Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

Problemas de Integral definida - Ejercicio 3 - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 15 de marzo de 2020 por Manuel D.

104 visualizaciones

Problemas de Integral definida - Ejercicio 3

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

bueno vamos con el tercer problema de esta serie de integrales definidas en esta ocasión nos piden 00:00:02
calcular el área entre dos funciones el área sombreada entre dos funciones una recta vertical 00:00:12
y bueno pues el pequeño problema que tenemos es que no conocemos la ecuación la fórmula la 00:00:17
expresión analítica de ninguna de las dos funciones aunque se ve claramente que son dos 00:00:23
parábolas no debería de ser muy difícil de calcular y después tenemos que traducir ese área en una 00:00:27
integral definida y luego calcularla ¿de acuerdo? pues vamos allá entonces para ello lo primero de 00:00:33
todo vamos a reproducir el dibujo para quitarlo y hacer espacio y vamos a fijarnos bien por dónde 00:00:38
pasan estas gráficas esto es una parábola que tiene ahí el vértice en el 2 y que luego pasa 00:00:44
por el 0,4 y como es simétrica pues también va a pasar evidentemente por el 4,4 entonces es una 00:00:50
parábola de la que tenemos dos puntos. Tenemos aquí el punto 2, el punto 4 y el punto, aquí 00:00:56
también sería 4, para el 4, 4 y tenemos su dibujo. Madre mía, qué dibujo. Y luego vamos a tener la 00:01:05
otra parábola, la otra parábola, pues vamos a pintarla dentro de color, que llame la atención, 00:01:17
aunque ya el dibujo de por sí llama bastante la atención 00:01:23
madre mía que chapuza de dibujo 00:01:26
que sería algo tal que así 00:01:28
teniendo en cuenta que esta parábola 00:01:29
la de abajo va a pasar por el punto 00:01:32
de coordenada 3 00:01:34
y por arriba 00:01:36
pues 3, 9 00:01:38
¿sí? 00:01:40
entonces, vamos allá 00:01:44
¿qué parábola pasa por el punto 3, 9 00:01:46
y tiene el vértice en el 0, 0? 00:01:51
pues eso es muy fácil de calcular 00:01:53
vamos a ponerla en rojo ya que estamos 00:01:54
Y esa la estaba llamando el problema g. g de x es una parábola del tipo k por x cuadrado, porque el vértice suyo está claramente en el 0,0. 00:01:55
Y además pasa por el punto 3,9. Pues, ¿qué significa? Que g de 3 es igual a 9, lo que significa que k por 3 al cuadrado es 9, con lo que la k vale 1. 00:02:05
Es decir, es la parábola más fácil que nos pueden poner. g de x igual a x al cuadrado. 00:02:18
Súper fácil. Y vamos con la azul. Para calcular la azul, pues es un poco parecido. Tenemos aquí que el vértice está en el punto 2,0. Si tenemos que el vértice está en el punto 2,0, esto lo podemos ver de dos formas. 00:02:25
¿Cómo calcular? Bien, pues es la parábola roja en realidad desplazada dos unidades a la derecha. Cuando desplazo una función dos unidades a la derecha, lo que estoy haciendo es restar a la x dos unidades, de manera que cuando aquí la x valga 2, es como que la f, cuando la x valga 2 aquí, es como que vas a calcular g de 2 menos 2, 0, g de 0, que g de 0 es la función roja, es el 0. 00:02:42
Es decir, que lo que estamos haciendo es calcular x menos 2 al cuadrado. Si yo esto no lo veo demasiado, pues tendría que hacer, apañármelas de otra forma. ¿Cómo? Pues bueno, pues podría poner en el peor de los casos g de x igual a x al cuadrado más b de x más c. 00:03:07
y, bueno, pues yo sé que la parábola pasa por cuatro puntos y me tocaría hacer a lo mejor un sistema. 00:03:28
¿Cuáles serían? Pues yo sé que el vértice es el punto 2, 0, es decir, la x del vértice es 2 00:03:36
y eso es menos b partido por 2a, lo sabéis. 00:03:45
Y de ahí saco una ecuación que relaciona la a y la b. 00:03:48
Y después yo sé que la g de 0 es 4, eso significa que la c vale 4 y casi lo tengo porque ahora yo sé por simetría que la g de 4 es 4. 00:03:51
Entonces acabaría sacando cuáles son los valores de la a de la b de la c, que en mi caso si yo desarrollase serían x al cuadrado menos 4x más 4. 00:04:08
Esta sería la función, perdón, aquí lo he puesto mal, esta es la función f. 00:04:17
f de x es esa, o bien esta, como yo quiera. 00:04:22
Bien, pues entonces ahora vamos a centrarnos en el cálculo del área que nos piden. 00:04:26
El área que nos piden es esta de aquí. 00:04:32
Bueno, pues entonces, ¿entre qué valores está? 00:04:36
Pues ahí lo veis marcado en el dibujo, lo veíais, que este es el punto que tiene la abscisa x igual a 1, el punto de intersección. 00:04:38
Vamos a comprobarlo, no siendo que no nos lo hayan puesto bien. Es decir, tendríamos que comprobar que en x igual a 1 el valor de la función g coincide con el valor de la función f. 00:04:44
vamos allá, pues si yo sustituyo 1 menos 2 al cuadrado 00:04:58
ese es el valor de la función f, es menos 1 al cuadrado, es justo 1 00:05:04
y la función g, pues es 1 al cuadrado 00:05:08
directamente es 1, es decir, exactamente valen lo mismo con lo que es el mismo punto 00:05:12
de corte, ese punto de corte que tenemos es el 00:05:16
punto 1, 1, bien, y ahora para 00:05:20
poder poner ese área como una integral, tengo que saber que función está por encima 00:05:24
y qué función está por debajo, porque yo tengo que restar a la mayor la menor. 00:05:28
Y bueno, pues ahí se ve que la función f está por encima de la función g. 00:05:32
Así que yo lo que tendré que hacer será integrar la función f de x 00:05:38
y a esa función le voy a restar la función g de x. 00:05:42
¿Y en qué intervalo? Pues desde 0, que es este valor, 0, aquí la frontera izquierda, 00:05:47
y hasta el valor x igual a 1. 00:05:53
nada más esa integral es muy fácil 00:05:56
entonces ahora ya con cuidado eso sí porque es muy fácil colarse 00:05:59
vamos a integrar, simplificamos un poquito antes 00:06:03
y integramos, la integral de 4x es 4x cuadrado partido por 2 00:06:14
menos 4x y hay que evaluar entre el 0 y el 1 00:06:27
es decir, esto se podemos simplificar un poquito 00:06:32
y tendríamos que calcular el valor de 2 por 1 al cuadrado, menos 4 por 1, menos, menos, pues 0 partido por 2, menos 0. 00:06:35
Bien, y esto da menos 2. Evidentemente hay algo que está mal, ¿por qué? 00:06:58
Porque si yo estoy restando la función grande, le quito la función pequeña, me tiene que quedar una función positiva, la resta. 00:07:03
Esto tiene que ser positivo y al integrar algo positivo me debería dar positivo. ¿Adivináis dónde está el error? Pues claro que sí. Lo hemos escrito bien aquí, pero luego al sustituir, ojo, cuando trasladéis datos. Esta es g de x y esta es f de x. Tengo que tener un poco más de cuidado. 00:07:09
¿eh? entonces ¿qué hay que hacer? pues evidentemente 00:07:33
habrá que cambiar de signo, a partir de aquí había que haber puesto 00:07:38
todo cambiado de signo, ¿cómo lo tendríamos que haber hecho bien? pues la integral 00:07:42
tendría que haber sido esta otra, Manuel, x al cuadrado menos 4x 00:07:46
más 4 menos x cuadrado 00:07:51
¿eh? y esta integral 00:07:54
dará más 2, ese es el área, unidades 00:08:01
cuadradas de ese recinto de ahí. Nos vemos en el próximo vídeo en el cuarto de esta serie sobre 00:08:06
integral definida. ¡Hasta luego! 00:08:13
Materias:
Matemáticas
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Segundo Curso
Autor/es:
Manuel Domínguez Romero
Subido por:
Manuel D.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
104
Fecha:
15 de marzo de 2020 - 11:38
Visibilidad:
Público
Centro:
IES RAMON Y CAJAL
Duración:
08′ 18″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
213.42 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid