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¿Qué es un sistema de ecuaciones? - Contenido educativo

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Subido el 4 de septiembre de 2024 por Manuel A.

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En este vídeo veremos qué es un sistema de ecuaciones y cómo es su interpretación gráfica.

Bien, en este vídeo lo que vamos a ver es la resolución de sistemas de ecuaciones, una introducción que quiero que aprendamos aquí. 00:00:01

Primero, a utilizar la herramienta GeoGebra para representar ecuaciones, que nos va a permitir ver qué es una ecuación con dos incógnitas, 00:00:08

qué forma tiene, qué representa, un círculo, una parábola, qué es, qué cambio le puedo hacer a una ecuación sin modificarla, 00:00:17

eso también lo vamos a ver con GeoGebra, y qué estoy haciendo cuando resuelvo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, 00:00:24

No cómo lo hago, sino qué estoy haciendo, qué es lo que estoy buscando. Entonces, para eso vamos a utilizar el siguiente sistema. 3x menos y igual a 3 y x más 2y igual a 8. 00:00:29

Aquí tenemos, como se puede apreciar, dos ecuaciones. La primera ecuación con sus dos incógnitas y la segunda ecuación con sus dos incógnitas. 00:00:40

Hay que darse cuenta de que estas X no son diferentes 00:00:48

Son la misma X 00:00:51

Yo busco, ahora luego lo veremos, un punto común de las dos 00:00:53

Entonces estas X son iguales y estas X son iguales 00:00:57

Por tanto no tengo dos X 00:01:00

Tengo una sola X escrita dos veces 00:01:01

Es la misma escrita dos veces 00:01:05

Y la misma Y escrita dos veces 00:01:06

Si aquí pongo un 8, aquí puedo poner un 8 00:01:08

Si aquí pongo un 10, aquí puedo poner un 10 00:01:10

Porque es lo mismo 00:01:12

Entonces podemos juntar estas cuatro letras en estas dos 00:01:13

Yo busco la X y la Y común 00:01:17

Vamos a ver, para contestar la primera pregunta, que es una ecuación con dos incógnitas 00:01:18

Entonces, cogemos la primera ecuación, que es esta que tenemos aquí 00:01:24

Y la represento en GeoGebra, 3x menos y igual a 3 00:01:27

Yo me vengo aquí y escribo 00:01:31

3x menos y igual a 3 00:01:33

Bien, como veis, lo que ha sacado es la ecuación de una recta 00:01:39

Si yo esto lo hago todo lo pequeño que queráis 00:01:43

al final lo que va a tener, o todo lo grande que queráis, lo que va a tener es la ecuación de una recta 00:01:45

¿de acuerdo? es una recta, ¿vale? que pasa por una serie de puntos 00:01:49

un poquito más grande, ahí, si os dais cuenta pasa por el 1 menos 3 00:01:53

pero es una recta, es decir, ya podemos afirmar 00:01:57

sin saber bien ni falta que hace ahora, que esto es 00:02:01

una recta, por tanto, una ecuación, a la pregunta de 00:02:05

¿qué es una ecuación con dos incógnitas? siempre que estén elevadas a 1 00:02:11

que este año son los que vais a ver 00:02:15

que no hay aquí elevado a ninguna otra cosa 00:02:17

son una recta 00:02:18

se verá en el tema de funciones pero es así 00:02:20

voy a representar también la otra 00:02:22

x más 2y igual a 8 00:02:24

vamos a representarlo 00:02:28

x más 00:02:32

2y 00:02:37

igual a 8 00:02:39

y ahí tenemos otra recta 00:02:41

como tenía que ser, cada ecuación va a ser una recta 00:02:43

si dibujase más serían más rectas 00:02:45

¿qué es lo que tiene esta recta importante? 00:02:47

fijaos, esto de aquí 00:02:50

aquí, es decir, voy un momentito 00:02:51

para acá, que esto me permite pintar 00:02:55

¿qué tenemos? esto es lo importante, es decir, hay un punto 00:02:58

común, como estamos en el plano 00:03:03

sobre dos dimensiones, como si andásemos por el suelo, quiere decir, estas dos rectas 00:03:08

podemos decir, entre comillas, que han chocado 00:03:13

en ese punto, es decir, las dos comparten ese punto aquí 00:03:16

la x de una es igual a la x de la otra 00:03:25

y la y de una es igual a la y de la otra 00:03:28

eso es lo que nosotros estamos calculando 00:03:30

cuando resolvemos un sistema y dice la x da 3 y 2 00:03:32

pues quiere decir que en el punto 3, 2 00:03:35

es donde las dos rectas chocan 00:03:36

o donde las dos rectas se encuentran 00:03:37

eso responde 00:03:39

a la pregunta de 00:03:41

¿qué estoy haciendo cuando resuelvo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas? 00:03:43

pues lo que estoy haciendo es ver 00:03:47

si esas dos rectas 00:03:48

tienen un punto en común 00:03:49

que en este caso lo tienen 00:03:52

puede ser que no lo tengan 00:03:54

pueden ser que sean dos rectas paralelas 00:03:55

y entonces no lo tengan, por ejemplo 00:03:57

si yo voy a desactivar estas 00:03:59

si yo le pongo las siguientes rectas 00:04:01

si yo le pusiese por ejemplo 00:04:06

una recta que fuese 00:04:13

x más y 00:04:15

igual a 4 00:04:17

y x más y 00:04:18

igual a 00:04:21

igual a 00:04:25

6, si os dais cuenta 00:04:27

estas dos rectas son paralelas 00:04:29

y no tienen ningún punto en común 00:04:30

el sistema formado por esas dos ecuaciones 00:04:32

x más y igual a 4 y x más y igual a 6 00:04:35

no tiene solución 00:04:37

no tiene ningún punto en común 00:04:38

¿de acuerdo? 00:04:40

y si yo lo que hiciese fuese 00:04:42

esta la vamos a eliminar 00:04:44

si lo que yo hiciese fuese 00:04:47

por ejemplo 00:04:49

x más y 00:04:50

x más y 00:04:54

igual a 3 00:04:55

y por ejemplo 00:04:58

3X más 3Y igual a 12 00:05:00

para mí igual a 9 00:05:06

¿qué pasa? fijaos, las dos rectas no es que se haya equivocado 00:05:09

mira, si yo quito una, está el azul 00:05:13

ahí está la verde y la azul está encima 00:05:15

es decir, son la misma recta 00:05:18

aquí ¿cuántos puntos tienen en común? infinitos, serían infinitas soluciones 00:05:20

esto este año no nos va a teñir, pero para que lo tengáis ya 00:05:24

es decir, pueden tener un punto en común 00:05:26

ser paralela a ningún punto en común 00:05:28

o ser coincidente, ser la misma 00:05:30

y tener todos los puntos comunes 00:05:32

tendría infinitas soluciones 00:05:33

¿de acuerdo? 00:05:35

por lo tanto aquí llamamos 00:05:37

¿qué es una ecuación con dos incógnitas? 00:05:38

una recta, siempre 00:05:41

si la x y la y están elevadas a 1 es una recta 00:05:42

¿qué estoy haciendo cuando resuelvo un sistema 00:05:44

de dos ecuaciones con dos incógnitas? 00:05:47

buscando si tiene algún punto en común 00:05:48

y ese es el que estoy calculando 00:05:50

x3 y 8, ese es el punto que tiene en común 00:05:52

si fuesen paralelas 00:05:55

no tendría ningún punto en común 00:05:56

y me saldría algo absurdo, por ejemplo, 0 igual a 3, 0 nunca puede ser 3, o que fuesen coincidentes y tendrían infinitos puntos en común, saldría 0 igual a 0. 00:05:58

Pero digo que esos dos últimos casos este año no los vamos a ver. ¿Qué me queda por hacer? Me queda por hacer esto, es decir, ¿qué cambio le puedo hacer a una ecuación sin modificarla? 00:06:06

Pues fijaos, y con eso es con lo que yo voy a poder resolver los sistemas. Fijaos, la cuestión es la siguiente, si yo cojo la ecuación, voy a coger la primera, 00:06:15

3x menos y igual a 3, lo que voy a hacer de aquí a aquí, por ejemplo, le voy a multiplicar por 2, eso sí, importante, muy importante, toda la ecuación por 2, es decir, sería 6x menos 2y igual a 6, toda la ecuación por 2. 00:06:22

Vamos a ver qué pasa en su algebra. La tengo aquí representada, fijaos, esta es 3x menos y igual a 3. Voy a representarla multiplicada, es decir, 6x menos 6y igual a 6. 00:06:39

no, perdón, menos 6x menos 2y 00:06:54

perdón, menos 2y 00:06:58

igual a 6 00:07:00

¿qué ha pasado? como pasaba antes 00:07:02

me ha salido la misma ecuación 00:07:04

¿vale? fijaos 00:07:06

yo aquí tengo la misma ecuación 00:07:08

es igual que esta, porque si yo quito una 00:07:10

a ver si puedo quitarlo 00:07:14

si yo desmarco esta, ahí sigue 00:07:16

¿veis? esta es esta 00:07:18

y esta es la misma, es decir 00:07:20

al multiplicarla por un número 00:07:22

al multiplicar toda la ecuación por un número no la he modificado 00:07:24

es como que le he cambiado el traje pero sigue siendo la misma persona 00:07:28

es decir, sigo teniendo la misma ecuación 00:07:31

tiene un aspecto diferente 00:07:33

un aspecto diferente, pero es la misma ecuación 00:07:37

si el número es negativo también, por ejemplo, fijaos 00:07:42

imagina que yo multiplico por, yo que sé, por menos 3 00:07:45

y me queda menos 9x más 3y igual a menos 9 00:07:48

voy a representarla 00:07:53

Si lo multiplico por menos 3, voy a quitar la segunda que hemos hecho, esta fuera, y aquí digo, menos 9x más 3y igual a 9, igual a menos 9, perdón. 00:07:54

Ahí está, la misma, fijaos, rosa, esta, si las quito, esta es la primera, 3x menos y igual a 3, y esta es la segunda, la misma ecuación, está justo encima. 00:08:12

¿Lo veis? Es la misma 00:08:23

Es decir, cuando yo multiplico por un número 00:08:26

Y podría hacerlo también dividiendo 00:08:29

Que es multiplicar por un número o por una fracción 00:08:31

Lo que estoy haciendo es mantener la misma ecuación con otra forma 00:08:34

Y esa va a ser la base de, por ejemplo, el sistema de reducción 00:08:38

Sí que no puedo sumar números 00:08:41

Si yo cogiese y sumase un número, aunque se lo sumase a todo 00:08:42

La ecuación cambiaría, sería otra recta 00:08:45

Pero, por ejemplo, es muy útil si yo tuviese imaginado 00:08:47

menos 300X menos 100Y igual a 300. Yo tengo que resolver este sistema y digo, puff, ¿esto cómo lo hago? Pues fijaos, si yo represento eso, que sería 300X menos 100Y igual a 300, ahí está, en gris. 00:08:50

Es la misma ecuación, fijaos, la roja es la primera, no os olvidéis. Por 100, la misma. O viceversa, imaginaos que yo parto de esta, es decir, yo parto de esta ecuación y lo que hago es dividir por 100. 00:09:15

Dividir por 100 es como multiplicar por un cienavo. Esto hay que ver, es dividir por 100 toda la vida. Esto me da 3x menos y igual a 3. Es la misma ecuación que tenía. 00:09:28

Por tanto, como moraleja y conclusión es, cuando multiplico una ecuación por un número, la ecuación no cambia. 00:09:37

Y cuando digo multiplico, recordad que multiplico, podemos poner también entre paréntesis, divido. 00:10:02

Recordad que dividir es multiplicar por una fracción. 00:10:08

Cuando digo multiplico, estoy también diciendo divido, como es el último caso, divido por 100. 00:10:11

Toda. Eso sí, importante. Hay que multiplicar o dividir toda la ecuación, si no lo estaríamos haciendo mal. Aquí lo tenéis. Fijaos. Cojo el primero, voy a quitar todos. La primera multiplicada por 2, por menos 3, por 100. Todas son la misma. 00:10:16

Todas estas cuatro ecuaciones son la misma 00:10:39

Y para resolverlo es la misma 00:10:41

Esta va a ser la base del primer método que vamos a ver 00:10:42

Que es el de reducción 00:10:44

Por tanto, resumiendo todo 00:10:45

¿Qué hemos visto? 00:10:47

Que es una ecuación con dos incógnitas 00:10:50

Una recta 00:10:52

Siempre, si las incógnitas están elevadas a 1 00:10:53

Aquí hay un 1 00:10:56

Que son las de este año, aquí hay un 1 00:10:58

Es una recta 00:10:59