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Extremos de una función, crecimiento y decrecimiento - Contenido educativo
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Vamos a ver cómo estudiar los extremos de una función y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
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Lo haremos siguiendo varios pasos.
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Primero estudiar su dominio.
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Luego hallar sus puntos críticos, es decir, donde la primera derivada vale cero.
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Luego estudiaremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento que nos han salido a partir de los puntos críticos.
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Con esta información sabremos si esos puntos críticos son extremos de la función.
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es decir, si son máximos o mínimos, o tal vez sean puntos de inflexión.
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Vamos a verlo con un ejemplo.
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El ejemplo que vamos a usar es f de x igual a e elevado a x partido de x.
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Su dominio son todos los reales menos el cero, es decir, donde el denominador vale cero.
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Hallamos la derivada de la función.
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Para este tipo de funciones conviene sacar factor común a e elevado a x porque son más fáciles de manejar.
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Igualamos la derivada a 0, es decir, igualamos el numerador a 0
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He elevado a x es igual a 0 en ningún sitio
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Y x menos 1 es igual a 0 en x igual a 1
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Es decir, el único punto crítico es x igual a 1
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Que puede ser un máximo, un mínimo o un punto de inflexión
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Es decir, este es un punto donde la tangente es horizontal
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Nos hacemos una tabla donde indicamos primero la derivada y luego la función. Vamos a ver los signos de la derivada y con eso sabremos si la función crece o decrece.
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Nos indicamos el punto que no pertenece al dominio y el punto crítico que nos ha salido. Yo indicaría de alguna manera el punto que no pertenece al dominio para recordar que en ningún caso es ni un máximo, ni un mínimo, ni un punto de inflexión.
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Sustituimos un punto a la izquierda de 0, por ejemplo, menos 1, en la derivada
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Al sustituir en la derivada veremos que nos sale negativo, es decir, que la función es decreciente
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Sustituimos un valor entre 0 y 1, por ejemplo, 0,5 en la derivada
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También nos sale negativo y por tanto la función también es decreciente en ese tramo
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A la derecha de 1, por ejemplo, 2. Sustituimos en la derivada y veremos que nos sale positiva y por tanto la función es creciente.
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Con esto ya sabemos el comportamiento de la función. Crece desde 1 hasta más infinito. Ahí es creciente.
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Decrece desde menos infinito hasta 0 y luego vuelve a decrecer desde 0 hasta 1.
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no hay que equivocarse y la función no decrece desde menos infinito hasta 1
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sino decrece en dos tramos separados
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lo que le pasa en x igual a 0
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se estudiaría con más detalle haciendo el límite cuando x se aproxima a 0 de la función
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pero lo que le ocurre es que tiene una asíntota vertical
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con ese límite sabríamos el comportamiento de la función a la derecha y a la izquierda
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de x igual a 0. Lo que sí que sabemos claramente con lo que acabamos de hacer es que en x igual
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a 1 tiene un mínimo, porque a la izquierda decrece y a la derecha vuelve a crecer. El
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valor de la función en ese punto sustituimos en x igual a 1 y nos sale e, es decir que
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En x igual a 1 la función vale e y ahí tiene un mínimo.
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Ahora tendríamos que estudiar los límites cuando x tiende a más infinito, cuando x tiende a menos infinito y cuando x tiende a cero para saber el comportamiento en esos sitios.
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Pero eso es otra cuestión.
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Con la información que tenemos vemos que la función desde menos infinito hasta cero decrece.
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Desde 0 hasta 1 sigue decreciendo y desde 1 hasta más infinito la función es creciente.
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- Autor/es:
- Francisco Medina
- Subido por:
- Francisco M. M.
- Licencia:
- Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
- Visualizaciones:
- 78
- Fecha:
- 28 de noviembre de 2020 - 14:08
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES JAIME FERRAN CLUA
- Duración:
- 04′ 34″
- Relación de aspecto:
- 16:10 El estándar usado por los portátiles de 15,4" y algunos otros, es ancho como el 16:9.
- Resolución:
- 768x480 píxeles
- Tamaño:
- 21.09 MBytes
