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26-2BT1 - Contenido educativo

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Subido el 26 de febrero de 2024 por Francisco J. M.

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¿Qué vais diciendo? Bueno, empezamos la clase de Matemáticas 1 de Ciencias de primero de bachillerato, indicando siempre que voy a grabar la clase, o si alguien tiene algún inconveniente que lo diga, y si no hay problema, pues luego subimos la clase. 00:00:00
Creo que tengo... Está ya grabando, ¿verdad? Buenas. Y está ya grabando y lo que no he hecho ha sido compartir pantalla, si no me equivoco. Vale. Creo que ya está todo a punto. Y nos vamos con... Hoy toca límites, si no me equivoco, ¿no? 00:00:17
clases de distancia 00:00:40
OT1 00:00:43
26 de límites 00:00:44
límites y continuidad 00:00:46
este tema lo tengo que dar 00:00:54
a una velocidad express 00:00:57
con lo cual os voy a intentar 00:00:58
exigir 00:01:00
de forma acorde a 00:01:01
como os lo doy 00:01:04
en principio 00:01:05
tenéis que controlar las gráficas 00:01:07
de funciones que vimos el otro día 00:01:10
las familias de funciones 00:01:12
si habéis repasado los tutoriales 00:01:13
supongo que lo habréis entendido todo mejor, y que conozcáis las funciones, calcular el 00:01:15
vértice de una parábola, saber si una función es exponencial, logarítmica, luego la composición 00:01:22
de funciones y la inversa, que eso sí que os puse que os podía quedar en el examen, 00:01:27
¿no? Y, bueno, hoy vamos a empezar con la definición intuitiva de lo que es el límite 00:01:31
de una función, por eso tengo estas gráficas 00:01:39
aquí tan extrañas 00:01:41
y luego 00:01:42
poco a poco intentaremos ir haciendo 00:01:52
los cálculos de una forma 00:01:54
de un tipo más 00:01:55
formal. Bueno, vamos a ver. 00:01:57
Voy a empezar por esta de la izquierda 00:02:02
porque se entiende 00:02:04
mejor lo que es límite y la continuidad 00:02:06
cuando no lo hay. 00:02:08
Vamos a ver. Yo aquí estoy en el menos 5. 00:02:10
Este, como veis, es un punto macizo 00:02:12
y este es un punto hueco. 00:02:14
No sé si se ve bien. 00:02:16
Por si acaso, esto lo voy a hacer más así, más del macizo, y este se supone que es el hueco y que este es el macizo. Acordaos que un valor de la X no puede tener dos de las Y. O sea, yo diría que este es el hueco. 00:02:18
el dibujo no se ve demasiado bien 00:02:32
a lo mejor 00:02:37
entonces aquí que es lo que ocurre 00:02:38
y ya voy anticipando 00:02:44
que si yo estoy en el menos 5 00:02:46
al llegar al menos 5 00:02:49
tengo que levantar el lápiz 00:02:51
para seguir dibujando la gráfica 00:02:54
si sigo por aquí, llevo aquí 00:02:57
y de nuevo tengo que levantar el lápiz 00:03:00
para seguir dibujando la gráfica 00:03:02
¿sí? bueno, esto 00:03:04
en principio, la idea de límite 00:03:06
es la siguiente, a ver 00:03:08
supongamos que esto no está puesto 00:03:10
a la escala, esto es un error 00:03:12
vale 00:03:13
si yo me acerco 00:03:15
yo tengo esta función, la voy a llamar g 00:03:18
si yo 00:03:20
me acerco 00:03:22
a menos 5 00:03:23
este menos no quiere 00:03:26
decir negativo, sino que está 00:03:28
a la izquierda. Si yo me acerco 00:03:30
a menos 5 00:03:32
por la izquierda, 00:03:33
¿a qué valor me acerco 00:03:36
de la función? A 1, ¿no? 00:03:37
¿Lo veis? 00:03:43
Este es el 0, este es el 1, 00:03:44
este es el menos 1, este es el menos 2. 00:03:46
Ahora, ¿qué pasa 00:03:48
si calculo 00:03:50
el límite cuando x tiende a 00:03:52
menos 5, pero en vez 00:03:53
de por la izquierda, por la derecha? 00:03:55
¿A dónde? 00:04:03
No es a 2, es a menos 2, ¿no? 00:04:04
¿Sí? Entonces, ya os voy anticipando que aquí no existe el límite global. ¿Por qué? Porque no coinciden los límites laterales. Estos se llaman no coinciden los límites laterales. 00:04:07
Como veis, os estoy introduciendo un concepto sin definirlo, para que lo veáis de forma intuitiva. 00:04:32
Y esto, con que lo intuyáis más o menos, deberíais hacerlo. 00:04:40
Ahora, ¿qué pasa con el límite cuando x tiende a 5 de la función? 00:04:44
Por la izquierda y por la derecha. 00:04:53
Esto es una flechita. 00:04:56
A ver, si yo estoy por la derecha, por ejemplo, en el 4,5, estoy aquí, ¿no? 00:05:04
4,7, 4,9. Si me voy acercando, ¿qué valor toma aquí? Cada rayita vale 1. Sería 2, ¿no? Nunca se llega ahí, pero igual que nunca se llega al 5, pero yo cada vez que me acerco más al 5, la Y se acerca más a 2. 00:05:10
Esa es la idea, ¿sí? Entonces, por la izquierda es 2. Y por la derecha, yo estoy tomando valores y me voy acercando al 5, al 5, al 5. ¿Dónde me acercaría aquí? A este valor, ¿no? ¿Y ese valor cuál es? 00:05:41
Bueno, yo diría el 1, el 2 y aquí sería 3, ¿no? 00:06:06
De nuevo, no existe el límite global porque no existen los límites laterales, ¿vale? 00:06:12
Bueno, lo primero que queda claro es que creo que veis que los límites laterales no coinciden, ¿no? 00:06:18
¿Qué es lo que pasa, por ejemplo, aquí en el 3? 00:06:25
Límite cuando x tiende a 3 de la función. 00:06:31
Esta la he llamado F y esta la he llamado G. 00:06:35
A ver, ¿qué pasa si yo me acerco a 3? 00:06:51
Bueno, voy a poner rayitas, por ejemplo estas, ¿no? 00:06:54
Si me acerco a 3 por la izquierda es esta línea horizontal, ¿no? 00:06:58
¿Y a qué valor se acerca? 00:07:04
La X a 3, ¿sí? 00:07:08
Pero cuando yo me acerco aquí a 3, ¿qué valor me sale en la Y? 00:07:10
Es menos 2. O sea, este es el 0, este es el menos 1 y este es el menos 2, ¿no? 00:07:15
Menos 2. 00:07:21
Y ahora, si yo estoy en la misma función, pero acercándome a la derecha del 3, ¿a dónde me acerco en la i? 00:07:24
A menos 2, lo mismo. 00:07:38
¿Veis que esta función no pega ningún salto? Pues eso es porque coinciden los límites laterales. 00:07:40
como coinciden los límites laterales 00:07:47
puedo decir que el límite 00:07:49
cuando x tiende a 3 00:07:51
ni por la derecha ni por la izquierda 00:07:53
por los dos lados es menos 2 00:07:55
esta es la idea intuitiva 00:07:57
que lo veáis 00:08:00
a ver 00:08:02
para fijar un poco 00:08:04
las ideas 00:08:06
a ver este sería el 3 00:08:07
imaginaos que por aquí está el 6 00:08:09
si yo me acerco a 6 00:08:11
¿a qué se acerca la i? 00:08:15
A 1, tanto por la izquierda como por la derecha, porque la función no se para. 00:08:18
Esa es la idea. 00:08:24
Pues vamos a esto que habría, que se me pone de una forma. 00:08:32
Bueno, para no gastar mucho tiempo, tenemos varias cosas. 00:08:46
Aquí en x igual a 0, ¿cuál es el límite a la izquierda del 0? 00:08:53
Imaginaos que esta es una rayita, 2, 3, 4, que está 5. 00:08:59
Esto sería menos uno. Me acerco al cero por la izquierda, el valor de la I al que me acerco es menos uno. ¿Y por la derecha? Uno. Podría ser uno veinticinco o uno y medio, pero veis que es uno más o menos. 00:09:03
Aquí los límites laterales no coinciden. No existe el límite global, el límite por la izquierda es menos 1, el límite por la derecha es 1. ¿Y qué pasa cuando la X tiende a 4? ¿Cuánto vale el límite por la izquierda? 00:09:22
¿Cuánto? 5. A ver, 4 o 5 no. Cuando yo me acerco a 4, la Y se acerca a 5. Este es el eje de las X, este es el eje de las Y. Y por la derecha, también 5. Si yo me acerco a 4, si la X se acerca a 4, la Y también se acerca a 5. Esta función es continua y por eso existe el límite. 00:09:37
Hay una cosa muy relacionada entre lo que son los límites y lo que es la continuidad. Entonces, ¿cómo podemos hacer una estimación del límite con calculadora? Para que intentemos entender un poco lo que es un límite. 00:10:04
Y aquí recordad que cada uno tiene su calculadora. ¿Hay alguien que no la tenga? Sí. Como digo, porque si te digo, dejo una. Esta es una estimación, ¿sí? Y además se puede hacer tanto por un lado como por otro, por la izquierda como por la derecha. 00:10:21
Entonces, por ejemplo, voy a calcular el límite A. Entonces, por ejemplo, si X tiende a 1 menos, por ejemplo, decidme un valor que se acerque mucho a 1, pero que sea más pequeño que 1. 00:10:43
0,99. ¿Por qué? Porque lo ha dicho bien. 00:11:04
Que quiera coger el 0,999 que lo coja. 00:11:10
Entonces, cogemos la calculadora y hacemos el cálculo. 00:11:14
Cada uno con su calculadora porque podéis tener errores y prefiero no deciros nada hasta que os salga mal. 00:11:19
Entonces, hacemos fracción. Uy, ya la he puesto dos veces. A ver, 0,99 elevado al cubo menos 1. 00:11:31
Veis que estoy sustituyendo la fórmula de arriba, ¿no? Y ahora abajo pongo 0,99 elevado al cubo más 2 por 0,99 elevado al cuadrado menos 3 por 0,99. 00:11:44
Y sale esto, que esto a mí no me dice nada, pero esto sí me dice algo. Y me sale 0,7519, no sé cuánto, y no sé de más. 00:12:08
Voy a tomar, por ejemplo, decirme un número que se acerque al 1, pero que sea mayor que 1. 00:12:39
1,01. ¿Por qué? Porque lo has dicho tú. ¿Vale? Sí, podría ser el 1,01 o el 1,1. Más o menos cada uno que le dé la precisión. 00:12:54
¿No sale esto de sí mismo? Porque el fallo con la calculadora, ¿la tú ves como esta? 00:13:05
Pues si quieres usar esta, si no la has traído. Ah, que la tienes en la cara. 00:13:13
Bueno, pues estoy haciéndolo a vuestro ritmo. Sabéis que hay que colocar paréntesis en algunas de estas calculadoras. 00:13:17
Porque ese es el fallo que os digo, que si no tenéis esta calculadora, voy a hacerlo ahora como si no tuviera esta calculadora, abrís paréntesis y ponéis 1,01 elevado al cubo, menos 1. 00:13:24
Le dais a la tecla de dividir, abrís un paréntesis para el denominador y os sale 1,01 elevado al cubo más 2 por 1,01 elevado al cuadrado menos 3 por 1,01 y sale 0,8471. 00:13:42
sabríais intuir 00:14:15
cuál va a ser el límite 00:14:28
si no lo intuís 00:14:29
en vez de 0,99 00:14:34
poned 0,9999 00:14:36
que si sabríais conjeturar 00:14:38
porque esto es conjeturar 00:14:47
aparentemente 00:14:48
yo no diría que tiende a 1 00:14:50
el límite 00:14:52
cuando x tiende a 1 00:14:58
de esa función 00:14:59
yo diría que es 0,75 00:15:00
no lo sé 00:15:03
Bueno, creo que esto podéis hacerlo por vuestra cuenta, porque es que luego lo vamos a comprobar. 00:15:07
Entonces, esto, esta cuenta la podéis hacer con varios de ellos, y si no me equivoco, este es uno de los límites que he elegido, 00:15:13
y se supone que va a salir tres cuartos, o tres cuartos, sabéis que tres cuartos es 3,75, ¿no? 00:15:21
Esa es mi conjetura, ¿sí? 00:15:30
Bien, esto no vale de nada en un examen salvo para comprobar. Si se os pide calcular el límite, tenéis que hacerlo razonadamente, porque esto es una estimación y lo mismo meto la gamba y esto no es 3 cuartos. 00:15:32
Bueno, entonces vamos a ver cómo se calculan los límites de una función en un punto de una forma analítica. 00:15:46
Esto es como cuando dibujamos algo, podemos conjeturar algunas cosas, podemos dibujar tres puntos que parezcan que están alineados, pero si yo no lo comprobo analíticamente no puedo asegurar que los puntos están alineados. 00:16:01
Bueno, pues vamos a ver cómo se hace el cálculo del límite en un punto. 00:16:14
Os he puesto los tres clases fundamentales, que son polinómicas racionales e irracionales. 00:16:21
Hay unas del número E que yo no os las voy a poner. Si os fijáis, me he saltado parte de los temas. 00:16:28
Ya sabéis que en los temas si me salto algo es porque no os lo voy a preguntar. 00:16:34
¿Tiene importancia? Sí, la puede tener, pero para cosas específicas que alguien estudie más adelante. 00:16:42
Bueno, entonces, para calcular un límite, siempre, el primer paso va a ser siempre el mismo, que va a ser sustituirlo. 00:16:49
Aquí dice, cuando x tiende a menos 2, ¿no? Pues voy a hacer f de menos 2. 00:17:03
f de menos 2 es 3 por menos 2 a la cuarta 00:17:08
más menos 2 elevado al cubo 00:17:13
menos 2. Esto bien lo hacéis a mano o a máquina 00:17:17
si queréis hacerlo con calculadora para comprobar que lo estoy haciendo bien 00:17:21
si no me equivoco sale 38 00:17:28
si no, decídmelo. Esto ya sabéis, lo hacéis a mano o a máquina 00:17:31
¿sale 38? 00:17:37
Bueno, pues yo os aseguro que si cogéis menos 1,99 o menos 2,01, el resultado no va a ser 38, pero va a ser muy cercano a 38. 00:17:43
Todas las funciones polinómicas. Y para cualquier punto, para calcular el límite en cualquier punto, sustituís y siempre os va a salir un resultado. 00:17:56
Siempre que salga un resultado va a ser el mismo. Y ahora nos vamos a las funciones racionales. Aquí os tengo ya puesto el protocolo que es, primero, si lo sustituís en el punto, ¿le sale un número? Ese es el mismo. 00:18:07
si sale 0 partido por 0 00:18:27
simplificáis 00:18:32
en el numerador y en el denominador 00:18:35
por los fines, sabes que si simplificáis 00:18:37
una fracción se supone que se va a tener 00:18:39
el mismo valor 00:18:41
¿no? bueno, pues se 00:18:43
simplifica por los fines 00:18:45
y si sale a partido por 0 00:18:46
y el numerador no es 0 00:18:49
va a salir o infinito 00:18:51
o menos infinito, ¿cómo averiguáis 00:18:53
eso? con los límites laterales 00:18:55
que ya lo hemos visto 00:18:57
Esto a palos secos parece complicadísimo, pero esta mecánica se coge bastante fácil, en mi opinión. 00:18:59
Entonces, primera cosa, dice x tiende a 2, ¿no? 00:19:08
Bueno, para que, ya veréis que si el número está en el dominio de la función, ya no va a tener ningún problema. 00:19:17
Pues hago 3 por 2 a la cuarta más 2 al cubo menos 2. 00:19:25
Y esto dividido entre 2 al cuadrado menos 2. 00:19:33
Hacedlo con calculadora. 00:19:39
Yo lo voy a hacer a mano. 00:19:43
8, 56, 54, partido por 2, sale 27. 00:19:52
¿Sí? 00:20:00
Bueno, pues este es el límite, 27. 00:20:01
Calculado. 00:20:03
Ya veréis que si cogéis 1,99 y sustituís, no os va a salir 27, pero os va a salir un número muy cercano a 27. 00:20:05
26, algo, 27, poco. 00:20:14
Eso si queréis lo vais comprobando, que estas cosas cuadran. 00:20:18
Ahora, vamos a ver el segundo caso. 00:20:24
en este 00:20:34
ya se acabó 00:20:38
si es un número es ese 00:20:39
y eso si queréis 00:20:41
lo comprobáis, si yo tomo un valor muy cerca 00:20:44
de 1,99 00:20:46
a 2,99 00:20:47
os va a salir claro 00:20:49
vamos a ver que pasa aquí 00:20:51
que pasa aquí, el límite 00:20:54
cuando x tiende a 3 de esta función 00:20:59
yo voy a evaluar 00:21:00
la función 00:21:03
aquí en el numerador me va a quedar 00:21:04
3 al cuadrado menos 9 00:21:07
y en el denominador me va a quedar 00:21:08
3 al cuadrado 00:21:11
menos 5 por 3 00:21:12
más 6 00:21:14
el numerador es obvio que queda 0 00:21:16
y el denominador 00:21:19
¿cuánto sale? 00:21:21
sale 0 también ¿no? 00:21:32
para que relacionéis con el tema anterior 00:21:34
este punto, el 3 00:21:36
no está en el dominio de la función 00:21:37
¿vale? 00:21:40
y si no está en el dominio de la función 00:21:41
y sale esto, esto se llama una indeterminación 00:21:43
Y se resuelve simplificando por 5. Entonces, ¿cómo se hace esto? Tomo el numerador. ¿Cuáles son los coeficientes de x cuadrado menos 9? 1, 0, menos 9. 00:21:46
¿Os acordáis? Esto es 1x cuadrado más 0x menos 9. Como valor a dividir pongo el 3. Y ahora bajo el 1, que pongo aquí, 3, aquí, 9 y resto. 00:22:05
¿Cuál es el cociente? 00:22:28
X más 3 00:22:34
¿Os acordáis de esto? 00:22:36
Y si no, ya sabéis que esto os va a servir de repaso 00:22:37
Muchas cuentas de esta evaluación os sirven de repaso para la primera 00:22:40
Bueno, pues yo he dividido entre X menos 3 00:22:44
Y aquí me sale X más 3 00:22:48
Esto es lo que pongo aquí 00:22:51
Y ahora, ¿cuál es el denominador? 00:22:54
¿Qué coeficientes tiene? 00:23:00
1, menos 5, 1, menos 5 y 6, ¿vale? Y más 6. 00:23:02
Y vuelvo a tomar la misma A, ¿no? 00:23:10
Entonces, aquí pongo un 1, 3, menos 2, menos 6 y 0, ¿no? 00:23:14
¿Qué me queda como cociente? X menos 2. 00:23:25
Lo pongo aquí. Una vez dicho esto, hay gente, yo no lo hago, pero para que lo entendáis, porque siempre me lo preguntáis, hay gente que dice que como he dividido por x menos 3, esto factoriza 2x más 3 por x menos 3. 00:23:29
Como veis es diferencia de cuadrados. Y esto x más 2 por x menos 3. Yo no lo pongo porque luego lo voy a tachar. Pero veis que esto es lo que da el 0 partido por 0. Al quitar eso, ya veréis que no sale 0 partido por 0. 00:23:48
Bueno, yo lo hago así directamente, os lo he explicado de dónde sale, pero ya lo voy a hacer directamente. Y ahora vuelvo a sustituir la x por 3. ¿Y qué me queda? 3 más 3 y abajo 3 menos 2. Y esto es 6 partido por 1. ¿Cuánto vale esto? 6. Pues este es el límite. 00:24:05
Y es curiosísimo, porque esto no tenía ningún valor, porque cero partido por cero no existe, pero esto sí que existe. 00:24:32
Cuando es cero partido por cero, porque ahora vamos a ver otro caso que no es cero partido por cero. 00:24:47
Bueno, voy a hacerlo rápidamente porque creo que es importante que por lo menos una vez hagáis, ¿no? 00:24:55
Vosotros mejor que lo hagáis más continuamente. Decidme un número que se acerque al 3. Por la derecha o por la izquierda, que queráis. 00:25:03
2,99 porque lo has dicho tú, ¿no? Y voy a sustituir 2,99 al cuadrado menos 9. 00:25:11
Ostras, que esto me equivocaba. Ahora, 2,99 al cuadrado menos 9. En el denominador tengo que poner 2,99 al cuadrado menos 5 por 2,99 más 6. 00:25:20
Y esto sale, fijaos, 6,05. ¿Es 6? No, porque se acerca mucho a 6. Que veáis que esto es muy curioso, porque esta función no existe en el 3, pero para valores muy cercanos yo sé que se acerca a 6. 00:25:44
Esta es la curiosidad de este tema. Es raro, es un tema raro, pero fundamental para las derivadas y para lo que tenéis que siga, pues más fundamental todavía. 00:26:01
bueno, este es un caso raro 00:26:12
que es cuando x tiende a 0 00:26:14
si aquí sustituís 00:26:16
os sale 1 más 0 00:26:19
que es 1 00:26:26
1 al cuadrado es 1 00:26:26
os sale 1 menos 1 00:26:29
partido por la x que es 0 00:26:31
os sale 0 partido por 0 00:26:33
entonces 00:26:34
cuando hacéis este 00:26:36
¿qué se os ocurriría hacer? 00:26:38
porque primero hay que 00:26:41
desarrollar esta desigualdad notable 00:26:43
Bueno, esto es el cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble del primero por el segundo partido por x. 00:26:45
Simplificáis y os queda límite cuando x tiende a cero de x cuadrado más 2x partido por x. 00:26:58
Y ahora si hacéis esto, aquí os vuelve a salir cero más cero que es cero partido por cero. 00:27:08
¿no? ¿cómo haríais esto? 00:27:13
por Ruffini, ¿no? 00:27:16
bueno, pues aquí hay una cosa 00:27:18
que es más fácil que seguir por Ruffini 00:27:20
que no sé 00:27:22
si la habéis visto 00:27:24
¿qué se puede hacer aquí? sacar 00:27:25
¿y qué me queda aquí? 00:27:28
x más 00:27:32
¿y qué se puede hacer con estos dos factores? 00:27:34
se tachan, ¿no? 00:27:41
este y este, ¿no? 00:27:42
¿y qué pasa si sustituyo 0 00:27:44
por 2? 00:27:46
Porque me queda 0 más 2, que es 2. Entonces, os reto a que en casa cojáis el 0,01, sustituyáis en la calculadora y que veáis que sale un número muy cercano a 2. 00:27:47
¿Qué es lo que quiero decir con este ejercicio? Que cuando x tiende a 0, generalmente se va a poder sacar factor común a la x y es más fácil que hacerlo por Ruffini. 00:28:03
Lo podéis hacer por Ruffini también. La ventaja es que con Ruffini cuando sale el cero os hacéis un lío muchas veces y creo que es bueno recalcar esto. 00:28:13
Y, bueno, se me ha olvidado un caso que no pasa nada porque ahora mismo lo voy a hacer porque os he dicho que, por ejemplo, vamos a hacer el límite cuando x tiende a 2 de x cuadrado más 1 partido por x cuadrado menos 4. 00:28:23
Bueno, ¿qué pasa si sustituyo aquí? 00:28:52
Queda 2 al cuadrado más 1 partido por 2 al cuadrado menos 4. 00:28:58
2 al cuadrado más 1 es 5 y 2 al cuadrado menos 4 es 0. 00:29:08
Este es el tercer caso. 00:29:14
Entonces, yo sé que este límite es o más o menos infinito. 00:29:16
Y ahora me diréis, pues vaya solución, ¿no? 00:29:23
Porque no es lo mismo ganar cada vez un número impresionante de dinero que perderlo, ¿no? 00:29:26
¿Cómo se determina si es más o menos infinito? 00:29:31
Pues se hacen los límites laterales. 00:29:34
Y los límites laterales ya os he enseñado a hacerlo. 00:29:37
Por ejemplo, cuando x tiende a 2 menos, ¿qué valor tomaríais? 00:29:44
1,99, ¿no? 00:29:51
Y si x tiende a 2 más, 00:29:56
pues 2,01, ¿no? 00:30:02
No, no cumplimos nada. 00:30:04
Pues esto lo hacemos tal cual. 00:30:06
Esto por tanteo se puede hacer. 00:30:08
Hay gente que lo hace de otra forma. 00:30:09
Yo a veces lo hago por lógica. 00:30:12
Yo sé que este va a salir por la derecha más infinito y por la izquierda menos infinito. 00:30:14
Luego os explico por qué. 00:30:19
Porque se puede razonar así. 00:30:21
Entonces tengo 1,99 al cuadrado más 1 partido por 1,99 al cuadrado menos 4. 00:30:22
Y sale menos 124. ¿Qué diríais? ¿Que sale más o menos infinito? 00:30:37
Menos infinito. Si cogéis un número que se acerca más, el 1,999999, ya veréis que se acerca mucho más a infinito. 00:30:43
Entonces, ¿qué salía la Y? Que la Y salía aproximadamente menos 124, ¿no? ¿Era 124? 124, ¿no? Bueno, pues la conclusión es que el límite por la izquierda es menos infinito. 00:30:52
Y ahora, si tomo, por ejemplo, el 2,01, pues tengo que poner aquí 2,01 y arriba 2,01. 00:31:14
Y se me ha quitado el cuadrado este y le doy y me sale 125, aproximadamente 126. 00:31:36
pues ¿qué límite os va a salir? 00:31:45
más o menos infinito 00:31:49
¿qué va a significar esto gráficamente? 00:31:51
bueno, lo que os he dicho antes 00:32:02
yo esto sabía que por aquí salía menos infinito 00:32:04
y por aquí más infinito 00:32:07
no siempre es fácil saberlo 00:32:08
pero aquí es muy fácil 00:32:10
porque esto siempre va a salir positivo 00:32:11
y esto 00:32:13
si cojo un número mayor que 2 00:32:15
va a salir un poquito más que 4 00:32:18
entonces esto sale positivo 00:32:20
más entre más, más. En cambio, si cojo 00:32:23
1,99 va a salir un número 00:32:25
más pequeño que 4 00:32:27
va a salir negativo y más entre menos 00:32:29
es 1. Hay gente que lo hace así por tanteo 00:32:31
aunque no siempre es tan fácil 00:32:33
para hacerlo. Bueno, 00:32:35
¿qué quiere decir esto gráficamente? 00:32:37
Pues gráficamente 00:32:42
es que si x 00:32:43
y yo me acerco mucho a 2 00:32:44
por la izquierda 00:32:47
la función va hacia menos infinito. 00:32:50
Y que si yo me acerco por la derecha, la función, cuando me acerco a 2, sube hasta el final. 00:32:58
Esto es lo que se llama una asíntota vertical que veremos el próximo día. 00:33:10
Como veis, para que una función tenga una asíntota vertical en un punto, ese punto no puede estar en el dominio. 00:33:18
Porque es el caso en el que sale un denominador c. 00:33:28
Bueno, pues no quedan cosillas todavía. 00:33:31
Bueno, en funciones irracionales, yo os quiero poner este ejemplo, no os lo complicaría demasiado si pareciera o no parecido, ¿no? Más o menos, la idea es la misma, lo que pasa es que aquí hay que racionalizar o hacer algo parecido a racionalizarlo. 00:33:41
Porque aquí no hay que racionalizar, pero evidentemente esta función ya está racionalizada. 00:34:01
Vamos a ver, ¿qué pasa con esta función? 00:34:07
Si yo a la x le doy el valor 3, me sale 3 más 1, que es 4. 00:34:15
La raíz de 4, 2. 00:34:22
2 menos 2, y aquí sale 3 menos 3. 00:34:25
0 partido por 0. 00:34:29
Pero aquí no puedo hacer refini porque hay un radical, ¿no? ¿Dónde está el radical? ¿En el numerador o en el denominador? En el numerador. Entonces, no es exactamente racionalizar, porque racionalizar siempre se hace con las raíces en el denominador. 00:34:31
pero si os acordáis 00:34:50
¿por cuánto tengo que multiplicar arriba y abajo? 00:34:54
por el conjugado de este 00:34:58
¿y cuál es el conjugado de este? 00:35:00
es raíz de x más 1 00:35:05
y si pone menos 2 00:35:07
más 2 00:35:08
esto nos viene bien para repasar la primera evaluación 00:35:10
para que veáis que las racionalizaciones 00:35:13
sí que aparecen en la práctica 00:35:16
bueno entonces 00:35:18
os recuerdo 00:35:24
si no os acordáis 00:35:25
me lo decís 00:35:28
sabéis que esto es una suma por una diferencia 00:35:29
os acordáis que es igual a 00:35:31
el cuadrado 00:35:33
del primero 00:35:35
menos 00:35:38
el cuadrado del segundo 00:35:40
¿os acordáis? 00:35:42
os lo pongo abajo 00:35:44
lo pongo abajo 00:35:45
aquí 00:35:47
si tengo a menos b 00:35:49
por a más b 00:35:52
suma por diferencia, en este caso diferencia por suma, es el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. 00:35:53
Y esto no lo toco, esto no lo toquéis, porque lo que no quiero es mezclar radicales con polinomios. 00:36:00
¿Qué se hace con esta raíz y el cuadrado? Se tachan, ¿no? 00:36:11
Entonces, aquí en el numerador me queda el límite. Cuando x tiende a 3, queda x más 1 menos 4. x más 1 menos 4 es x menos 3. Y aquí queda x menos 3 partido por la raíz de x más 1 más 2. 00:36:15
Adivinad lo que voy a hacer. 00:36:40
Esto es lo mismo que esto multiplicado por 1. 00:36:47
¿Qué pensáis que voy a hacer? 00:36:50
Tengo un factor arriba y abajo que son igual. 00:36:53
Entonces, ¿qué se puede hacer? 00:36:56
Simplificar. 00:36:59
Entonces, simplifico y eso es lo que me daba la indeterminación 0 partido por 0. 00:37:01
Ahora, si simplifico me queda 1 partido por raíz de x más 1 más 2 y, de nuevo, 3 más 1, 4. Raíz de 4, 2, ¿no? Y 2 más 2, 4. 00:37:07
Bueno, pues ya veréis que si le dais un valor muy cercano a 2,99, os va a salir, o a 3, perdón, 2,99 os va a salir un valor muy cercano a 0,25, que es lo mismo que en cuarto. 00:37:31
¿Sí? Insisto, esto está muy bien para que repaséis, mirad alguno más de estos que hay en el libro para que repaséis racionalizaciones porque además así veis una utilidad de las racionalizaciones de para qué narices se van. 00:37:46
aquí tenéis los ejercicios 1 al 4 00:38:04
de la página 220 00:38:08
bueno, entonces 00:38:09
nos queda en esta clase 00:38:12
que quedan 15 minutos 00:38:14
no vamos mal 00:38:16
porque 00:38:18
no vamos mal 00:38:18
lo último que 00:38:20
tenemos que hablar hoy ya es 00:38:24
del estudio global de una 00:38:26
función, que os pueden dar 00:38:27
gráficamente, pero generalmente os la van a dar 00:38:29
con una fórmula 00:38:32
Bien definida a trozos o bien dada por una forma. 00:38:34
Esto que os voy a dar aquí, os lo voy a explicar gráficamente, lo que son los tipos de vices continuidades. 00:38:41
Porque, como os he dicho antes, para mí es más fácil explicar lo que no es continuo a explicar lo que es continuo. 00:38:47
A ver, vamos a ir a la gráfica A. 00:38:55
¿Qué pasa en X igual a A? 00:39:04
¿Para el valor de la X, A, existe algún valor de la Y? 00:39:08
No, ¿no? O sea, si seguís por aquí, aquí hay como un hueco, ¿no? Entonces, A no está en el dominio. Si un número no está en el dominio, la función no puede ser continua, porque ese punto no lo puede pintar A, ¿no? No tiene un punto que le corresponda, ¿sí? 00:39:15
Bueno, no solo eso, sino que además, ¿qué pasa con la función cuando me acerco a? ¿Hacia dónde va? Por los dos lados, ¿no? 00:39:40
Bueno, esto se llama una discontinuidad de salto infinito. 00:39:52
Es discontinua por dos cosas. La primera, porque no está definida en el punto, porque yo podía pintar este punto y sí definía el salto infinito. 00:40:07
Y la otra razón es que la función va hacia el infinito o hacia menos infinito. 00:40:15
Al menos con que uno de los límites laterales vaya a infinito, la discontinuidad es alto infinito. 00:40:23
Ahora, vamos a ver. 00:40:29
¿Existe f de a? 00:40:34
Es este puntito, ¿no? 00:40:39
¿La función es continua en x igual a a? 00:40:42
O sea, si yo voy por aquí y al llegar a A, ¿qué tengo que hacer? Saltar, ¿no? ¿Es continuo en X igual a A? No. ¿Qué es lo que ocurre? El límite por la izquierda de A es distinto del límite por la derecha de A. 00:40:47
Esta discontinuidad, como estoy pegando a un brinco, que no es infinito, se llama discontinuidad de salto finito. 00:41:11
Ahora, atención al siguiente, que el siguiente es más raro todavía. 00:41:33
¿Existe FDA? 00:41:40
¿Sí? ¿Cuánto vale? 00:41:44
¿No ves que el punto está hueco? 00:41:47
Entonces, no existe FDA. 00:41:49
pero a que si yo pusiera ahí un puntito 00:41:51
la función de área continua 00:41:59
bueno pues esta se llama 00:42:00
discontinuidad evitable 00:42:03
lo que sí que existe 00:42:05
es el límite 00:42:06
cuando x tiende a 00:42:10
de la función 00:42:11
porque tanto por la izquierda como por la derecha 00:42:12
se acercan al mismo sitio 00:42:15
bueno pues esta se llama 00:42:17
discontinuidad evitable 00:42:18
y la b 00:42:20
existe f de a 00:42:28
Sí, es este puntito 00:42:31
¿Pero qué pasa con ese puntito? 00:42:37
Que no está donde tenía que estar, ¿no? 00:42:40
A veces es porque me he equivocado en un dato 00:42:43
Pero no coincide 00:42:45
Pero no coincide 00:42:47
No coincide 00:42:50
Con el límite cuando x tiende a df de x 00:42:58
Que sí existe porque tanto por la izquierda 00:43:04
como un alto por la derecha, me acerco aquí. 00:43:06
¿Esta discontinuidad se podría evitar? 00:43:10
Sí, porque si este punto lo muevo aquí, ya he tapado 00:43:12
el hueco, ¿no? Esta también se llama discontinuidad 00:43:16
evitable. Discontinuidad evitable. 00:43:19
Bueno, pues ahora, vistos estos cuatro 00:43:25
ejemplos, os voy a dar la definición de continuidad. 00:43:27
F de A 00:43:34
con F de X es 00:43:35
continua en 00:43:39
X igual a A si el límite cuando X tiende a F de X es igual a F de A. 00:43:43
Espero que lo veáis un poco más claro después de ver los ejemplos, 00:43:57
porque en alguno de los casos falla una de las dos cosas. 00:44:00
Para que ocurra esto, tiene que existir F de A. 00:44:04
tiene que existir 00:44:12
el límite 00:44:14
cuando x tiende a 00:44:18
y para eso 00:44:20
tiene que coincidir 00:44:22
los límites laterales 00:44:23
y además 00:44:27
uno y dos 00:44:37
tienen que ser iguales 00:44:46
bueno, esto 00:44:48
parece una tontería pero para que dos cosas 00:44:53
sean iguales 00:44:56
tiene que existir una, tiene que existir la otra 00:44:57
y las dos tienen que ser iguales 00:45:00
En términos matemáticos, la comprobación que hay que hacer es esa, porque dependiendo si existe una de las cosas u otra, la discontinuidad puede ser de un tipo o de otro. 00:45:02
Vale, entonces, nos vamos aquí y vamos a estudiar como ejemplo, esto espero que ya sea un poco más relajado, estudiar la continuidad de esta función. 00:45:16
Quedan siete minutos, bueno, un poco de prisa. 00:45:29
A ver, quería hacer por lo menos parte de enseguida. 00:45:34
A ver, esta función tiene tres trozos. 00:45:38
Esto, como es de primer grado, ¿qué es? 00:45:40
Una recta. Necesito dos puntos, ¿no? 00:45:41
Esto, como es de segundo grado, es una... 00:45:48
Es una parábola, ¿no? 00:45:50
Contar tres puntos me vale, ¿sí? 00:45:54
Y lo siguiente es una recta, ¿sí? 00:45:57
También con dos puntos me vale. 00:46:02
Entonces, ¿qué puntos doy en el primer trozo? 00:46:05
Pues podría poner el menos 3 y el menos 2, ¿no? 00:46:13
Como ponen menor o igual que menos 2, son valores menores que menos 2 o iguales. 00:46:17
Sustituyo. 00:46:24
Menos 3 más 5 es 2, ¿no? 00:46:25
Y menos 2 más 5 es 3. 00:46:30
De aquí me sale un punto, menos 3, 2. 00:46:34
y de aquí me sale el menos 2, 3. 00:46:37
Esto se puede hacer sin pintar o pintando. 00:46:47
Yo por lo menos la primera vez prefiero explicarlo pintado. 00:46:49
Entonces, el punto menos 3, 2 es menos 3, 2. 00:46:53
Y el punto menos 2, 3 es menos 2, 3. 00:47:02
Entonces, este trozo es para x menor que 2. 00:47:05
Esto será una recta que va por aquí. 00:47:09
Este es el primer trozo. 00:47:11
Ya sabéis, en el examen hacerlo todo del mismo color. Yo voy a cambiar de color para que quede más bonito. Aquí necesito tres puntos. Entre menos 2 y 1, ¿qué elegiríais? Pues yo cogería el menos 2, cogería el 1 y entre el menos 2 y el 1 está el 0. 00:47:13
pero con una salvedad 00:47:33
porque aquí pone menor 00:47:36
menos 2 menor que x 00:47:38
¿os acordáis que se ponía cuando no estaba el punto? 00:47:39
era 00:47:43
hueco 00:47:43
bueno, pues sustituyen la fórmula 00:47:45
menos 2 al cuadrado 00:47:48
menos 1 00:47:51
que sale 3 00:47:52
aquí 1 al cuadrado menos 1 00:47:53
que es 0 00:47:56
y 0 al cuadrado menos 1 00:47:56
que es menos 1 00:47:59
Fijaos, sale el menos 2, 3, que es hueco. 00:48:02
Y justo es este, ¿no? 00:48:06
No voy a poner el hueco, porque ya me lo tapa el otro trozo. 00:48:08
¿Sí? ¿Os acordáis esto del otro día? 00:48:13
¿No? O sea, que esto me empalma perfectamente. 00:48:19
Entonces, este punto dentro de la función no es hueco. 00:48:23
Porque aunque aquí sea hueco, va a empalmarse con el trozo anterior. 00:48:26
luego viene el punto 1, 0 que está por aquí 00:48:30
y el 0, menos 1 que está por aquí 00:48:33
bueno, pues esto es un trozo de parábola 00:48:36
que lo puedo pintar así 00:48:38
y este punto también es macizo 00:48:41
y ahora pone x más 2 si x es mayor que 1 00:48:43
x más 2 si x es mayor que 1 00:48:47
pues cojo el azul 00:48:50
y como es una recta doy dos puntos 00:48:53
¿qué puntos daría? 00:48:56
El 2 y el 1, pero diciendo que el 1 es hueco. Si la x vale 1, 1 más 2 es 3 y si la x es 2, 2 más 2 es 4. O sea, el 1 es 3 y el 2 es 4. Sé que es una recta que empieza aquí, pero con cuidadito porque este punto es hueco. 00:48:57
Bueno, pues, ¿sabéis decirme cómo es esta función? 00:49:24
f es continua, ¿dónde? 00:49:34
Más fácil, ¿dónde no es continua? 00:49:37
¿Y qué valor de la x es ese? 00:49:43
De la x, de la x 00:49:47
En x igual a 1, ¿sí? 00:49:49
Bueno, pues ya voy a decir aquí 00:49:53
Este tiene una discontinuidad. ¿Y sabéis de qué tipo es? ¿De salto finito, de salto infinito o evitable? Evitable. A ver, tú esto no lo puedes forzar a llegar aquí. 00:49:55
aquí no hay un salto 00:50:15
pues es de salto 00:50:17
y es finito o infinito 00:50:21
finito porque son 00:50:23
tres unidades me parece ¿no? 00:50:25
¿y dónde la función 00:50:28
es continua? pues en 00:50:29
todos los números reales excepto 00:50:31
donde es discontinua 00:50:33
en todos los números reales excepto 00:50:35
¿vale? 00:50:37
bueno, quería 00:50:40
correr un poquito 00:50:41
bueno, aquí podría decir que el límite por la 00:50:42
izquierda del 1, ese es 0 00:50:45
y por la derecha es 3, me parece 00:50:47
y era, ¿no? y vamos 00:50:49
podría decir más cosas pero 00:50:51
esto miraba un 00:50:53
ejemplo del libro porque 00:50:55
quería ir, aunque no me diera tiempo a todo 00:50:57
pero un poquitín del siguiente 00:50:59
que es cuando os dan 00:51:01
una fórmula, ¿sí? 00:51:03
estudia la continuidad de esta función 00:51:05
cuando no son trozos 00:51:07
todo es una fórmula 00:51:09
entonces, aquí os recuerdo 00:51:10
que 00:51:13
El carné de identidad de una función es su dominio. 00:51:15
¿Cuál es el dominio de esta función? 00:51:18
Todos los números reales excepto los valores que anulan el denominador. 00:51:21
Bueno, el cero es uno de ellos. 00:51:29
Valores que anulan el denominador. 00:51:32
¿Cómo se resuelve esta ecuación? 00:51:39
Saco factor común y me queda... 00:51:40
x menos 1 00:51:46
o bien entonces 00:51:49
o bien x es igual a 0 00:51:51
o bien 00:51:53
x menos 1 es igual a 0 00:51:54
si x es igual a 0 00:51:57
pues me sale 0 y si x menos 1 es igual a 0 00:51:59
me queda 00:52:01
que x vale 00:52:02
1, lo que está restando pasa sumando 00:52:04
o sea que el dominio 00:52:08
de esta función 00:52:09
son todos los números reales 00:52:10
excepto el 0 y el 1 00:52:13
Bueno, pues ya puedo decir que F es continua en todos los números reales excepto en el cero y en el uno. 00:52:14
Y ahora, ¿qué pasa en el cero? ¿Qué me queda si sustituyo? 00:52:26
Queda cero menos uno partido por cero menos cero, ¿no? 00:52:39
¿Qué pasaba cuando salía menos uno partido por cero? 00:52:43
Era que salía más o menos infinito. 00:52:49
Como aquí habla de continuidad, ¿qué diríais que pasa en x igual a cero? 00:52:53
Que hay una discontinuidad de qué tipo. 00:53:00
¿De salto finito, de salto infinito o evitable? 00:53:07
De salto infinito. 00:53:12
Y bueno, y si hago el límite cuando x tiende a 1 de la misma función, 00:53:17
bueno, esto os lo dejo como ejercicio. 00:53:27
Esto lo hacéis por Ruffini porque sale cero partido por cero. 00:53:29
¿Sí? Y si hacéis Ruffini, os va a quedar x más 1 arriba y x abajo. ¿Lo creéis, no? Y si sustituís os sale 1 más 1, que es 2, partido por 1, que es 2. 00:53:33
Entonces, ¿qué pasa en x igual a 1? ¿Cómo es la discontinuidad? ¿De salto infinito, finito o evitable? 00:53:52
no salta, porque el límite existe 00:54:04
y si no salta 00:54:07
¿cómo es? ¿de salto finito, de salto infinito? 00:54:11
o ¿y tal? 00:54:13
si no salta 00:54:17
no puede haber un salto infinito 00:54:18
porque eso es un salto 00:54:19
¿cómo va a ser? ¿de salto infinito, infinito? 00:54:20
si no salta 00:54:24
no, si no salta 00:54:25
a ver, hay tres tipos 00:54:31
¿es alto infinito o evitable? 00:54:32
evitable 00:54:36
es evitable 00:54:37
¿por qué? porque al existir el límite 00:54:38
¿no? 00:54:41
la función se aproxima tanto por la izquierda 00:54:42
como por la derecha al mismo 00:54:45
sitio, pero ¿qué es lo que ocurre? 00:54:46
que ese punto está hueco porque no está en el dominio 00:54:49
¿vale? 00:54:51
bueno, pues 00:54:53
interrumpimos 00:54:54
bueno 00:54:56
a veces 00:54:59
todos damos altos 00:55:01
y eso no es malo 00:55:02
tampoco 00:55:05
bueno pues esto muy rápidamente 00:55:05
yo recomendando siempre 00:55:09
que veáis ya los exámenes de la otra 00:55:11
evaluación, que veáis 00:55:13
cómo se estudia la continuidad, os he puesto dos 00:55:15
de función definida a trozos 00:55:17
límites en el infinito 00:55:19
por si queréis ir preparando la sesión de la semana 00:55:20
que viene 00:55:23
bueno pues interrumpimos ya la 00:55:23
¿Dibujar una función definida a trozos? 00:55:27
Pues, ¿sabes a qué llamo yo eso? 00:55:38
Tutoría individual. 00:55:43
Eso lo llamo tutoría individual. 00:55:45
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Javier M.
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26 de febrero de 2024 - 23:16
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