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Cuerpos Geométricos

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Subido el 11 de abril de 2020 por Alejandro G.

118 visualizaciones

Gemetría 3D para la ESO. Uso de Geogebra

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En este vídeo vamos a intentar aprender algo sobre los cuerpos geométricos, porque nuestra vida, como sabemos, transcurre en tres dimensiones. 00:00:01
Estamos rodeados de objetos en tres dimensiones. Pirámides, cajas, rollos cilíndricos, conos de helado, sillas incómodas, planetas... 00:00:10
Solo hay que mirar lo que nos rodea con ojos matemáticos para descubrir los cuerpos geométricos que nos rodean. 00:00:21
Te voy a contar en este vídeo cosas sobre poliedros, sobre prismas, sobre pirámides, los cuerpos de revolución, cómo calcular volúmenes de prismas, cilindros, pirámides, conos y algo sobre las esferas. 00:00:27
Primero hablamos de los poliedros. Los poliedros, poli es un prefijo que significa varias y edro serían caras planas. Bueno, pues un poliedro sería un cuerpo geométrico cerrado delimitado por polígonos. 00:00:42
Un poliedro puede ser convexo si cualquier segmento que formamos en él se queda dentro del propio poliedro 00:00:57
o podría ser cóncavo si algún segmento de los que formamos con puntos del poliedro puede salir fuera 00:01:05
Los poliedros convexos cumplen que su característica de Euler es igual a 2 00:01:12
es decir, que si sumamos los vértices, restamos el número de aristas y sumamos las caras 00:01:19
el resultado en esa cuenta es 2 y lo puedes comprobar cuando quieras con cualquier poliedro 00:01:26
convexo. Llevamos a llamar poliedros regulares a aquellos cuyas caras son polígonos regulares y a 00:01:32
la vez en el que cada vértice concurre el mismo número de caras. Por ejemplo aquí tenemos un 00:01:40
tetraedro que está formado con cuatro triángulos equiláteros. Aquí tendríamos un octaedro formado 00:01:45
por 8 triángulos equiláteros. Aquí tendríamos un hexaedro, que está formado por 6 cuadrados, 00:01:53
un dodecaedro, formado por 12 pentágonos regulares, y por último el icosaedro, que 00:02:05
está formado por 20 triángulos equiláteros. Estos poliedros regulares son lo que se llaman 00:02:14
sólidos platónicos, y todos ellos pueden ser utilizados como dados en juegos de azar, 00:02:18
porque todas las caras son igualmente probables. Bueno, ¿cómo calcularíamos el área total 00:02:24
de un poliedro. Pues no vamos a tener una fórmula, lo que tienes que hacer es sumar las áreas de todas 00:02:30
las caras, que para eso hemos estudiado antes la geometría plana. Es decir, si te encuentras con un 00:02:36
prisma, por ejemplo como este, un prisma pentagonal regular, ¿qué tienes que hacer? Pues sumar las caras 00:02:43
que lo forman, que si lo abrimos vemos que tenemos dos pentágonos regulares y cinco rectángulos, que 00:02:49
en este caso son todos iguales. Calcula las áreas y las sumas todas. Hablamos ahora sobre los prismas. 00:02:55
Los prismas son cuerpos geométricos que tienen dos bases. Esas bases son polígonos. Esos polígonos 00:03:05
son iguales y a la vez son paralelos. Las caras laterales son paralelogramos y el prisma podría 00:03:12
ser recto u oblicuo. Vamos a verlo con esta construcción. Ahí vemos sobre un plano que 00:03:19
tenemos un polígono bueno pues lo que vamos a hacer es levantar un polígono igual que este 00:03:26
pero paralelo hasta una cierta altura ahí lo tendríamos tendríamos entonces un prisma en 00:03:33
este caso el prisma es recto porque vemos que las caras laterales son rectángulos pero si movemos 00:03:42
a ese punto tendríamos un prisma oblicuo muy parecido al de antes pero ahora las caras laterales 00:03:48
son paralelogramos. Las pirámides son otro cuerpo geométrico que tiene que ver un poco con el 00:03:57
anterior. En este caso sólo tenemos una base que es un polígono y las caras laterales pues van a 00:04:05
confluir todas a un vértice y entonces se nos forman triángulos. Estos triángulos podrían ser 00:04:12
triángulos isósceles y tendríamos una pirámide recta o triángulos que no son isósceles y tendríamos 00:04:19
una pirámide oblicua. Vamos a verlo aquí. Por ahora lo que vemos es un polígono que está en 00:04:25
un plano. Si levantamos ese punto que hace de vértice, pues tendríamos una pirámide, en este 00:04:32
caso recta. Si movemos ese punto, tendríamos una pirámide, pero ahora oblicua. Los cuerpos de 00:04:41
revolución son todos aquellos que se obtienen al girar cualquier cosa alrededor de un eje. Así 00:04:56
obtenemos fácilmente un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera y superficie es un 00:05:03
poco extraña. Luego vamos a ver. Mirad, en esta construcción tenemos un segmento que se apoya en 00:05:09
el eje, un segmento que es paralelo al eje, un segmento que está fuera del eje y por último una 00:05:16
semicircunferencia que se apoya en el eje. Bueno, pues si esto lo hacemos girar obtenemos arriba un 00:05:23
cono. En medio, un cilindro que es de color verde. Debajo tenemos un tronco de cono. Y 00:05:30
finalmente, abajo del todo, tenemos una esfera. Bueno, pues esto lo hemos hecho solo girando 00:05:39
alrededor de un eje. Vamos a ver algo un poco más extraño. Si tenemos una curva delimitada 00:05:44
por esos puntos, vemos que se ve en la vista 3D también se ve esa curva, pero ahora se 00:05:50
ve como en vertical, ¿no? Si la giramos alrededor de ese eje vertical, que sería el eje Z, obtenemos 00:05:58
una superficie bastante extraña, pero que es el resultado exacto de girar esa curva. Si movemos 00:06:04
la curva, la superficie se modifica. Bueno, pues así podríamos hacer alfarería tridimensional e 00:06:12
imaginaos incluso que tenemos una impresora 3D y podemos imprimir estas superficies. Vamos a ver 00:06:20
cómo se relacionan los prismas con los cilindros y las pirámides con los conos. Bueno, pongo 00:06:33
ahí que un prisma y un cilindro son la misma cosa, no son la misma cosa, pero si tomamos 00:06:40
un prisma que tiene muchos lados de base vamos a tener aproximadamente un cilindro. Vamos 00:06:44
a verlo aquí. Tenemos ahora mismo un prisma que es triangular. Si aumentamos el número 00:06:50
de lados de la base obtenemos, veis, una figura que sigue siendo un prisma pero cada vez se 00:06:56
parece más a un cilindro. 00:07:03
Cada cilindro lo que tiene de base es una circunferencia. 00:07:05
Igualmente con la pirámide pasaría lo mismo. 00:07:11
Si tomamos una pirámide con muchos lados de base, vamos a tener aproximadamente un 00:07:13
cono, cada vez más un cono. 00:07:18
¿Veis? 00:07:21
Ahora mismo tendríamos una pirámide triangular con un triángulo equilátero como base. 00:07:21
Si aumentamos el número de lados, seguimos teniendo una pirámide, pero que cada vez, 00:07:25
cada vez se parece más a un cono. 00:07:31
Por eso el volumen de prisma y cilindro y de pirámide y cono se calculan de la misma forma. 00:07:35
Vamos a ver cómo se calcula el volumen de un prisma. 00:07:45
Lo que tenemos que hacer es multiplicar el área de la base por la altura. 00:07:48
Es como si ese área de la base se repitiera tantas veces como nos indica su altura. 00:07:53
En el cilindro haríamos lo mismo, pero la base sería un círculo. 00:07:59
Vemos ahí en la construcción como esa base, si la hacemos subir, subir, subir, vamos llenando el volumen de esa especie de piscina que es un prisma hexagonal 00:08:02
Por lo tanto vemos que el volumen sería el área de la base por la altura 00:08:14
¿Y qué pasa si el prisma o el cilindro no son rectos? 00:08:19
Pues no pasa nada, aplicamos lo que llamamos el principio de Cavalieri 00:08:25
Es decir, que si seccionamos con planos paralelos esos dos cilindros, lo que vamos a obtener es la misma circunferencia. 00:08:29
Esa misma circunferencia es la que se obtiene al intersecar. 00:08:39
El volumen entonces será esa circunferencia por la altura. 00:08:44
Y eso es lo mismo en los dos casos, porque los dos cilindros tienen la misma altura. 00:08:49
¿Cómo calcularíamos ahora el volumen de un cono? 00:08:59
Bueno, lo que tenemos que tener en cuenta es que con tres conos estaríamos llenando un cilindro de la misma altura y con igual base de circunferencia. 00:09:03
Por tanto, el volumen del cono sería la tercera parte del volumen del cilindro. 00:09:12
En pirámides sería igual, pero sería la tercera parte de un prisma que tuviera el mismo polígono base y la misma altura. 00:09:18
Si vemos en esa construcción, tenemos un cilindro y tres conos que tienen la misma base de altura. 00:09:26
Si llenamos el primer cono, pues el cilindro se llena hasta su tercera parte. 00:09:33
Cuando llenamos dos conos, pues se llena hasta sus dos terceras partes. 00:09:45
Y cuando por fin llenamos el tercero, tenemos el cilindro absolutamente completo lleno. 00:09:51
Por lo tanto, es verdad que el volumen que cabe en tres conos sería el volumen que cabe en un cilindro. 00:10:01
Hablamos ahora de la esfera. 00:10:13
La esfera, veis, es esta figura en la que hay puntos que están todos a la misma distancia de un centro. 00:10:15
Para calcular el área simplemente tenemos que multiplicar el radio de la esfera al cuadrado por 4pi. 00:10:22
Y para calcular el volumen, cogemos el radio, lo elevamos al cubo, lo multiplicamos por 4pi y lo dividimos por 3. 00:10:29
¿Qué pasaría si seccionamos la esfera con diferentes planos? 00:10:42
Vamos a verlo aquí. Esto sería lo que llamamos un casquete esférico. 00:10:46
Lo que vamos a hacer es seccionar la esfera por un plano. 00:10:51
Podemos subir o bajar el plano 00:10:55
Pero la figura que tenemos arriba sería un casquete esférico 00:10:58
Y abajo nos queda otra 00:11:02
Si lo abrimos lo vemos un poco más claro, una especie de gorro 00:11:04
Si ahora tenemos dos planos paralelos y nos quedamos con la parte intermedia 00:11:08
Eso se llama zona esférica 00:11:22
Lo sacamos afuera para que se vea un poco más claro 00:11:24
Esa zona azul sería lo que nosotros llamamos una zona esférica 00:11:29
Que es el resultado de seccionar una esfera por dos planos paralelos. 00:11:33
Y la tercera cosa que os enseño es lo que llamamos la cuña esférica. 00:11:43
Que sería una esfera que cortamos con dos planos que confluyen, que son secantes, que confluyen en el centro de la esfera. 00:11:48
Sería algo parecido a un gajo de naranja. 00:11:57
Esa parte roja sería lo que llamamos una cuña esférica. 00:12:00
Como vivimos en un mundo que es tridimensional, hemos elegido para calcular las coordenadas geográficas en nuestro planeta que es una esfera, hemos elegido esta manera. 00:12:04
Vamos a llamar latitud al ángulo que se forma desde el centro al ecuador y puede ser latitud norte y también podría ser latitud sur y vamos a llamar longitud al ángulo desde el punto al meridiano de Greenwich que es el llamado meridiano cero. 00:12:21
Y puede ser longitud este o longitud oeste. 00:12:39
Y en esta construcción vemos cómo van cambiando las coordenadas del punto, coordenadas geográficas que llamamos. 00:12:45
Bueno, pues con esto he terminado de contaros la teoría que quería contaros de este tema. 00:12:55
Las imágenes iniciales las tomé de Pixabay y las construcciones las he realizado todas en GeoGebra. 00:12:59
Espero que os haya gustado y que os pongáis a estudiarlo vosotros. 00:13:06
Subido por:
Alejandro G.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
118
Fecha:
11 de abril de 2020 - 18:18
Visibilidad:
Público
Centro:
CPR INF-PRI-SEC RAFAELA YBARRA
Duración:
13′ 10″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
277.60 MBytes

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