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AR4. 1. Introducción. Ejercicios 1-3 resueltos - Contenido educativo

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Subido el 17 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy introduciremos 00:00:21
los conceptos básicos del conteo y resolveremos los ejercicios propuestos del 1 al 3. 00:00:33
Vamos a iniciar esta videoclase con el concepto matemático de cardinal de un conjunto. Esta 00:00:46
unidad didáctica se llama técnicas de conteo. Aquí vamos a contar. Pues bien, contar es calcular el 00:00:51
cardinal de un cierto conjunto. Si el conjunto se representa por la letra mayúscula S, el cardinal 00:00:57
del conjunto S se representa así, anteponiendo el símbolo de la almohadilla. Y aquí tenemos 00:01:04
cardinal de S, el cardinal del conjunto S. Sería el resultado de contar cuántos elementos hay dentro 00:01:09
de ese conjunto. Desde el punto de vista matemático, para definir el cardinal de un conjunto, lo que 00:01:16
decimos es que se trata de un número natural que cumple con una serie de características. La 00:01:21
primera de ellas es que el cardinal del conjunto vacío es cero y de hecho va a ser el único conjunto 00:01:26
cuyo cardinal es cero. Para cualquier otro conjunto distinto del conjunto vacío su cardinal va a ser 00:01:31
un número natural n que es aquel tal que se pueda establecer una correspondencia biyectiva entre los 00:01:37
elementos del conjunto s y los del conjunto dados por 1, 2, 3, 4, etcétera hasta llegar a n, el 00:01:44
cardinal de S. Como ejemplo, supongamos que se nos pide que determinemos el cardinal de este 00:01:50
conjunto C mayúscula, que contiene algunas de las comedas de Shakespeare. Cimelino, el mercader de 00:01:56
Venecia, la firecilla domada. El cardinal de este conjunto es 3. Nosotros, desde el punto de vista 00:02:03
coloquial, lo que haríamos sería contar 1, Cimelino, 2, el mercader de Venecia, 3, la firecilla domada. 00:02:09
Desde el punto de vista matemático, lo que hacemos es considerar el conjunto C, que aquí está representado en forma de diagrama de Venn. Contiene sus elementos, cimelino, el mercader de Venecia, la fierecilla domada. 00:02:16
Y nos preguntamos cuál es el conjunto que contiene los elementos 1, 2, 3, en orden, etc., hasta qué valor tenemos que introducir dentro de este conjunto para poder establecer una correspondencia biyectiva entre estos elementos y los de ese conjunto. 00:02:29
Bien, pues vemos que con 1, 2 y 3 es suficiente y que no podemos añadir más porque entonces nos pasaríamos. Y podemos hacer la correspondencia, por ejemplo, entre cimbelino y el número 1, entre el mercader de Venecia y el número 2, entre la ferecilla adobada y el número 3. 00:02:44
No nos sobran obras de Shakespeare, ni nos faltan, para poder hacerles corresponder de esta manera con estos elementos. 00:03:02
Y además, en este conjunto de elementos, uno, dos, tres, no nos sobra ninguno para hacer la correspondencia de esta manera con las obras de Shakespeare, ni nos falta. 00:03:10
Así pues, el cardinal de este conjunto es tres. 00:03:19
Además de la definición de cardinal de un conjunto, nos podemos preguntar por el cardinal de conjuntos más complejos. 00:03:25
Y para ellos existen una serie de reglas. En concreto vamos a comenzar por lo que se llama el principio de adición. 00:03:33
Supongamos que tenemos un cierto conjunto que viene dado por la unión de otros conjuntos más pequeños. 00:03:40
Y esos conjuntos no tienen elementos en común. Se llaman conjuntos disjuntos. 00:03:46
Aquí tenemos un conjunto de a sub i, conjuntos disjuntos. 00:03:50
Esto quiere decir que para cualquier par de conjuntos distintos no tienen nada en común. 00:03:54
Como vemos aquí la intersección está vacía. 00:03:58
Y el principio de tradición lo que nos dice es que el cardinal de la unión de todos estos conjuntos se puede determinar sumando los cardinales de cada uno de ellos. 00:04:00
Como ejemplo, pues vamos a considerar tres conjuntos distintos. 00:04:10
Un conjunto de comedias, Cimbelino, el mercader de Venecia y la fierecilla domada. 00:04:15
Aquí se nos dice que el cardinal de este conjunto es tres, hay tres comedias. 00:04:20
El conjunto de tragedias de algunas de las tragedias de Shakespeare. 00:04:24
Y aquí tenemos a Antonio y Cleopatra, Macbeth, Hamlet, Romeo y Julieta. 00:04:28
Y se nos dice que el cardinal de este conjunto de tragedias es 4. 00:04:32
1, 2, 3, 4. 00:04:36
Y por último tenemos un conjunto formado por el drama histórico Ricardo II. 00:04:38
Se nos dice que el cardinal de este conjunto es 1. 00:04:44
Y aquí vemos que hay un único elemento. 00:04:47
conjunto. Si podemos elegir una de entre todas estas obras, incluyendo las comedias, las tragedias 00:04:48
y el drama, y se nos pregunta por cuáles son las posibilidades que tenemos para elegir, sabemos que 00:04:57
tenemos tres comedias, cuatro y un drama histórico, el total de obras de teatro será cuatro más tres 00:05:02
más uno igual a ocho. Desde el punto de vista matemático, desde el punto de vista formal, hemos 00:05:08
hecho eso. El conjunto C tiene tres elementos, su cardinal es tres. El conjunto T, el de las 00:05:13
tragedias, tiene cuatro elementos, su cardinal es cuatro. Y el conjunto del drama tiene cardinal 00:05:19
uno, puesto que hay un único drama. Y desde el punto de vista formal, estos tres conjuntos no 00:05:26
tienen elementos en común, son elementos, perdón, son conjuntos disjuntos. Nos preguntamos por cuál 00:05:31
es el cardinal de la unión y eso no es más que la suma de los cardinales. Tres más cuatro más uno 00:05:36
es igual a 8. Asimismo también tenemos un principio que es el principio de multiplicación. En este 00:05:41
caso consideramos igual que antes que tenemos un conjunto de conjuntos disjuntos que no tienen 00:05:49
elementos en común y en este caso ninguno de ellos va a ser vacío. Y nos preguntamos por de cuántas 00:05:55
formas podemos hacer combinaciones de un elemento del primer conjunto, un elemento del segundo 00:06:02
conjunto, un elemento del tercer conjunto y así hasta acabar con todos. Buscamos de cuantas formas 00:06:11
posibles podemos coger un elemento de cada uno de todos esos conjuntos disjuntos. Pues bien, el 00:06:16
principio de multiplicación lo que nos dice es que lo que hemos de hacer es multiplicar los cardinales 00:06:22
de todos estos conjuntos. El coger un elemento de cada conjunto se representa así. Lo que tenemos 00:06:27
es el producto A1 por A2 por hasta AN y lo que tenemos que hacer para determinar el cardinal de 00:06:33
este conjunto así determinado, no más que multiplicar los cardinales de cada uno de los 00:06:40
conjuntos. Como ejemplo, se nos dice que tenemos ocho actores, de los cuales cinco. Clara, Isabel, 00:06:45
María, Sara, Teresa se identifican como chicas. Aquí tenemos un conjunto formado por cinco elementos 00:06:54
y tenemos otro conjunto formado por Fernando, Luis y Pedro. Este conjunto tiene tres elementos que 00:07:00
se identifican como chicos. Nosotros lo que queremos es considerar el primer conjunto que 00:07:07
hemos llamado A con estas cinco personas que se identifican como chicas, el segundo conjunto que 00:07:13
aquí hemos llamado O con estas tres personas que se identifican como chicos y lo que queremos es 00:07:18
elegir de entre estas cinco personas del conjunto A una y de entre estas tres personas del conjunto 00:07:23
O otra para formar la pareja protagonista de la obra y nos preguntamos de cuántas formas posibles 00:07:31
podemos elegir un elemento de A y un elemento de O para formar estas parejas. Lo que vamos a hacer 00:07:37
es considerar que este conjunto A tiene cinco elementos, su cardinal es 5, este conjunto O está 00:07:43
formado por tres elementos, su cardinal es 3 y lo que queremos es buscar el cardinal del conjunto A 00:07:49
por O. Queremos elegir un elemento de A y un elemento de O y con eso formar parejas puesto 00:07:55
que tenemos dos. El principio de multiplicación lo que dice es que tenemos que multiplicar el 00:08:01
cardinal de A por el cardinal de O. Sería 5 por 3 y de esta manera encontramos que podemos formar 00:08:05
15 parejas. Hay cinco posibilidades para elegir una del conjunto A, hay tres posibilidades para 00:08:12
elegir una del conjunto O, 5 por 3, 15. Hay 15 parejas formadas por los elementos del conjunto 00:08:18
Clara Isabel María Sara Teresa y un elemento del conjunto Fernando Luis y Pedro. 00:08:25
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:08:33
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:08:40
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:08:45
Un saludo y hasta pronto. 00:08:50
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
3
Fecha:
17 de agosto de 2025 - 7:27
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
09′ 18″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
22.78 MBytes

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