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2. CÁLCULO DE DERIVADAS - Contenido educativo

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Subido el 29 de julio de 2024 por Francisca F.

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Reglas para el cálculo de derivadas

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Hemos visto en el vídeo anterior la definición de la derivada de la función en un punto 00:00:01
como el límite cuando h tiende a cero de f de x sub cero más h menos f de x sub cero partido de h 00:00:05
También hemos visto el cálculo a través de este límite de la derivada de la función x al cuadrado 00:00:13
La realización de este límite lleva cierto tiempo 00:00:21
Por lo tanto lo que vamos a hacer va a ser basarnos en una serie de reglas 00:00:24
que nos van a permitir calcular derivadas mucho más fácilmente. 00:00:29
Estas reglas de derivación se pueden demostrar a partir de la definición de derivada de la función en un punto que hemos visto. 00:00:34
En este vídeo vamos a ver cómo se derivan las funciones elementales dadas en la tabla de derivadas 00:00:39
y sabiendo cómo se derivan las operaciones que podemos hacer entre ellas 00:00:45
suma, producto, cociente, función compuesta 00:00:50
podemos derivar funciones más complejas. 00:00:55
Vamos a empezar por la derivada de la función suma 00:00:58
Cuando tenemos que derivar una suma de funciones 00:01:01
lo que tenemos que hacer es la suma de las derivadas 00:01:05
Cuando tengamos una función multiplicada por una constante 00:01:09
podemos ver que la constante sale fuera de la derivada 00:01:13
y el resultado será esa constante por la derivada de la función 00:01:18
La derivada de un producto, esta es un poquito más complicada 00:01:22
pero se deduce de esta definición, no es el producto de las derivadas, sino que se deriva de la siguiente forma, 00:01:27
es derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda. 00:01:35
La derivada de un cociente es un cociente donde en el numerador tenemos la derivada del numerador 00:01:42
por el denominador sin derivar menos la función del numerador por la derivada del denominador. 00:01:50
Todo ello dividido por el cuadrado del denominador. 00:01:59
Luego por último tenemos la derivada de la función compuesta, que es la regla de la cadena, 00:02:05
que la veremos luego con ejemplos. 00:02:09
Si yo tengo una función compuesta, f compuesta de g, tenemos que hacer la derivada de la función f evaluada en g 00:02:10
y luego multiplicar por la derivada de g. 00:02:19
Pasamos a ver la tabla de derivadas de funciones elementales. 00:02:23
Esta tabla junto con las reglas de derivación que acabamos de ver de operaciones de funciones 00:02:27
nos van a permitir el cálculo de derivadas de cualquier función. 00:02:31
Empezamos con la función constante. 00:02:35
Hemos dicho que la derivada lo que nos indica es la variación de la función. 00:02:37
Si la función es constante, dicha variación es nula. 00:02:42
Por lo tanto, la derivada de una función constante es 0. 00:02:45
La siguiente que tenéis aquí es la función potencial. Su derivada, la derivada de x elevado a n, sería n por x elevado a n-1. 00:02:48
Función exponencial de base en número y. Esta es la más sencilla, porque la derivada de la función exponencial elevado a x es ella misma, elevado a x. 00:02:58
Si la base de la exponencial es otro número, vamos a poner que es a, a elevado a x, 00:03:08
la derivada de la función será a elevado a x por el logaritmo neperiano de a. 00:03:16
La derivada de una función logarítmica la tenemos aquí. 00:03:22
Si la base del logaritmo es el número e, un logaritmo neperiano, su derivada es 1 partido de x. 00:03:27
Si el logaritmo es de base a, teniendo en cuenta que logaritmo en base a de x se puede escribir como 00:03:35
el logaritmo neperiano de x partido del logaritmo neperiano de a, pues la derivada sería esta constante 00:03:42
1 partido del logaritmo neperiano de a, que sale fuera, por la derivada del logaritmo neperiano de x 00:03:49
que es 1 partido de x. Esto mismo, esta constante, también se puede expresar así 00:03:56
como el logaritmo en base a del número e por 1 partido de x. 00:04:02
Para las funciones trigonométricas tenemos las siguientes reglas de derivación. 00:04:07
La derivada de la función seno es coseno de x. 00:04:13
La derivada de la función coseno de x es menos seno de x. 00:04:17
La derivada de la función tangente, como la tangente es seno entre coseno, 00:04:22
podemos deducirla a partir de la derivada de un cociente 00:04:27
y aplicando esa regla que hemos visto antes 00:04:33
derivada del seno es coseno de x por la de abajo sin derivar 00:04:36
coseno por coseno, coseno cuadrado 00:04:42
menos la función numerador sin derivar, seno de x 00:04:44
por la derivada del coseno que es menos seno de x 00:04:51
Si nos damos cuenta, nos queda en el numerador coseno cuadrado de x más seno cuadrado de x 00:04:55
que es igual a 1 por la relación fundamental de la trigonometría 00:05:01
y abajo nos queda el coseno cuadrado de x 00:05:04
1 partido del coseno cuadrado de x por las relaciones que sabemos entre las funciones trigonométricas 00:05:08
el coseno y la secante son funciones inversas 00:05:16
pues 1 partido del coseno cuadrado de x es igual a la secante cuadrado de x. 00:05:21
Vamos a ver algunos ejemplos de derivadas de funciones. 00:05:28
Por ejemplo, imagina que tenemos la función f de x igual a 3. 00:05:33
Su derivada, como hemos visto, una función constante, su variación es nula, por lo tanto la derivada es 0. 00:05:40
Otra función, como por ejemplo x elevado a la quinta 00:05:48
es una función potencial aplicando su regla de derivación 00:05:55
tendríamos que su derivada es 5 por x elevado a 5 menos 1, 4 00:06:01
Otra función, como por ejemplo 5x a la cuarta 00:06:08
Si queremos derivarla, hemos visto que si tenemos una constante multiplicada por una función 00:06:17
su derivada sería 5, que es la constante que sale fuera de la derivada, por la derivada de x a la cuarta 00:06:25
Y la derivada de x a la cuarta, siendo una función potencial, sería 4x elevado a 3 00:06:33
4 por x elevado a 4 menos 1 sería 3 00:06:40
El resultado final, 20x al cubo. 00:06:45
¿Qué ocurre si tenemos una función de tipo polinómico, como por ejemplo esta? 00:06:50
Si la función que tenemos es una función polinómica, su derivada, puesto que un polinomio es suma de monomios, 00:07:03
tendríamos que ir derivando cada uno de estos monomios. 00:07:12
7 por x a la cuarta, su derivada sería 7 que sale fuera de la derivada por x a la cuarta derivada 00:07:16
La derivada sería 4x elevado a 3 00:07:25
Menos 2 que saldría fuera de la derivada 00:07:29
Y la derivada de x cubo que es 3x al cuadrado 00:07:34
3 por x elevado a 3 menos 1, 2 00:07:39
más 8 que sale fuera de la derivada 00:07:42
la constante sale fuera de la derivada 00:07:46
por la derivada de x que es 1 00:07:50
no lo vamos a escribir 00:07:52
luego por último la derivada de esta constante que sería 0 00:07:55
esto se puede hacer de forma directa 00:08:00
el resultado sería 28x al cubo 00:08:03
menos 6x al cuadrado 00:08:08
más 8 00:08:10
Vamos a hacer una última derivada 00:08:12
Imaginar que la función depende de R 00:08:15
Y yo voy a derivar respecto de R 00:08:20
Imaginar que la función que tengo que derivar es 4 tercios de pi por R al cubo 00:08:25
Si yo derivo respecto de la variable R 00:08:35
Por el lugar de X es R 00:08:38
4 tercios de pi es una constante que saldría fuera de la derivada 00:08:41
Y ahora tendría que derivar r cubo respecto de r 00:08:46
Como es una función potencial sería 3 por r elevado a 3 menos 1, 2 00:08:53
Simplificando esta expresión me queda 4 pi por r al cuadrado 00:09:00
Bien, vamos a realizar el siguiente ejercicio de cinemática 00:09:10
en el cual en el apartado C vamos a tener que derivar. 00:09:13
En el apartado A nos piden la ecuación de la trayectoria. 00:09:17
Para ello lo que tenemos que hacer es eliminar el parámetro T de estas dos ecuaciones 00:09:21
que me dan la posición en X y en Y. 00:09:28
Eliminando el parámetro T, por ejemplo, despejando de aquí T, 00:09:36
este es igual a 1 menos i partido de 3 00:09:40
y sustituyendo en la primera ecuación 00:09:45
haciendo los cálculos 00:09:48
multiplicamos toda la ecuación por 9 00:10:04
y reorganizando los términos 00:10:16
que es la ecuación de una parábola 00:10:32
representando la eje ojabra la tenemos aquí 00:10:46
en el apartado b nos piden la velocidad media 00:10:51
entre los instantes t1 igual a 2 segundos 00:10:56
y t2 igual a 4 segundos 00:10:58
La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento 00:11:01
y su módulo nos va a dar idea de la rapidez con la que se ha producido ese cambio de posición 00:11:06
Se calcula como el cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo en el que se produce ese cambio de posición 00:11:12
En nuestro caso, como el intervalo de tiempo transcurre entre t igual a 2 segundos y t igual a 4 segundos 00:11:30
la variación en el vector de posición será el vector posición evaluado en 4 menos el vector posición evaluado en 2 00:11:38
dividido por 4 menos 2. 00:11:53
Realizando los cálculos, sustituyendo aquí la expresión que nos da la posición del móvil en cualquier instante de tiempo 00:11:59
puesto que se trata de una velocidad, las unidades serían metros por segundo. 00:12:10
Bien, pues aquí tenemos representado en la trayectoria cuál sería el vector desplazamiento. 00:12:33
El vector posición tiene su extremo en A inicialmente, para T igual a 2, 00:12:44
y para T igual a 4 el vector posición del móvil, que me indica la posición del móvil, está en el punto B. 00:12:52
El vector de desplazamiento es el vector que me une el punto inicial con el punto final 00:12:59
Y la velocidad media, hemos visto, que sería el cociente entre este vector de desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido 00:13:08
Vamos a abordar el apartado C, en el cual me piden la velocidad y aceleración instantáneas en t igual a 3 segundos 00:13:26
La velocidad instantánea es la derivada del vector posición con respecto al tiempo 00:13:33
Así que tengo que derivar esta expresión respecto de t 00:13:44
t cuadrado, su derivada sería 2t 00:13:49
más la derivada de t que es 1 00:13:52
más la derivada de 1 que sería 0 00:13:56
La derivada de 1 es 0 00:13:59
y la derivada de menos 3t sería menos 3 00:14:05
Así que menos 3j sería la segunda componente del vector velocidad. 00:14:09
Suponiendo que el vector posición viene dado en metros, 00:14:17
pues las unidades de la velocidad serían metros partido por segundo. 00:14:22
En t igual a 3, sustituyendo, me quedaría 2 por 3, 6 más 1 es 7, 7i, 00:14:28
menos, esto no depende de t, 3 cuantos metros partido por segundo. 00:14:38
Para la aceleración volvemos a derivar. 00:14:47
En este caso la aceleración es la derivada de la velocidad instantánea con respecto al tiempo. 00:14:50
Derivamos de nuevo esta expresión con respecto a t 00:14:57
y nos quedaría la derivada de 2t que es 2 00:15:00
más la derivada de 1 que es 0 00:15:03
más la derivada de la segunda componente, al tratarse de una constante, también sería cero. 00:15:07
Así que la aceleración sería esta, expresada en metros partido por segundo cuadrado. 00:15:15
En t igual a 3, pues como vemos que no depende de t, el resultado sería 2i metros partido por segundo al cuadrado. 00:15:23
Bien, pues aquí en GeoGebra tenemos representado para t igual a 3 segundos 00:15:37
el vector velocidad instantánea 00:15:45
que lo hemos calculado 00:15:52
y era 7i menos 3j 00:15:55
expresado en metros partido por segundo 00:15:57
Como vemos, el vector velocidad instantánea 00:16:00
siempre va a ser tangente a la trayectoria en este punto 00:16:05
en el punto donde se calcule 00:16:09
Ha dado la casualidad de que en este punto 00:16:10
la velocidad instantánea 00:16:14
coincide con la velocidad media en ese intervalo. 00:16:17
Sin embargo, en otros puntos, para otros instantes de tiempo 00:16:28
comprendidos entre t igual a 2 y t igual a 4, 00:16:31
no tiene por qué coincidir la velocidad instantánea con la velocidad media. 00:16:36
En este punto, por ejemplo, la velocidad sería tangente a la trayectoria 00:16:43
y no llevaría la misma dirección que este vector, 00:16:49
ni tampoco tendría por qué tener el mismo muestro. 00:16:53
Idioma/s:
es
Autor/es:
Francisca Florido Fernández
Subido por:
Francisca F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
1
Fecha:
29 de julio de 2024 - 15:17
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ENRIQUE TIERNO GALVAN
Duración:
17′
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
47.32 MBytes

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