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Función Valor Absoluto II - Contenido educativo

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Subido el 23 de febrero de 2021 por Patricia De La M.

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Función Valor Absoluto de un polinomio de 2º grado

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Hola chicos, estamos ahora aquí viendo las funciones tipo valor absoluto y estamos ya para resolver ahora otro tipo de ejercicios un poquito más difíciles que el vídeo anterior. 00:00:01
En este ejercicio nos dice que expresemos la función y igual al valor absoluto de x cuadrado menos 4 como una función a trozos sin el signo de valor absoluto y después la dibujemos. 00:00:13
Recordad que el valor absoluto lo que hace es 00:00:23
diferente acción según lo que tiene en su interior. Es decir, si en el interior hay un menos, 00:00:25
un valor negativo, 00:00:32
pues el valor absoluto cambia de signo. Mientras que si dentro lo que tenemos es un valor positivo, 00:00:34
pues entonces el valor absoluto lo deja tal cual, ¿verdad? Entonces lo que tenemos que ver es cuando el interior del valor absoluto 00:00:39
es positivo 00:00:47
y cuando es negativo, ¿verdad? Porque según 00:00:49
Cuando sea una cosa u otra, pues podremos expresar la función con lo que hace el valor absoluto por separado. 00:00:53
Bien, pues entonces se trata de resolver la inequación x cuadrado menos 4 mayor que 0 o la inequación menor que 0. 00:01:01
Realmente lo que queremos es estudiar su signo, el signo de esa parábola, de ese polinomio de grado 2. 00:01:11
Bueno, pues para ver qué signo tiene y en qué zonas, tenemos que ver dónde cambia de signo, como siempre. 00:01:20
¿Y dónde va a cambiar de signo? Pues cambia de signo en el cero, porque es una función continua. 00:01:25
Y cuando pase por cero, ¿verdad? El valor del x cuadrado menos cuatro, cuando pase por cero, cambiará de positivo a negativo o de negativo a positivo. 00:01:30
Entonces hay que resolver esta ecuación incompleta de segundo grado, que es de las de despejar el x cuadrado. 00:01:39
y por tanto muy sencillita, nos sale más menos la raíz cuadrada de 4 que es 2, más menos 2. 00:01:45
Por tanto acordaros que las inequaciones de este estilo lo que hacíamos era poner los puntos de cambio de signo 00:01:53
que son justo los ceros, el menos 2 y el 2 y ver qué signos tenía la función, bueno el x cuadrado menos 4 00:02:01
en esas tres zonas que nos han quedado, ¿verdad? De menos infinito hasta menos 2, desde menos 2 hasta 2 y desde 2 hasta infinito. 00:02:08
Para ello simplemente tendríamos que coger valores que estuvieran en su interior y sustituirlos en el x cuadrado menos 4, ¿verdad? 00:02:17
El signo de esto es lo que queremos estudiar 00:02:27
Entonces, un valor que está dentro de este intervalo 00:02:31
Del x del menos infinito al menos 2 sería, por ejemplo, el menos 3 00:02:36
Muy sencillito, ¿verdad? 00:02:40
Y menos 3 al cuadrado con paréntesis 00:02:41
Ya sabéis, cuando sustituimos valores negativos 00:02:43
Tenemos que sustituir siempre con paréntesis para que no comentamos un error, ¿verdad? 00:02:46
Y entonces aquí tenemos 9 menos 4 que sale 5 00:02:50
Es decir, que sale positivo 00:02:54
Aquí tenemos positivo. Por tanto, en esta zona el x cuadrado menos 4 va a salir positivo. 00:02:56
Vamos a coger un valor de aquí. Un valor de esta zona del menos 2 al 2 sería el 0 como el más sencillo. 00:03:05
Así que de nuevo sustituimos en el x cuadrado menos 4 el 0 y saldría un menos 4 que es negativo. 00:03:12
así que aquí arriba en esta zona 00:03:20
pues ponemos que el x cuadrado menos 4 es negativo 00:03:23
y luego otro valor que esté dentro de este intervalo 00:03:26
desde 2 hasta infinito 00:03:31
pues podemos coger el 3 00:03:32
que si os fijáis 00:03:33
pues va a valer lo mismo que el del menos 3 00:03:35
porque como está elevado al cuadrado a la x 00:03:38
pues 3 al cuadrado o menos 3 al cuadrado 00:03:42
daría lo mismo 00:03:45
9 menos 4, 5 otra vez 00:03:46
es decir positivo 00:03:48
por tanto, aquí vuelve a ser positivo 00:03:50
bueno, podemos recordar que es una parábola que mira para arriba 00:03:55
que tiene las ramas hacia arriba 00:03:58
y que desde menos 2 hasta 2 baja hacia abajo 00:04:00
vale, pues estas ya son nuestras zonas para poner nuestra función 00:04:04
nuestra función la vamos a poner como i igual 00:04:10
ponemos la llave 00:04:13
Vamos a empezar por la zona en la que es positiva la parábola, que es en menos infinito hasta menos 2. 00:04:19
¿Qué va a hacer? Pues el valor absoluto lo que va a hacer es dejarlo como está, porque es el valor absoluto de algo positivo, con lo cual el valor absoluto no hace nada. 00:04:29
Va a dejar mi función exactamente igual con el mismo valor que tenga, x cuadrado menos 4 y se acabó. 00:04:36
Tenemos que decir dónde es esto. Si la x está en la zona desde menos infinito hasta menos 2, que son x menores que menos 2. 00:04:44
x menores que menos 2. ¿Veis? Esa cuadraría ahí. 00:04:56
Y ahora, la siguiente zona, la siguiente zona es negativa, ¿verdad? Aquí, desde el 2 hasta el menos 2, bueno, desde el menos 2 hasta el 2, mejor dicho, la función, la parábola, toma valores negativos, por tanto, el valor absoluto, ¿qué va a hacer? Cambiar de signo, así que ponemos menos la parábola, el polinomio, ¿verdad? 00:05:00
menos x cuadrado menos 4 que luego va a ser menos x cuadrado más 4 00:05:24
luego lo cambiaremos 00:05:28
si la x está donde? 00:05:29
bueno pues la x va a estar entre menos 2 y 2 00:05:33
así que ya sabéis que lo ponemos así 00:05:38
entre menos 2 sería un intervalo que lo ponemos de esta forma tan sencilla 00:05:39
que la x sea a la vez mayor que menos 2 y menor que menos que 2 00:05:46
y ya por último nos queda la zona donde vuelve a ser positivo 00:05:51
el x cuadrado menos 4 00:05:57
y por tanto el valor absoluto lo que va a hacer es dejarlo otra vez igual 00:06:03
x cuadrado menos 4 00:06:07
si la x es ahora mayor que 2 00:06:10
vale, casi estaría terminada la expresión 00:06:16
de la función valor absoluto 00:06:20
pero sin el símbolo de valor absoluto, ¿verdad? 00:06:24
Solamente tenemos que ajustar un poquito dos temas. 00:06:28
Primero vamos a dejar bien terminado el cálculo con el menos delante. 00:06:35
Sería menos x cuadrado más 4, lo podemos dejar así o ponerlo al revés, 4 menos x cuadrado. 00:06:41
Y luego x cuadrado menos 4. Y ahora ya vamos a terminar de escribir las zonas. Si la x es menor que menos 2, aquí si la x está entre menos 2 y 2, y si x es mayor que 2. 00:06:51
Pero si os fijáis hay un tema que hay que tener cuidado y es que el 2 y el menos 2 no lo hemos metido en ningún sitio porque no está cogido ni arriba ni en medio el menos 2 y el 2 no está cogido ni en medio ni abajo. 00:07:16
Entonces hay que apurar, digamos, el valor de 2 y menos 2 y escribirlo en algún sitio. 00:07:33
Si os fijáis, tanto en 2 como en menos 2, ya habíamos visto al principio que justo la parábola, el valor del polinomio, vale 0. 00:07:40
¿Verdad? Lo hemos visto aquí. 00:07:49
Por tanto, nos va a dar igual que le pongamos negativo o positivo tanto en menos 2 como en 2, vale 0 la parábola. 00:07:52
cualquier forma tanto en la parte x cuadrado menos 4 o en la parte menos x cuadrado más 4, ¿verdad? 00:08:01
Porque da igual 0 que menos 0. Por tanto, el igual le ponemos donde queráis. 00:08:07
Por ejemplo, yo ahora decido ponerlo aquí, el menos 2 lo metemos arriba y, por ejemplo, el 2 lo podemos meter abajo. 00:08:12
Pero da exactamente lo mismo. Podéis hacerlo donde queráis. 00:08:19
Bueno, pues realmente ahora sería posible dibujar la función valor absoluto a partir de esta función a trozos que hemos sacado, 00:08:26
fijándonos en cada parte y tal, pero en el fondo pues es mucho más sencillo dibujar la parábola 00:08:32
digamos que hay en el interior del valor absoluto y después ajustar lo que esté por debajo del eje X 00:08:39
pegarlo en la zona positiva hacia arriba como si dobláramos la gráfica, la doblaramos por el eje X 00:08:45
y lo que está en la parte de abajo, es decir en la parte negativa del eje Y se pegará en la zona positiva 00:08:52
Y nos quedaremos con la parte positiva como está. Vamos a verlo. Hacemos directamente la función, la parábola primero, muy sencillamente, acordándonos de los pasos que tenemos que seguir, que son muy fáciles. 00:09:01
Recordad que como a es igual a 1, que es el coeficiente principal de la parábola, vamos a dibujar ahora, ya os digo, la parábola x cuadrado menos 4. 00:09:24
Y a partir de ella luego hacemos el valor absoluto de esa parábola, puesto que realmente el valor absoluto solo se calcularía al final. 00:09:35
Por tanto, podemos hacerlo de esta forma que estamos diciendo, con lo que es la gráfica de la función interior al valor absoluto y luego considerando que es el valor absoluto de eso. 00:09:44
Como a, el cociente principal es 1, recordad, el cociente principal es s, pues la parábola es con las ramas hacia arriba. 00:09:56
Y el x del vértice, recordad que es menos b partido 2a, por tanto será menos 0 partido 2 por 1, que es menos 0 partido 2, que es 0, ¿verdad? 0 menos 0 es lo mismo. 00:10:03
Así que el vértice sería el 0 f de 0. F de 0 es fácilmente se ve aquí sustituyendo la x por el 0 menos 4. El f de 0 es menos 4. Por tanto el vértice es el 0 menos 4. 00:10:18
Ya tendríamos este punto importante para dibujar. 00:10:37
Luego los puntos de corte con el eje x ya los tenemos porque los habíamos hecho aquí, ¿verdad? 00:10:45
Habíamos igualado a cero nuestra parábola ahí arriba y habíamos visto que en x igual a 2 y en x igual a menos 2 la parábola valía cero. 00:10:52
Por tanto, los puntos de corte con el eje X son el menos 2, 0 y el 2, 0. Otros dos puntos muy importantes, ¿verdad? Para dibujar la parábola. 00:11:02
Y bueno, pues visto esto, ¿verdad? Y algún punto más que queráis que hagamos, por ejemplo, pues podemos utilizar también incluso los que habíamos hecho por aquí. 00:11:19
esto es de aquí, entonces tabla de valores 00:11:27
pues podemos poner el menos tres 00:11:32
que sería cinco, calculado como ya habíamos hecho aquí 00:11:35
ya os digo, o el tres cinco 00:11:40
como habíamos calculado aquí, o también pues podemos utilizar otros 00:11:43
para terminar de ajustarla, pero realmente no lo necesitamos 00:11:51
entonces vamos a la gráfica y vamos a intentar resolver 00:11:55
la gráfica de esta función. Tenemos el menos 2, 0 que sería este punto, el 2, 0 que sería este, 00:11:59
el 0, menos 4 que sería este, el 3, 5 que estaría por aquí, bueno el menos 3, 5 perdón, y luego el 3, 5 que sería simétrico 00:12:07
por aquí arriba y bueno pues realmente ya sabemos cómo va la parábola. La dibujamos, lo intentamos hacer bien 00:12:23
Pero la hacemos con línea descontinua. ¿Por qué? Ahora vais a entender por qué. 00:12:31
Porque realmente nuestra función no es la parábola, es el valor absoluto de la parábola. 00:12:38
Fijaros que el valor absoluto lo que hace siempre, y ya lo hemos dicho arriba, es dejarlo positivo. 00:12:44
Entonces cuando la parábola es positiva, ya lo hemos dicho, el valor absoluto lo deja todo tal cual. 00:12:50
Entonces tenemos que diferenciar entre, ¿verdad? Bueno, no quiero liar mucho aquí esto, pero tenemos las tres zonas que teníamos antes. Estoy aquí haciendo una línea de puntos. Tenemos esas tres zonas donde la parábola por aquí es positiva, por aquí es negativa, ¿verdad? 00:12:58
y por aquí vuelve a ser positiva. 00:13:17
Así que el valor absoluto va a dejar todo tal cual en esta zona y en esta otra zona 00:13:21
mientras que en la zona del negativo, esta zona de aquí, lo va a cambiar de signo. 00:13:27
Y eso a efectos gráficos lo que hace es subir la parte que está entre el menos 2 y el 2 00:13:34
esa parte la va a pegar arriba. 00:13:41
Es decir, que el 0 menos 4 va a pasar a ser un 0,4. Va a pasar a ser este punto. Por tanto, la parte de abajo se quedaría pegada aquí arriba. Bueno, realmente deberíamos ajustar esto de otra forma porque la parábola llega hasta el punto este y no subiría de él, ¿verdad? 00:13:45
Y luego la parte positiva se quedaría tal cual. 00:14:14
Podríamos rellenar esto así y esta parte rellenarla también. 00:14:19
Así que nuestra parábola verde se ha convertido en este tramo de dos partes positivas y la parábola anterior cambiada de signo en el tramo menos 2, 2. 00:14:26
Así que el valor absoluto de x cuadrado menos 4 se convertiría en esa gráfica roja que he hecho. 00:14:40
Idioma/s:
es
Autor/es:
PATRICIA DE LA MORENA GONZALEZ
Subido por:
Patricia De La M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
127
Fecha:
23 de febrero de 2021 - 9:09
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MIGUEL DE CERVANTES
Duración:
14′ 53″
Relación de aspecto:
1.75:1
Resolución:
1024x584 píxeles
Tamaño:
24.58 MBytes

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