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Conocimientos previos resolución de triángulos 1 Bachillerato - Contenido educativo
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Entidades notables, elementos de un triángulo, Pitágoras, razones trigonométricas y proyección de un segmento de una dirección.
Buenos días. Vamos a empezar con este primer tema de resolución de triángulos y lo primero que vamos a hacer en este tema y en temas posteriores siempre será mostrar una serie de conocimientos previos que son imprescindibles para abordar el tema con garantías.
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En este caso vamos a necesitar saber cuáles son las entidades notables. Las entidades notables a mí me parece un nombre bastante curioso. Estamos hablando básicamente del cuadrado, de una suma, del cuadrado, de una diferencia y la diferencia de cuadrados.
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luego tenemos que saber evidentemente lo que es un triángulo
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tenemos que saber y conocer el término de Pitágoras
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tenemos que conocer cuál es la definición y cuáles son las razones trigonométricas
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y por último tenemos que saber cuál es la proyección de un segmento en una dirección
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este último punto, la proyección de un segmento en una dirección
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es bueno que lo conozcáis porque además lo vais a utilizar en física
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la parte de proyección de un segmento en una dirección
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Bien, pues vamos con las entidades notables. Cuadrado de la suma, cuadrado, b cuadrado más 2ab. ¿Cuál es el cuadrado de la resta? Pues sería a cuadrado más b cuadrado menos 2ab. ¿Y cuál es la suma por diferencia? a más b por a menos b, que es igual a la diferencia de cuadrados.
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Bien, ¿por qué os lo digo en este momento en el que vamos a empezar con geometría?
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Lo primero porque vamos a darle un poco de vueltas a esto geométricamente y lo segundo porque lo vamos a utilizar en más de una demostración geométrica.
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Por tanto, es importante que lo tengáis en cuenta.
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¿Cuáles son los errores más comunes cuando manejamos las entidades notables?
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La primera, decir que a más b al cuadrado es igual a a cuadrado más b cuadrado. No, por favor.
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No, ni se os ocurra.
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Y vamos a verlo.
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Cuadrado.
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Bien.
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Tengo un segmento A.
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Y tengo un segmento B.
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¿Cuál es el segmento A más B?
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Pues el segmento A más B será este de aquí.
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Vamos a ponerle el titulito.
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No, este es A más B al cuadrado, disculpadme.
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Es este.
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Si esto es A más B, esto es A y esto es B.
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Si este es a más b, este es a más b.
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¿Qué es lo que queremos conocer?
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¿a más b al cuadrado?
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Básicamente, ¿qué es lo que queremos conocer?
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Queremos saber cuál es el área de este cuadrado,
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que tiene por lados a más b.
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Si lo ponemos así, y lo ponemos así,
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perdonadme, y así, lo veréis mucho más claro.
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Lo que quiero es hacer un cuadrado
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en el que tenga estos dos lados, a más b y a más b,
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Y lo completo de esta manera. Lo repito, a más b al cuadrado.
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Entonces, ¿cuál es el cuadrado de a? Pues el cuadrado de a es este cuadrado que he dibujado aquí.
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Tened en cuenta que estoy diciendo el cuadrado de a, no a al cuadrado. En el fondo es lo mismo.
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¿Y cuál es el cuadrado de b? Pues es el cuadrado de b, que es este de aquí.
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a cuadrado más b cuadrado son estos dos cuadrados de aquí.
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Y aquí tengo estos rectángulos en blanco. Si os fijáis, a cuadrado más b cuadrado es todo este área. Si yo digo que a más b al cuadrado, que es todo el cuadrado, es este cuadrado más este cuadrado, este área de aquí y este área de aquí, no las estoy contabilizando. Por tanto, estaré cometiendo un error.
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Esta demostración yo no quiero que la sepáis.
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Simplemente es para que sepáis que geométricamente se puede demostrar también y se puede ver de una forma mucho más clara.
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Ya os comenté que a mí lo que me interesa es que cada uno seamos capaces de saber cómo aprendemos mejor.
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Si visualmente o tal vez si es geométricamente.
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Bueno, pues vamos al siguiente caso.
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El siguiente error común, a menos b al cuadrado es a cuadrado menos b al cuadrado.
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No, por favor, vamos a demostrarlo.
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Vamos a mostrarlo.
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Bien, si este es A y este es B menos A, entonces este segmento que tengo aquí va a ser B.
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Este es B, este es A y este segmento de aquí es B menos A.
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Bueno, ¿qué es lo que quiero hacer? ¿B menos A al cuadrado?
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Pues voy a poner el lado b menos a en el otro lado. A ver si lo tengo. Tengo el lado a, tengo el lado b en el otro lado y lo que tengo que calcular, lo que quiero calcular es el lado b menos a, que es este cuadrado de aquí.
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Sin embargo, si os fijáis, este es el cuadrado B, este es el cuadrado de B, este es B cuadrado, este es el cuadrado A.
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Entonces, ¿cuál sería B cuadrado menos A cuadrado?
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Sería todo este área de aquí.
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Perdón, sería todo este área de aquí.
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Esto sería B cuadrado menos A cuadrado.
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Y sin embargo, nosotros lo que queremos es contabilizar solamente este área de aquí.
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Por tanto, si decimos que a menos b al cuadrado es a al cuadrado menos b al cuadrado, lo que estaríamos es contabilizando todo este área de aquí, cuando en realidad lo que tenemos que contabilizar es este valor de aquí.
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Tened en cuenta una cosa con respecto a las demostraciones geométricas. Solamente valen para números positivos.
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Y estas propiedades, que son algebraicas, se pueden decir para cualquier número, tanto si es positivo como si es negativo.
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De cualquier manera, la demostración lo que tiene que hacer es mostraros que esto es así y que es cierto.
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Pues vamos al siguiente punto, que es lo que es un triángulo.
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Un triángulo es el polígono más sencillo y es el área delimitada por tres rectas.
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Fijaos, si yo tuviera solamente esta recta y esta recta, ¿qué es lo que tendría?
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Pues tendría un ángulo. Una vez que cierro por aquí ya tengo un área delimitada por tres rectas y ya tengo un triángulo.
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Tres ángulos, tres vértices y tres lados. Importantísimo, por favor.
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Los vértices los nombramos con letras mayúsculas. A, B y C.
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Los lados, con letras minúsculas, pero siguiendo un cierto orden.
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¿cuál es el lado opuesto al vértice A? El lado A minúscula. ¿Cuál es el lado opuesto al vértice B?
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El lado B minúscula. ¿Y cuál es el ángulo opuesto al, perdón, el lado opuesto al vértice C? El lado C
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minúscula. Análogamente los ángulos tienen también letras, letras griegas en nuestro caso. Alfa es el
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ángulo que está en el vértice A y es el opuesto al lado A, beta es el opuesto al lado B y está en
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el vértice B y así lo mismo con el gamma. Esto parece una Y, pero en fin, es una gamma. Y a veces
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a estos ángulos los denominaremos A, B y C, pero no será nuestro caso. Nosotros preferimos utilizar
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las letras grías. Un consejo que os doy. Cuando escribáis alfa, beta y gamma, mucho cuidado con
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la gama y ponerla siempre en vertical, porque a veces os podéis confundir entre alfas y
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gamas, porque si os fijáis es la misma letra que hace aquí un huequito por la parte de
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abajo y si la giras 90 grados se puede convertir en un alfa. ¿Cuál es la propiedad fundamental
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que tenemos dentro de los triángulos? Pues que la suma de sus tres ángulos vale 180
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grados. Esto ahora lo demostraremos en un ratillo por medio de papiroflexia. Teorema
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de Pitágoras. Ya sé que estoy yendo a lo mejor a cosas excesivamente sencillas, pero
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hay gente a la que seguramente se le ha olvidado. Esto solo ocurre en ángulos rectángulos.
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Un triángulo rectángulo, perdón. ¿Y qué es un triángulo rectángulo? Aquel cuyos
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ángulos, uno de cuyos ángulos vale 90 grados. Uno de ellos, si el otro valiera 90 grados,
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no tendría triángulo, porque serían dos lados paralelos. Pero en fin, sigamos. El
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lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Esta es la hipotenusa. Bien. Los otros dos lados
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se llaman catetos. El cateto A y el cateto C. Y se cumple que la hipotenusa al cuadrado es la suma
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de los cuadrados de los catetos. La suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la
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hipotenusa. Fijad que he vuelto a escribir cuadrado de los catetos, cuadrado de la hipotenusa. Esto es
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un pequeño homenaje a los griegos que fueron los que descubrieron el tema de pitágoras pitágoras
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pitágoras era un personaje griego ahora mismo no sé deciros de qué siglo es ellos hablaban
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siempre de el cuadrado de porque lo que hacían era dibujar un cuadrado por encima de este lado
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o un cuadrado por encima de este lado demostración del tema de pitágoras pues hay muchas hay hasta
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noventa y tantas. A mí la que más me gusta
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es esta.
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Por una razón. El nombre Garfield a mí me
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resulta curioso, porque es un personaje
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también de un gato. Y luego resulta
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curioso que el presidente de los Estados Unidos, James
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Abraham Garfield, el vigésimo
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presidente de los Estados Unidos, fuera
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capaz de parir
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una demostración
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tan bonita como esta. Os la
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dejaré colgada también en el
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Moodle, en el aula virtual, para que
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lo veáis.
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Las razones trigonométricas. Pues usaremos para
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definirlas el triángulo rectángulo.
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Es una de las muchas maneras de definirlas,
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que quede claro. Cateto opuesto partido
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hipotenusa. Ángulo alfa,
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cateto opuesto, A,
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partido por B.
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Este es el seno.
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El coseno, el cateto contiguo,
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al ángulo alfa.
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Partido por hipotenusa.
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Y la tangente
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es el cateto opuesto partido por el cateto contiguo.
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Las razones trigonométricas dependen del triángulo
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escogido. Chicos, si
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un triángulo
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tiene los mismos ángulos que otros
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sus lados son proporcionales
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y como son proporcionales, estos cocientes serían los mismos
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identidad fundamental de la trigonometría
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seno cuadrado más coseno cuadrado es igual a 1
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lo veremos un poquito más tarde
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intenta demostrarlo a partir de las definiciones
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es muy sencillo, seno cuadrado más coseno cuadrado
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utilizando estas letras y el teorema de Pitágoras
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seguro que conseguís demostrarlo
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Y, por último, vamos a hablar de proyecciones de un segmento. Esto a lo mejor no es algo a lo que se le haya hecho mucho hincapié, pero esto es algo que vais a utilizar mucho especialmente en física. Por tanto, quiero que empecemos a manejarlo.
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Decimos que C es la proyección perpendicular del segmento B en la recta R.
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Vamos a repetirlo. C, que es este de aquí, es la proyección perpendicular del segmento B en la recta R.
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La recta R, el segmento B, tira una perpendicular y este segmento es su proyección.
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Y vamos a ver cómo lo calculo. ¿Cuál es ese valor? ¿Cuánto mide?
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Pues dado que coseno de alfa es C entre B y lo que quiero es calcular C, pues C es igual a B por el coseno de alfa.
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Análogamente, el seno de gamma es su cateto opuesto que es C entre B, con lo cual también puedo calcularlo a partir de este ángulo, no solamente de este ángulo.
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Y decimos que A es la proyección perpendicular del segmento B en la dirección de la recta S. A, que es este segmento de aquí, es la proyección de este lado en esta recta. Es la proyección perpendicular o ortogonal, diríamos también.
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Y entonces sería B por el coseno de gamma, B por el coseno de gamma o B por el seno de alfa, B por el seno de alfa. Esto lo vais a tener que manejar con relativa frecuencia y os recomiendo que os vayáis acostumbrando a ello.
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y poco más, ya estamos listos
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para las demostraciones de los teoremas del seno
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y del coseno
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que serán nuestro punto de partida
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para la resolución de triángulos
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y ahora tengo que acabar el vídeo
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aquí
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hasta luego
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- Idioma/s:
- Materias:
- Matemáticas
- Niveles educativos:
- ▼ Mostrar / ocultar niveles
- Bachillerato
- Primer Curso
- Segundo Curso
- Autor/es:
- Pablo de Agapito Vicente
- Subido por:
- Pablo De A.
- Licencia:
- Dominio público
- Visualizaciones:
- 85
- Fecha:
- 21 de octubre de 2018 - 18:46
- Visibilidad:
- Público
- Centro:
- IES RAMON Y CAJAL
- Descripción ampliada:
- Conocimientos previos necesarios para iniciar la unidad didáctica de resolución de triángulos de Matemáticas I en primero de bachillerato
- Duración:
- 13′ 11″
- Relación de aspecto:
- 1.78:1
- Resolución:
- 1920x1080 píxeles
- Tamaño:
- 65.67 MBytes
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