Ecuaciones logarítmicas | Mediateca de EducaMadrid

Vamos ahora a continuar con las ecuaciones logarítmicas y para eso tenéis que repasaros las propiedades de los logaritmos. 00:00:00

Pongo aquí un recordatorio, logaritmo en cualquier base de 1 es 0, bueno, recuerdo la definición, el logaritmo en base b de a es x, eso quiere decir que es el número al cual yo tengo que elevar la base para que me dé el argumento, esto era la definición. 00:00:08

y que nos va a servir, nos va a servir o nos va a ser útil. 00:00:32

¿Qué más tenemos que saber? Tenemos que saber lo siguiente. 00:00:38

Segundo, que el logaritmo en base a de la base siempre es 1. 00:00:43

¿Qué más tendríamos? Tendríamos que el logaritmo en base a, por ejemplo, de a elevado a n, 00:00:49

era lo mismo que tener, en este caso, el n lo sacábamos fuera y me quedaba n por el logaritmo en base a de a, 00:00:56

es decir, n por 1 es, en este caso, n. 00:01:05

Más propiedades. El logaritmo en base a de x por y, el producto, es lo mismo que tener el logaritmo en base a de x más el logaritmo en base a de y. 00:01:10

Y ocurría lo mismo con el cociente logaritmo en base a de x dividido por x, vamos a ponerlo bien, x partido por y es lo mismo que el logaritmo en base a de x menos el logaritmo en base a de y. 00:01:23

Cuando tenía una raíz el logaritmo de a por ejemplo de la raíz de índice n de x como sabemos esto es lo mismo que tener el logaritmo en base a de x elevado a 1 partido por n por exponentes fraccionarios no radicales. 00:01:38

Pues aquí, ¿cuál va a ser mi exponente? 1 partido por n, pues sería lo mismo tener 1 partido por n por el logaritmo en base a x, también muy útil. 00:01:59

Cuando nuestra base, como hemos indicado en las exponenciales, es el número e, que es aproximadamente, hemos dicho, 2,72, pues en este caso tenemos que el logaritmo neperiano de e es 1 y el logaritmo neperiano de 1 es 0. 00:02:09

¿Vale? Todo lo que hemos explicado para los logaritmos, ¿vale? Es decir, cuando tengo logaritmo neperiano de x, en este caso, por y, es lo mismo que tener el logaritmo neperiano de x más logaritmo neperiano de y. 00:02:30

¿Vale? Todo, porque esto es lo mismo que tener el logaritmo en base e. ¿Vale? Esto es lo que pasa que no se pone. Simplemente que eso pasa. 00:02:46

Y por último, todo esto es de repaso, no es nada nuevo. La base, perdón, la base, el argumento, ¿qué pasaba? Que siempre tendría que ser mayor que 0. Esto me sirve fundamentalmente para hacer luego las comprobaciones. 00:02:54

Vamos a verlo. Aquí lo que vamos a, esa es la primera ecuación, en general casi siempre vamos a intentar tener el logaritmo de una cierta expresión igual al logaritmo de otra cierta expresión. 00:03:14

Como los logaritmos estarían en la misma base, esto implicaría que a es igual a b, es decir, que los argumentos son iguales. 00:03:28

Es nuestro objetivo, entonces para ello lo que vamos a hacer es agrupar, en este caso logaritmos, 00:03:36

aquí aplicando propiedades y aquí pues aplicaremos igualmente la propiedad. 00:03:45

¿Esto a qué sería igual? Tengo logaritmo de una suma, esto es lo mismo que tener el logaritmo de un producto, 00:03:50

2 por 11 menos x cuadrado y aquí el 2 lo metemos como exponente, el logaritmo de 5 menos x elevado a 2. 00:03:55

Esto es aplicar propiedades. Ahora que tenemos que el logaritmo de algo es igual al logaritmo de otro algo, entonces por lo tanto los argumentos han de ser iguales. 00:04:05

2 por 11 menos x cuadrado es igual a 5 menos x al cuadrado. 00:04:16

Esto ya es una ecuación, las normales, las más normales son todas, 00:04:23

pero de las que ya conocemos y que sabemos resolver. 00:04:27

De manera que esto sería 22 menos 2x cuadrado y aquí aplicamos, ojo, producto notable. 00:04:31

Entonces sería 25 al cuadrado primero menos 2 por 5 es 10x y luego más x al cuadrado y reordenando todo y resolviendo me quedaría 3x cuadrado menos 10x más 3 igual a 0 y de aquí obtengo que la x sub 1 sería 3 y que la x sub 2 sería un tercio. 00:04:39

Entonces ahora hay que hacer las comprobaciones pertinentes y ¿dónde lo vamos a ver? En los argumentos. ¿Cuáles son mis argumentos principales? Pues serían en este caso este de aquí y este de aquí. Vamos a ver que nos tienen que quedar positivos. 00:05:06

Entonces, compruebo, a la hora de comprobar sería 11 menos, en este caso para x sub 1 igual a 3, 11 menos 3 al cuadrado, que es 11 menos 9 y esto es positivo, y en el otro que es 5 menos 3, en el otro argumento, que sería en este caso 2, también es positivo. 00:05:21

Por lo tanto, esta solución sí que sirve. Y en la otra ocurre lo mismo. 11 menos 1 noveno, ¿vale? Esto también es positivo. 00:05:45

Y de igual manera, 5 menos 1 tercio también es positivo. Por lo tanto, sirven ambas soluciones. 00:05:56

Voy a resolver aplicando propiedades 00:06:06

En este caso tengo el logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1 00:06:10

En este caso que es igual a 3 00:06:16

Aquí no tengo nada, tengo que tener un 1 00:06:18

Y el 1 como lo podría poner, como el logaritmo en base 2 de 2 00:06:20

Es así, de manera que esto 3 pasaría arriba 00:06:25

Y diríamos que el logaritmo en base 2 de 2 elevado a 3 00:06:29

Los logaritmos son iguales, por tanto, tendríamos que x cuadrado menos 1, que es lo mismo que tener 2 elevado a 3. 00:06:33

¿Cuántos 2 elevado a 3? 8. En este caso tendríamos que x cuadrado es igual a 8 más 1, que sería 9. 00:06:44

x es igual a más menos la raíz de 9, que sería igual a más menos 3. 00:06:53

¿se verifica que esta solución es válida? 00:06:59

Sí, porque tendríamos que el logaritmo en base 2 de tanto 3 como menos 3 00:07:05

me va a dar al final 9, 9 menos 1, que te quedaría 8 00:07:12

y esto sabemos que el logaritmo en base 2 de 8 es 3 00:07:17

con lo cual ambas soluciones son ciertas 00:07:22

Vamos ahora a resolver esta, cuidado no caer en la tentación de hacer como está el logaritmo de a partido logaritmo de b, lo que conocemos es logaritmo de a partido por b, 00:07:26

Entonces aquí lo que vamos a hacer es simplemente multiplicar en cruz, es decir, tengo dos raciones que son equivalentes, entonces tendría 2 por el logaritmo de 4x menos 3 es igual a cuánto? A 1, por el 1 no lo voy a poner, por el logaritmo de 6x cuadrado más 1. 00:07:41

Como vemos esto voy a subir el 2 al exponente y me quedaría logaritmo de 4x menos 3 elevado al cuadrado 00:08:01

es lo mismo que tener logaritmo de 6x cuadrado más 1. 00:08:14

Ambos logaritmos son iguales o lo que es lo mismo ya veremos como las exponenciales son las operaciones contrarias 00:08:20

A tomar logaritmo, yo puedo, la base es 10, pues si elevo a ambos lados, o sea, tomo 10 elevado al logaritmo en base 10 de 4x menos 3, todo esto al cuadrado, 10 elevado al logaritmo de 6x cuadrado más 1. 00:08:29

Como son operaciones contrarias, elevar y tomar logaritmos, pues nos quedaría justo 4x menos 3 al cuadrado igual a 6x cuadrado más 1. 00:08:49

Que bueno, es lo que estábamos diciendo, logaritmo de a igual a logaritmo de b en la misma base, pues obviamente los argumentos tienen que ser iguales. 00:09:02

Y aquí resolveríamos. 00:09:11

Nos queda esta ecuación de segundo grado, si no me he confundido. 00:09:14

Y lo que hago para simplificar, pues divido todos los coeficientes entre 2. 00:09:18

Esto me quedaría 5x cuadrado menos 12x, en este caso más, entre 2 a 4. 00:09:22

Y ahora no me queda otra que resolver. 00:09:31

Estas serían ambas soluciones. 00:09:34

Habría que comprobar que salen positivos los argumentos. 00:09:37

En el primer caso, 4x, vamos a comprobar, sería 4x menos 3, sería 4 por 2, 8, menos 3, que esto es positivo, 00:09:41

y 4 por 2 quintos menos 3 que esto sería en este caso 4 por 2 sería 8 quintos menos 3 que 8 entre 8 quintos aproximadamente 00:09:56

o bueno lo hacemos directamente como 15 partido por 5 para que me quede 3 y esto no sale en negativo con lo cual esta solución no me valdría 00:10:12

Y esta de aquí sí me valdría. Por tanto, la solución es x igual a 2. 00:10:23

No compruebo, digamos, esta otra de aquí porque esto siempre va a ser positivo. 00:10:37