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Cálculo determinantes de orden 2 y 3 - Contenido educativo

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Subido el 4 de octubre de 2020 por Ana Maria R.

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Hola, en este vídeo vamos a explicar cómo se calculan determinantes de orden 2 y de orden 3. 00:00:02
Lo primero de todo definiremos lo que es un determinante. 00:00:10
Un determinante es un número que se le asocia a una matriz cuadrada. 00:00:13
Esto es importante que os quedéis con ello. 00:00:17
Solo podemos calcular determinantes de matrices cuadradas. 00:00:20
El determinante de una matriz A se denota por el nombre de la matriz A metido entre barras verticales. 00:00:24
Cuando escribimos, por ejemplo, los elementos de la matriz, el determinante se representa cambiando los paréntesis de la matriz por las barras verticales. 00:00:30
Por ejemplo, tengo esta matriz 2x2 cuyas filas tienen como elementos el 2-5 y la segunda fila 7-9. 00:00:38
Si quiero identificar la matriz, identifico los elementos entre paréntesis. 00:00:46
Sin embargo, cuando yo quiero identificar el determinante, identifico los elementos entre barras verticales. 00:00:51
¿Veis la diferencia? 00:00:56
Vamos a ver cómo se calcula el determinante de orden 2 00:00:58
Entonces, tenemos una matriz cuadrada de orden 2 con elementos A11, A12, segunda columna fila, A21, A22 00:01:04
Su determinante, el que identificaremos entre barras verticales, es el resultado de realizar las siguientes operaciones con sus elementos 00:01:12
Multiplicaremos por un lado los elementos que están en la diagonal principal A1,1 por A2,2 00:01:20
y por otro lado los elementos que están en la diagonal secundaria A2,1 por A1,2 00:01:27
y restaremos esos productos 00:01:33
Ejemplo, calcula el determinante de la matriz de orden 2A de elementos 00:01:35
Primera fila 4,1, segunda fila menos 5,3 00:01:41
Vale, recordamos, para identificar o denotar la matriz 00:01:45
escribimos el nombre de la matriz entre barras verticales 00:01:48
igual y lo mismo cuando coloquemos los elementos 00:01:51
sustituimos los paréntesis por una barra vertical 00:01:54
el elemento de primera fila 4, 1 00:01:57
segunda fila menos 5, 3 00:02:00
y barra vertical 00:02:02
vale, acabamos de ver que la definición 00:02:03
de determinante de una matriz 2x2 00:02:05
es el producto de los elementos que están en la diagonal principal 00:02:08
4x3 00:02:11
menos el producto de los elementos que están en la diagonal secundaria 00:02:13
menos 5 por 1. Hacemos las operaciones, 4 por 3, 12, menos y menos 5 por 1 es menos 5, cuidado, 00:02:18
necesitamos paréntesis obligatorio, quitamos paréntesis, 12 más 5, 17 y este será el valor 00:02:27
del determinante de la matriz. Pasemos a calcular el determinante de una matriz de orden 3, una 00:02:34
matriz 3 por 3. Bueno, lo primero volvemos a recordar que para identificar el determinante 00:02:40
una matriz, lo representamos con el nombre de la matriz entre barras verticales o bien 00:02:45
los elementos de la matriz entre barras verticales. Entonces, se define el determinante como la 00:02:50
suma alternada de los términos que se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de 00:02:57
la primera fila por el determinante de segundo orden que resulta de suprimir su primera fila 00:03:05
y su columna. Veamos esto de una manera un poquito más despacio. A ver, nos dice, es la suma alternada, 00:03:12
como veis, es la suma alternada, la suma con signos alternos, positivo, negativo, positivo, de los términos 00:03:21
que se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de la primera fila, el primer elemento 00:03:34
de la primera fila por el determinante de segundo orden que resulta de suprimir los 00:03:42
elementos de la primera fila y la primera columna. Hemos suprimido los elementos primera 00:03:48
fila y primera columna y con estos formo un determinante de orden 2. Hemos dicho cada 00:03:55
uno de los elementos de la primera fila, pues ahora iríamos al segundo elemento de la primera 00:04:02
fila y multiplicaríamos este segundo elemento con el determinante de orden 2 que se obtiene 00:04:10
al suprimir la primera fila, segunda columna, primera fila, segunda columna. 00:04:18
¿Veis? Y así obtenemos este determinante de orden 2. 00:04:26
Y por último nos quedaría el último elemento de la primera fila con el que multiplicaríamos 00:04:30
por el determinante de orden 2 que hemos obtenido al suprimir los elementos de la primera fila, tercera columna. 00:04:37
¿Vale? Suma alternada de los productos que se obtienen al multiplicar cada uno de los elementos de la primera fila 00:04:45
con los determinantes de orden 2 que se obtienen al suprimir los elementos de la fila y columna del lugar que ocupa. 00:04:57
Ahora ya desarrollamos y desarrollando cada uno de los determinantes de orden 2 y multiplicándolo por cada uno de los elementos de la primera fila, obtendríamos... 00:05:11
Recordad que para calcular este determinante de orden 2 multiplicamos los elementos de la diagonal principal y lo restamos al producto de los elementos de la diagonal secundaria. 00:05:24
Luego a1,1 multiplicado por este producto menos a1,1 por este otro producto. 00:05:36
Ahora cuidado con este menos, sería menos a1,2 por este producto, menos menos a1,2 por este producto, luego menos por menos más, a continuación más a1,3 por este producto, más a1,3 por menos a3,1,a2,2, este producto de elementos de la diagonal secundaria. 00:05:43
Ejemplo 2. Calcula el determinante de la matriz A desarrollándolo por la primera fila. 00:06:15
La matriz A, una matriz de orden 3, una matriz 3x3. 00:06:20
Determinante, recordamos que lo denotamos escribiendo el nombre de la matriz entre barras verticales. 00:06:24
Y lo mismo cuando ponemos los elementos, barras verticales, suprimimos los paréntesis por barras verticales. 00:06:29
Pues 3, menos 2, 5, 4, 1, 6, menos 9, 7, 8, el determinante. 00:06:35
Recordamos la definición, es la suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de la primera fila, 00:06:42
el 3, el menos 2, 5, por determinantes de orden 2 que resulten de suprimir los elementos de la fila y columna correspondiente 00:06:50
dependiendo del lugar que ocupan. 00:06:59
En este caso, primer elemento de la primera fila, 3, por el determinante de orden 2 que resulta de suprimir primera fila, 00:07:01
primera columna, luego el determinante 1, 6, 7, 8. Menos, alternada, más, menos. Segundo elemento de la 00:07:09
primera fila, menos 2. ¿Veis? Este menos y este menos no tienen nada que ver. Por el determinante 00:07:20
que resulta de suprimir los elementos de la primera fila, segunda columna, luego 4, 6, menos 9, 8. 00:07:25
Alternado más menos, ahora nos toca un más 00:07:33
Tercer elemento de la primera fila, el 5 00:07:37
Por el determinante de orden 2 que resulta de suprimir los elementos de la primera fila 00:07:41
Tercera columna, pues 4, 1, menos 9, 7 00:07:48
¿Vale? Ahora simplemente calculamos los determinantes de orden 2 00:07:52
Que recordamos producto de los elementos de la diagonal principal 00:07:56
menos producto de los elementos de la diagonal secundaria 00:08:00
luego 3 por, abrimos un paréntesis 00:08:03
8 por 1, 8 00:08:06
menos 7 por 6, 42 00:08:07
ahora si queréis pues quitamos este paréntesis 00:08:10
menos por menos más 00:08:13
2 por 4 por 8, 32 00:08:15
y ahora sería menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria 00:08:18
menos 9 por 6, menos 54 00:08:23
cierro paréntesis también 00:08:26
Más 5 por, abro paréntesis, producto de la diagonal principal, 4 por 7, 28 00:08:29
Menos producto de los elementos de la diagonal secundaria, pues menos 9 por 1, menos 9 00:08:35
Igual, hacemos las operaciones dentro del paréntesis 00:08:40
3 por menos 34 00:08:43
Más 2 por 32 menos menos 54 es 86 00:08:47
Pues más 86 00:08:53
Y más 5 por, y 28 menos menos 9 sería más 37. 00:08:55
Hacemos los productos, menos 102, más 172, más 185. 00:09:02
Y ya realizamos las sumas y restas, y nos quedaría 70 más 185, es decir, 255. 00:09:14
Luego el determinante de esta matriz A es 255. 00:09:25
Bien, continuamos. 00:09:30
Si observamos la definición de determinante que acabamos de ver, 00:09:36
determinante de una matriz de orden 3, 00:09:40
la hemos definido como la suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de la primera fila 00:09:43
por determinantes de orden 2. 00:09:52
¿Vale? Entonces, cada uno de esos determinantes de orden 2 obtenidos se denomina menor complementario y se designan con la letra griega alfa, a la cual añadimos dos subíndices, que son los mismos subíndices que el elemento a partir del cual se ha formado. 00:09:54
Por ejemplo, el primer determinante de orden 2 lo obteníamos al suprimir los elementos de la primera fila, primera columna, y estaban relacionados o estaban multiplicados por el elemento de la matriz A sub 1 1. 00:10:12
Con lo cual, utilizando esta notación podemos definir o podemos expresar la definición de determinante de una matriz de orden 3 como el producto de la suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de la primera fila por su menor complementario. 00:10:27
a su 1,1 por alfa 1,1, a su 1,2 por alfa 1,2, a su 1,3 por alfa 1,3. 00:10:47
Alfa 1,1 es el menor complementario del elemento 1,1, el que se ha obtenido suprimiendo los elementos de la primera fila, primera columna. 00:10:56
Alfa 1,2 es el menor complementario del elemento a 1,2, el que se ha obtenido suprimiendo los elementos de la primera fila, segunda columna. 00:11:07
Alfa 1, 3 es el menor complementario del elemento A1, 3 00:11:16
El que se obtiene suprimiendo los elementos de la primera fila, tercera columna 00:11:22
Ejemplo 3 00:11:27
Dada la matriz A de orden 3, identifica los menores complementarios 00:11:30
Alfa 2, 3, alfa 3, 2, alfa 3, 3 00:11:34
Alfa 2, 3 es el determinante de orden 2 00:11:37
Que se forma suprimiendo los elementos de la fila 2, columna 3 00:11:42
Luego me quedaría el determinante menos 1, 0, 4, menos 5. 00:11:49
Lo podemos calcular o lo dejamos indicado. 00:11:59
Alfa, 3, 2. 00:12:02
El menor complementario es el determinante de orden 2, 00:12:03
que resulta de suprimir los elementos de la fila 3, columna 2. 00:12:07
Luego es el determinante menos 1, 2, 0, 2. 00:12:15
Y el menor complementario alfa 3, 3 es el determinante de orden 2 que resulta de suprimir los elementos de la fila 3, columna 3. 00:12:19
Luego es el determinante menos 1, 0, 0, 1. 00:12:31
Y ya estaría. 00:12:38
Bien, vale, vamos a observar que en la definición que hemos dado para el cálculo del determinante de una matriz de orden 3 00:12:42
hemos desarrollado por los elementos de la primera fila. 00:12:51
Pues bien, en general, el cálculo del determinante se puede hacer desarrollando por los elementos de cualquiera de sus filas o de cualquiera de sus columnas. 00:12:55
Por lo tanto, yo puedo definir en general el determinante de una matriz de orden 3 como la suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de una fila o de una columna cualquiera por sus correspondientes menores complementarios. 00:13:06
Como estamos diciendo una suma alternada, tenemos que ver, si no desarrollo por la primera fila, cuál es el signo que va a corresponder en cada uno de esos sumandos. 00:13:26
Entonces va a ser muy fácil identificarlo por este pequeñito esquema que hemos puesto aquí porque el signo que le voy a asignar a cada producto dependerá de la ubicación del elemento por el que estoy desarrollando dentro de esa matriz. 00:13:36
Por ejemplo, si yo desarrollaba por la primera fila, yo estoy empezando a utilizar el primer elemento de la primera fila, el elemento a sub 1, 1, pues este empezaba en positivo. 00:13:54
Pues a partir de ahí, alternando signos. Primera fila, positivo, negativo, positivo. Segunda fila, si este era positivo, esto tiene que ser negativo. 00:14:04
Pues si desarrollo por la segunda fila, empiezo en negativo, positivo, negativo. Si desarrollo por la segunda columna, empezaría en negativo, positivo, negativo. 00:14:14
negativo, porque si aquí había empezado por el primero, por positivo, aquí tenía 00:14:23
que empezar por el negativo, ¿vale? Bueno, esto es muy fácil de recordar 00:14:28
porque fijaos, este elemento es el a11, si sumo los subíndices 00:14:32
1 más 1, 2, número par, positivo, este elemento 00:14:36
de aquí en la matriz sería el que ocupa el lugar a12 00:14:40
si sumo los subíndices, 1 más 2, 3, impar, le asocio 00:14:43
signo negativo, si me fijo en este de aquí 00:14:48
Este era el elemento A13, 1 más 3, 4, par positivo. O sea, lo podemos recordar o bien con este esquemita de signos alternos o bien sumando los subíndices de la posición que ocupa de su ubicación en la fila o en la columna. 00:14:52
Si esa suma de subíndices es un número par, el signo que le corresponde, positivo. 00:15:13
Si esa suma de subíndices es un número impar, signo que le corresponde, negativo. 00:15:20
Vamos a recordar o hacer un truco, que es lo que se denomina regla de Sarrus, para recordar ese cálculo indeterminante de orden 3. 00:15:29
Vamos a fijarnos para ello en la última expresión que habíamos desarrollado en la definición inicial de determinante de orden 3. 00:15:37
Cuando ya habíamos desarrollado estos menores o esos determinantes de orden 2 y los habíamos multiplicado por el elemento que llevábamos por delante, esta expresión de aquí. 00:15:47
Fijaos, esto recordamos con estos dos primeros submandos, este era el A11 por el determinante que estaba formado al suprimir los elementos primera fila y primera columna por este determinante de aquí. 00:15:59
Y ese determinante se calculaba multiplicando los elementos de la diagonal principal y restando el producto de los elementos de la diagonal secundaria. 00:16:12
Luego, a11 por a22 por a33 menos a11 por a23 por a32. Y lo mismo con los otros. 00:16:20
Bueno, pues yo si me fijo en esta expresión, es una expresión que tiene seis sumandos que los puedo reordenar. ¿Cómo los puedo reordenar? 00:16:32
Por ejemplo, poniéndolos de manera que los sumandos que tienen signo positivo vayan por delante y luego los que tienen signo negativo. 00:16:39
Si ahora observamos un poquito quiénes son esos sumandos, por qué elementos están formados esos sumandos, observamos que, por ejemplo, este sumando el A1, A1, A2, A2, A3, A3 es el producto de los elementos de la diagonal principal. 00:16:47
Este sumando el A12, A23, A31 es el producto de los elementos que están en paralelo a la diagonal principal y su vértice opuesto 00:17:02
Ha formado este triángulo paralelo a la diagonal principal, pues en paralelo y su vértice opuesto 00:17:12
Y este sumando de aquí es el que está formado por el producto de los elementos que están en paralelo a la otra línea, o sea, que están en la línea paralela a la diagonal principal y su vértice opuesto 00:17:17
Los que tienen signo menos por delante, los sumandos que tienen signo menos, 00:17:30
bueno, pues te vamos a tener como referencia la diagonal secundaria. 00:17:35
Este primer sumando de aquí es el producto de los tres elementos que forman la diagonal secundaria, 00:17:38
a1, 3, a2, 2, a3, 1. 00:17:43
Este sumando de aquí es el producto de los elementos que están en una línea paralela a la diagonal secundaria 00:17:46
y su vértice opuesto. 00:17:52
Y este de aquí es el que está, los elementos que están formados en la otra línea paralela a la diagonal secundaria 00:17:53
y su elemento opuesto. Por ejemplo, vemos lo sencillo que sería, utilizando la regla 00:18:00
de Sarrus, calcular esta matriz, o sea, el determinante de esta matriz A. Según la regla 00:18:06
de Sarrus sería el producto de los elementos de la diagonal principal 3 por menos 3 y por 00:18:14
4 más el producto de los elementos que están en su línea paralela 1 por 2 y su vértice 00:18:19
opuesto 1 más los elementos de la otra línea paralela de la diagonal principal 4 por 4 y su 00:18:27
vértice opuesto 0 menos los elementos del producto de los elementos de la diagonal secundaria 1 por 00:18:34
menos 3 y por 0 menos el producto de los elementos que están en una línea paralela diagonal secundaria 00:18:41
y su vértice opuesto 4 por 2 y por 3 y menos los elementos que están en la otra línea paralela 00:18:47
en la diagonal secundaria y su vértice opuesto, 4 por 1 y por 4. Haciendo estas operaciones, 3 por menos 3 y por 4, menos 36, 1 por 2 y por 1, 2, 4 por 4 y por 0, 0. 00:18:53
Menos 0 por menos 3 y por 1, 0, menos 2 por 4 y por 3, menos 24 y menos 4 por 1 y por 4, menos 16. En total, menos 74. 00:19:06
Otro truco para recordar, también asociado con la regla de Sarrus 00:19:17
Otra manera de ver la regla de Sarrus 00:19:23
Para recordar este cálculo del determinante de orden 3 de forma sencillita 00:19:25
Bueno, pues tengo calculado este determinante de aquí, de la matriz A 00:19:31
Lo que hago es, por debajo, repito las dos primeras filas de la matriz A 00:19:35
¿Veis? La primera fila A11, A12, A13 y la segunda fila A21, A22, A23. 00:19:41
Y entonces lo que voy a hacer, los sumandos se van a formar con los productos que están en la diagonal principal de la matriz A 00:19:48
y las diagonales paralelas que se me han formado por debajo, A11, A22, A33, A21 por A32 por A13, A31 por A12 por A23 00:19:57
y restamos el producto de los elementos que están en la diagonal secundaria de la matriz A 00:20:10
y los elementos de las diagonales que se han formado en paralelo por debajo de la diagonal secundaria. 00:20:15
Pues menos A31, A22, A13, menos A11, A32, A23, menos A21, A12, A33. 00:20:21
Si queremos calcular por este método el mismo determinante que acabamos de hacer, 00:20:32
colocaríamos debajo de la matriz A, colocaríamos las dos primeras filas 3, 1, 0, 4, menos 3, 2 00:20:37
identificamos la diagonal principal de A y entonces multiplicamos 3 por menos 3 y por 4 00:20:45
y sumamos los productos de las otras dos diagonales en paralelo a la diagonal principal 00:20:51
pues sumaríamos el producto 4 por 4 y por 0 y el producto 1 por 1 y por 2 00:20:57
A continuación vendrían los términos negativos, el primero de ellos el producto de los elementos de la diagonal secundaria de la matriz A 00:21:03
Luego el producto de 1 por menos 3 y por 0 00:21:11
Menos también, como término negativo, estaría el producto de los elementos de las dos diagonales que han quedado en paralelo a la diagonal secundaria 00:21:14
Pues menos 3 por 4 y por 2, menos 4 por 1 y por 4 00:21:23
En definitiva, el mismo resultado 00:21:27
Ejemplo 4. 00:21:32
Haya el valor del determinante de la matriz A desarrollándolo por la segunda columna. 00:21:34
La matriz A, esta matriz de orden 3, es la matriz 3x3. 00:21:38
Bueno, escribimos determinante de A, identificándolo entre barras verticales, 00:21:42
ponemos los elementos entre barras verticales, 1, 4, menos 1, 2, menos 5, 1, menos 1, menos 2, 3. 00:21:46
Vale, ahora dice que lo desarrollamos por la segunda columna. 00:21:56
Luego lo que voy a hacer es una suma alternada de los productos de cada uno de los elementos de la segunda columna por sus menores complementarios. 00:21:59
Vale, sería, fijaos, tenemos que asignar a cada menor complementario un signo. 00:22:11
Y hemos dicho alternados. 00:22:15
Si recordamos el esquema que teníamos de signos, empezamos más, menos, más, menos, más, menos, más, menos, más. 00:22:17
luego este elemento de aquí, el primer elemento de la segunda columna 00:22:25
que es por los que yo voy a desarrollar 00:22:30
tiene su menor complementario, va a estar asociado con el signo menos 00:22:31
o su sumando va a estar asociado con el signo menos 00:22:35
luego menos, primer elemento de la segunda columna 00:22:38
4 por el menor complementario 00:22:41
el que resulta de suprimir la primera fila, segunda columna 00:22:44
Ese es el elemento A12. Luego me queda el determinante 2, 1, menos 1, 3. 00:22:54
Por signos alternos ahora me queda más el segundo elemento de la segunda columna, menos 5, ponemos un paréntesis, 00:23:01
por el determinante que resulta de suprimir segunda fila, segunda columna, luego 1, menos 1, menos 1, 3. 00:23:09
Y signos alternos, nos tocaba ahora el menos, el último elemento de la segunda columna, menos 2, por el determinante que resulta de suprimir la tercera fila, segunda columna. 00:23:18
Luego sería 1, menos 1, 2, 1. 00:23:30
Y ahora ya simplemente desarrollando o calculando los determinantes de orden 2, menos 4 por 2 por 3, 6, menos 1 por 1, menos 1. 00:23:37
Vamos a quitar este paréntesis, más por menos, menos 5, por 1 por 3, 3, menos, menos 1 por menos 1, pues 1 00:23:47
Quitamos este paréntesis también, menos por menos más, 2 por paréntesis, 1 por 1, 1, menos 2 por menos 1, menos 2 00:23:57
Y calculamos las operaciones dentro del paréntesis 00:24:07
menos 4 por 6, menos menos 1, pues 7, menos 5 por 3 menos 1, 2, más 2 por 1, menos menos 2, pues 3. 00:24:10
Haciendo los productos, menos 4 por 7, menos 28, menos 5 por 2, menos 10, más 2 por 3, más 6. 00:24:23
Es decir, menos 38 más 6, es decir, menos 32. 00:24:31
luego el determinante desarrollándolo por la segunda columna nos da menos 32 00:24:36
que sería el mismo valor que obtuviéramos si hubiéramos desarrollado por la primera fila 00:24:41
que es como hemos definido inicialmente el determinante de una matriz 00:24:47
Autor/es:
ANA MARIA RUBIO VILLANUA
Subido por:
Ana Maria R.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
118
Fecha:
4 de octubre de 2020 - 20:47
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES VILLABLANCA
Duración:
25′ 50″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
1.17

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