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AE3. 4 Inecuaciones de valor absoluto - Contenido educativo

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Subido el 10 de noviembre de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AE3 dedicada a las inequaciones y los sistemas de inequación. 00:00:22
En la videoclase de hoy estudiaremos las inequaciones de valor absoluto. 00:00:27
En esta videoclase vamos a estudiar las inequaciones de valor absoluto, que son aquellas en las 00:00:36
es que nos vamos a encontrar con que tenemos la incógnita dentro, en el argumento, de un valor absoluto, 00:00:52
de al menos un valor absoluto. 00:00:57
Nosotros nos vamos a restringir, en este primer curso de bachillerato, a dos situaciones que son especialmente sencillas. 00:00:59
¿Qué ocurre si tengo una inequación en la que puedo reorganizar términos de tal forma que tenga 00:01:06
la comparación del valor absoluto de una expresión algebraica y una segunda expresión algebraica? 00:01:11
Y aquí vemos que el valor absoluto es menor o igual, o bien menor, mayor o igual, o bien mayor que una segunda expresión algebraica. 00:01:16
Una segunda opción, también sencilla y con la que nosotros podremos tratar, es qué ocurre si lo que tengo en realidad es la comparación de dos valores absolutos. 00:01:24
Y lo que tengo es un valor absoluto de una cierta expresión algebraica, menor o igual, menor, mayor o igual, mayor que una segunda expresión algebraica. 00:01:33
No son los únicos casos, son los más sencillos y que nosotros podremos tratar. 00:01:41
En el caso en el que esta comparación sea de menor, tengo aquí valor absoluto menor o igual o bien menor, van a ser similares que una expresión algebraica, con lo que me voy a encontrar en realidad es con que el valor absoluto, la expresión que tengo dentro del valor absoluto, debe cumplir simultáneamente dos inequaciones. 00:01:45
Y esto se debe, en términos generales, a que cuando tengo el valor absoluto de algo, debo diferenciar, debo separar qué ocurre si ese algo es negativo y si ese algo no es negativo. 00:02:09
Cuando ese algo es negativo, el valor absoluto le cambia el signo. Cuando ese algo es no negativo, el valor absoluto lo deja tal cual está. 00:02:23
Ahora, ese debo diferenciar dos situaciones se traduce en el caso en el que tengo una desigualdad de menor o menor igual, menor estricto o menor no estricto, en que se deben cumplir simultáneamente dos inequaciones. 00:02:31
Por un lado, cuando me encuentro con una de estas situaciones, menos Q, o sea, con signo cambiado, el miembro de la derecha debe ser menor o igual que P, esto es el argumento del valor absoluto, y simultáneamente, el argumento del valor absoluto debe ser menor o igual que Q, esto es el otro miembro. 00:02:46
Bueno, supongamos que con lo que me encuentro es con la versión más sencilla. 00:03:08
Valor absoluto de x menor o igual que 1. 00:03:16
Por ejemplo, me voy a fijar en esta primera situación y en este caso tengo valor absoluto de x, 00:03:19
debe haber x dentro del valor absoluto porque si no, no es una ecuación de valor absoluto. 00:03:24
La más sencilla es valor absoluto de x menor o igual que 1. 00:03:29
La expresión algebraica más sencilla es una constante y en este caso va a pensar en 1. 00:03:33
Ahora, valor absoluto de x menor o igual que 1 me dice que se deben cumplir simultáneamente dos cosas. 00:03:36
Esta parte de la derecha quiere decir que x sin el valor absoluto debe ser menor o igual que 1. 00:03:46
Por supuesto, puesto que si x fuera mayor que 1, si no se diera esta circunstancia porque x, estoy pensando en que p de x es x y q de x es 1. 00:03:53
Si x es mayor que 1, desde luego su valor absoluto no va a ser menor o igual que 1. 00:04:03
Esto en cuanto a la parte de estoy pensando en que x sea positiva y la comparo con 1, que es el valor positivo. 00:04:10
¿Qué ocurre si x es negativa? 00:04:16
Bueno, en este caso debo comparar con 1, sino con menos 1. 00:04:19
Pienso en valor absoluto de x menor o igual que 1 con x negativos. 00:04:24
¿Qué ocurre si x es igual a menos 2? El valor absoluto de menos 2 es 2, desde luego no es menor o igual que 1. 00:04:30
¿Qué ocurre si x es igual a menos 1 medio, menos 0,5? 00:04:36
En ese caso el valor absoluto es 1 medio, 0,5 que sí es menor o igual que 1. 00:04:41
Eso se traduce en lo que aquí viene como menos 1 debe ser menor o igual que x. 00:04:47
Fijaos que en este caso, menos 1 debe ser menor o igual que x, me obligaría a que x fuera mayor o igual que menos 1. 00:04:55
Menos 0,5 menos un medio sí verificaría esta desigualdad, mientras que menos 2 no verificaría esta desigualdad. 00:05:04
Está bien construido con este ejemplo que acabo de poner, pensando en que tengo valor absoluto de x menor o igual que 1. 00:05:12
debe cumplirse simultáneamente que menos el miembro de la derecha, el miembro de la derecha con el signo cambiado, 00:05:21
debe ser menor o igual que el argumento del valor absoluto y, este símbolo matemático significa y, 00:05:27
simultáneamente el argumento, que en este caso sería x, el argumento del valor absoluto, 00:05:34
debe ser menor o igual que este miembro de la derecha. 00:05:39
Lo que estoy haciendo en realidad es transformar esta inequación de valor absoluto 00:05:42
en la intersección de las soluciones de dos inequaciones, menos el miembro de la derecha menor o menor o igual según corresponda 00:05:47
que el argumento del valor absoluto y, simultáneamente, lo que tengo que hacer es resolver la ecuación de el argumento del valor absoluto 00:05:57
menor que el miembro menor o menor o igual que el miembro de la derecha. Y en este caso, cuando lo que tengo es una desigualdad de menor, 00:06:04
porque tengo un valor absoluto menor o menor o igual que el miembro de la derecha, 00:06:12
lo que tengo aquí es una intersección. 00:06:17
Se deben cumplir simultáneamente dos condiciones. 00:06:18
Resolveré dos inequaciones y hallaré la intersección de ambas, 00:06:21
que es lo que tengo aquí expresado en términos algebraicos. 00:06:25
En el caso en el que la desigualdad sea de mayor, 00:06:30
porque aquí tengo mayor o bien mayor o igual, mayor o estricto, mayor o igual, 00:06:33
es algo similar. 00:06:37
Hago las mismas comparaciones, comparaciones similares, 00:06:39
Pero en este caso, lo que tengo no es una intersección, sino una unión. 00:06:41
Pongamos que, voy a poner un ejemplo similar al caso anterior, que tengo valor absoluto de x mayor o igual que 1. 00:06:49
La versión más sencilla de esta inequación. 00:06:56
Bien, estoy pensando en valores de x cuyo valor absoluto sea mayor o igual que 1. 00:07:00
Pues tengo por un lado todos los valores de x que sean mayores o iguales que 1. 00:07:04
Valores positivos para la x, como por ejemplo 2, 3, 17, su valor absoluto es mayor o igual que 1, por supuesto, porque x es mayor o igual que 1. 00:07:10
Y eso es esta parte que tengo aquí, esta desigualdad que tengo a la derecha. 00:07:19
Y si pienso en valores de x negativo, que el valor absoluto de x negativo sea mayor o igual que 1, quiere decir que x debe ser menor o igual que menos 1, con el signo cambiado. 00:07:23
Fijaos, porque estoy comparando números con signo negativo. 00:07:37
Estoy pensando en que menos 2, menos 3, menos 4, todos esos valores de x, su valor absoluto, que es 2, 3, 4, es desde luego mayor o igual que 1. 00:07:41
Esa inequación que tenía en la mente primeramente. 00:07:50
Y lo que estoy pensando es que estoy transformando esto en que x, como número negativo, tiene que ser menor o igual que menos 1. 00:07:53
el valor que tiene aquí con el signo cambiado. 00:08:01
Y eso es lo que tengo en esta otra inequación que tengo aquí. 00:08:04
Pueden cumplirse simultáneamente cualquiera de las dos, 00:08:08
no necesariamente las dos, quiero decir, además que sería imposible, 00:08:10
para que el valor absoluto de x sea mayor o igual que 1, 00:08:14
o bien x es mayor o igual que 1, o bien x es menor o igual que menos 1. 00:08:18
Esas dos semirrectas serían solución de esta inequación concreta que estoy pensando. 00:08:24
Por eso tengo aquí el símbolo O y aquí tengo la unión de intervalos. Voy a resolver esta inequación, voy a resolver esta segunda inequación y debe cumplirse o bien la una o bien la otra. Cuando tenga las dos soluciones tendré la unión de un conjunto o bien el otro. 00:08:28
Así pues, las inequaciones de valor absoluto se van a resolver cuando sean de este tipo 00:08:44
Un valor absoluto menor, mayor, la comparación que corresponda con una segunda expresión algebraica 00:08:51
Lo que voy a tener que hacer es identificar cuáles son las dos inequaciones que debo resolver 00:08:58
Y después, dependiendo del tipo de desigualdad que yo tuviera, hallar la intersección de esas 00:09:03
O bien hallar la unión de esas soluciones de inequaciones 00:09:08
Cuando lo que tengo son directamente la comparación de dos valores absolutos, esto va a ser mucho más sencillo, puesto que la técnica que voy a utilizar es directamente elevar al cuadrado ambos miembros de la inequación. 00:09:13
Ahora, si el valor absoluto de p de x es menor o igual que el valor absoluto de q de x, el valor absoluto de p y el valor absoluto de q son números positivos. 00:09:28
Independientemente del valor de x, los valores numéricos van a ser números y el valor absoluto los va a convertir en positivos. 00:09:40
Al elevar al cuadrado se va a mantener la relación. 00:09:47
Si el valor absoluto de p de x es menor o igual que el valor absoluto de q de x, 00:09:50
al elevar al cuadrado, los números más pequeños, el cuadrado de los números más pequeños, 00:09:56
sigue siendo más pequeño que el cuadrado de los números más grandes. 00:10:01
La desigualdad se va a seguir verificando. 00:10:04
¿Por qué elevado al cuadrado? 00:10:07
Porque independientemente de que p de x sea positivo o negativo, 00:10:08
al elevarlo al cuadrado el signo desaparece, se convierte en más. 00:10:12
Fijaos que menos lo que quiera que sea al cuadrado, menos por menos es más, 00:10:15
se va a convertir en signo positivo. 00:10:19
Así pues, lo que voy a tener es que si esto se verifica, 00:10:21
valor absoluto de p de x menor o igual que valor absoluto de q de x, 00:10:25
necesariamente al elevar al cuadrado debe cumplirse que el cuadrado de p de x 00:10:28
debe ser menor o igual que el cuadrado de q de x. 00:10:33
Y esto va a ser así independientemente de cuál sea la relación que yo tuviera. 00:10:36
Menor, menor, restricto, mayor o igual, mayor, restricto. 00:10:40
Con lo cual, lo que voy a hacer en última instancia, 00:10:44
siempre que tenga una comparación de valores absolutos directa, tal cual tenemos aquí, 00:10:46
es elevar al cuadrado y vamos a convertir esta inequación de valores absolutos en una inequación que va a ser de este estilo. 00:10:51
Si P y Q fueran polinomios de grado 1, automáticamente tendría una inequación polinómica también, 00:11:01
pero de grado superior a 1, porque si P y Q son de grado 1 al elevar al cuadrado, serán de grado 2. 00:11:07
Si p y q fueran de grado 2, aquí tendría p y q al cuadrado, tendría polinomios de grado 4. 00:11:13
En cualquier caso, se va a mantener la naturaleza de la desigualdad. 00:11:19
Aquí estoy pensando en polinomios, pero si tuviera fracciones racionales, 00:11:22
evidentemente la técnica sería la misma, elevado al cuadrado, 00:11:26
y seguiría teniendo fracciones racionales más complicadas, 00:11:29
puesto que estarían elevadas al cuadrado, tanto el numerador como el denominador, 00:11:31
pero ya no tendría valores absolutos. 00:11:35
En este caso, transformo una única inequación de valor absoluto en la resolución de dos inequaciones ya sin el valor absoluto y me preocuparé de hallar la intersección o bien la unión según corresponda. 00:11:38
Transformo el problema que yo tenía con el valor absoluto en dos sin el valor absoluto. 00:11:51
En este caso, transformo mi problema con los dos valores absolutos en uno único pero con un grado superior. 00:11:57
Si estos son polinomios, el grado se dobla. Si son fracciones racionales, se dobla tanto el grado del numerador como el del denominador. 00:12:03
Pero por lo menos ya se pueden resolver con las técnicas que hemos estudiado en las videoclases anteriores. 00:12:11
Con esto que hemos visto, ya se podrá resolver este ejercicio donde me encuentro en los apartados A, B y C, 00:12:16
la comparación directa de un valor absoluto con, en este caso, un valor numérico. 00:12:23
Es la versión más sencilla del primer caso que he mencionado. 00:12:27
Y en este apartado de tengo la comparación de dos valores absolutos, también es la versión sencilla de este segundo caso que he mencionado. 00:12:32
Estos ejercicios se podrán resolver en clase, se podrán resolver en alguna videoclase posterior. 00:12:41
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:12:47
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:12:56
No dudéis en traer vuestras dudas y inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:13:01
Un saludo y hasta pronto. 00:13:06
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
2
Fecha:
10 de noviembre de 2025 - 12:58
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
13′ 34″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
31.72 MBytes

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