esto es sencillo, no tiene mayor complicación. La cuestión la encontramos cuando tenemos que trabajar con las propiedades de las potencias. 00:01:29

¿Vale? Propiedades de las potencias. Bueno, nos encontramos con que hay determinadas operaciones que podemos hacer con las potencias y otras no. En particular podemos hacer las operaciones que aparecen aquí. 00:01:54

Es un producto de dos potencias, pero tienen que tener la misma base para poder operarlas. 00:02:34

Bien, en este caso, cuando tenemos un producto de potencias, lo que se hace es, se pone la misma base y se suman los exponentes. 00:02:42

O sea, si tenemos a elevado a m por a elevado a n, se pone la misma base, a, y se suman m y n. 00:02:49

Bien, ¿esto por qué? Pues mira, vamos a poner este caso que aparece por ejemplo aquí. Esto sería elevado a 5. Pone 55, pero realmente esto es error. Esto sería 5 elevado a 5. 00:03:02

Por ejemplo, imaginamos que tenemos 5 al cubo por 5 al cuadrado 00:03:31

Realmente lo que tenemos es, del primer número tenemos 5 por 5 por 5 tres veces 00:03:39

Y luego tenemos 5 por 5 del segundo número 00:03:46

Tenemos 5 al cubo, que serían estos tres 00:03:49

Y luego tenemos 5 al cuadrado, que serían estos dos 00:03:52

Realmente si aplicamos lo que sabemos de las potencias 00:03:55

Pues tenemos 5 elevado a 7, de tal forma que 5 al cubo por 5 al cuadrado ponemos 5, 3 más 2, que sería justo esto que hemos puesto aquí. Ese resultado que hemos obtenido del anterior. 00:03:58

Bueno, esto no es difícil. Insisto que eso es 5 a la 5. 00:04:19

Bien, tenemos el cociente de dos potencias, pero en la misma base nos falta el cociente de dos potencias. 00:04:30

El cociente de dos potencias se da en la misma circunstancia que el anterior. Cociente de dos potencias, pero tienen que tener siempre la misma base. En este caso, lo que se hace es que se restan los exponentes. 00:04:44

O sea, si tenemos a elevado a m entre a elevado a n, pues lo que tenemos es a elevado a m menos n. 00:04:57

¿Por qué es esto así? 00:05:11

Pues en el caso, por ejemplo, este caso de aquí, el caso verde, tenemos 3 elevado a 5, sería 3 por 3 por 3 por 3 por 3, 5 veces entre 3 elevado al cuadrado. 00:05:13

Tendríamos 3 y 3. Pues se cancelan dos 3es de arriba con los de abajo y nos quedaría 3 elevado a 3. O sea, 3 elevado a 5 entre 3 elevado al cuadrado, pues sería 3 elevado a 5 menos 2. 00:05:34

O sea, 3³. A veces conviene tener en cuenta que cuando hablamos de la división, este símbolo A entre B es lo mismo que A entre B. 00:05:58

es lo mismo que A entre B. ¿Por qué comento esto? 00:06:16

Comento esto porque muchas veces 00:06:21

cuando no vemos clara la división, si lo ponemos de esta forma 00:06:23

la cosa es mucho más ilustrativa 00:06:28

y además hay que notar otra cosa 00:06:32

y es que cuando está en el denominador, por ejemplo 00:06:36

5 al cubo, 5 al cuadrado 00:06:40

Fijaros que sería 5, 3, menos 2. O sea que sería como si esta subiera 5 a la menos 2. Me explico. Esto sería lo mismo que decir por 5 a la menos 2. 00:06:45

O sea, lo que está en el denominador, la potencia pasa negativa al numerador. En este caso, fijaros, he transformado la división en una multiplicación y ahora operamos como lo hacíamos arriba. 00:07:06

La suma, 5 más menos 2, o sea, 5, 3 menos 2, 5 al cubo. 00:07:23

No sé si esto viene bien, esto viene bien que lo entendamos. 00:07:37

Lo que vemos cómo pasa de estar multiplicando, de estar dividiendo a multiplicando. 00:07:41

O sea, cómo pasa de el denominador al numerador. 00:07:48

Pasa de forma negativa. Luego nos encontramos con el producto de dos potencias que tienen distinto exponente. Este es un caso muy particular en el que vamos a poder multiplicar dos potencias que tienen el mismo exponente. 00:07:52

En este caso, lo que lo diferencia es las bases. Nótese que aquí aparece B, aparece A y aparece B como base. Vale. Entonces, en este caso, tendríamos A elevado a M por B elevado a M, nos quedaría A elevado a M. 00:08:14

¿Por qué es esto? Pues mira, por ejemplo, en el caso que nos aparece aquí como ejemplo, tenemos 3 elevado a 5 sería 3 por 3 por 3 por 3 por 3, 5 veces. 00:08:36

Y 2 elevado a 5 sería 2 por 2 por 2 por 2 por 2. 00:08:51

Pues fijaros que el 3 por 2, este 3 por 2 que hacemos aquí, no es ni más ni menos una agrupación que hacemos un 3 de aquí con un 2 de aquí. 00:08:55

otro 3 de aquí, con otro 2 de aquí 00:09:04

y así haríamos grupos de 3 por 2 00:09:07

aplicando una propiedad 00:09:11

de la multiplicación 00:09:15

podríamos hacer estos grupos, la propiedad asociativa 00:09:18

o sea, yo puedo asociar en una multiplicación, puedo asociar los términos como quiera 00:09:23

así que los voy agrupando de 2 de 2, este 3 con este 2 00:09:27

este 3 con este 2 y este 3 con este 2. ¿Y cuántos grupos me han salido? Pues me han salido, en definitiva, habrán salido 5 grupos, porque tenía 3 3es y 2 2es. 00:09:31

Entonces han salido los 5 grupos. Y sabemos que las potencias, pues ponemos como base esta base y como exponente el número de veces que se repite. 00:09:45

Así que sería 3 por 2 elevado a 5. 3 por 2 son 6, 6 elevado a 5 como aparece aquí en este ejemplo. 00:09:59

Para hacer el cociente de dos potencias que tienen la misma, distinta base pero el mismo exponente, en este caso dos potencias con el mismo exponente, pues sería lo mismo. 00:10:12

A elevado a M entre B elevado a M, pues sería A partido B, o si queréis la expresión A entre B elevado a M. 00:10:27

En el ejemplo que nos pone aquí sería 4 por 4 por 4 por 4 por 4, 5 veces, entre 2, 2, 2 y 2, 5 veces que está en el denominador. 00:10:46

Así que podríamos hacer grupos 4 entre 2 por 4 entre 2 por 4 entre 2 por 4 entre 2 por 4 entre 2. 00:11:01

fijaros que se ha repetido 5 veces 00:11:12

entonces tendríamos los 4 medios 00:11:15

elevado al número de veces que se repite 00:11:19

o sea, como exponente ponemos 5 porque se ha repetido 5 veces 00:11:22

y por último 00:11:26

tenemos la 00:11:42

tenemos la potencia de una potencia 00:11:44

O sea, si le vamos a un número a una potencia y luego lo le vamos a otra potencia. Este sería el caso siguiente, por ejemplo. En este caso aplicamos primero la primera potencia. 00:11:52

Nos dice que lo que hay dentro del paréntesis se repite dos veces, sería 4 al cubo por 4 al cubo, ¿vale? 00:12:07

Perdón, dentro, es lo que tenemos dentro, o sea que sería, eso sería 4 al cubo por 4 al cubo. 00:12:19

Y fijaos que en este caso, aplicando la propiedad que nos decía que dos potencias de la misma base se suman los exponentes, pues tendríamos 4 al cubo al cubo, que sería 4 a la sexta. 00:12:30

Efectivamente, ese 4 a la sexta sale de multiplicar el 2 por 3. 00:12:46

O sea, sería 4 a la sexta, 4 al cubo al cuadrado, sería multiplicando los exponentes 4 al cubo por 2, o sea, 4 a la sexta. 00:12:51

¿Veis? Queda lo mismo. 00:13:10