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Recta y plano en 3D

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Subido el 5 de marzo de 2019 por Pablo Jesus T.

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Vamos a intentar explicar a nuestros alumnos la ecuación vectorial de una recta, que a algunos se les resiste. 00:00:14
En la vista 3D, pues voy a poner el punto 1, 2, 3, solamente tengo que ponerlo entre paréntesis, y ya lo tomo como un punto. 00:00:22
Ahora voy a poner el vector 3, 1, menos 1, entonces escribo vector, y aquí viene el primer truco. 00:00:32
si yo pusiera ahí entre paréntesis 00:00:39
o unos nuevos paréntesis 00:00:42
por cierto, 3, 1, menos 1 00:00:44
me pintaría el vector siempre saliendo del 00:00:45
0, 0, 0, entonces para que sepáis 00:00:48
como truco, la manera de poner un vector 00:00:50
que salga de A, pues simplemente poner 00:00:52
A y otra vez 00:00:54
A más 00:00:56
es decir, ahora 00:00:57
pongo el vector 00:01:00
3, 1, menos 1 00:01:01
y eso ya 00:01:04
me va a hacer un vector 00:01:06
fijo 00:01:07
en A, el vector libre 3, 1, menos 1 00:01:09
bueno, aquí tenemos nuestro vector U 00:01:12
de acuerdo, y ya tenemos 00:01:15
ahí lo veis, un punto y un vector, para hacer una recta 00:01:19
pues es tan simple como escribir recta 00:01:23
el punto va a ser A, el vector director pues va a ser U 00:01:26
muy bien, pues ya tenemos nuestra recta 00:01:32
recordar que para volver a la vista normal 00:01:36
de partida, pues se hace con esta herramienta 00:01:39
la recta por supuesto la vamos a poner en azul 00:01:44
que se vea bien, vale, y ya 00:01:48
lo tenemos, una recta, ¿cómo haríamos la 00:01:51
forma vectorial? lógicamente primero de todo voy a definir 00:01:56
un punto genérico que esté sobre la recta, que se llama B 00:02:00
pero, ¿veis el que tiene un poquito de diferente color? yo le voy 00:02:03
renombrar a punto P 00:02:08
entonces este punto P 00:02:10
si doy el eje y mueve 00:02:13
el móvil, le puedo poner 00:02:15
donde me dé la gana, ahora está obligado 00:02:17
a moverse sobre la recta 00:02:20
si yo defino 00:02:22
ahora el vector 00:02:24
que será el vector 00:02:27
y entre paréntesis 00:02:32
el punto P 00:02:33
eso va siempre desde el origen 00:02:36
Y el vector A, pues ya está. Ahora nos faltan varias cosas. Representar el vector OP como OA más lambda V. 00:02:39
Para calcular lambda, pues he hecho un pequeñísimo truco mirando simplemente las ecuaciones y la manera adecuada es hacer, 00:02:58
dividir el producto escalar 00:03:10
de u 00:03:14
por el vector 00:03:16
que por cierto 00:03:22
bueno, lo podríamos 00:03:25
podemos si queréis 00:03:26
incluso hacer antes 00:03:28
me ahorro un poquito de escribir 00:03:30
hago el vector ap 00:03:32
a,p 00:03:33
vale, lo único que si le pinto así 00:03:36
recordar que me le va a pintar saliendo del origen, entonces voy a poner A y que vaya hasta A más P no, 00:03:39
le vamos a tener que pintar luego desde el punto A, bueno no, del punto A al punto P, pero es que me le va a pintar en P, 00:03:56
Entonces, en vez de hacerlo con los instrumentos esto, vamos a hacerlo con la herramienta vector, ¿de acuerdo? 00:04:07
El vector de A a P, ¿vale? Aquí está el vector A a P, así sí que me le pinta correctamente. 00:04:14
Bueno, los vectores, los tres vectores que hemos pintado les vamos a poner en rojo, ¿de acuerdo? 00:04:26
el vector AP está ahí dibujado 00:04:34
no le veis bien 00:04:36
así ahora cuando lo pongo así se ve mejor 00:04:39
pero está ahí dibujado 00:04:42
el vector AP 00:04:44
de hecho tampoco es que hiciera falta dibujarlo 00:04:45
para lo que queremos comprobar 00:04:48
pero me viene bien 00:04:53
decía que el ANDA 00:04:54
es decir el número de veces que voy a utilizar 00:04:55
para ir de A a P 00:04:58
va a ser el producto escalar de u por a dividido por u por u, ¿de acuerdo? 00:05:03
Este producto escalar pues realmente me va a dar el módulo de dividir a por u como vectores, 00:05:16
o sea, como la longitud de los vectores. 00:05:21
Como veis, me lo da además con el signo correcto, porque al hacer el producto escalar 00:05:26
también tiene en cuenta si es coseno de 180 o coseno de 0, en este caso como es negativo esto, bueno, esto lo que quiere decir es que para ir de O a P hay que ir de OA y luego poner menos 2,17 veces P, ¿de acuerdo? 00:05:31
Ya de paso vamos a aprender que el vector V, si vamos a configuración, se puede escribir en látex poniendo over, right, arrow y entre llaves, pues, op. 00:05:48
Si doy enter, pues ya habéis visto el vector op. 00:06:14
Si selecciono CTRL-C y me voy a W, pues puedo hacerlo aquí lo mismo, que es OA, y por último, pues lo puedo hacer en AP, que es AP, ahí lo tenéis, y ya está. 00:06:21
Lo que pasa es que AP es lambda a veces U. 00:06:44
Entonces ya para rematarlo, fijaros que además puedo mover P, 00:06:48
esto me hace que realmente se entienda la ecuación, pero vamos a escribirla. 00:06:54
Simplemente aquí volveremos a utilizar en fórmula látex lo mismo, 00:07:02
O P 00:07:07
Quitamos las llaves 00:07:09
Igual 00:07:11
Estoy utilizando control C 00:07:14
A o A 00:07:18
Y ahora pondremos 00:07:19
Mirad como nos va quedando 00:07:23
Vamos a poner detrás 00:07:25
Maslanda V 00:07:27
O Maslanda U, perdón 00:07:29
Se me va todo el rato el nombre 00:07:32
Bien, para hacerlo bonito 00:07:34
bonito, lo que voy a hacer es que el signo 00:07:37
me le ponga el, si es negativo lo pone automáticamente 00:07:41
pero si es positivo no, entonces podemos hacer una pequeña trampa 00:07:45
aquí primero voy a escribir lambda porque luego lo voy a 00:07:49
necesitar, vaya 00:07:53
vamos a borrarlo y vamos a ponerlo con lambda, y ahora editar 00:07:54
bueno, pues nos vamos a poner, lo voy además a copiar 00:08:01
con control c y voy a escribir delante si 00:08:05
lambda mayor que cero 00:08:09
entonces como es positivo no le pone signo y yo quiero que le ponga 00:08:12
un más y si es negativo 00:08:17
lo pone por defecto así que le pongo que no ponga nada 00:08:21
y detrás finalmente pues lambda 00:08:24
eso si vais a vista previa pues ya lo tenemos 00:08:27
Y detrás todavía U. Por cierto, para poner U, pues podemos poner BEC y entre llaves U. 00:08:33
Ahí está perfecta nuestra ecuación vectorial. 00:08:43
¿Que no la veis bien? Vamos a ponerla un poquito más grande. 00:08:47
Ahí estamos, texto, mediano y color, pues podemos elegir un verde. 00:08:55
no os asustéis que en cuanto le de ok nos lo pone bien 00:09:01
bueno y ya hemos terminado nuestra construcción 00:09:08
en la que cualquier alumno debería entender 00:09:12
como la ecuación vectorial de cualquier punto sobre la recta 00:09:15
es esta que tenemos aquí 00:09:20
vamos a explicar ahora como ver la ecuación vectorial de un plano 00:09:23
Tenemos el punto A, que podrá ser 1, 2, 3 00:09:29
El vector, a ver que lo escriba bien 00:09:35
Vector, vamos a poner, como queremos poner un vector fijo 00:09:42
Un vector libre, pero como vector fijo en A 00:09:47
Pues ponemos A más 00:09:49
Y ahora escribimos las coordenadas del vector libre 00:09:51
Que vamos a poner 3,1 menos 1 00:09:56
como veis, hasta ahora he utilizado los mismos datos que en el vídeo anterior 00:09:59
ahora vamos a hacer otro vector, v 00:10:05
que le vamos a poner también que pase por a 00:10:08
y ahora vamos a poner unas coordenadas distintas 00:10:16
que podrían ser 1,3 o menos 3,2 00:10:21
bueno, coma 2 00:10:28
ahora, vale 00:10:30
entonces el vector libre 00:10:32
1 menos 3, 2 00:10:34
pues está ahí, y como veis 00:10:36
tenemos el vector 00:10:38
u y el vector v 00:10:41
con esto se define un plano 00:10:42
si queremos ver el plano 00:10:44
pues 00:10:47
si escribimos plano 00:10:48
veis que 00:10:50
lo que me pide es un plano 00:10:52
y una recta 00:10:55
o sea un punto y una recta o tres puntos 00:10:56
entonces lo más sencillo 00:11:01
lo vamos a hacer jugando con la recta de la parte anterior 00:11:04
para no tener que calcular incluso los puntos 00:11:09
y que no me salgan ahí más puntos, escribo plano 00:11:12
voy a poner que pase por el punto 00:11:15
no voy a necesitar tres puntos porque si pusiera la recta anterior 00:11:18
no tendría, es decir, voy a escribir el punto B, venga, vamos más rápido, A más U 00:11:24
sería el punto B, y A más V 00:11:28
pues sería el punto C, que son los extremos 00:11:32
de los vectores fijos A, B, A, C, que definen 00:11:36
los vectores libres U, U, V, ¿de acuerdo? 00:11:40
Bueno, ahora si cogemos la herramienta plano, por ejemplo, y pinchamos 00:11:44
en A, en B y en C 00:11:48
pues nos sale la ecuación de un plano 00:11:52
que por cierto la tenemos aquí abajo 00:11:55
y una cosa muy espectacular 00:11:57
es que yo puedo ver ese plano 00:12:02
dando en representación 2D 00:12:03
es decir, aquí estoy viendo el plano este 00:12:05
como esos dos vectores están sobre el plano 00:12:08
si yo me fuera al sitio adecuado 00:12:11
debería verlos 00:12:14
efectivamente 00:12:19
he movido los ejes 00:12:20
puedo quitar o no, o dejarlos, también con la cuadrícula 00:12:22
y en los vectores u y v 00:12:26
que están sobre el plano, si me pongo así, estoy viéndolo 00:12:28
completamente lateral 00:12:34
pues son estos dos vectores, y si me interesa, pues puedo trabajar la vista 2D 00:12:37
en particular me va a interesar ahora para que veáis como pongo el punto P 00:12:42
voy a definir un punto P 00:12:46
que va a estar en el plano 00:12:48
pues ahí por ejemplo 00:12:52
como veis el punto D 00:12:57
está obligado 00:12:59
a moverse en el plano 00:13:00
como se está viendo 00:13:03
perfectamente en el otro 00:13:04
en el dibujo de aquí 00:13:06
lo cual es 00:13:09
bastante espectacular 00:13:10
ahora pues por supuesto 00:13:12
ADL renombro como hemos hecho 00:13:13
en el vídeo anterior 00:13:16
defino el vector P 00:13:21
ahora va a ser un poco repetitivo 00:13:23
defino el vector A 00:13:29
que son vectores que salen del origen 00:13:31
y que me permiten ir hasta A 00:13:37
para después, desde ahí, con una combinación lineal de U y V 00:13:40
pues ir hasta P 00:13:44
¿de acuerdo? 00:13:48
bueno 00:13:51
Bien, aquí como nos costaría ver la descomposición factorial de P, pero ya que estamos lo vamos a hacer bien y vamos a hallar las coordenadas del punto P en la base UV. 00:13:51
Para eso, lo que vamos a hacer, aunque sería mucho más fácil definir un lambda y un mu y ver que cualquier combinación lineal moviendo con dos deslizadores, lambda y mu, genero cualquier p. 00:14:11
pero no, quiero que sea que me dé el andamu moviendo yo P 00:14:26
entonces cojo la herramienta recta paralela 00:14:30
y digo, bueno, pues para hallar la coordenada en U 00:14:36
voy a hacer la paralela V que pasa por P 00:14:40
pues la paralela V que está aquí 00:14:42
que pasa por el punto P que está aquí 00:14:45
eso es, y este punto es el que me va a interesar 00:14:47
como puede ser que no hiciera intersección con el vector 00:14:53
pues vamos a hacerlo bien bien y vamos a hacer la recta de A a B 00:14:58
como veis podemos trabajar incluso sobre el plano en 2D 00:15:04
lo cual nos da una gran gran ventaja 00:15:07
y ahora lo que vamos a hacer es el punto de intersección 00:15:10
entre F y G 00:15:14
ese punto de intersección entre F y G que es D 00:15:17
ahora hacemos el vector AD 00:15:19
vector 00:15:22
que le ha llamado C 00:15:28
y lo único que tenemos que hacer ahora para hallar nuestro lambda 00:15:31
como hemos visto en la otra construcción 00:15:36
es el producto escalar de UC 00:15:40
partido por U 00:15:43
de acuerdo, y eso nos va a dar 00:15:46
el lambda 00:15:51
que es 0.83 00:15:53
vamos a ocultar aquí 00:15:54
todo lo que hemos hecho 00:15:57
para sacarlo 00:15:59
incluyendo 00:16:01
este punto E 00:16:03
que nos lo está duplicando 00:16:06
pequeño error 00:16:08
que tiene GeoGebra 00:16:10
y ahí está todo perfecto 00:16:11
pero ya tengo mi lambda 00:16:14
ahora para hacer mi moon 00:16:15
pues haré lo mismo 00:16:18
ahora hago la paralela AU 00:16:20
que pasa por P 00:16:23
la paralela AU 00:16:25
vamos a ver aquí arriba 00:16:27
que pasa por el punto P 00:16:31
tengo que hacer la recta AC 00:16:34
tengo que hacer la intersección 00:16:39
entre las dos rectas 00:16:42
que lo puedo hacer aquí 00:16:46
aquí 00:16:47
se ve bien 00:16:48
El punto E 00:16:52
Pues ya está 00:16:54
Tengo que hacer el vector 00:16:55
A, E 00:16:57
Que lo ha llamado D de Dinamarca 00:17:02
Y ahora simplemente 00:17:06
Para hallar nuestro mu 00:17:08
Pues sería 00:17:09
V, D 00:17:11
Partido 00:17:13
V, V 00:17:15
Y menos 1,35 00:17:18
No puede ser 00:17:21
las veces que hace falta, ¿no? 00:17:22
porque tiene que ser positivo 00:17:26
algo estoy llamando mal 00:17:29
es el vector v por el vector ae 00:17:31
no es menos 1,35 00:17:35
es 1,35 00:17:39
hay que ver bien 00:17:40
bueno, ahora oculto todo 00:17:42
y ya tengo 00:17:46
nos vuelve a crear aquí un punto 00:17:48
porque si, tengo perfectamente nuestro lambda 00:17:52
y nuestro mu, con lo cual ya simplemente 00:17:56
pues si lo queremos ver el vector AP 00:18:01
sería la combinación lineal, pero ni siquiera 00:18:04
vamos a ponerlo simplemente con texto, es decir 00:18:13
vamos a poner aquí, como hemos hecho antes, fórmula late 00:18:17
no tendré el overwrite, pero bueno 00:18:21
voy a buscarlo aquí, que también está 00:18:25
en fórmula 00:18:27
látex, perdón 00:18:29
aquí lo tenemos 00:18:30
overwrite 00:18:33
vamos a poner 00:18:35
open 00:18:36
mirad 00:18:39
como lo ha puesto de bien 00:18:41
igual, pues 00:18:43
con control c y control v 00:18:45
voy a poner 00:18:47
y luego será, ya sabéis que no 00:18:50
ponemos más sino ponemos una combinación para landa por un entonces ponemos aquí 00:18:56
landa pinchamos dentro control c y ahora 00:19:04
adelante escribimos sí landa es mayor que cero pues nada menos 00:19:11
que ponme con más y si no es menor que cero pues no me 00:19:18
pongas nada, detrás ponemos un lambda y si no me he equivocado me falta el vector u 00:19:27
back u, overwrite arrow es cuando tengo más de una letra, si no, oye, nos ha quedado perfecto 00:19:37
repetimos, por supuesto para la V 00:19:49
voy a seleccionar esto con control C 00:19:53
aquí voy a marcar que me ponga Mu 00:19:57
no me lo llamo Mu, me lo llamo E 00:20:01
pero bueno, vamos a intentar luego cambiarle el nombre 00:20:06
también es más fácil con E 00:20:11
damos control V y aquí ponemos E 00:20:13
y aquí ponemos E 00:20:17
y detrás 00:20:20
también podemos volver 00:20:22
si se nos da bien el control C 00:20:25
y el control V 00:20:27
pues poner V 00:20:29
y mirar la vista previa 00:20:30
me ha puesto 00:20:35
un paréntesis 00:20:38
como E 00:20:40
es 1,35 00:20:44
porque en vez de 1.35 00:20:54
hay una i delante 00:20:59
en vez de un sí 00:21:02
bueno, pues ya tenemos 00:21:03
nuestra fórmula vectorial 00:21:07
que como antes 00:21:10
la podemos seleccionar 00:21:14
vamos a dar propiedades 00:21:15
ponerla en grande 00:21:20
o en mediano, en un color verde 00:21:24
oscuro, vamos a volver a dar aquí ok 00:21:27
para que nos lo ponga bien 00:21:35
y aquí arriba dejamos la ecuación vectorial 00:21:37
por aquí hay cosas que han empezado a verse 00:21:43
como esta recta 00:21:47
un punto F que nos ha creado sin venir a cuento 00:21:50
y bueno 00:21:56
pues yo creo 00:22:00
que el vector 00:22:01
pues lo tenemos ahí bien 00:22:04
0,83 veces 00:22:08
U más 1,35 veces V 00:22:10
lo bonito que tiene 00:22:13
es que ahora yo puedo mover 00:22:14
P lo que me dé la gana 00:22:15
y arriba me va saliendo 00:22:18
la combinación lineal 00:22:21
es decir, puedo ir 00:22:23
de O a P 00:22:24
siempre con la ecuación vectorial de arriba 00:22:26
podríamos como en el vídeo de la recta 00:22:31
cambiar estos valores, pero ya lo hemos explicado antes 00:22:35
para cortar el vídeo, pues terminamos aquí 00:22:38
Autor/es:
Pablo J. Triviño Rodríguez
Subido por:
Pablo Jesus T.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
129
Fecha:
5 de marzo de 2019 - 22:51
Visibilidad:
Público
Centro:
IES CARMEN CONDE
Duración:
22′ 43″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
66.03 MBytes

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