Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

1.Grados de libertad en un sistema de ecuaciones - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 22 de enero de 2021 por Jose S.

458 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Bien, vamos a ver, vamos a resolver una ecuación que tiene infinitas soluciones mediante el método algebraico. 00:00:01
Ya lo vimos ayer, voy a ir deprisa, ¿de acuerdo? 00:00:10
Pongamos, imaginaros que quiero resolver esta ecuación. 00:00:13
En este caso, una ecuación de tres incógnitas para complicarlo un poco más respecto de ayer, ¿de acuerdo? 00:00:23
Vamos a resolver esta ecuación. 00:00:31
Esto es una ecuación. 00:00:34
Se entiende que resolver esta ecuación consiste en calcular los valores de x y z que hacen que al sustituir aquí me sea igual a cero, que me sea igual a dos, que verifica la igualdad. 00:00:35
¿De acuerdo? Bien. En primer lugar hagamos un análisis de los grados de libertad, que ya estuvimos ayer hablando de ello, los grados de libertad de esta ecuación. 00:00:54
Daros cuenta de que, en principio, voy a explicar algo importante 00:01:05
En principio, X y Z se refiere a una terna numérica, ¿sí o no? 00:01:14
X y Z, imaginaos que no os planteo esta ecuación 00:01:21
Y os digo, estoy pensando en tres números, X, Y y Z 00:01:26
¿Se ve o no? 00:01:31
Bien, esto, ¿verdad que es un punto del espacio tridimensional? ¿No? Aquí la X, la Y y la Z es un punto del espacio tridimensional. 00:01:37
Bien, si yo estoy pensando en una terna numérica como esta, ¿realmente qué valores puedo dar a X, Y, Z? Cualesquiera. Si no estoy sujeto a una condición como esta, puedo dar valores cualesquiera. 00:01:49
¿Cuántos grados de libertad tendría esta terna numérica? 00:02:10
Tres. 00:02:19
Escucha, ¿vale? Tres. ¿Por qué? 00:02:22
Porque yo solamente digo, estoy pensando en tres números, cualesquiera. 00:02:24
Puede ser tres números cualesquiera. 00:02:30
Cada uno de ellos tendría libertad de valer lo que sea. 00:02:32
Estamos hablando de un grado de libertad, otro y otro. 00:02:38
Cada uno de estos valores puede ser cualquiera. 00:02:42
Pero, ¿qué pasa en el momento en el que introduzco una condición como esta? 00:02:47
Una ecuación lineal. 00:02:52
Pues lo que sucede es que esta imposición está limitando a esa terna numérica. 00:02:55
Ya no puede ser cualquier terna numérica. 00:03:04
Entonces digo que esta ecuación está limitando a las posibilidades de mi terna numérica. ¿Se entiende? De hecho está restando un grado de libertad. ¿Por qué? 00:03:06
Porque en el momento en el que impongo esta igualdad, imaginemos que z puede ser cualquier valor, y cualquier valor, pero en el momento en el que determino z e y, x está condicionada. 00:03:26
Ya no puede valer cualquier cosa. ¿Os dais cuenta? Entonces, donde había tres grados de libertad, hemos perdido un grado de libertad. 00:03:46
Y nos quedan dos al introducir esta ecuación lineal. 00:03:53
¿Os dais cuenta, no? 00:03:57
¿Cómo resolveríamos esta ecuación? 00:03:59
Pues mediante la técnica de la parametrización que os expliqué ayer. 00:04:03
Por ejemplo, si yo digo que Z es el parámetro nu, donde nu pertenece a R, 00:04:11
Estoy diciendo que Z puede valer cualquier cosa. No es una incógnita. Cuando digo que es un parámetro, no es una incógnita. Estoy diciendo que es un valor cualquiera, que está indefinido, indeterminado, mejor dicho. 00:04:19
Pero es un valor cualquiera. Por lo tanto, lo he de ver como un valor concreto. ¿Entendéis? Pero no un valor incógnita. Porque puede valer cualquier cosa. Aquí lo digo. ¿De acuerdo o no? 00:04:38
Bueno, imaginemos que digo, bueno, pues y es igual a alfa, siendo alfa un número real. Estoy dando ahí la condición de ser un parámetro. ¿Se entiende esto? 00:04:53
Bien, estoy diciendo que z vale nu, y vale alfa 00:05:11
¿Puedo decir ahora que x vale otro parámetro cualquiera? 00:05:16
Y la respuesta es no, dado que está condicionado a z e y mediante esta ecuación 00:05:20
¿Se comprende? 00:05:30
Determinado el valor de z y determinado el valor de y, el valor de x 00:05:34
queda fijado, esclavizado, ligado a esos dos valores de zeta e y. 00:05:39
¿De acuerdo? 00:05:47
Entonces, ¿cómo obtengo el valor de x? 00:05:48
Pues, a partir de la ecuación. 00:05:51
Digo, 3x más 2 por y, que vale alfa, menos zeta, que vale nu, tiene que ser igual a 2. 00:05:54
Y de aquí despejamos x. 00:06:05
Entonces, despejamos X haciendo la consideración de que alfa y nu, al ser valores numéricos concretos, aunque es un parámetro, puede ser cualquier número, pero dentro de cualquier número es uno concreto, pasaría al otro lado de la igualdad. 00:06:09
¿De acuerdo? Para despejar X. Así, bueno, decía que al ser alfa y nu, no lo he grabado, números o, digamos, valores concretos pasarían al otro lado de la igualdad. ¿De acuerdo? Y para despejar X. 00:06:29
Bien, entonces la solución de esta ecuación la daríamos del siguiente modo, x vale 2 menos 2 alfa más nu partido por 3, x y vale alfa y z vale nu, y así de esta manera estaría dando la solución de la ecuación. 00:06:53
Solamente un detalle 00:07:25
De manera intuitiva se pueden dar soluciones 00:07:29
Uno dice, venga, que Y valga 0, Z valga 0 00:07:35
Pues X tiene que ser 2 tercios 00:07:38
¿Sí o no? 00:07:42
O sea, podríamos dar como solución 00:07:43
Como una solución esta 00:07:48
Pero tiene infinitas soluciones 00:07:50
¿De acuerdo? 00:07:51
Bien, fijaros una cosa 00:07:53
¿Cuántos grados de libertad tiene esta solución? 00:07:54
Dos. Esa es la razón por la que necesitamos dos parámetros para expresar la solución. ¿De acuerdo? Bien. 00:07:58
Bien, imaginemos ahora que añado otra condición. Por ejemplo, imaginemos que añado otra ecuación. Por ejemplo, esta. Añado esta otra ecuación. 00:08:11
Pues, ¿qué estoy haciendo al añadir esa ecuación? Pues mirad, en principio, si yo pienso en una terna numérica, cualquiera, ¿cuántos grados de libertad tiene según lo dicho antes? Tres. ¿Sí o no? 00:08:42
Esta ecuación de aquí, ¿qué va a hacer? Reducir un grado de libertad. ¿Sí o no? ¿Me seguís? Y esta otra ecuación, si no es redundante con la primera, quiero decir, si no es equivalente, eso es importante tener en cuenta, va a reducir otro grado de libertad. Ahora explico qué quiere decir con eso de ser redundante. 00:08:59
Por lo tanto, en principio, la solución de este sistema, ¿cuántos grados de libertad tendría? Uno. Porque partimos de tres grados de libertad, esta ecuación reduce un grado y esta otra ecuación reduciría otro. 00:09:24
Y me quedaría que tengo un grado de libertad. Es decir, fijado un valor de Z, por ejemplo, X e Y quedaría determinado. ¿Se entiende? ¿Se entiende? Esto me va a llevar a que dar la solución de este sistema de ecuaciones necesitaría para ello un parámetro. ¿De acuerdo? 00:09:43
Bien, añadir una cuestión importante. ¿Qué sucede si en lugar de añadir esta ecuación, añado esta? 6x más 4y menos 2z igual a 4. 00:10:08
¿Podríamos decir que la solución de este sistema tiene un grado de libertad? 00:10:26
Y la respuesta es no 00:10:32
¿Por qué? 00:10:34
Porque esta segunda ecuación es completamente equivalente a la primera 00:10:35
¿Veis que es proporcional? 00:10:40
¿Se ve? 00:10:44
Esto no está reduciendo más que la primera 00:10:45
Porque es equivalente 00:10:48
¿Entendéis? 00:10:49
Es como si de una población 00:10:52
Toda una población 00:10:54
dijera, ¿sabéis quiénes son la familia Pérez? 00:10:56
Y uno dice, ¿cuál? Pues uno empieza a dar condiciones. 00:11:04
Pues mire, son rubios, entonces ya hay que quitar todos los morenos, ¿no? 00:11:08
Esto sería ir limitando. 00:11:15
Imaginaos que yo digo, voy a dar dos condiciones 00:11:20
Para buscar dentro de este barrio a la familia Pérez. Son rubios, primera condición. Ya estoy quitando las posibilidades, lo que en matemáticas llamamos grados de libertad. ¿Me entendéis o no? 00:11:22
Y luego además digo, voy a añadir otra condición, son, miden más de dos metros, hostia, ya puedo quitar a un montón de ellos, ¿entendéis? Son dos condiciones que cada vez más me van limitando la libertad de elección, lo cual me lleva a encontrar a la familia Pérez, ¿entendéis o no? 00:11:35
Pero imaginaos que digo, primera condición, son rubios, bien, bien, muy bien, vamos a quitar a todos los morenos. Y luego digo, segunda condición, tienen el pelo amarillo, ¿eso añade algo? Eso es una información redundante, no añade nada y no quita grado de libertad, ¿entendéis? 00:11:55
Es lo que pasa aquí. Esta ecuación y esta son redundantes. Dicen lo mismo al ser equivalentes. ¿Se ha entendido? Y en este caso hay que tener cuidado porque no es cierto que cada ecuación me quite un grado de libertad. Es cierto que cada ecuación que no es redundante a las anteriores me quita un grado de libertad. ¿Entendéis? Ya veremos en qué se traduce eso. 00:12:16
Subido por:
Jose S.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
458
Fecha:
22 de enero de 2021 - 12:51
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
12′ 45″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
59.70 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid