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Explicación de ejercicio matemáticas (EVAU) - Contenido educativo

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Subido el 24 de agosto de 2023 por Ignacio F.

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Existencia de raíz de una función en un intervalo. Aplicación de Teorema de Bolzano. Nivel 2º Bachillerato

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¿Qué tal? ¿Cómo estamos? Bueno, en este vídeo, en el vídeo de hoy, lo que vamos a ver va a ser 00:00:00
ejercicios de ebau, como siempre, ejercicios de ebau tipo, que se suelen repetir, y en este caso 00:00:07
es un ejercicio relacionado con la parte de análisis, concretamente con el teorema de 00:00:13
Bolzano y de Roll, ¿vale? Este vídeo se centra principalmente en el teorema de Bolzano. El de 00:00:18
Roll, damos una pincelada para luego, en próximos vídeos, rematar también con el teorema de Roll, 00:00:27
pero principalmente el vídeo está destinado a entender y saber cómo aplicar el teorema de 00:00:33
Bolzano. Bien, este es un ejercicio de junio 2013. Ok, vamos a recordar lo que nos dice el 00:00:38
teorema de Bolzano, ¿bien? El teorema de Bolzano nos habla de raíces o de puntos de corte con el 00:00:46
eje x en un intervalo, y te dice que si una función f de x es continua, importante esta 00:00:52
condición de discontinuidad, perdón, importante que sea continua en un intervalo, en un intervalo 00:00:59
cerrado a b, si se cumple que f de a es positiva y f de b es negativa, o al contrario f de a negativa 00:01:07
y f de b positiva, es decir, tienen que tener símbolos contrarios las imágenes de los extremos 00:01:25
del intervalo, entonces existe un valor c que pertenece al intervalo a b, tal que f de c es cero. 00:01:31
Esto, escrito así en lenguaje matemático, que puede resultar un poquito difícil de entender, 00:01:42
explicado y visualizado gráficamente, no lo es tanto. Bien, imaginaos que nosotros 00:01:49
tenemos nuestros ejes de coordenadas y tenemos esta función. Esta función podemos ver a simple 00:01:55
vista que no es continua, en general en todo R no es continua, aquí tenemos una discontinuidad, 00:02:04
imaginaos que queremos nosotros aplicar Bolzano solo en esta parte, vale, solo en este intervalo 00:02:10
que es de a a b. Bien, que f de a y f de b tengan signo opuesto, uno positivo y otro negativo, 00:02:16
o al revés, uno negativo y otro positivo, quiere decir que la imagen de a, es decir, f de a que es 00:02:34
esta, esté por debajo y f de b que es esta, esté por encima, o al revés, es decir, o que esté por 00:02:39
aquí y aquí, vale, simplemente lo que quiere decir que f de a y f de b tengan signo opuesto es que 00:02:47
una está por debajo y la otra por encima, por debajo o por encima de este eje x, o una por encima y 00:02:54
otra por debajo, es lo único que quiere decir. Bien, pero resulta obvio pensar que si una está 00:03:00
por debajo, en este caso concreto, y la otra por encima, o al revés, debajo y encima, resulta 00:03:06
visual ver que hay un punto aquí que es el que corta, es decir, es el que hace pasar de abajo 00:03:12
arriba, o de arriba, si viniera por aquí, abajo, es decir, hay un punto en el que pasamos el eje x y 00:03:20
pasamos de estar abajo a estar arriba, o pasamos de estar arriba a estar abajo. Bien, pues ese punto, 00:03:30
ese punto que digo yo, que dice Bolzano que existe, es el punto c, es que existe c perteneciente al 00:03:34
intervalo abierto a b, está claro que si a y b estará aquí dentro, tal que f de c es cero. Pero 00:03:42
qué quiere decir que f de c sea cero? Bueno, quiere decir que el punto c se encuentra justo en el eje 00:03:52
x, efectivamente, porque este punto será de coordenadas c,0. ¿Por qué? Porque está sobre el mismo eje x. 00:03:57
Eso es simplemente la interpretación geométrica de Bolzano que yo creo que nos hace entenderla 00:04:05
mucho mejor, más allá de su enunciado puramente matemático, que sí que queda ciertamente complejo 00:04:11
si no tienes cierto manejo de este lenguaje matemático. Bien, pues entendiendo un poquito 00:04:17
qué nos dice Bolzano y hacia dónde vamos con Bolzano, vamos a resolver este ejercicio. Siempre 00:04:24
los ejercicios de Bolzano, siempre los ejercicios de Bolzano son iguales. Demostrar que una ecuación 00:04:33
o que una función tiene al menos una solución real. Aquí nos enuncian una única solución, 00:04:39
única solución. Bien, el hecho de una única solución nos va a llevar a Roll, pero de momento 00:04:48
nosotros sólo vamos a demostrar que al menos hay una solución. Bien, los escribimos aquí. Los 00:04:56
ejercicios de Bolzano. Bolzano. Siempre son iguales. Demostrar 00:05:01
demostrar al menos 00:05:13
una solución 00:05:20
de una ecuación 00:05:26
en un intervalo. 00:05:31
Bien, vamos a nuestro caso concreto. Tenemos esta f de x definida en el enunciado y en uno 00:05:34
de los apartados nos dice f de x igual a cero. Bien, vamos a copiarla. Recordamos que f de x es 00:05:44
esto, e elevado a menos x, menos x. Nos pide raíz de f de x igual a cero. Vamos a ver en qué 00:05:50
intervalo nos pide calcularlo. Bien, nosotros leyendo el enunciado, usar los teoremas de 00:06:06
Bolzano y de Roll para demostrar que la ecuación tal tiene una solución única real. Bien, al 00:06:12
decirnos que es real y no especificarnos ningún intervalo, nosotros tenemos que entender lo 00:06:18
siguiente. Nosotros tenemos que entender que hay que aplicar Bolzano en menos infinito más infinito, 00:06:27
es decir, en todo R. Hay que aplicar Bolzano justo aquí, en todo R, en toda la recta real, 00:06:40
en todo el dominio de R habrá al menos un punto de intersección. Vamos a aplicar Bolzano. La 00:06:49
primera condición de Bolzano, importantísimo, f de x continúa en el intervalo. Pero claro, 00:06:55
en este caso, en este ejemplo concreto, no es continuo en el intervalo, es continuo en todo R, 00:07:07
porque el intervalo es todo R. Pues lo que hay que comprobar es que f de x es continua 00:07:12
menos infinito más infinito. Y recuerdo que esto es R. Esta función, que es f de x, 00:07:19
que y es de la cual hay que estudiar su continuidad, es una exponencial y un monomio. Bien, 00:07:28
esta función exponencial, por definición de exponencial, siempre es continua, es continua 00:07:35
en todo R. Y como esto es un monomio, se cumple que f de x es continuo en todo R. F de x es 00:07:38
combinación de función exponencial con esta parte, esto es la función exponencial, y polinómica. 00:07:47
Y polinómica es con esta parte, esta parte es la polinómica. En este caso, además, como el 00:08:09
exponente de la función exponencial también es continuo, porque es x, no tiene denominadores, 00:08:20
no tenemos raíces, no tenemos logaritmo, no tenemos nada raro, todo es continuo, 00:08:25
todo es continuo, por lo tanto, se cumple la primera condición de Bolzano. F es continua 00:08:29
en el intervalo. Perfecto. Volvemos al enunciado de Bolzano y te dice que si f es continua en este 00:08:34
intervalo, que en este caso, este a, b, en este caso concreto, porque no nos determinan números 00:08:40
y nos dicen que es una solución real, es menos infinito más infinito. Ahora, lo que hay que ver 00:08:45
es que las imágenes en los extremos sean de signo opuesto, es decir, que en menos infinito sea positiva 00:08:50
y en más infinito sea negativa o al revés. Vamos al lío. 00:08:58
2. f de más infinito positivo y f de menos infinito negativo o al revés. 00:09:14
Bien, primero calculamos f de más infinito. Para calcular f de más infinito calculamos el límite, 00:09:25
límite cuando x tiende a más infinito de f de x. De la misma manera, para calcular f de menos infinito 00:09:33
calcularemos el límite cuando x tiende a menos infinito de f de x. Vamos a calcular el límite 00:09:41
cuando x tiende a más infinito. Límite cuando x tiende a más infinito de f de x, que recordamos que 00:09:49
f de x era e elevado a menos x menos x, e elevado a menos x menos x. Bien, pues nada, metemos en la 00:09:58
expresión nuestro más infinito y nos queda esto. Donde vea una x meto más infinito. Vamos a verlo 00:10:06
más claro así. Por lo tanto, e elevado a menos más infinito menos más infinito. Pero esto es menos por más 00:10:14
menos, elevado a menos infinito, menos por más menos. Esto lo puedo expresar como e elevado a infinito. 00:10:24
Me sigue quedando el menos infinito. Esto se me va a cero porque es 1 partido de infinito, que es cero. Por lo 00:10:33
tanto, esto es cero menos infinito, que es menos infinito. De aquí puedo concluir que f de más 00:10:44
infinito es menos infinito. Por lo tanto, en un extremo en el más infinito es negativo, menor que cero. Muy bien, pues 00:10:54
vamos a hacer exactamente lo mismo que hemos hecho aquí, pero con el menos infinito. Límite cuando x 00:11:06
menos infinito de elevado a menos x menos x. Esto es e elevado a menos infinito menos menos 00:11:13
infinito. Esto es el elevado a más infinito menos por menos más menos por menos más más infinito. Esto es infinito 00:11:23
más infinito. Esto es infinito. Por lo tanto, puedo concluir que f de menos infinito es más infinito, y esto me 00:11:30
implica que f de menos infinito es positivo. Pues justo lo que me pedía Bolzano, en un extremo negativo, en otro 00:11:38
extremo positivo, eso quiere decir gráficamente, gráficamente quiere decir lo siguiente. Yo estoy aquí, me quiere 00:11:50
decir que en f de menos infinito estoy positivo, es decir, que muy a la izquierda estoy por aquí, en f de más infinito 00:12:05
estoy abajo, bien. Eso quiere decir que en algún momento la función que va por aquí corta, corta. Es justo lo que me 00:12:13
dice Bolzano, y es justo lo que me pide el ejercicio. Demuestra por los teoremas de Bolzano que tiene al menos una 00:12:23
solución real. Eso quiere decir que al menos corta una vez, que al menos corta una vez, bien. ¿Qué puede pasar? Puede pasar, y por eso nos 00:12:32
hablan de Rol, que la función vaya así. Perfecto, sí, puede pasar. Y Bolzano me asegura que al menos, al menos, al menos existe c 00:12:42
perteneciente en este caso a menos infinito, más infinito, tal que f de c es cero. Cierto, pero es que concretamente en este ejemplo que 00:12:58
acabo de pintar yo, esto es una c, esto sería otra, esto sería otra, esto sería otra, y esto sería otra. Eso Bolzano no nos dice nada en 00:13:09
referencia a eso. Bolzano dice que al menos existe una c, que existen 5, genial, que existe una, fenomenal, que existen 14, también bien. Lo que nos va a 00:13:23
permitir demostrar que existe exactamente solo una es luego la aplicación del teorema de Rol, y eso tendrá que ver con la derivada. Es decir, por un lado 00:13:32
aplicaremos la función como hemos aplicado en Bolzano, y luego derivaremos y haremos algo con esa derivada que es lo que me va a permitir verificar 00:13:42
que esa solución que yo he dicho es única. Pero de momento solo Bolzano. Bolzano que sea continua y en los intervalos signo opuesto, listo. Cuando no me 00:13:49
especifica el intervalo, como en este ejercicio, los signos, perdón, los extremos de intervalo serán menos infinito, más infinito, y lo que hacemos es 00:13:59
simplemente buscar las imágenes en los extremos y ya está. Bien, hasta aquí una manera de que nos pregunten Bolzano a través de límites. 00:14:07
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Idioma/s:
es
Autor/es:
Ignacio Ferrero Melchor
Subido por:
Ignacio F.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
6
Fecha:
24 de agosto de 2023 - 18:56
Visibilidad:
Clave
Centro:
CP INF-PRI VELAZQUEZ
Duración:
14′ 17″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1366x768 píxeles
Tamaño:
54.15 MBytes

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