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4-3-BT1 - Contenido educativo

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Subido el 4 de marzo de 2024 por Francisco J. M.

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Como siempre os preguntaré que si alguien tiene algún inconveniente, yo dejo de grabar y esta clase la borro. Y si no, pues que seguimos adelante. Se supone que estamos todos de acuerdo, que es beneficioso para todos que tengáis la clase grabada tanto en texto como en la conferencia. 00:00:00
Bueno, vamos a ver. Hoy terminamos esta quincena. El bloque de análisis tiene, primero, la parte de familias de funciones. Fundamental que sepáis dibujar una recta y una parábola y que conozcáis el resto de funciones. 00:00:27
La exponencial, la logarítmica, todas las que vimos, la de proporcionalidad inversa, que las podáis identificarlas cuando las veáis. 00:00:47
Luego teníamos la parte del límite. El otro día vimos el concepto del límite en un punto y lo asociamos al concepto de continuidad. 00:00:56
El otro día hicimos un ejercicio de continuidad y lo hicimos de tal forma que justifique esto de aquí. Que para que una función sea continua en un punto, primero tiene que existir FDA. Si no existe FDA, ahí hay un punto hueco. 00:01:07
Si hay un punto hueco, ya sabéis que la función no es continua. 00:01:25
Luego, tienen que existir los límites laterales. 00:01:29
Bueno, el límite de la función. 00:01:33
Que exista el límite de la función quiere decir que si tomo valores cercanos a A, 00:01:35
tanto por la izquierda como por la derecha, se aproximan al mismo punto. 00:01:41
Entonces, para que exista el límite, tienen que coincidir los límites laterales. 00:01:45
Y luego, tanto FDA como ese límite que nos ha salido tiene que ser el mismo. Bueno, yo en el examen en primero generalmente os pido que dibujéis la gráfica y a partir de ahí decidáis la continuidad. 00:01:49
¿Os acordáis del ejercicio del otro día? ¿Sí? Que dibujamos la gráfica, eran rectas y parábolas, ¿no? Eso es lo más habitual. Pero bueno, de cara a segundos, imaginaos que tenéis esta función. Vamos, también os lo puedo preguntar, pero por lo menos probadlo. 00:02:06
Esta función es muy fácil de pintar porque es una palabra, pero esta función no es tan fácil de pintar y os piden que estudiéis la continuidad. 00:02:23
Entonces, hoy lo vamos a hacer a cierres. Lo vamos a hacer sin saber cómo van esas funciones. 00:02:37
Bueno, entonces, para eso hay que dominar un poco, valga la redundancia, los dominios. 00:02:48
¿cuál es el dominio? ¿de qué tipo es esta función? 00:02:54
esta es polinómica de segundo grado 00:03:00
me interesa simplemente decir que es polinómica 00:03:02
la función polinómica 00:03:05
no tiene problemas de dominio 00:03:11
el dominio de la función polinómica son todos los números reales 00:03:13
acordaos de eso, pregunta de examen 00:03:19
calcula el dominio de esta función, id apuntando si queréis 00:03:21
lo que os digo siempre 00:03:24
Entonces, no tiene problemas de dominio. 00:03:26
Segunda, ¿qué es logarítmica? 00:03:40
Pues qué faena, ¿no? 00:03:43
¿Qué es logarítmica? 00:03:47
¿Qué tengo que hacer? 00:03:49
Tengo que ver si uno más X es mayor que cero, ¿no? 00:03:55
Lo que hay dentro del logaritmo, esto es fundamental, ¿eh? 00:04:00
En funciones. 00:04:04
Entonces, al ver una función, no sabes calcular su dominio, ya estamos rankeando. 00:04:04
Entonces, esto tiene que ser mayor que cero. 00:04:13
¿Cómo se resolvía esto? 00:04:15
Primero se pone un igual. 00:04:17
Si uno más x es igual a cero, ¿cuánto vale x? 00:04:23
Este uno que está sumando pasa restando, menos uno. 00:04:28
¿no? Entonces dibujo la recta, dibujo el menos 1, ¿no? Y ahora sustituyo aquí, decirme 00:04:32
un valor aquí. Pues por ejemplo el menos 2, ¿no? 1 menos 2 es menos 1. ¿Esto es mayor 00:04:45
que 0? No, pues aquí pongo que no. Y aquí, por ejemplo, tomo el 2. El 2, el 0 podéis 00:04:55
poner también, ¿no? que queráis 00:05:06
2, pues si pongo 1 más 00:05:08
2 es 3 00:05:10
¿es mayor que 0? 00:05:11
pues 00:05:15
este sí 00:05:16
entonces nos fijamos 00:05:17
el dominio 00:05:19
de la función 00:05:21
logaritmo de 1 más x 00:05:23
desde menos 1 00:05:28
hasta infinito 00:05:29
abierto o cerrado por aquí 00:05:31
abierto 00:05:33
siempre en el infinito y aquí 00:05:36
aquí abierto 00:05:37
también porque pone mayor 00:05:40
si pusiera mayor o igual sería abierto 00:05:41
¿vale? sería cerrado, perdón 00:05:44
¿sí? entonces 00:05:46
como x 00:05:47
está entre 0 y 1 00:05:49
¿no? como pone que 00:05:51
0 menor que 00:05:55
x menor que 1 00:05:57
tampoco hay problema con 00:05:59
el dominio porque 00:06:01
0 y 1 está en este intervalo 00:06:03
¿no? tampoco 00:06:06
¿No? O sea, tampoco hay problema con el dominio. 00:06:07
¿Y esta última? ¿De qué tipo es esta función? 00:06:21
La función cero es constante. Bueno, en todo caso de grado cero. Una constante es de grado cero porque no tiene x, ¿no? 00:06:27
Esta función es constante y esta no tiene problemas de dominio, ¿no? 00:06:35
No hay problema, no hay problema tampoco de dominio. 00:06:39
Pues una vez dicho esto, el dominio de f son todos los números reales. 00:06:50
¿Por qué? Porque de x, de x, de menos infinito a cero, no hay problema con el dominio. 00:06:57
Del 0, que está incluido aquí, hasta el 1, tampoco hay problema con el dominio. 00:07:06
Para x mayor que 1 tampoco hay problema con el dominio. 00:07:11
Entonces, yo ya sé que f, y como conclusión de todo esto, yo sé que f es continua en el primer intervalo, que es menos infinito 0. 00:07:16
en el intervalo siguiente, que es el 0,1, y en el intervalo siguiente, que es el 1, infinito. 00:07:29
¿Dónde falta ver si la función es continua o no? 00:07:38
En los puntos de empalme. 00:07:43
Aquí hay una función antes del 0 y después del 0, ¿no? 00:07:53
Y también hay una función antes del 1 y después del 1. 00:07:59
Bueno, pues aquí tenéis que hacer la comprobación, que es muy rutinaria, es muy pesada, pero que es muy práctica. 00:08:02
A ver, nx igual a cero. ¿Cuánto vale f de cero? 00:08:18
¿Dónde busco f de cero? ¿En el primer trozo, en el segundo o en el tercero? 00:08:27
No, menor que cero. 00:08:32
¿Dónde pongo? En el segundo, ¿no? 00:08:34
Pues es el logaritmo neperiano de uno más cero, ¿no? 00:08:38
En el segundo. Y no sabéis calcularlo. Tenéis calculadora. ¿Cuál es el logaritmo de uno más cero? Tenéis calculadora. Porque ahí, ya os digo, ya hay cosas que creo que podéis suplir con la calculadora. 00:08:42
lo voy a hacer yo con la mía 00:08:58
aunque yo ya me sé el resultado 00:09:08
el logaritmo neperiano de 1 00:09:10
que es 1 más 0 es 0 00:09:14
¿no? si os acordáis de las propiedades 00:09:16
del logaritmo, el logaritmo de 1 siempre es 0 00:09:18
¿sí? ahora 00:09:20
¿cuánto vale el límite 00:09:21
por la izquierda del 0? 00:09:23
¿dónde tengo que mirar? 00:09:28
¿en la primera función o en la segunda? 00:09:29
si pone por la izquierda del 0 00:09:31
¿Dónde pone que es más pequeño que 0? 00:09:37
¿En la primera o en la segunda? 00:09:40
En la primera, aquí es menor que 0, ¿no? 00:09:42
Bueno, pues pongo 1 menos 0 al cuadrado. 00:09:45
¿Cuánto es 1 menos 0 al cuadrado? 00:09:48
Bueno, pues yo ya sé que esta función no es continua. 00:09:53
Porque estos dos valores tienen que coincidir. 00:09:59
De todas formas, se suele comprobar cuánto vale el límite por la derecha del 0. 00:10:01
por la derecha del cero 00:10:09
¿con qué trozo estoy? 00:10:11
¿con el primero, el segundo o el tercero? 00:10:16
¿dónde pone mayor que cero? 00:10:21
no, aquí pone mayor que uno 00:10:25
aquí pone mayor que cero 00:10:26
cero menor que uno 00:10:29
en la segunda 00:10:31
pues esto es logaritmo neperiano 00:10:31
de uno más cero que es cero 00:10:33
bueno, conclusión 00:10:35
¿qué es lo que ocurre aquí? 00:10:38
Que existe f de cero, pero los límites delaterales por un lado valen cero y por otro lado valen uno. 00:10:41
¿Hay que había discontinuidad evitable de salto finito o de salto infinito? 00:10:47
¿De qué tipo? 00:10:59
Salto infinito. 00:11:01
¿Salto? 00:11:02
A ver, el salto es de cero a uno. 00:11:04
Ese salto es infinito. 00:11:07
Es de salto, pero finito. 00:11:09
De salto finito. 00:11:11
Y ahora, por otro lado, voy a hacer en x igual a 1. ¿Cuánto vale f de 1? La primera, la segunda o la tercera. ¿Dónde pone x igual a 1? En la segunda, ¿no? Pues logaritmo de 1 más 1 que es el logaritmo de 2. 00:11:13
Si lo haces con la calculadora sale un número claro, por decir, un número. ¿Vale? Ahora, ¿cuánto vale el límite por la derecha del 1? Por la derecha del 1, perdón, por la izquierda, es menor que 1, ¿no? ¿Dónde pone menor que 1? Aquí pone mayor que 1. 00:11:46
La primera pone menor que cero. Pero te dicen dónde pone menor que la segunda. Bueno, pues aquí sustituyo y me queda también logaritmo de dos porque estoy haciendo lo mismo. 00:12:09
Y si x tiende a 1 por la derecha, ¿dónde pone x mayor que 1? 00:12:26
En la tercera, pues vale 0. 00:12:37
¿Coinciden los tres valores? 00:12:40
No. 00:12:43
Pues ¿cómo es la discontinuidad? 00:12:43
¿Pero de qué tipo? 00:12:47
Finito, ¿no? 00:12:52
Porque pasa de logaritmo de 2, que es una supernumera de x, ¿no? 00:12:53
A esto. 00:12:58
a cero. 00:13:00
¿Sí? Pues ese es el salto. 00:13:03
Bueno, vamos 00:13:06
y a ver, 00:13:07
voy a priorizar en la clase 00:13:09
de hoy, voy a priorizar 00:13:11
una cosa, 00:13:13
que es la... 00:13:15
Quizá el próximo día en la clase 00:13:19
del miércoles haga este 00:13:21
porque yo quiero priorizar hoy los límites 00:13:23
en el infinito. Son lo suficientemente 00:13:25
importantes como para que... 00:13:27
A ver, 00:13:29
idea del límite en el infinito qué significa que extiende infinito que x toma un valor muy grande 00:13:30
entonces idea intuitiva como hicimos el otro día con calculadora valor le daríais a esto con 00:13:40
calculadora qué valor le daría a la equis nos dice que tiende a menos infinito qué valor meter es en 00:13:53
el calculador menos a ver por ejemplo yo pondría pues 49 podría poner 17 9 00:14:03
de los que queráis, ¿no? Bueno, 17 no cabe 00:14:15
en la calculadora, pero poned un número 00:14:17
muy grande, ¿vale? Entonces, 00:14:19
coged vuestra calculadora 00:14:22
y haced, acordaos 00:14:23
que tenéis que ponerlo 00:14:26
entre paréntesis, cuando el número es 00:14:27
negativo. ¿Cuánto sale esto? 00:14:29
Más 3, ¿no? 00:14:55
¿Os sale esto? 00:14:58
A ver si me equivoco. 00:15:04
Decidme si me he equivocado, que 00:15:05
999 00:15:07
A ver, 00:15:11
9, 9, 9, 6, 3, 0, 5, 6. 00:15:18
¿Os sale eso? 00:15:22
Sí. 00:15:24
Bueno, os sale esto, ¿no? 00:15:25
¿Sí? 00:15:27
¿Cuánto diríais que vale este límite? 00:15:29
A ver, sale un número muy grande, ¿no? 00:15:35
Pues, ¿qué pensáis que va a salir? 00:15:38
Que tiende a infinito. 00:15:43
Si saliera negativo, pues sería menos infinito, ¿no? 00:15:51
¿Sí? 00:15:54
Ahora, ¿por qué pensáis que es eso? 00:15:56
Porque yo tengo aquí un infinito al cuadrado y aquí un infinito multiplicado por 2. 00:16:00
¿Qué infinito es más grande? ¿El infinito al cuadrado o el 2 por infinito al cuadrado? 00:16:07
Este es mucho más grande y como está elevado al cuadrado sale negativo, ¿verdad? 00:16:12
Bueno, pues esa es la razón por la que, perdón, sale positivo y esa es la razón por la que sale infinito. 00:16:17
Esto a ojímetros. Esto es a ojo. ¿Cuál es la idea de un límite en el infinito? 00:16:23
Ahora, ¿cómo se calcula? Vamos a hacer este límite tal como pone aquí. Se toma el término de la voluntad. 00:16:32
A ver, simplemente, si quieres calcular este límite, solo vale si x tiende a infinito o a menos infinito. 00:16:44
Pongo límite cuando x tiende a menos infinito. 00:16:57
¿Cuál es el infinito mayor? 00:17:01
¿Cuál es el infinito más grande de estos tres? 00:17:04
Tomo el x de mayor grado, ¿no? 00:17:08
Y es x al cuadrado, ¿no? 00:17:16
Y ahora pienso, ¿cuánto es menos infinito elevado al cuadrado? 00:17:18
Si multiplico infinito por infinito me sale infinito, ¿no? 00:17:24
Como está elevado al cuadrado, sale presuntivo. 00:17:27
A ver, por ejemplo, ¿cuánto valdría el límite cuando x tiende a infinito de menos x cuadrado más 20x más 14? 00:17:31
¿Qué haríais? 00:17:45
¿Cuál es el término de mayor grado? 00:17:50
El cuadrado, ¿no? 00:17:54
Menos x cuadrado. 00:17:56
¿Para cuánto es menos infinito al cuadrado? 00:17:59
Voy a ponerlo aquí. Ahora, ¿este infinito, este menos, está elevado al cuadrado? No, porque no hay paréntesis. Entonces, ¿cuánto valdría esto? Menos infinito. Entonces, esto que lo veáis, se coge el término de la de la grada y junta. 00:18:01
Bueno, si os sale un ejercicio de estos, que sepáis que estos son, vamos, los facilísimos, teniendo en cuenta siempre, teniendo siempre mucho cuidado con el signo. 00:18:25
Bueno, pues una vez hecho esto, vamos a hacer otro tipo de límites que es con funciones racionales. Funciones racionales es un polinomio dividido entre él. 00:18:39
Bueno, aquí hay dos posibilidades. 00:18:50
Hay gente que sigue esta regla, que yo la voy a poner arriba, 00:18:53
pero a mí me gusta más que lo hagáis por lejos. 00:18:56
Y a que si el infinito que está más arriba, 00:19:00
el infinito que está en el numerador es más grande que el del denominador, 00:19:03
el resultado va a ser infinito, ¿no? 00:19:08
Pero si es más pequeño, y aquí quiero que penséis una cosa, 00:19:11
¿Qué pasa si divido yo uno, un euro entre infinitas personas? ¿A cuánto toca cada persona? Algo muy cercano a cero, ¿no? Yo si reparto una tarta entre un millón de personas, pues tocamos a media mira cada uno, ¿no? Pues es lo mismo, ¿sí? 00:19:15
Entonces, yo prefiero que lo hagáis tal como lo hemos hecho antes. 00:19:36
Veréis que esta regla de arriba funciona. 00:19:41
Insisto, creo que es mejor que lo hagáis así porque así lo aplazamos. 00:19:44
Pero si queréis hacerlo con la regla que os he escrito ahí, que veáis que voy a hacerlo de la misma forma. 00:19:49
A ver, vamos a ver. 00:19:55
Tengo que calcular este límite cuando x tiene infinito. 00:19:58
¿Cuál es el término de mayor grado en el numerador? 00:20:03
2X. ¿Y en el denominador? 4X. ¿Qué puedo hacer con esta X y esta X? Simplificar, ¿no? ¿Qué me queda? 2 cuartos. Bueno, pues esto es un medio, o si queréis ponéis 0,5. 00:20:06
Quiero que veáis que esto funciona porque en caso de duda esto es un recurso que obtenéis en los exámenes. Decidme un número muy grande. ¿Pongo 9999 otra vez? Vale, pues pongo aquí 2 por 9999 más 3 y en el denominador 4 por 9999 más 5. 00:20:29
Le doy al igual y fijaos, me sale 0.50. Otros dos ceros. ¿Veis que sale muy parecido? Que sepáis que esto funciona. Siguiente caso. Recuerdo, x tiende a infinito. Si x tiende a un número, ya lo vimos el otro día. 00:20:57
¿Cuál es el término de mayor grado arriba? X. ¿Y abajo? X al cuadrado. ¿Qué pasa si yo simplifico ahora? Esta X se me va con uno de estos, ¿no? Y me queda uno partido por X. ¿Y cuánto es uno partido por infinito? 00:21:19
Pero, ahí estamos, ¿sí? Que no nos lo creemos. Hacemos la calculadora. Voy a hacerlo con otro tipo de calculadora que no tenga lo de las fracciones. A ver, si yo tengo 9, 9, 9, 9, 9, lo divido. 00:21:43
acordaos que hay que poner un paréntesis 00:22:06
y pongo 9, 9, 9, 9 00:22:09
al cuadrado más 5 00:22:11
¿sí? 00:22:13
paréntesis y me queda 00:22:15
esto, ¿sabéis que elevar a menos 4 00:22:16
es mover la coma hacia la 00:22:18
izquierda 00:22:21
cuatro veces, ¿no? 00:22:22
¿sabéis que 10 elevado a menos 4 00:22:24
es una diez milésima? 00:22:26
bueno, pues sale un número muy pequeño, muy cercano 00:22:28
a cero, ¿sí? 00:22:31
y ahora, último caso 00:22:32
calculo este límite cuando x tiene infinito 00:22:34
¿Qué tomo arriba? ¿Y abajo? Y ahora si simplifico, ¿qué me queda? X, ¿no? X partido por 1, que es X. Si la X vale infinito, pues esto es infinito. 00:22:39
Y queréis, y no es malo que sepáis la norma, aunque yo prefiero que lo razonéis. 00:23:00
Si el grado del numerador es más grande que el del denominador, el límite va a valer un infinito o menos infinito, dependiendo de los signos que estén. 00:23:07
Si el grado del numerador es menor que el del denominador, estoy dividiendo una cosa más pequeña entre una cosa más grande. 00:23:18
Se va a salir cero, ¿sí? Y si los dos grados son iguales, si os fijáis lo que me he quedado es el término de mayor grado, el coeficiente, y el término de mayor grado, el coeficiente. 00:23:26
Eso es lo que os he puesto en el resumen del tema, que se puede hacer así, ¿vale? 00:23:38
Entonces, estos límites, espero que os sean asequibles, ¿no? Y eso, ya a la hora de hacerlo en la práctica, pues pensad cómo os interesa más, ¿no? 00:23:45
con esta norma que os he puesto aquí 00:23:56
lo determino de mayor grado 00:23:58
lo que pasa es que no os determina si es 00:24:00
o ni más ni menos infinito, en el caso de que los grados 00:24:04
el grado de P sea mayor que el grado de Q 00:24:07
bueno, ahora, es posible 00:24:10
que os quede un infinito menos infinito 00:24:14
aquí hay problemas porque hay que 00:24:18
deshacer la indeterminación 00:24:20
esto es un problema, pero que veáis 00:24:22
uy, en este me falta una raíz 00:24:26
a ver cómo lo arreglo 00:24:28
bueno, ahora lo arreglo 00:24:34
a ver, a ver 00:24:36
este 00:24:37
rápidamente 00:24:38
x tiende a infinito 00:24:40
veis que aquí queda 00:24:42
este término 00:24:44
tiene mayor grado que este, ¿no? 00:24:45
entonces esto va a salir infinito 00:24:47
¿sí? 00:24:48
pero esto ¿cómo? 00:24:50
aquí va a salir 00:24:51
menos infinito dividido entre dos 00:24:52
¿cuánto es menos infinito dividido entre dos? 00:24:54
menos infinito, ¿no? 00:24:59
Si yo debo infinito dinero y me debí la deuda entre dos, sigo debiendo infinito dinero, ¿no? 00:25:01
Bueno, pues esto tendréis que calibrar qué infinito es más grande. 00:25:10
Y aquí lo que se supone es que tenéis que mezclarlo todo y pasarlo a común denominado. 00:25:16
¿Cuál es el común denominado entre X y 2? 00:25:22
2X, ¿no? 00:25:27
El mínimo común múltiplo. 00:25:31
Ahora, ¿cuánto es 2x dividido entre x? 00:25:33
2x dividido entre x, 2. 00:25:38
Sería 2, ¿no? 00:25:42
La x se va con la x y queda 2. 00:25:43
Lo multiplico por el numerador que es x cuadrado más 1. 00:25:46
Por lo demás, ¿cuánto es 2x entre 2? 00:25:50
X, ¿no? 00:25:57
Efectivamente, x por 1 menos 2x. 00:25:59
Entonces, todo esto lo opero, queda 2x cuadrado más 2, más x menos 2x cuadrado, y esto dividido entre 2x. 00:26:03
¿Qué se puede hacer con esto? Se va a envergar y me queda límite, cuando x tiende a infinito, de 2 más x partido por 2x. 00:26:21
¿Qué hago con esto? 00:26:34
Tengo que tomar el término de 00:26:40
mayor grado en el numerador 00:26:42
que es 00:26:44
¿Cuál es el término de mayor grado en el numerador? 00:26:44
Y en el denominador 00:26:49
¿Y qué tengo que hacer ahora? 00:26:52
Simplificar 00:26:56
¿Y si simplifico qué me queda? 00:26:56
Un medio 00:26:59
Quedan dos pero abajo 00:27:00
¿No? 00:27:02
Bueno, si queréis hacerlo con calculadora 00:27:04
con 99999 00:27:06
esto es lo que es un ejercicio 00:27:08
si queréis lo podéis comprobar con la calculadora 00:27:10
esto veréis que se acerca 00:27:13
a 0,5 00:27:14
en estos 00:27:15
temas de análisis creo que estáis viendo 00:27:21
que estáis practicando 00:27:23
las cosas de la primera evaluación 00:27:25
y a ver este 00:27:27
bueno este es 00:27:32
más raro pero es que 00:27:36
también tenéis que ver que la primera 00:27:37
de la evaluación no se hizo en balde, por la cual 00:27:39
tenéis que tener un buen nivel. 00:27:42
Si hay una raíz, lo que pasa es que no se 00:27:44
veía bien. 00:27:46
Esto es así, ¿no? 00:27:48
Bueno, entonces, aquí vuelve 00:27:49
a quedar infinito menos infinito. 00:27:51
Con lo cual, 00:27:54
¿qué pensáis que voy a hacer aquí? 00:27:55
Multiplicar por el conjugado. 00:28:04
Efectivamente, muy bien. 00:28:06
Os vais acordando de cosas y esto 00:28:08
que veáis, que las cosas de la primera evaluación 00:28:10
aparecen en la 00:28:12
segunda y en la tercera. 00:28:14
Y aquí quedaría raíz de 2x menos 1 más x. 00:28:20
Os recuerdo, suma por diferencia es igual a, efectivamente, al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. 00:28:25
A ver si esto lo estoy escribiendo bien. 00:28:43
Lo estoy escribiendo bien. 00:28:44
Sí, ¿verdad? 00:28:47
Y aquí... 00:28:48
Bueno, se podría haber razonado de otra forma. 00:29:06
Y aquí queda más x, ¿no? 00:29:11
Bueno, ¿qué es lo que ocurre aquí? 00:29:13
¿Qué pasa con esto? Que se va, ¿no? 00:29:16
Nos queda 2x menos 1 menos x cuadrado. 00:29:19
No, no, no, no, porque tú multiplicas en el numerador y en el denominador por lo mismo. 00:29:26
Aquí te queda suma por diferencia, que es diferencia de cuadrados, y aquí te queda una cosa, pues que no. 00:29:32
A ver, esto no es exactamente racionalizar porque he quitado la raíz de arriba. Cuando racionaliza se va la raíz de arriba. La raíz de abajo. Pero ahora he hecho lo contrario y se va solo la raíz de arriba. 00:29:37
Bueno, ahora, ¿cuál es el término de mayor grado en el numerador? 00:29:56
Menos x cuadrado, ¿no? 00:30:03
Y aquí, aquí tenéis que saber que la raíz es como elevar a un medio, ¿no? 00:30:05
Raíz de 2x menos 1 es lo mismo que, ¿no? 00:30:15
Entonces, efectivamente es x. 00:30:19
Y ahora, ¿cuánto vale esto? 00:30:21
¿Qué sale? ¿Más o menos? 00:30:26
¿Menos? 00:30:30
Y ahora, x cuadrado entre x, x nada más, ¿no? 00:30:32
¿Y cuánto vale este límite? 00:30:41
Menos infinito, ¿sí? 00:30:43
Bueno, esto lo he hecho así porque en general hay que hacerlo así, 00:30:46
pero que sepáis que yo ya sabía desde el principio que esto daba menos infinito. 00:30:51
¿Sabéis por qué? 00:30:55
Porque aquí la x está elevada a un medio. 00:30:57
y entre x elevado a 1 medio 00:31:01
el término de mayor grado es 00:31:04
x y como tienen menos x 00:31:06
delante pues ya está 00:31:08
si queréis hacerlo con un cuadrado 00:31:10
aquí tenéis que hacer toda esta 00:31:13
o sea que hay veces 00:31:14
que hay que hacer toda esta 00:31:17
bueno, lo más 00:31:18
importante 00:31:24
lo más importante 00:31:24
de la 00:31:27
clase de hoy es lo que os voy 00:31:29
a dar ahora y 00:31:32
Y las cuentas son más fáciles de las que salen. 00:31:33
Lo que pasa es que aquí tenéis que tener mucho cuidado. 00:31:38
A ver, voy a hacer primero una representación gráfica. 00:31:42
A ver. 00:31:46
Bueno, ¿sabéis que una asíntota se acerca mucho? 00:32:00
Perdón, una asíntota. 00:32:06
Aquí, ¿esta asíntota qué sería? 00:32:09
¿Dif frontal o vertical? 00:32:11
Vertical, ¿no? 00:32:14
¿Por qué? Porque es vertical. 00:32:15
Vertical. 00:32:18
Yo me acerco a A, ¿no? 00:32:21
Pero no toco A. 00:32:23
La ecuación de la recta es X igual a A. 00:32:25
¿Sí? 00:32:30
Ahora, si yo tomo esta asíntota, 00:32:31
si tengo una función que va así, 00:32:38
¿de qué tipo es la asíntota? 00:32:42
¿Verdad? 00:32:46
Asíntota horizontal. 00:32:48
¿Sí? 00:32:51
Pero ahora es el valor de la función, o sea que es I igual a B. 00:32:52
¿Entendéis la diferencia entre asíntota horizontal y asíntota vertical? 00:33:01
¿Qué es lo que ocurre aquí? 00:33:05
Cuando yo me acerco a A, la función va a infinito. 00:33:09
Podría ir a menos infinito. ¿Lo veis? 00:33:16
en cambio aquí en una asíntota 00:33:19
horizontal 00:33:23
en una asíntota 00:33:24
horizontal 00:33:27
es que el límite cuando 00:33:27
x tiende a infinito 00:33:31
de f de x es b 00:33:32
que si yo me voy 00:33:34
muy muy a la derecha 00:33:37
el valor de la y es b 00:33:39
entonces yo esto 00:33:41
os lo represento aquí para que lo veáis 00:33:43
con calma en caso 00:33:45
que esto no tiene nada que ver con esto 00:33:46
Y imaginaos que yo tengo otra recta por aquí, ¿no? Y este es el valor c. Y la función va así. ¿Qué diríais aquí? ¿Que es una asíntota horizontal o vertical? Esta es horizontal. 00:33:49
¿Y qué es lo que diríais? Que el límite cuando x tiende a menos infinito de la función es c. 00:34:06
Y luego, si sale una asíntota oblicua, sabéis que cuando salga una asíntota oblicua, una recta que no es horizontal ni vertical va a ser igual a nx más n. 00:34:19
Pues estas serán las oblicuas, que esas van aparte y es una genuina. Vamos, es un método muy concreto. 00:34:30
Vale, entonces, bueno, para que sepáis que las funciones polinómicas directamente no tienen asíntotas. 00:34:45
Si tienes una función polinómica, pues dicen, calcula las asíntotas y dices que las calcule otro porque no tienen, ¿no? No tienen. Las funciones polinómicas no tienen, ¿vale? 00:34:54
Y ahora, vamos a ir una por una. ¿Os habéis fijado que en una asíntota vertical la A no está en la línea? Porque nunca, en el valor de la A nunca se llega a tocar, ¿lo veis? 00:35:06
Bueno, pues en funciones racionales tenéis que buscar puntos que no sean del dominio. 00:35:22
Y luego ver si es o no es así. 00:35:28
Me explico. 00:35:31
Esto, de nuevo, lo que se dije desde el primer día que vimos las funciones. 00:35:33
Pedirle dominio a la función es como pedirle dominio. 00:35:39
Bueno, no exactamente, pero parecido. 00:35:43
¿Cuál es el dominio de esta función? 00:35:46
Son todos los números reales menos los valores en los que el denominador es cero, ¿verdad? 00:35:47
Porque no puedo dividir entre cero. 00:35:59
¿Cuándo x cuadrado menos uno es cero? 00:36:01
Cuando x cuadrado es igual a uno. 00:36:09
Lo que está rozando pasa sumando. 00:36:15
¿Y cuándo x cuadrado es uno? 00:36:17
En uno y en menos uno. 00:36:28
O sea que el dominio de esta función son todos los números reales excepto el menos uno y el uno. 00:36:30
Acordaos que se ponen regladas para no confundirlo con el intervalo. 00:36:36
Bueno, pues tengo que ver qué pasa en x igual a 1. 00:36:41
¿Qué pasa en x igual a 1? 00:36:45
Pues calculo el límite cuando x tiende a 1 de x menos 1 partido por x cuadrado. 00:36:50
¿Os acordáis ya del otro día que se sustituía? 00:36:59
¿Qué pasa si sustituyo 1 menos 1 partido por 1 al cuadrado menos 1? 00:37:03
¿Arriba me sale? ¿Y abajo? ¿Qué se hace aquí? 00:37:07
La indeterminación cero partido por cero que se resuelve simplificando por lo fin en el numerador y en el denominador. 00:37:14
Todas estas cosas, estos son los básicos. Cuando os digo que son los básicos, que es un dominio, que se puede representar una parábola, una recta, 00:37:22
que sepáis hacer esta indeterminación que ya nos salía el otro día. 00:37:31
entonces, si estoy en el numerador 00:37:34
hago Ruffini 00:37:37
pues me queda 1, 1, 1 00:37:38
aquí me queda 0 que es el resto 00:37:41
o sea, ¿qué me queda en el numerador? 00:37:43
en el denominador 00:37:48
acordaos que x cuadrado 00:37:50
menos 1 es 1, 0, menos 1 00:37:52
que hay un hueco ahí 00:37:55
bajo el 1 00:37:56
1, 1, 1, 0 00:37:58
¿y qué polinomio es este? 00:38:00
más 1 00:38:05
Y ahora, si sustituyo, ¿qué me queda? Uno partido por dos, ¿no? ¿Esto es infinito? ¿Un medio es infinito? Es cero, cinco, ¿no? Pues si el límite no es infinito, no hay asíntota vertical, ¿vale? 00:38:07
Ahora, ¿qué pasa en el otro punto que no es del dominio? 00:38:31
En x igual a menos 1. 00:38:36
Límite cuando x tiende a menos 1 de x menos 1 partido por x cuadrado menos 1. 00:38:41
¿Qué pasa si sustituyo? 00:38:49
En el numerador me queda menos 2, ¿no? 00:38:51
Y en el denominador, ¿qué me queda? 00:38:54
Cero. 00:38:58
¿os acordáis que cuando 00:38:59
queda un número distinto de cero 00:39:02
entre cero sale más o menos infinito? 00:39:04
todo esto es lo que tenéis que relacionar ya 00:39:08
de la sesión anterior con esta 00:39:10
pues entonces aquí sí que 00:39:12
hay una asíntota vertical 00:39:14
y que pongo x o y 00:39:16
en x igual a menos 00:39:20
¿sí? 00:39:24
y os piden las asíntotas hasta aquí. 00:39:26
Es posible que os pidan que lo pintéis. 00:39:31
Si os pide que lo pintéis, ¿no? 00:39:35
Si queremos representarlo, 00:39:39
representarlo, 00:39:48
pues tendréis que hacer, ¿cuánto vale el límite 00:39:49
cuando x tiende a menos uno menos de la función? 00:39:52
¿Qué tenéis que hacer aquí? 00:39:58
¿Cómo se calcula esto? Sustituyendo con un número más pequeño que menos 1. ¿Cuál cogerías? Yo cogería el menos 1,1 porque son bíblicos. Si coges el menos 2 y el menos 4, escorres el riesgo de equivocarte con el signo. 00:40:00
Lo hacéis con la calculadora. Voy a hacerlo con la calculadora. Se puede hacer sin ella, como os expliqué el otro día. 00:40:20
Menos 1, menos 1, perdón, menos 1,1. Menos 1,1, menos 1,1 dividido entre paréntesis. 00:40:27
Acordaos que si el número es negativo hay que ponerlo entre paréntesis. A cuadrado, menos 1. 00:40:41
Le doy al igual y me sale negativo. Pues va a ser menos infinito. 00:40:47
menos infinito y bueno y si hacéis el límite por la derecha o sea cuando extiende a menos 00:40:52
uno más qué valor le daría a la equis si extiende a menos uno más a uno a menos uno pero que sea 00:41:02
mayor que menos 1. 00:41:19
Pero el menos 00:41:24
0,9. 00:41:25
A lo mejor el menos 0,99 00:41:29
pero voy a poner menos 0,9, menos 1 00:41:31
y abajo. 00:41:33
Creo que funciona. 00:41:37
Vamos a comprobarlo. 00:41:38
Se me ha equivocado. 00:41:41
Se me ha equivocado. 0,9. 00:41:42
Es que los americanos 00:41:44
muchas veces cuando es 0, algo 00:41:46
ponen la coma. A ver si funciona. 00:41:48
Aquí me equivoco. A ver, es menos 0,9 menos 1, de abajo, paréntesis, es que no me había llegado al cuadrado, menos 0,9 al cuadrado, menos 1. 00:41:50
A ver, efectivamente, da positivo. Aquí sale más infinito. 00:42:18
¿Por qué quiero hacer esto? 00:42:24
Porque si cuando estemos en el tema de gráficas, en menos uno, yo sé que hay una asíntota vertical. 00:42:27
Y sé que por la izquierda vamos a ir a menos infinito y por la derecha vamos a ir a más infinito. 00:42:37
Para el resto, que sepáis que vamos a volver con ello, que hay un tema de gráficas, 00:42:47
pero que, bueno, que cuanto más práctica tengáis, ya, creo que eso estáis dando cuenta de las cosas más o menos que tenéis que repasar y practicar, ¿no? 00:42:52
Todo esto, cuando os digo lo que hago es un básico, es un básico. 00:43:04
Siguiente parte. Bueno, las asíntotas horizontales son más sencillas, que no cunda el pánico. 00:43:09
Las asíntotas horizontales solo tenéis que hacer el límite cuando x tiende a infinito y el límite cuando x tiende a menos infinito. 00:43:15
Pero en funciones racionales solo basta que lo hagáis o en infinito o en menos infinito. 00:43:23
En funciones racionales. 00:43:30
Como esta. 00:43:34
Bueno, por ejemplo, os piden calcular las asíntotas horizontales de esta función. 00:43:35
Pues directamente. 00:43:40
Nos vamos aquí. 00:43:42
asíntotas horizontales de esta función 00:43:43
pues calculo directamente el límite 00:43:46
cuando x tiende a infinito 00:43:50
de x menos 1 partido por x cuadrado menos 00:43:52
¿cómo se calcula esto? 00:43:55
como hemos visto al principio de la clase 00:44:01
¿qué tomo arriba? 00:44:02
¿y abajo? x cuadrado 00:44:06
¿cómo simplifico esto? 00:44:10
¿y sale? 00:44:14
1 en el numerador y en el denominador, x. 00:44:16
¿Y cuánto es 1 partido por infinito? 00:44:24
Pues conclusión asíntota horizontal por la derecha, por la derecha quiere decir que es el más infinito, 00:44:28
que pongo ahora x o y. 00:44:40
La horizontal que era y, y igual a 0. 00:44:44
Si queréis hacer el cálculo, lo voy a hacer por curiosidad, si hacéis el límite cuando x tiende a menos infinito de x menos 1 partido por x cuadrado menos 1, os queda, tomo el término de mayor grado, ¿veis que sale lo mismo? 00:44:49
¿Qué quedaría aquí? Límite cuando x tiende a infinito de 1 partido por x, ¿y cuánto es 1 partido por menos infinito? 00:45:12
También es cero, ¿no? 00:45:22
Vamos, diríamos menos cero, pero no es más cero que menos cero, ¿no? 00:45:24
Pues también asíntota horizontal por la izquierda igual a cero. 00:45:27
Gráficamente, ¿qué quiere decir esto? 00:45:37
¿Cuál es la recta igual a cero? 00:45:43
Es esta de aquí, ¿no? 00:45:46
Pues que esta función se aproxima en infinito y en menos infinito a cero. 00:45:47
lo que no sé 00:45:55
todavía, que ya lo veremos 00:45:58
es que también podría aproximarse 00:46:00
por abajo 00:46:02
yo eso os lo voy a dar con crecimiento y decrecimiento 00:46:03
o sea que eso irá más adelante 00:46:10
en el libro se explaya 00:46:11
demasiado, no miréis 00:46:14
esta parte que pone de 00:46:16
posición 00:46:18
de la síntota respecto de la curva 00:46:19
porque 00:46:22
para mí es un follón 00:46:23
entonces yo de momento os pido esto 00:46:25
No que sepáis si va por arriba o si va por debajo. 00:46:28
Si alguien quiere mirarlo, que lo mire. 00:46:32
Hay gente que lo mira y le gusta y también es muy respetable. 00:46:34
Bueno, por último, asíntotas oblicuas. 00:46:41
Bueno, para las asíntotas oblicuas es siempre, 00:46:46
una asíntota oblicua tiene esta ecuación, 00:46:53
igual a nx más n. 00:46:56
Tenéis que dibujar esa rueda. 00:47:00
Esto, generalmente, se hace utilizando estos límites. Si queréis hacer alguno, practicadlo, pero, vamos, yo en primero suelo preguntaros solo asíntotas oblicuas de funciones racionales. 00:47:01
A ver, para que haya una asíntota oblicua en una función racional, el grado del numerador tiene que ser una unidad mayor que el denominador. 00:47:18
Entonces, decidme, ¿esta función tiene asíntotas oblicuas? ¿Cuál es el grado del numerador? 00:47:30
El grado, el grado. Segundo grado. ¿Y el grado del denominador? Uno. ¿El numerador gana en uno al denominador? 00:47:37
A ver, estoy diciendo que hay asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que la de P. 00:47:52
El grado de P, o sea, si esto es P partido por Q, ¿cuál es el grado de P? 00:48:04
Habéis dicho que es 2, ¿no? 00:48:13
¿Y cuál es el grado del denominador? 00:48:16
O sea, que este es 1 más que este, ¿no? 00:48:24
Pues yo sé que va a haber asíntota oblica. 00:48:27
Bueno, lo otro miradlo, que no me va a dar tiempo a darlo, para otro tipo de funciones, pero si os pongo una función racional que es bastante habitual. 00:48:31
A ver, yo sé que va a haber un asíntota oblicuo, pero ahora me diréis, ¿qué asíntota es esa? 00:48:43
Atención, a mí me gusta dar este método porque volvemos a repasar la división de polinomios. 00:48:49
¿Os acordáis que no se dividían polinomios? Tomo el término de mayor grado. X cuadrado dividido entre X. ¿Cuánto es? X. Y ahora hago X por X y paso restando. Muy bien. Y X por menos uno. Y al cambiar de signo, más X. 00:48:57
O sea, como veis, estamos repasando la primera barra final. Me queda aquí 2x. ¿Y ahora cuánto es 2x entre x? 00:49:18
2, ¿no? Más 2, ¿no? 2 por x y paso restando. 2 por menos 1, menos 2 y paso sumando. 00:49:33
se tacha y a que 2 no puedo 00:49:45
dividirla entre x 00:49:48
bueno, pues ¿cuál es la asíntota oblicua? 00:49:49
igual 00:49:56
a x menos 2 00:49:56
lo de la m y la n 00:49:58
mirad algún ejemplo 00:50:01
pero a mi me gusta poner más 00:50:03
en primero me gusta más poner una racional 00:50:05
porque damos un poco más 00:50:08
como sobre seguro 00:50:10
bueno 00:50:12
gráficamente 00:50:13
y como veis aquí tenéis que dominarlo todo 00:50:19
a ver, yo quiero dibujar esa recta 00:50:23
¿cómo dibujáis esa recta? 00:50:25
podéis dar dos valores 00:50:30
si la x vale 0, la y vale 00:50:31
y si la x vale 1, la y vale 00:50:34
3, ¿no? 00:50:38
1 más 2 que es 3, o sea el 0, 2 00:50:42
y el 1, 3, ¿no? 00:50:44
Bueno, pues esta va a ser la asíntota oblicua. 00:50:48
¿Y qué quiere decir que esto sea asíntota oblicua? 00:50:53
Pues que la función va a acercarse a esa asíntota. 00:50:56
Lo que yo nos voy a pedir de momento 00:51:01
es que sepáis si se acerca por arriba o por abajo. 00:51:04
Si alguien quiere estudiarlo, que se lo estudie, 00:51:08
que es una cosa práctica, pero yo no os lo voy a pedir específicamente. 00:51:10
Pero vamos, yo sé que por ahí, y bueno, como veis, si hay asíntota oblicua no hay horizontal, y si hay asíntota horizontal no hay asíntota oblicua. 00:51:14
Bueno, entonces, a ver, más o menos he dado todo, pero vamos a hacer así, porque creo que os he dejado un ejercicio al final de que calculéis todas las... 00:51:27
Ah, ¿no? ¿Queréis que eso había ahí? Sí, sí, sí. Bueno, aquí. Bueno, esta función dice calcula las asíntotas. Yo solo he hecho aquí la oblicua porque sabía que había oblicua. ¿Tiene asíntota horizontal? No, porque hay oblicua. ¿Y tiene asíntota vertical? Tiene una muy vertical muy clara. ¿Sabéis cuál es? 00:51:43
Pues a ver qué os he dicho siempre que veáis cuando tenéis una función, que calculeis el dominio, ¿no? ¿Cuál es el dominio de f? Todos los números reales excepto cuando x menos 1 es igual a 0. Cuando x es 1. Pues todos los números reales, efectivamente. 00:52:08
No tiene por qué serlo, Silvia, porque ahora tengo que comprobar cuánto vale el límite cuando x tiende a 1 de x cuadrado más x partido por x menos 1. 00:52:40
¿Qué queda en el numerador? 00:52:54
1 más 1 que es 2, ¿no? 00:52:57
En el denominador 1 menos 1 que es 0. 00:53:00
Aquí ya puedo decir que hay asíntota vertical. 00:53:02
Asíntota vertical en x igual a 1. 00:53:06
Entonces, fijaos lo que yo sé de esa función. Yo sé de esa función que tiene una asíntota vertical en x igual a 1, que tenía una asíntota oblicua, que era así, ¿os acordáis? 00:53:10
Bueno, pues sé más cosas, sé más cosas de esas. Si yo calculo los límites laterales, si queréis sigo y si no, lo dejamos. 00:53:40
límite cuando extiende a uno por la izquierda de esta función bueno no a ver esto os lo creéis por 00:53:52
aquí sale menos infinito esto hacer y si hacéis el límite por la derecha de esa función sale más 00:54:07
infinito me dice esto que por la izquierda de por la izquierda esto va a menos infinito 00:54:24
y que por la derecha va más infinito pues yo sé que esta función va así 00:54:34
y que esta función por este lado base y como os habéis quedado un poco asa os lo voy a demostrar 00:54:42
Porque esto, quiero que utilicéis esta aplicación para que comprobéis los cálculos que hacéis. Creo que ya os lo he puesto en algún momento, el GeoGebra, ¿no? ¿Habéis copiado la función? A ver, creo que en el numerador era x cuadrado más x. 00:54:52
más x 00:55:23
ahora le doy a partido 00:55:26
que es 00:55:28
x más 1 00:55:29
x menos 1 00:55:31
¿la veis? ¿qué bonita? 00:55:33
¿sí? 00:55:38
bueno, pues para que quede más bonita 00:55:39
voy a poner asíntotas 00:55:40
de f 00:55:43
¿sí? y como veis tiene 00:55:44
el asíntota oblicua igual a x más 2 00:55:51
y el asíntota oblicua es igual a 1 00:55:53
el vertical es igual a x igual a 1 00:55:55
¿no? 00:55:57
Bueno, pues esto si queréis usarlo, pues os puede servir de utilidad para que entendáis cómo van saliendo las cosas. 00:55:57
Bueno, la economía depende de coger el más infinito o el menos infinito, pero sí, es una buena metáfora. 00:56:04
Bueno, pues eso es todo. Detengo esto, detengo la grabación y nada, cualquier cosa que necesitéis, pues ya sabéis. 00:56:21
Autor/es:
Javier M.
Subido por:
Francisco J. M.
Licencia:
Reconocimiento
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4 de marzo de 2024 - 19:28
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