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AE2. 2.3 Ecuaciones cuadráticas - Contenido educativo

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Subido el 10 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AE2 dedicada a las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones. 00:00:21
En la videoclase de hoy estudiaremos las ecuaciones cuadráticas. 00:00:26
En esta videoclase vamos a estudiar las ecuaciones cuadráticas, que como veis son ecuaciones 00:00:35
polinómicas de segundo grado en X, donde lo que voy a encontrar va a ser con carácter 00:00:53
general un polinomio de segundo grado igualado a cero, o bien voy a poder reducirlo a esa expresión. 00:00:58
Nos encontraremos siempre, o buscaremos reducirnos a expresiones que sean del tipo a por x al cuadrado 00:01:03
más b por x más c igual a cero. Llamaremos a al coeficiente principal, al coeficiente del término 00:01:10
cuadrático de grado 2, que tiene que ser distinto de cero para que la ecuación sea realmente de 00:01:16
segundo grado. Si a fuera igual a cero nos encontraríamos posiblemente con una ecuación 00:01:21
de primer grado. Vamos a llamar b al coeficiente del término lineal, al término en x, y c al término 00:01:25
independiente, b y c, números reales cualesquiera. Pues bien, cuando nos encontremos con una ecuación 00:01:31
de segundo grado así expresada, buscaremos las soluciones, las soluciones o las soluciones con 00:01:35
carácter general utilizando esta fórmula que vemos aquí. Todo este desarrollo no es más que a partir 00:01:41
de esta ecuación, cómo puedo efectuar transformaciones, todos los cambios aparecen en rojo, 00:01:47
para encontrar esta fórmula. En el fondo es la demostración de la fórmula. 00:01:52
Nosotros utilizaremos la fórmula que veis que es x igual a menos b más menos la red cuadrada de b cuadrado menos 4 por a por c, 00:01:57
todo ello dividido entre 2 por a. 00:02:05
Cuando aquí tengo menos b no quiere decir que esta cantidad deba ser negativa, 00:02:08
quiere decir que a b le debo cambiar el signo. 00:02:12
Así pues, si b es negativo, menos por menos más, aquí tendré una cantidad positiva, 00:02:14
solo si b es positivo, con el signo menos, aquí lo que tendría que ser una cantidad negativa. 00:02:19
Más menos delante de la raíz cuadrada me recuerda que los radicales de grado par, 00:02:24
y en este caso el radical con grado 2, tienen dos raíces que van a ser iguales en valor absoluto, 00:02:29
una con signo más y otra con signo menos. 00:02:34
Y aquí este más menos me recuerda eso. 00:02:36
Voy a tener en general dos soluciones, una con el signo más, la raíz con signo positivo, 00:02:38
otra con el signo menos, la raíz con signo negativo. 00:02:44
el radicando b cuadrado menos 4 por a por c en este contexto se denomina discriminante y lo vamos 00:02:46
a representar con la letra delta mayúscula el discriminante va a ser relevante puesto que en 00:02:53
función de su valor nos vamos a encontrar con que la ecuación puede tener dos soluciones va a ser 00:02:58
lo más general o más habitual puede tener una única solución o puede ser que la ecuación no 00:03:03
tenga solución esto es que la solución sea el conjunto vacío si el discriminante fuera negativo 00:03:10
puesto que no existen las redes cuadradas de los números negativos, directamente nos encontramos 00:03:15
con esa última situación. Decimos, coloquialmente, la ecuación no tiene solución, la solución es el 00:03:19
conjunto vacío. En el caso en el que el discriminante sea idénticamente nulo, la red cuadrada de 0 es 00:03:23
solamente el valor 0, nos encontraremos con una única solución, x igual a menos b partido por 2a. 00:03:29
Y únicamente en el caso, el más general, por cierto, en el que el discriminante sea positivo, 00:03:35
nos encontraremos con que tenemos dos soluciones. En una de ellas nos quedaremos con la 00:03:39
raíz negativa y aquí lo indico con este sino menos delante del radicando. En el segundo caso nos 00:03:45
quedaremos con la raíz positiva del radical y eso lo indico con este sino positivo delante del 00:03:50
radicando. En este caso tenemos dos soluciones y x pertenece a este conjunto donde tenemos un 00:03:55
posible valor numérico y un segundo valor numérico. En el caso en el que la ecuación decimos tiene una 00:04:00
única solución, en ciertos contextos diremos que lo que ocurre es que las dos soluciones que yo 00:04:08
estoy esperando son iguales. Más adelante cuando hablemos de ecuaciones de grado superior a 2 y 00:04:14
discutamos cómo estamos resolviendo las ecuaciones polinómicas buscando las raíces o bien buscando 00:04:19
la factorización del polinomio, veremos que en este caso lo que va a pasar es que tenemos una 00:04:25
factorización con dos factores iguales, lo que tenemos son dos raíces iguales. Así que según 00:04:31
cómo estemos contando soluciones tenemos dos soluciones iguales o bien diremos que tenemos 00:04:37
únicamente una. Nosotros cuando estemos en el contexto de resolver ecuaciones diremos que tiene 00:04:42
una única solución y será esta. Si estamos pensando en factorizar polinomios o buscar raíces de 00:04:46
polinomios podemos pensar que tenemos dos raíces iguales, pero una única solución en este contexto. 00:04:52
Lo que he mencionado anteriormente se corresponde a las ecuaciones que se denominan completas, 00:05:00
cuando tanto a como b como c son distintos de cero. A, por supuesto, pero en el caso en el que b y c 00:05:04
son distintos de cero. Esta fórmula es universal, ¿vale? Siempre, siempre que se den estas circunstancias, 00:05:10
siempre que a sea distinto de cero, puesto que si a fuera cero, fijaos que no podría dividir y la división entre cero 00:05:16
no estaría definida. En el caso en el que tanto b como c o una de las dos fuera igual a cero, podría no utilizar 00:05:21
esta fórmula, sino que considerar que lo que tengo es una ecuación incompleta, puesto que faltaría uno de estos términos 00:05:27
o los dos, y utilizar métodos alternativos. En el caso en el que b fuera igual a cero, me puedo dar cuenta con que 00:05:33
la ecuación que tengo es ax cuadrado más t igual a 0, me encuentro con que tengo la 00:05:39
x en un único término y puedo sencillamente despejar la x. Puedo pasar, insisto, pasar 00:05:44
esta c restando al miembro de la derecha, a continuación esta a que está multiplicando 00:05:50
pasarla dividiendo y después extraer la raíz cuadrada para eliminar el cuadrado, teniendo 00:05:54
en mente siempre de que la raíz cuadrada son dos, una con signo positivo, otra con 00:05:58
signo negativo. Y fijaos, oh, tengo en la raíz cuadrada un número negativo, eso no 00:06:03
existe. Cuidado, esto no es correcto. Este signo menos lo que me dice es que debo 00:06:08
cambiarle el signo a c antes de dividir entre a. En el caso en el que c y a tengan 00:06:12
el mismo signo, evidentemente en este caso sí, el radicando sería negativo y me 00:06:17
encontraría en una de esas situaciones en las que la solución es el conjunto vacío, 00:06:22
pero únicamente en ese caso. En el caso en el que c fuera igual a 0, bien, pues en el 00:06:25
caso en el que c fuera igual a 0 me encontraría con una ecuación como esta, en 00:06:30
la que me encuentro que todos los términos contienen a la x y puedo sacarla de 00:06:33
factor común x, factor común de a por x más b. Y en este caso me puedo encontrar con que ya tengo 00:06:36
el polinomio factorizado, puedo buscar las dos raíces que van a ser las dos soluciones o bien 00:06:43
puedo plantearme que el producto de dos cantidades es igual a cero si sólo si al menos una de ellas 00:06:48
es igual a cero. Así que o bien este término es igual a cero y aquí tengo la primera solución 00:06:53
para la ecuación del segundo grado o bien a por x más b tiene que ser igual a cero y entonces tengo 00:06:58
la solución de esta ecuación de primer grado, que va a ser la segunda solución 00:07:04
de la ecuación de segundo grado que yo tengo entre manos. 00:07:08
Menos b partido por a. En el caso en el que tanto b como c fueran igual a cero, 00:07:11
lo que tendría es sencillamente a por x al cuadrado es igual a cero 00:07:16
y esto cuando a es distinto de cero únicamente se cumple cuando x es igual a cero. 00:07:20
Es el caso más sencillo posible y ni siquiera me ha parecido relevante 00:07:24
reflejarlo en estos apuntes. Con esto que acabamos de ver 00:07:28
ya se pueden resolver todos estos ejercicios, en este caso resolver directamente las ecuaciones. 00:07:32
Nosotros sabemos resolver ecuaciones de segundo grado únicamente cuando toman la forma polinomio de segundo grado igual a cero, 00:07:38
así que tendríamos que desarrollar estos cuadrados, por ejemplo, tendríamos que multiplicar, en este caso, menos uno, 00:07:44
cambiar el signo, al polinomio resultante de elevar al cuadrado, en este caso tengo identidades notables, 00:07:52
debería llevarlo todo un miembro para tenerlo igual a cero. 00:07:59
En este caso, además de lo que he mencionado, me tengo que plantear qué hacer con los denominadores. 00:08:02
Una posibilidad, poner denominador común en ambos miembros y multiplicar por él para eliminarlo. 00:08:07
O poner denominador común únicamente en el mismo de la izquierda, en el mismo de la izquierda y operar con ellos. 00:08:12
Lo que consideremos relevante en cada momento. 00:08:18
En estos dos ejercicios, 4 y 5, con lo que nos encontramos es no directamente una ecuación de segundo grado, 00:08:20
Aquí en el ejercicio 5 sí que tengo por lo menos una fórmula que incluye un polinomio de segundo grado, en este ejercicio 4 no. 00:08:29
Así que en este ejercicio 4 tengo que decidir quién va a ser la incógnita, va a haber alguna magnitud por la cual tenga interés que va a ser la incógnita, 00:08:36
en este caso está muy claro, la longitud de los lados de un cuadrado, y de alguna manera con la información que está ahí contenida 00:08:45
debo ser capaz de encontrar un polinomio de segundo grado cuya igualación a cero sea la condición que tengo 00:08:52
para poder resolver lo que me están preguntando. Tendré que verlo con cuidado. 00:08:59
En este caso directamente tengo una fórmula y de t, un polinomio que se llama y, en función del tiempo, 00:09:04
que va a ser la incógnita, 100t menos 4,905t al cuadrado. 00:09:09
Tiene un nombre peculiar, letra minúscula en lugar de letra mayúscula, porque en este caso lo tengo contextualizado 00:09:13
y es una magnitud, es relevante, que se llama y. En cuanto a la variable que en este caso sería la 00:09:18
variable independiente, no es x sino que es t porque va a ser relevante que sea t. Lo veréis en cuanto 00:09:25
leamos el enunciado. Y en este caso se nos indican ciertas condiciones que nosotros tendremos que 00:09:30
imponer en esta fórmula que tenemos aquí, que se van a traducir en polinomios de segundo grado 00:09:35
igualados a cero, en ecuaciones de segundo grado, cuya solución va a estar en relación con aquello 00:09:40
que se me pide resolver. Lo veremos en clase, posiblemente lo veremos en alguna videoclase 00:09:45
posterior. 00:09:49
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:09:52
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis 00:09:59
en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un 00:10:04
saludo y hasta pronto. 00:10:09
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
2
Fecha:
10 de noviembre de 2025 - 12:17
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
10′ 37″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
25.32 MBytes

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