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Matemáticas nivel II. Sesión 18-02-2021 - Contenido educativo

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Subido el 18 de febrero de 2021 por Luis A.

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En esta sesión hemos estado realizando prácticas con ejercicios donde tenemos que utilizar el Tª de Tales o el Tª de Pitágoras.

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Bueno, ya estoy grabando. Hoy lo que vamos a hacer es dentro del tema de geometría, ¿vale? 00:00:00
Que ya hemos estado viendo todo esto. Vamos a hacer problemas sobre todo centrándonos más en el cálculo de áreas, 00:00:10
perímetros y tal de distintas figuras, utilizando el teorema de Thales y el teorema de Pitágoras, ¿vale? 00:00:20
Bueno, algunos de los que vamos a hacer están aquí en este contenido de aquí abajo, en el ejercicio 1, pero bueno, también tengo otros por ahí para ver un poco de todo. 00:00:27
Simplemente antes de empezar con esto, como un paréntesis inicial en tecnología, que ya os había comentado que estábamos con el tema 3 de tecnología, el de la parte de biología, digamos, 00:00:40
Os he dejado puesto también que la semana pasada vino una doctora al centro para hablar de una conferencia que se llamaba Alimentación consciente para una vida feliz y saludable. 00:00:53
Pues la he dejado aquí, ¿vale? Es una charla que se dio para celebrar el 11 de febrero, que es el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, que es un evento que se realiza para que las niñas de los colegios, sobre todo, se animen a ver la ciencia y a utilizar la ciencia y estudiarla, ¿vale? 00:01:12
Entonces, pues dentro de esa charla, pues este año, otros años han venido otras personas, pues este año ha venido esta doctora, Belén Peral, y nos habló de alimentación consciente para una vida feliz. Está aquí colgado y lo podéis ver cuando queráis, no sé si dura una hora o algo así, y lo podéis ver cuando queráis, ¿vale? No es obligatorio, pero bueno, está aquí, ¿vale? Dentro de la parte de nutrición, alimentación y salud, ¿vale? Dentro del tema 3, ¿vale? 00:01:41
por si lo queréis echar un vistazo. 00:02:11
Bueno, pues de lo que sería de matemáticas, pues vamos a ver así algunos ejercicios. 00:02:14
Pues, por ejemplo, dentro del tema del teorema de Tales y teorema de Pitágoras, 00:02:22
pues, por ejemplo, que me habéis preguntado aquí, 00:02:29
quiero recordar este aquí, el ejercicio 10. 00:02:33
Entonces, vamos a ver este ejercicio 10, a ver cómo se haría, ¿vale? 00:02:38
Y, aunque está aquí resuelto y tal, pero como hay alguna duda, pues os lo resuelvo, ¿vale? 00:02:43
Entonces, voy a ponerlo aquí y vamos a resolver este ejercicio, vamos a ver cómo se haría este ejercicio. 00:02:51
Pues dice, en un triángulo rectángulo, que es este, el de la figura, se traza la altura sobre la hipotenusa. Este es un triángulo rectángulo porque este ángulo de aquí es un ángulo de 90 grados. Este de aquí arriba es de 90 grados. 00:03:02
Si este es de 90 grados, el 8 y el 6 son los catetos y este de aquí abajo es la hipotenusa, ¿vale? Esta es la hipotenusa. Pues dice que se traza la altura sobre la hipotenusa, por eso lo trazamos así, ¿vale? 00:03:18
Y nos da dos triángulos, que esto ya vimos el otro día, que son triángulos semejantes. ¿Por qué son semejantes? Porque coinciden entre el triángulo grande y este naranja, coinciden, por ejemplo, un ángulo recto y un ángulo recto, este de aquí, y este ángulo. 00:03:33
Este ángulo es común a los dos, entonces por los criterios de semejanza de triángulos, estos dos triángulos, el grande y el naranja, son semejantes 00:03:55
Si el grande y el naranja son semejantes, pues este otro también, el azul y el grande también son semejantes y el azul y el pequeño también son semejantes 00:04:07
Los tres son semejantes, por eso se traza esta altura 00:04:15
calcula el valor de m y de n, ¿vale? de m y de n, pues entonces lo que podemos decir es como esto es un triángulo rectángulo por el teorema de Pitágoras, ¿vale? 00:04:22
por el teorema de Pitágoras, hipotenusa al cuadrado, ¿vale? lo voy a dibujar aquí el triángulo, ¿vale? más o menos de la misma forma, ¿vale? 00:04:35
Esto es 6, este es el ángulo recto, esto es 8, y esto lo vamos a llamar hipotenusa, pues h. 00:04:51
Por el teorema de Pitágoras, pues h al cuadrado es igual a 8 al cuadrado más 6 al cuadrado. 00:04:57
8 al cuadrado es 64, 6 al cuadrado es 36, esto es 100, por lo tanto h es igual a 10, 00:05:03
porque la respuesta menos 10, ¿vale? Esto sería h es igual a más menos raíz de 10, ¿vale? 00:05:12
y esto daría dos soluciones, 10 y menos 10, la solución menos 10 no es válida porque las distancias no pueden ser negativas, 00:05:19
entonces la hipotenusa del grande mide 10, si la hipotenusa del grande mide 10, entonces m más n es igual a 10, 00:05:28
si m más n es igual a 10 ya tengo una 00:05:38
una ecuación 00:05:42
¿cómo puedo sacar las otras? pues las otras las puedo sacar de esta misma manera 00:05:45
pues el triángulo del triángulo naranja como también es un 00:05:50
triángulo rectángulo 00:05:54
pues si esto es n y esto es 8 00:05:56
si a esto lo llamo h como lo he puesto aquí, bueno lo voy a llamar a 00:06:03
¿Vale? Para no liarnos a altura, a, pues 8 al cuadrado es igual a n al cuadrado más a al cuadrado, por lo tanto, bueno, no, ya está, lo dejamos así, para lo mismo. 00:06:07
Este del naranja, del azul, pues del azul es exactamente igual, pues lo voy a poner aquí para que se vea que es más o menos en la misma altura, 00:06:20
esto es m, esto es 6 00:06:28
y esto también es la misma altura a, entonces 6 al cuadrado es igual 00:06:36
a m al cuadrado más a al cuadrado 00:06:40
cateta al cuadrado más cateta al cuadrado, pues ya tengo 00:06:44
realmente tengo tres ecuaciones con tres incógnitas, m 00:06:47
n y a, esta primera ecuación de aquí, esta segunda 00:06:52
del triángulo naranja, esta tercera de este otro 00:06:56
Nos podemos quitar incógnitas de más, por ejemplo, de estas dos, puedo hacer por reducción 8 al cuadrado es igual a m al cuadrado más a al cuadrado, y 36 es igual a m al cuadrado más a al cuadrado. 00:06:59
cambio el signo a toda esta, vale, esta es como si la multiplicase la de abajo por menos 1, vale, y entonces ahora como si hiciese reducción 64 menos 36, 4 y 4, 8, 4, 2, 28, y esto es igual a m al cuadrado menos m al cuadrado, vale, entonces ya tengo aquí una ecuación 00:07:23
Y aquí tengo la otra, es decir, m más n igual a 10 y n al cuadrado menos m al cuadrado es igual a 28. 00:07:49
Y ahora aquí, pues, puedo hacer, por ejemplo, por sustitución. Digo, m es 10 menos n. 00:08:02
Pues entonces de este otro de aquí, pues resulta que n al cuadrado menos n, que sería esto de aquí arriba, al cuadrado es igual a 28. 00:08:10
Ahora, si esto es así, pues voy operando, esto ya es una ecuación de segundo grado 00:08:26
Resuelvo esto de aquí, ¿cómo sería? Pues es un producto notable 00:08:33
10 menos n al cuadrado, pues cuadrado del primero 00:08:38
Menos el doble del primero por el segundo 00:08:42
Más cuadrado del segundo 00:08:45
Pongo el paréntesis porque aquí hay un signo menos 00:08:50
Entonces al quitar el paréntesis pues me queda n al cuadrado menos 100 más 20, ¿vale? Más porque cambio todos los signos, cambio este, menos por menos más y menos por más menos n al cuadrado igual a 28. 00:08:53
Y qué casualidad que n al cuadrado menos n al cuadrado se va y nos queda 20n menos 100 igual a 28. 20n es igual a 100 más 28. n es igual a 128, 20, 20. 00:09:08
A ver, 128 entre 20 00:09:29
Y 128 entre 20 es 00:09:33
Qué raro, vamos a ver, 64 00:09:37
6,4 00:09:41
6,4 00:09:44
Si n es 6,4, pues m 00:09:47
Si n es 6,4, m es igual a 10 menos 6,4 00:09:50
que es 3,6 00:09:56
¿vale? y 00:10:01
6,4, efectivamente 6,4 y 3,6 00:10:04
¿vale? aquí está resuelto de una manera, bueno yo no sé si lo he resuelto de otra 00:10:08
ah sí, es la misma, pero desarrollándolo más 00:10:13
¿vale? lo que hay que tener cuidado es que, claro, realmente es como si 00:10:16
viniésemos de varias 00:10:20
ecuaciones, esta primera, esta segunda 00:10:23
y esta tercera, pero la altura 00:10:27
no la necesitamos y por eso nos quedamos 00:10:32
solo con esta de aquí abajo, ¿vale? y de esta manera 00:10:36
pues podemos solucionarlo, ¿vale? 00:10:39
bueno, este es el primer ejercicio que teníamos 00:10:44
vamos a ver otro ejercicio 00:10:48
por aquí 00:10:51
este de aquí, ¿vale? El de la pirámide, ¿vale? El teorema de Pitágoras 00:10:54
en el espacio. Cuando en el tema siguiente veamos 00:10:59
el teorema de Pitágoras en el espacio 00:11:03
pues, o sea, seguramente veamos esto también, ¿vale? Pero por ahora 00:11:07
pues como lo tenemos aquí, pues lo vamos haciendo 00:11:11
también, ¿vale? En esta 00:11:15
En esta actividad lo que tenemos es una pirámide cuyas caras, las caras que son los lados, podríamos decir, de la parte de arriba a la de abajo es un cuadrado, lo dice aquí, la base es un cuadrado, y las caras, es decir, los que se levantan hasta el vértice, que es el punto superior, pues estas caras son triángulos equiláteros. 00:11:19
Esto es importante, no es lo mismo que sean equiláteros que sean otro tipo de triángulos. Entonces calculamos la altura. Para calcular la altura nos tenemos que imaginar una distancia que va desde el vértice hasta el punto medio de la base. 00:11:44
Como la base es un cuadrado, un cuadrado de lado 2, y este punto es justo el punto en el que cae. 00:12:02
¿Vale? Este punto, pues tenemos que... pues vamos a ver cómo sería. 00:12:20
Para calcular la altura nos podemos basar en este triángulo. 00:12:29
Ese triángulo de ahí sería esta distancia, ¿vale? 00:12:33
Esta distancia, la distancia que va desde el centro hasta el vértice, que sería la altura, y esta otra distancia de aquí. 00:12:39
¿Vale? Como esta distancia es 2, pues ya la tenemos. 00:12:47
¿vale? lo pongo así 00:12:50
esta es la altura de la pirámide 00:12:53
vamos a darle a altura, esto es 2, que es el lado 00:12:57
de la pirámide, y esta distancia de aquí 00:13:02
es igual que esta verde de aquí, ¿cuánto mide esta de aquí? vamos a llamarle x 00:13:06
vamos a llamarle x, ¿y cómo lo calculamos? 00:13:10
pues lo calculamos, por ejemplo, se puede hacer de varias formas 00:13:14
Podemos decir, oye, pues lo calculamos con este triangulito, es decir, este triángulo, que esto sería 1, porque si de aquí hasta arriba es 2, desde aquí hasta aquí, toda esta distancia es 2, pues este pequeñito solo será 1. 00:13:18
¿Cuánto mide este de aquí? Pues exactamente igual, como en la mitad, pues también mide 1 00:13:35
Entonces, por el teorema de Pitágoras, x al cuadrado es igual a 1 al cuadrado más 1 al cuadrado 00:13:40
Que sería 2, pues x es igual a más menos raíz de 2 00:13:45
Como la distancia negativa no me interesa, pues la x es raíz de 2 00:13:50
Por eso este de aquí es raíz cuadrada de 2 00:13:54
Si esto es raíz cuadrada de 2, pues por el teorema de Pitágoras 00:13:57
hipotenusa al cuadrado es igual a cateto al cuadrado más cateto al cuadrado 00:14:01
4 es igual al cuadrado más 00:14:06
raíz cuadrada de 2 al cuadrado 00:14:12
raíz cuadrada de 2 al cuadrado por raíz de 2 por raíz de 2, 2 00:14:14
y entonces al cuadrado es igual a 4 menos 2 00:14:18
que es 2, pues A es la raíz de 2 00:14:24
¿vale? entonces la altura es raíz de 2 00:14:28
vale 00:14:32
vamos a 00:14:34
por otro ejercicio 00:14:39
a ver que busque 00:14:40
vamos a ver 00:14:42
voy a buscar este de aquí 00:14:44
de semejanza 00:14:59
no, semejanza de áreas 00:15:00
este de aquí 00:15:05
el de 00:15:08
dentro de semejanza 00:15:09
en semejanza de áreas 00:15:12
vamos a ver este ejemplo 00:15:13
que dice que en un supermercado 00:15:15
en un supermercado hemos encontrado las latas de maíz y en un supermercado encontramos las 00:15:18
latas de maíz de distinto tamaño y son semejantes vale la pequeña y la grande son semejantes calcula 00:15:38
el área de la lata pequeña el área y realmente se vamos a calcular sólo el área de la lata de 00:15:46
la tapa. Esto cuando veamos las fórmulas en el espacio podemos calcular áreas laterales 00:15:56
y tal, pero ahora simplemente vamos a calcular el área de la tapa. ¿Cuál es la razón 00:16:04
de semejanza de ambas latas? Claro es que este lo había puesto pensando en los volúmenes 00:16:12
y por eso tiene sentido hablar de logramos. 00:16:24
Bueno, a ver, vamos a ver, no, vamos a, vale, claro, bueno, vamos a ver este ejemplo calculando, 00:16:28
a ver si podemos calcular cuánto es la altura de esta lata de maíz, vale, la altura de la grande, 00:16:43
que no la conocemos. Vamos a llamar a esta altura, la llamamos, por ejemplo, x, ¿vale? A esta altura, a esta altura la llamamos x, y como son semejantes, 00:16:49
pues entonces la base de la grande dividido entre la base de la pequeña, por ejemplo, es igual a la altura de la grande dividido entre la altura de la pequeña. 00:17:05
Con esto podemos saber cuánto mide la altura de la grande. 00:17:22
10,494 por 3,5, dividido entre 6,6. Vamos a calcularlo a ver. 00:17:28
10,494 por 3,5 00:17:41
dividido entre 6,6 00:17:50
5,565 00:17:53
5,565 00:17:57
pues la altura de la grande es 5,565 00:18:00
en este sentido no tendría 00:18:05
en principio este ejercicio había puesto 00:18:09
calcula el área y el volumen, pero como no hemos visto volúmenes pues tampoco 00:18:13
me quería meter ahí, lo que sí que podemos ver es 00:18:17
la relación que hay entre las áreas de uno y de otro 00:18:21
eso sí se podría ver, calcula el área de la mayor 00:18:25
a partir de los datos obtenidos de la pequeña con el su peso 00:18:29
este ejercicio al final no se puede hacer porque está pensando 00:18:32
lo voy a poner aquí, está pensando en volúmenes 00:18:37
estaba pensando 00:18:40
para cálculo 00:18:42
con volúmenes 00:18:47
entonces este no 00:18:51
este no tiene mucho 00:18:55
mucho sentido de ahí 00:18:56
que normal que tenga el relajo en este ejercicio 00:18:58
vale 00:19:01
me queda uno así que me habéis dicho también 00:19:03
este que sería 00:19:06
a ver si lo encuentro bien 00:19:08
Y la otra duda que había surgido era con este ejercicio de aquí, que dice que en este dibujo tenemos dos hexágonos regulares y como son hexágonos regulares, pues los lados son iguales, o sea, los lados son proporcionales y todos los ángulos van a coincidir. 00:19:13
Entonces todo va a ser semejante. Entonces si todo es semejante, voy a pegarlo aquí, si todo es semejante, entonces son semejantes claramente y sabemos que la razón de semejanza es 2. 00:19:46
Entonces, si la razón de semejanza es 2, ¿vale? Significa que si esto mide, si esto mide x, por ejemplo, ¿vale? Pues entonces sabemos que 3 partido por x es igual a 2, ¿vale? 00:20:02
porque cualquier división entre cada, cualesquiera lados equivalentes, pues van a ser proporcionales, entonces, por ejemplo, 3 es igual a 2x, x es igual a 3 partido por 2, que es 1,5, este lado es 1,5, 00:20:20
Eso me da igual, ¿vale? No me está pidiendo esto, me está pidiendo la razón de las áreas, ¿vale? Si esta área es 23,38, el área de la otra, ¿vale? El área de la otra será también, será también proporcional y será proporcional. 00:20:40
Pero si el hexágono es más grande 00:21:00
El lado no puede ser 00:21:03
1,5 00:21:05
Ah, vale, vale, sí 00:21:06
Tienes razón 00:21:09
Esto 00:21:10
Espera un momento 00:21:12
Tienes razón 00:21:13
El área 00:21:20
Claro, el grande 00:21:24
Claro, el grande 00:21:27
Entre el pequeño es 2 00:21:28
Es esto lo que es el grande entre el pequeño 00:21:30
x es igual a 2 por 3, 6, vale, eso sí 00:21:32
vale, entonces para pasar 00:21:36
porque para pasar de uno al otro realmente lo que hacemos es multiplicamos 00:21:40
por la razón, por esa razón de semejanza, que es por 2 00:21:44
pero para pasar las áreas, las áreas son 00:21:47
distancias cuadradas 00:21:51
y entonces como habíamos visto aquí, vale, en esta parte que habla 00:21:56
de semejanza de áreas, como habíamos visto aquí, en esta parte de semejanza de áreas, 00:22:00
las áreas no van, si la razón es 2, no van de 2 en 2, sino que van de 4 en 4, porque 00:22:09
se elevan al cuadrado, ¿vale? Pasamos de 1 al doble de distancia, ¿vale? Pasamos de 00:22:16
1 a 2, pues pasamos de un cuadradito a cuatro cuadraditos, entonces la razón también va 00:22:22
será el cuadrado, entonces en vez de ser esta misma medida 00:22:28
pues será esa medida elevada al cuadrado 00:22:32
vale 00:22:37
entonces el área grande será el área pequeña que es 00:22:38
23,38 por esa razón elevada al cuadrado 00:22:48
esa razón es 4 00:22:53
23,38 por 4 que es 00:22:54
23,38 00:22:59
por 4, 93,52 00:23:06
y ahora ya sí que son, si el origen es centímetros cuadrados 00:23:10
pues este también será centímetros cuadrados, ¿vale? 00:23:17
Bueno, vamos a ver otros ejemplos que serían 00:23:25
de cálculos de áreas de distintas figuras, ¿vale? Supongamos que lo que queremos 00:23:29
hacer es calcular el área de esta figura, de esta figura rara 00:23:32
vale, pues esta figura 00:23:36
al final 00:23:38
lo que tenemos es 00:23:39
un trapecio 00:23:42
aquí arriba, un trapecio 00:23:44
y aquí abajo tenemos otra figurita 00:23:46
que dice que está girada a 40 grados 00:23:48
vale, muy bien, está muy bonito 00:23:50
¿qué es lo que 00:23:52
sucede? pues que esto 00:23:54
si este lado mide 2 y este lado mide 2 00:23:56
pues esto 00:23:58
esto es un 00:23:59
esto es un 00:24:02
cuadrado, vale, no me dice nada más 00:24:04
entonces yo supongo que esto es un cuadrado, estos ángulos son rectos, entonces esto es un cuadrado 00:24:06
¿cuánto es el área de todo? pues área de este cuadrado 00:24:11
y área de este otro cuadrado de aquí 00:24:15
entonces voy a copiarlo aquí 00:24:18
pues esto por ejemplo lo llamamos A1 00:24:21
y esto A2 00:24:39
entonces como A1 es un cuadrado 00:24:40
no me dice que no lo sea 00:24:44
si tuviese otra forma 00:24:52
podría suponer que es un rombo o lo que sea 00:24:54
pero así ahora mismo 00:24:55
esto es un cuadrado 00:24:56
no hay más, A1 00:24:59
es igual a 00:25:01
lado al cuadrado por 2 al cuadrado 00:25:03
que sería 4 00:25:05
centímetros cuadrados 00:25:06
centímetros cuadrados porque estos son centímetros 00:25:08
por centímetros cuadrados 00:25:11
y el A2 es un trapecio 00:25:12
es un trapecio 00:25:15
¿cuál es la fórmula del área al trapecio? 00:25:17
pues el área al trapecio es semisuma de las bases 00:25:21
por la altura 00:25:24
¿cuántos son las bases? pues 8,5 00:25:27
la pequeña es 5 00:25:30
y la altura 1,5 00:25:34
pues esto lo calculo y me queda 00:25:38
Vamos a ver la calculadora aquí. 8,5 más 5 son 13,5 entre 2. 6,75 por 1,5. 10,125 centímetros cuadrados. ¿Cuánto es el área total? Pues el área total es la suma de las dos a 1 más a 2. 00:25:42
Y esto es 4 más 10 no sé cuánto, pues 14,125 centímetros cuadrados, ¿vale? 00:26:05
Este del primero, el segundo que viene ahí, ¿cómo sería? Pues parecido, a ver, ¿dónde lo tengo? 00:26:14
este otro de aquí, pues para calcular este 00:26:24
para calcular este 00:26:28
pues igual tenemos que irnos a cosas que sean más o menos 00:26:36
conocidas, ¿vale? entonces yo aquí lo que veo es 00:26:40
este así grande, si lo divido por aquí 00:26:43
¿vale? este a 1, que es un cuadrado porque esto 00:26:46
mide 4 y la base también, este lo voy a llamar a 2 00:26:52
Y este A3, lo puedo llamar como me dé la gana 00:26:55
El A1 es un cuadrado 00:26:58
Pues si es un cuadrado es lado al cuadrado 00:27:01
16, ¿qué unidad? Por centímetros también 00:27:04
Por centímetros cuadrados 00:27:08
¿El A2 qué es? El A2 es un triángulo 00:27:09
Como es un triángulo, pues el área del triángulo es base 00:27:13
4 por altura, 1, dividido entre 2 00:27:16
2 centímetros cuadrados 00:27:20
¿Y el A3 cuánto vale? 00:27:23
Pues el A3 es un arco de circunferencia, ¿vale? No es una semicircunferencia ni nada, sino que es este pequeño arco. 00:27:25
Entonces, puedo hacer dos cosas, o bien acudo a las fórmulas, que voy a hacer eso, o bien lo calculo, pues calculando solo lo que sería este sector circular, este quesito, ¿vale? 00:27:40
¿Qué quesito sería la división, la regla de 3, digamos? Pues si el área del círculo completo, el área del círculo es pi por el radio al cuadrado, pues el área de este sector circular sería la cuarta parte. 00:27:54
área del sector sería 00:28:13
este área dividido entre 4, ¿vale? porque son 90 grados 00:28:16
pues 90 grados, dividimos la circunferencia completa en 00:28:20
parte de 90, pues tenemos 4, podría hacer esto 00:28:24
pero claro, le tendría que quitar esta parte de aquí, ¿vale? 00:28:28
y esta parte de aquí es un triángulo, ¿vale? es un triángulo de base 00:28:32
4 y altura 2, ¿vale? 00:28:37
puedo hacerlo así, o me puedo ir a las fórmulas 00:28:40
las fórmulas pues están 00:28:43
en introducción a la geometría 00:28:46
aquí están las fórmulas de la circunferencia 00:28:48
áreas de figuras 00:28:56
áreas de figuras circulares 00:29:00
esto es lo que estaba diciendo, que sería como una regla de 3 00:29:03
pero en vez de poner 360 y 90 00:29:07
pues como en la cuarta parte, ya está 00:29:10
¿Vale? Este sería 00:29:12
¿Vale? Esta sería 00:29:13
Me podría ir a la fórmula que es exactamente lo mismo 00:29:16
Menos base por altura 00:29:18
Dividido entre 2 00:29:20
¿Vale? Es decir que lo puedo hacer de 00:29:21
De distintas maneras 00:29:23
Pues entonces sería pi 00:29:24
Por el radio al cuadrado 00:29:26
¿Cuánto mide el radio? 00:29:30
Esto es lo que tenemos que calcular 00:29:31
El radio al cuadrado 00:29:33
Dividido entre 4 00:29:35
Menos 00:29:37
El área del triangulito este de aquí 00:29:38
que sería base por altura dividido entre 2, ¿vale? Esta segunda parte de aquí es 2 entre 2, 1, pues menos 4, ¿vale? Ahora vamos a ver cuánto quedaría este de aquí. 00:29:41
¿Y cuánto mide el radio? Pues bueno, el radio, el radio que va desde aquí hasta allí, esto lo llamamos R, este radio, ¿vale? Si nos fijamos en este triángulo, este triángulo de aquí, ¿vale? 00:29:57
En este triángulo, esto mide 2, que es la mitad, esto mide 2, que también es la mitad, pues el radio, pues el radio al cuadrado es igual a 2 al cuadrado más 2 al cuadrado, 2 al cuadrado es 4, 8, pues fíjate, r al cuadrado es 8, como aquí tengo r al cuadrado, pues pi por 8 dividido entre 4, ¿vale? 00:30:18
por 8 entre 4, 8 entre 4 es 2, 2pi menos 4. El área total será a1 más a2 más a3, que es 16 más 2, más 2pi menos 4, que es 16 y 2, 18, 18 menos 4, 14, 14 menos 2pi. 00:30:48
Si quiero un número, pues busco ese número. Digo 2 por pi, pi es 3,14. Por ejemplo, en las calculadoras científicas también existe el número pi, que lo podemos buscar. 00:31:15
a ver dónde está aquí, el pi, pi, pi, pi, pi, no lo encuentro, aquí, aquí, pi, vale, pero en vez de coger el pi, pues el 3,14 y ya está, 2 por 3,14, a ver, 2 por 3,14, y si es con 28, como esto es en negativo, le cambio el signo, 00:31:35
Pues 14 menos 00:32:01
Ah, me lo tiene aquí 00:32:10
14 menos 00:32:11
6,28 00:32:16
7,72 00:32:21
Pues esto sería 7,72 00:32:25
Centímetros cuadrados 00:32:27
No puede ser, a ver, que he hecho mal 00:32:31
vale, lo que he hecho mal es que aquí pone 2 pi menos 4 00:32:34
y he puesto pi menos, y lo he puesto al revés, vale, esto es más 00:32:42
2 pi, esto es un más 00:32:47
vale, no tenía sentido lo que había puesto 00:32:50
3,14 por 2 00:32:56
6,28 más 14, 20,28 00:33:00
esto es 7, vale, no tenía sentido que 00:33:04
la suma total fuese más pequeña que el área de uno de ellos 00:33:08
bueno, pues 20,28, lo que hay que ir buscando son 00:33:11
cosas más o menos conocidas y en cuanto haya algo que no conocemos, pues lo calculamos 00:33:15
vale, vamos a ver otro 00:33:20
ejercicio, vale, de este, yo creo que no tenía así 00:33:23
ninguno más, vale, no 00:33:28
de este otro de aquí, vale, de aquí por ejemplo 00:33:31
este tiene también algunas cosas interesantes 00:33:38
este es un examen, pero bueno, le haría un poco igual 00:33:42
este por ejemplo dice, construye un triángulo semejante 00:33:46
a la de esta figura, de forma que la razón de semejanza 00:33:51
sea 1,5, ¿vale? es decir, el que tengamos que hacer 00:33:55
aquí, tiene que tener una razón de 1,5 00:33:59
entonces si este, voy a copiarlo 00:34:02
Si este tiene que tener una razón de 1,5 00:34:06
El triángulo que hagamos tendrá que tener 1,5 más 00:34:23
Vamos a ver esta distancia, ¿cuánto es? 00:34:27
1, 2, 3, 4, 5 00:34:29
Esta distancia mide 5 unidades 00:34:30
Si esto mide 5 unidades, ¿cuánto tendrá que medir la otra? 00:34:34
Pues la otra tendrá que medir 5 por 1,5 00:34:37
Y 5 por 1,5, 5 por 1,5 es 7,5. Entonces la base del siguiente tiene que medir 7,5. Entonces si digo, venga, voy a coger y empiezo aquí, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,5. Pues hasta aquí tiene que venir. 00:34:41
¿Vale? Este es el primero 00:35:02
Este sería el A' 00:35:04
Este sería el C' 00:35:08
¿Cuánto estaría este otro? 00:35:11
Pues bueno, como tiene que medir 00:35:14
Si esto mide 1, 2 y 3 00:35:15
Pues la siguiente altura 00:35:17
¿Vale? Esta altura mide 3 00:35:19
Pues la siguiente altura tiene que medir 00:35:21
3 por 1,5 00:35:23
4,5 00:35:26
Entonces la siguiente altura tiene que medir 4,5 00:35:28
Entonces 00:35:31
Entonces este de aquí mide 1, pues aquí 1,5 y tenemos que medir 4,5. 1, 2, 3, 4, 5. Hasta ahí. Entonces aquí estará el B' y estos acaban unidos. 00:35:32
¿Vale? Entonces yo ya me aseguro que esta distancia de aquí, el A'B' es 1,5 por este, ¿vale? Porque aquí lo importante es que esta altura y esta otra altura, ¿vale? Tienen que ser semejantes. Esto sería una forma de hacer la construcción, ¿vale? En este caso son números raros, pues números raros. 00:35:51
¿Qué es lo importante? Pues que si aquí yo me muevo 1, en el pequeño, en el grande me muevo 1,5 00:36:15
¿Vale? Y subo y entonces estos dos triángulos son semejantes 00:36:21
Los he puesto así, también los podría haber puesto de una forma sencilla 00:36:27
¿Vale? Y haber dicho, oye, pues en vez de ponerlos así, lo que mido son 7,5 00:36:30
Pues estos son 5, 6, 7,5 00:36:34
¿Vale? Y lo construyo aquí encima en posición de tales 00:36:38
C' y el siguiente 00:36:43
¿dónde va? pues hasta el 1,5 00:36:46
y va hasta el 4,5 00:36:48
3, 4, 5 00:36:50
y entonces 00:36:52
tendríamos este de aquí 00:36:57
y aquí sí que se ve más fácilmente 00:36:59
que son estas 00:37:02
rectas son paralelas, bueno pero 00:37:03
esto es exactamente igual, si esto lo moviésemos 00:37:05
lo colocaríamos exactamente ahí 00:37:07
entonces es una forma de construir un triángulo 00:37:08
semejante a partir de 00:37:11
otro dado 00:37:13
en este por ejemplo dice 00:37:15
haya la medida del segmento BD 00:37:24
sin utilizar el teorema de Pitágoras 00:37:28
aquí lo importante es no utilizar el teorema de Pitágoras 00:37:32
se puede hacer con el teorema de Pitágoras de una forma más sencilla 00:37:35
porque lo hemos hecho exactamente igual 00:37:39
en un ejercicio anterior, pero si 00:37:43
no lo hacemos con el teorema de Pitágoras, aquí es muy fácil 00:37:46
porque este al cuadrado más este al cuadrado es igual a este al cuadrado, entonces lo tenemos 00:37:52
pero lo podemos hacer por semejanza, ¿cómo? haciendo 00:37:55
semejanzas, este es igual que el primer ejercicio que hemos hecho hoy, como este 00:37:59
es rectángulo 00:38:03
este también es rectángulo y este también coinciden 00:38:07
pues el grande y este pequeño son semejantes, ¿vale? El ABC, este triángulo es semejante al ABD, son semejantes y son semejantes, entonces, por ejemplo, vamos a ver, 00:38:11
este es un cateto y esto es una hipotenusa, pues el que va desde el ángulo recto hasta el ángulo B es semejante al que va desde el ángulo recto 00:38:35
hasta el ángulo B, 3,3, de la misma forma que el ángulo que va, o sea, el lado que va 00:38:59
desde el ángulo recto hasta el otro ángulo, no, estamos con el pequeño, desde el ángulo 00:39:08
recto hasta el otro ángulo, 2,8, dividido entre el que va desde el ángulo recto hasta 00:39:17
al otro, 5,5, ¿vale? Y aquí podemos hallar cuánto valdría, ¿vale? Aquí lo importante 00:39:24
es dibujárselos, ¿vale? Si yo no lo veo así, por lo que vamos a que me lo dibujo 00:39:31
uno, B, D, A, y aquí me dibujo el otro, A, B, C, ¿vale? Entonces, ¿qué voy a relacionar? 00:39:34
este lado de aquí 00:39:59
con este lado de aquí 00:40:04
¿por qué con este y no con otro? 00:40:08
porque voy del recto al ángulo B 00:40:12
y en este caso voy 00:40:15
del recto al ángulo que es con el A 00:40:18
pues del recto al ángulo que es con el A 00:40:24
Porque si esto es un triángulo 00:40:26
Este más este 00:40:29
Más este es 180 00:40:32
Esto más esto más esto es 180 00:40:33
Entonces el otro ángulo es igual 00:40:36
Pero la relación 00:40:37
Perdona que te interrumpa 00:40:38
Pero la relación no sería del más grande al más pequeño 00:40:39
Por ejemplo 3,3 entre x 00:40:42
Es lo mismo 00:40:44
Porque si yo hago 3,3 00:40:45
Entre x 00:40:48
5,5 00:40:50
Entre 2,8 00:40:52
Y me queda exactamente lo mismo 00:40:54
En cualquiera de los dos casos 00:40:56
X es igual a 3 con 3 00:40:57
Por 2 con 8 00:41:00
Dividido entre 5 con 5 00:41:02
¿Vale? Me da igual hacer unas relaciones 00:41:03
El grande al pequeño que el pequeño al grande 00:41:06
Y me da igual el orden que coja 00:41:07
Yo he cogido 00:41:10
Este lado con este lado 00:41:11
Y este otro con 00:41:13
Con este otro 00:41:15
¿Vale? Pero podría haber cogido 00:41:17
Este lado 00:41:19
con este lado con este lado 00:41:22
y este lado con este lado, ¿vale? Podría haber hecho exactamente lo mismo 00:41:26
lo voy a poner aquí abajo, haber dicho en verde 00:41:30
x y 2 con 8 00:41:33
y 3 con 3 00:41:38
y 5 con 5, ¿vale? Puedo hacer exactamente la misma relación 00:41:41
y me queda lo mismo, ¿vale? Porque si me quedaría 2 con 8 por 3 con 3 00:41:46
dividido entre 5,5 00:41:49
la misma relación de antes 00:41:52
nos queda exactamente igual 00:41:54
o hacerlo el grande y el pequeño 00:41:56
si yo lo sigo sin ver 00:41:58
porque me hago lío, pues lo puedo recolocar 00:42:01
digamos que estos dos 00:42:03
son semejantes 00:42:05
primero porque por los criterios 00:42:06
de semejanza de triángulos 00:42:08
porque coinciden los tres ángulos 00:42:10
eso para empezar 00:42:12
pero si os fijáis 00:42:14
el ángulo recto que está aquí 00:42:16
Si lo quiero colocar igual tendría que girar todo esto de esta manera, por ejemplo, ¿vale? 00:42:19
Pero además ponerle la forma simétrica, es decir, darlo la vuelta, ¿vale? 00:42:26
Lo tengo que girar, pero al girarlo se me quedaría para este otro lado, ¿vale? 00:42:30
Se me quedaría así, ¿vale? 00:42:36
Se me quedaría así, aquí el A, aquí el C y aquí el B, ¿vale? 00:42:41
No me quedaría como en este otro de aquí, lo tendría que dar la vuelta a su vez, ¿vale? 00:42:46
Para verlo exactamente igual, quién va con quién, ¿vale? 00:42:51
Entonces, simplemente, por eso hay que intentar visualizar qué es lo que me estoy encontrando, ¿vale? 00:42:55
Bueno, de aquí tenía alguna cosa más... 00:43:06
Sí, bueno, o sea, de esto podemos sacar muchísimos ejercicios, ¿vale? 00:43:11
Ejercicios de todo tipo. 00:43:15
este por ejemplo es interesante 00:43:17
voy a ver, creo que había otro más 00:43:20
aquí, no 00:43:21
vamos a hacer este y después pasamos a otros 00:43:23
que tengo por ahí 00:43:28
que dice, calcula 00:43:29
la profundidad de una piscina 00:43:32
si sabiendo que 00:43:34
una persona 00:43:35
sabiendo que una persona 00:43:36
el ancho mide 10 y una persona 00:43:43
de un metro ochenta, que es este palito de aquí, el AB, mide un ochenta y al separarse 00:43:47
dos con cinco, desde aquí ve el borde inferior de la piscina, ¿vale? La explicación es 00:43:55
un poco más complicada, pero si os imagináis, cerráis los ojos, os pensáis que estáis 00:44:01
en una piscina, os ponéis a una distancia de la piscina de tal forma que desde un lado 00:44:04
ves justo en línea recta, justo el borde del otro lado, ¿vale? Justo ese borde, ¿vale? 00:44:10
Entonces, en este caso, estamos así enlineados de tal manera que están estos triángulos en posición de tales, 00:44:18
porque este ángulo de aquí y este ángulo de aquí son iguales, este ángulo de aquí y este ángulo de aquí son iguales. 00:44:26
Si estos ángulos son iguales, pues los otros, el c y el c' también son iguales. 00:44:34
Entonces, aunque esté en tres dimensiones, realmente lo que tengo es este primer triángulo, el ABC, y tengo por aquí este otro, que es el, bueno, aquí lo he llamado C', y aquí C2', bueno, y este otro, estos dos triángulos son semejantes. 00:44:38
Si esto mide 4 metros y esto mide 2,25 y esto mide 1,8, por el teorema de Tales, la altura del pequeño dividido entre la base del pequeño, 2,25, es igual a la altura del grande, vamos a llamarle h, la altura del grande, dividido entre la base del grande. 00:45:05
¿Vale? Podría haber relacionado la altura del grande con la altura del pequeño 00:45:33
La base del grande con la base del pequeño 00:45:39
¿Vale? Cuando yo digo la del grande con la del pequeño me estoy refiriendo al cociente 00:45:41
¿Vale? Y siempre me saldría lo mismo 00:45:45
¿Vale? Siempre me saldría 1,8 por 4 dividido entre 2,25 00:45:47
Y esto es... 00:45:52
1,8 por 4 dividido entre 2,25 00:45:57
3,2 00:46:02
3,2 ¿qué? pues 3,2 metros 00:46:03
altura 00:46:07
3,2 metros 00:46:08
esto sería una forma muy sencilla de verlo 00:46:13
lo más difícil es imaginarse el dibujo a partir del enunciado 00:46:18
eso es lo más complicado que nos encontramos 00:46:23
de esta otra hoja de ejercicios de aquí, esta sí que es la que os he dejado en el aula virtual 00:46:27
aquí hay distintos ejercicios también muy interesantes 00:46:39
estos primeros de aquí lo que tenemos que fijarnos es en qué relacionamos con qué 00:46:44
entonces en este caso lo que estamos relacionando para hacer la relación de tales 00:46:51
pues sería de esta recta con la otra, o sea, de esta recta a partir de un lado y de esta otra recta, entonces podríamos decir el lado de la derecha con el de la izquierda, el lado de la derecha con el de la izquierda, x entre 4 y es igual a 10 entre 6, ¿vale? 00:46:59
Por ejemplo, o podría decir, x entre 10 igual a 4 entre 6, ¿vale? 00:47:21
¿Por qué? Porque estoy mirando esta primera de arriba y después la horizontal, ¿vale? 00:47:28
Entonces, la diagonal podríamos llamarla con la horizontal es igual a la diagonal con la horizontal. 00:47:33
En este igual, ¿vale? Relaciono 8 con 15 y 7 con x, por ejemplo, ¿vale? 00:47:43
lo puedo hacer como quiera, en este caso 00:47:51
aquí puedo hacer 00:47:53
entre 11 00:47:56
19 porque vamos desde aquí hasta aquí 00:47:58
19 entre 11 00:48:02
19 más 7, 26 00:48:04
26 entre x 00:48:07
vale 00:48:09
19 entre 11 00:48:11
y 26 entre x 00:48:14
vale, hacer esas relaciones 00:48:16
bueno y así los más 00:48:17
vale 00:48:19
este es de semejanza, también muy facilito, este es igual que el primero 00:48:20
que hemos hecho, vale, y este de aquí 00:48:26
dice, oye, estos triángulos 00:48:29
que miden esto, son rectángulos 00:48:31
pues si son rectángulos, se verifica el teorema de Pitágoras, si no se verifica 00:48:37
el teorema de Pitágoras, no son rectángulos, es una de las propiedades 00:48:41
más importantes del teorema de Pitágoras, que funciona para un lado y por otro 00:48:45
Si yo encuentro tres lados de un triángulo que verifican el teorema de Pitágoras, entonces es rectángulo. 00:48:49
Si no lo verifican, no es rectángulo. 00:48:58
En un triángulo rectángulo, siempre el lado mayor es el ángulo recto, es la hipotenusa. 00:49:02
Entonces, en este de aquí, 157, 85 y 132, pues... 00:49:08
un triángulo de 00:49:16
pues si fuera un triángulo rectángulo 00:49:23
el 157 tendría que medir la hipotenusa 00:49:27
el 85 sería uno de ellos 00:49:32
este por ejemplo, y el 132 tendría que ser el otro 00:49:35
entonces tendríamos que ver, esto es lo que nos estamos preguntando, esta es la pregunta 00:49:39
¿esto puede ser así o no? pues 00:49:43
simplemente miramos 157 al cuadrado y 85 al cuadrado 00:49:46
más 132 al cuadrado, si son iguales 00:49:51
pues entonces es rectángulo, que no, pues no lo son 00:49:54
entonces decimos 85 al cuadrado 00:49:57
tengo aquí el botoncito al cuadrado 00:50:03
más 132 al cuadrado 00:50:05
es igual a 00:50:10
24.649 00:50:12
24.649, pues digo 00:50:17
157 al cuadrado 00:50:21
24.649, ¿vale? son iguales, pues si son iguales 00:50:24
24.649 y esto también 00:50:29
24.649, estas dos cosas son iguales 00:50:32
entonces si es triángulo 00:50:36
no tengo que dibujar ni ver nada 00:50:40
sino simplemente comprobar 00:50:50
en el siguiente 00:50:52
en el siguiente dice 00:50:55
75, 24 y 70 00:50:57
75, 24 y 60 00:50:59
pues probaremos a ver 00:51:01
también 00:51:04
nos estamos preguntando exactamente lo mismo 00:51:04
si esto puede ser verdad 00:51:10
con el 75 el más grande 00:51:12
El 70 y el 24. ¿Esto puede ser un triángulo rectángulo? Pues decimos 75 al cuadrado, a ver si es lo mismo que 24 al cuadrado más 70 al cuadrado. 00:51:14
75 al cuadrado es 5.625 y 24 al cuadrado más 70 al cuadrado es igual a 5.476. 00:51:28
5476, como son distintos 00:51:53
entonces no 00:51:56
es triángulo rectángulo 00:52:00
es más, como esta supuesta 00:52:06
hipotenusa es más pequeño que esta otra, entonces el triángulo 00:52:14
es de esta manera, vale, 75 por ejemplo 00:52:18
espera, lo he hecho mal 00:52:27
como esta posible hipotenusa y este otro 00:52:29
esta hipotenusa es más grande que este, entonces estamos aquí 00:52:35
en un octusángulo 00:52:40
75, 70 y 24 00:52:42
porque tendríamos el rectángulo 00:52:47
de esta manera, cuando este es menor 00:52:50
creo que es cuando es 74, creo que es exacto 00:52:56
Vamos a ver, la raíz cuadrada de este es 74, efectivamente, ¿vale? 00:53:00
Entonces, con 74 sí sería, si es más largo, pues entonces es así, es decir, como este es mayor que esto de aquí, pues es obtusángulo, ¿vale? 00:53:04
Es obtusángulo. 00:53:14
Si al hacer me sale más pequeña la posible hipotenusa, pues entonces estaría en un acutángulo, ¿vale? 00:53:20
Creo que el tercer apartado es acutángulo, ¿vale? 00:53:26
Pero si no, sería hacerlo y ver qué sería, ¿vale? 00:53:31
Pero la posible hipotenusa sería siempre el más grande. 00:53:35
Este, este y este, porque son los más grandes. 00:53:37
Me da igual el orden, ¿vale? 00:53:40
¿Cuánto mide el radio de la figura de la circunferencia? 00:53:43
Bueno, pues en este caso lo que tenemos es que intentar ver cuánto mide ese radio. 00:53:46
para ese radio, pues simplemente nos fijamos que 00:54:02
si esto es un rectángulo, pues la distancia que hay 00:54:06
desde aquí hasta aquí, vale, a ver si lo puedo hacer más o menos recto 00:54:10
a ver, lo que va desde aquí 00:54:15
hasta aquí, a ver, uy se me ha movido 00:54:26
vale, bueno, más o menos 00:54:38
el radio de la circunferencia vendría a parar por aquí en medio, entonces 00:54:48
esta que sería la hipotenusa 00:54:53
¿vale? la hipotenusa la llamamos la A 00:54:57
la hipotenusa, pues A al cuadrado es igual a 18 al cuadrado 00:55:00
más 12 al cuadrado, entonces A es la raíz cuadrada 00:55:06
de 18 al cuadrado más 12 al cuadrado 00:55:10
que es 18 00:55:14
al cuadrado más 12 al cuadrado 00:55:20
468, la raíz cuadrada 00:55:25
21,63 00:55:30
pues 21,63 00:55:31
entonces el radio 00:55:34
medirá la mitad 00:55:35
porque es la mitad de la diagonal 00:55:39
que es lo que he dibujado 00:55:41
21,63 00:55:43
entre 2 00:55:45
esto lo he dividido entre 2 00:55:46
y me queda 10,82 00:55:51
vale, 10,82 00:55:53
¿por qué 82? 00:55:55
porque es 816, si quiero dos cifras decimales 00:55:57
por redondeo tiene que aumentar una, 10,82 00:56:00
no dice unidades, pues tampoco 00:56:03
10,82 mide el radio 00:56:06
de esta figura 00:56:09
¿cuánto mide la altura en un triángulo isósceles? 00:56:11
pues lo único que tenemos que hacer es dibujarnos el triángulo 00:56:17
y mirar a ver cuánto mide esa altura 00:56:19
yo tendría que dibujarme aquí 00:56:24
un triángulo isósceles 00:56:26
esto es isósceles 00:56:27
esto más o menos es un triángulo isósceles 00:56:31
esta es la altura, pues en un triángulo isósceles 00:56:58
me dice que el lado desigual mide 8 00:57:01
y los lados iguales 12 y el desigual 8 00:57:05
entonces esto es 12 y esto es 8 00:57:09
¿vale? para calcular la altura 00:57:13
teorema de Pitágoras, este pequeñito 00:57:15
¿vale? lo pongo así 00:57:17
pues este me dirá 4 00:57:19
este 12 y esto la altura 00:57:20
¿vale? teorema de Pitágoras 00:57:23
entonces cateto al cuadrado más cateto al cuadrado 00:57:24
es igual a hipotenusa al cuadrado 00:57:27
estos otros de aquí 00:57:28
pues va a haber que 00:57:33
fijarse un poquito más ¿vale? lo voy a hacer 00:57:34
este más o menos rápido y después alguno de estos 00:57:36
otros del 13, el 14, etc 00:57:38
que son, pues también son 00:57:40
más o menos interesantes, ¿vale? 00:57:42
Tiene algunas cosillas 00:57:44
Aquí 00:57:45
En este de aquí 00:57:49
En este de aquí, pues 00:57:55
el radio de la circunferencia mayor mide 10 00:58:02
¿Vale? Entonces lo que sabemos es 00:58:06
que la distancia 00:58:08
desde aquí 00:58:11
hasta aquí 00:58:12
esto mide 10, desde aquí hasta allí mide 10, ¿vale? 00:58:14
Entonces, en total todo esto medirá 20. 00:58:25
Entonces, del cuadrado grande puedo sacar, del cuadrado grande, que sería este, ¿vale? 00:58:28
Puedo sacar este lado, x, esto mide 20, y esto mide también x, ¿vale? 00:58:40
porque mide lo mismo, es un cuadrado 00:58:49
entonces 20 al cuadrado es igual a x al cuadrado más x al cuadrado 00:58:51
esto es 2x al cuadrado 00:58:58
pues x al cuadrado es igual a 20 al cuadrado es 400 00:59:00
divido entre 2 00:59:05
y x al cuadrado es igual a 200 00:59:07
si x al cuadrado es igual a 200 00:59:10
pues x es igual a raíz cuadrada de 200 00:59:13
más menos raíz cuadrada, pero nos quedamos con el positivo, y esto será la raíz cuadrada de 200, SQRT, 14,14, 14,14, ¿vale? 00:59:17
Si esto mide 14,14, esta distancia desde aquí hasta aquí también mide 14,14, el radio menos, me dirá esto entre 2, y esto entre 2, pues digo que divide entre 2, 7,07. 00:59:37
habla de centímetros, en este caso también son centímetros 00:59:58
todos son centímetros, vale, esto no lo voy a poner en unidades porque sé que es al cuadro 01:00:04
así que centímetros cuadros que no tiene mucho sentido, vale 01:00:08
entonces esto es una forma de sacarlo, vale 01:00:12
otro ejemplo 01:00:16
por aquí sería este 01:00:19
vale, aquí hay alguno más así 01:00:23
similares a todo esto, vale 01:00:26
a ver, espera 01:00:29
vale, este por ejemplo dice, en la figura 01:00:32
este triángulo es isósceles 01:00:38
vale, lo estamos viendo que es isósceles, y dice, si desplazamos el punto C 01:00:41
arriba y abajo 01:00:45
vale, o sea, bueno, arriba y abajo nos lo desplazamos de forma que 01:00:46
estos dos sigan siendo 01:00:50
tenga la misma distancia, esta distancia 01:00:52
el C y el B y el C y el A midan lo mismo 01:00:57
¿qué lugar geométrico encontramos? es decir, ¿cómo es 01:00:59
la figura que obtenemos? pues al desplazarlo para que sean iguales solo puedo ir 01:01:04
arriba y abajo, porque si lo muevo para allá, para la izquierda 01:01:08
el lado BD será más largo que 01:01:12
la B, porque está más desplazado, si lo muevo para el otro lado, pues el lado 01:01:16
AC será más largo que el BC, entonces la única 01:01:20
forma es subir y bajar, ¿vale? Entonces, como va por aquí 01:01:25
todo el rato por el medio, pues lo que determina es la mediatriz 01:01:29
¿vale? El lugar geométrico será la mediatriz del segmento 01:01:33
AB, ¿vale? Es la mediatriz, el lugar geométrico 01:01:37
determina, ¿vale? Cuando habla del lugar geométrico, de los puntos 01:01:41
que hacen algo, es 01:01:45
qué figura obtendríamos si movemos todos los puntos 01:01:46
de un sitio para otro. Por ejemplo, aquí dice los puntos que equidistan 01:01:52
de dos circunferencias concéntricas. Si tenemos dos circunferencias 01:01:56
que son concéntricas, por ejemplo 01:02:00
dos circunferencias, este de aquí y esta otra de aquí 01:02:03
por ejemplo 01:02:12
¿vale? tenemos dos circunferencias 01:02:14
concéntricas 01:02:19
¿cuál es el lugar geométrico de los puntos 01:02:20
que equidistan de las dos circunferencias? 01:02:24
es decir, ¿qué puntos están a la misma distancia 01:02:27
de esta circunferencia y de esta? 01:02:30
si yo digo este punto, ¿a qué distancia está de aquí 01:02:33
y a qué distancia está de aquí? pues no es la misma 01:02:37
¿vale? porque la distancia de aquí a aquí 01:02:39
y la distancia de aquí a aquí, pues no son iguales, ¿vale? 01:02:42
Si lo pongo por aquí fuera, la distancia de este punto a la circunferencia de afuera 01:02:46
es más pequeña que la distancia de este punto a la circunferencia de adentro. 01:02:51
Entonces tiene que estar dentro. ¿Pero dónde? Pues exactamente en el centro, ¿vale? 01:02:55
En el punto medio de los dos, ¿vale? Porque está a la misma distancia aquí y a la de aquí. 01:03:00
entonces el punto, el lugar geométrico 01:03:06
será los puntos que están en esta circunferencia 01:03:10
¿vale? porque todos los puntos de por aquí, todos estos puntos 01:03:14
están a la misma distancia de la de arriba que la de abajo 01:03:18
¿vale? todos, ¿vale? entonces cuando a mí me hablan de 01:03:22
lugares geométricos es que puntos verifican 01:03:26
lo que me estaban planteando 01:03:30
vale, este de aquí es el cálculo de áreas 01:03:31
lo único que tenemos que hacer es buscar relaciones 01:03:40
y que tenemos aquí, por ejemplo 01:03:43
en este primero, en el A, pues si os fijáis 01:03:46
lo blanco es un semicírculo 01:03:49
y otro semicírculo, es decir, un círculo completo 01:03:53
y el cuadrado es un cuadrado 01:03:55
entonces lo que tengo que hacer es al cuadrado 01:03:58
le quito el círculo 01:04:01
Entonces, pues tendré que ver 01:04:02
Pues tendré que ver 01:04:05
Mide 30 centímetros 01:04:09
Cada uno de estos 01:04:11
Y esto mide 30 01:04:12
El radio mide 15 01:04:13
Entonces, a 30 al cuadrado 01:04:15
Que es el área del cuadrado 01:04:18
Le resto 01:04:21
Pi por r al cuadrado 01:04:22
Pi por 15 al cuadrado 01:04:24
Y así tendría este 01:04:26
¿Cuánto mide 1? 01:04:27
Luego tendré que ver cuántos tengo en total 01:04:29
porque me está diciendo que tengo que tener un mural de 3 metros de largo 01:04:32
por 2,7 de alto 01:04:36
este otro de aquí, pues exactamente igual 01:04:38
pues esto es un trozo de circunferencia 01:04:41
este es otro trozo, ¿qué trozo? un cuarto 01:04:46
porque esto es un ángulo recto 01:04:48
entonces tengo media circunferencia 01:04:50
¿de qué radio? pues este radio de aquí 01:04:54
que es el que va desde esta esquina hasta esta otra 01:04:56
por la mitad 01:05:00
Entonces por el teorema de Pitágoras tengo que calcular cuánto mide esta distancia. Y en este otro de aquí pues tengo un arco de circunferencia, o sea un sector, otro sector, otro sector y otro sector que son todos exactamente iguales y con los cuatro formo una circunferencia completa. 01:05:01
entonces el cuadrado menos la circunferencia 01:05:23
que mide del radio la mitad 01:05:25
del lado, pues 01:05:27
lo tengo 01:05:28
así es como sacaría uno 01:05:29
con uno, como saco los demás, pues 01:05:32
calculando 01:05:34
este 01:05:35
otro ejercicio de aquí, dice 01:05:38
en un estadio 01:05:40
perdona Luis, volvemos 01:05:42
por favor a la gráfica anterior 01:05:44
el ejercicio B 01:05:46
el círculo 01:05:48
el cuarto del círculo 01:05:50
el radio como lo saco 01:05:52
vale, pues lo saco 01:05:54
te lo voy a dibujar aquí 01:05:56
para que lo 01:05:57
veamos 01:05:59
aquí 01:06:03
el radio, hemos dicho que esto 01:06:04
medía 01:06:13
30 cm 01:06:13
vale, pues si este 01:06:17
lado, este radio de aquí 01:06:19
mide 30 cm 01:06:20
Pues lo que necesitamos es conocer de aquí esta medida. Pues de ahí lo que tengo es un triángulo que esto mide 30, esto mide 30 y esto mide la diagonal, ¿vale? Diagonal D, esta diagonal, ¿vale? Esto también mide 30. 01:06:22
Pues la diagonal al cuadrado es igual a 30 al cuadrado más 30 al cuadrado, que esto es 900 más 900, 1800. La diagonal será la raíz cuadrada de 1800, que es... 4, algo, ¿no? 01:06:44
1.840, algo 01:06:59
42,42 01:07:03
42,42 01:07:07
42,4, me da igual, digo, pues 42,2, vale, ya está 01:07:11
si la diagonal mide eso, pues el radio 01:07:15
el radio será 42,4 01:07:18
entre 2, que sería 21,2 01:07:23
entonces ya tengo esta distancia 01:07:26
y como el círculo, área azul 01:07:29
será área al cuadrado 01:07:35
menos área 01:07:38
hemos dicho que sería 01:07:42
área circular 01:07:46
y el área circular 01:07:49
este es un cuarto de circunferencia 01:07:53
y este otro cuarto son dos cuartos, pues es un medio, es la mitad 01:08:00
entonces es la mitad del área del círculo que es pi por el radio 01:08:04
que es 21,2 al cuadrado 01:08:08
y esto será, esto entre 2 01:08:11
esto elevado al cuadrado 01:08:15
esto lo multiplico por pi 01:08:17
por pi, 3,14 01:08:23
y luego lo divido entre 2 01:08:26
706,5 01:08:30
706,5, pues el área total será 01:08:34
el 30 al cuadrado, menos 01:08:38
706,5, que son 900 01:08:42
menos 706,5, que es casi 300 01:08:45
193,5 centímetros cuadrados 01:08:49
Esto es lo que me diría el área azul 01:09:05
¿Vale? 01:09:07
Sí, casi 01:09:10
Y por ejemplo este otro de aquí 01:09:11
O sea, voy a hacer alguno más y ya está, tampoco lo voy a ver todo, pero sobre todo sí que quiero que veáis unos cuantos modelos distintos para que veáis cómo se pueden hacer, ¿vale? 01:09:18
O sea, las formas de hacerlas son muchas, pero bueno. 01:09:32
Entonces, en este otro dice, un estadio tiene forma de estas dimensiones, ¿vale? Tiene la forma de estas dimensiones. 01:09:36
¿Qué superficie ocupan las pistas? ¿Vale? Las pistas en la zona blanca 01:09:46
Entonces, ¿qué superficie ocupan? 01:09:49
Pues bueno, si os fijáis, este de aquí, ¿vale? Por aquí, yo lo puedo dividir de esta manera 01:09:51
Entonces tengo esta parte de aquí, que es exactamente igual a esta otra de aquí, ¿vale? 01:09:58
Son exactamente iguales, estas dos 01:10:09
Y después tengo una zona aquí 01:10:12
Que va desde aquí hasta aquí 01:10:16
Esta y otra exactamente igual por el otro lado 01:10:20
¿Vale? Y estas dos, si os fijáis, son exactamente las mismas 01:10:24
Porque son simétricas 01:10:27
Entonces no va a haber ningún cambio entre la una y la otra 01:10:28
Entonces tengo un área circular 01:10:32
¿Vale? Que lo voy a llamar A1 01:10:36
Y un área rectangular que le voy a llamar A2 01:10:38
El A2 es muy sencillo, ¿vale? 01:10:43
Porque es un rectángulo 01:10:46
Un rectángulo de base 33 y altura 12 01:10:48
¿Por qué 12? 01:10:52
Porque si lo junto, si esto lo recorto y lo pego aquí 01:10:53
Pues será 6 y 6, 12 01:10:57
Entonces es como si tuviese un rectángulo más grande 01:10:58
Entonces 33 por 12, 396 01:11:03
Metros cuadrados 01:11:08
Porque ahora hablamos de metros 01:11:13
Y el A1 01:11:15
¿Qué va a ser? Pues es una corona circular 01:11:16
O es un anillo 01:11:19
¿Vale? Porque si unimos esta parte 01:11:20
Verde con esta otra 01:11:23
Realmente tenemos la circunferencia completa 01:11:24
Entonces será el área 01:11:26
De la circunferencia grande 01:11:28
Pi por el radio al cuadrado 01:11:31
¿Vale? El radio va 01:11:33
Desde aquí 01:11:34
este es el radio grande, ¿vale? desde aquí hasta aquí 01:11:36
que sería 8, o sea, 8 no 01:11:42
4 y 6, 10 01:11:45
10 al cuadrado menos el área del pequeño 01:11:47
y el área del pequeño, pues es este de aquí, que mide 01:11:54
4, 4 al cuadrado, y esto será 01:11:57
100 pi menos 16 pi 01:12:01
que son 100 menos 16 son 84 pi, y 84 multiplicado por pi, pues si lo vemos en el número decimal, 84 por pi, 3,14, 293,76, 263,96, ya me he liado, 76, 63,76. 01:12:05
Entonces el área total 01:12:31
Será el A1 más el A2 01:12:34
Que es 01:12:38
Pues esto 01:12:40
Más 01:12:41
696 01:12:44
Pues menos 01:12:47
Porque es para sacar el área 01:12:48
Del 01:12:51
Que es 01:12:51
Es el 01:12:54
Es el donut 01:12:55
Sí 01:12:56
Sí, lo que es el verde, si lo dibujara aquí me quedara bien, que es el otro, tengo que calcular este área de aquí, ¿vale? 01:12:58
Este área de aquí dentro, esta ruedecita, este donut o como lo queramos llamar, ¿vale? Esta de dentro. 01:13:11
Y esta de dentro tiene dos medidas. 01:13:16
Perdón, perdón, sí, sí lo entendí, lo que pasa es que no pensé que ya lo habías calculado, ¿ok? 01:13:19
Ah, vale. 01:13:24
Ya vi que lo calculas. 01:13:25
El pequeño mide 4 01:13:25
Porque es este de aquí 01:13:28
Y el grande mide 10 01:13:29
Porque es este 4 más este 6 01:13:31
Mide 10 01:13:33
Por eso lo tenemos ahí 01:13:34
Y esto 01:13:37
También como son metros, metros cuadrados 01:13:38
Esto siempre habría que 01:13:41
Terminarlo con una frase 01:13:43
El área total de la pista es 01:13:44
559,76 metros cuadrados 01:13:47
O casi 01:13:50
También podríamos decir el área 01:13:51
el área de la pista 01:13:53
de las pistas 01:13:56
es casi 01:13:58
de 660 metros cuadrados 01:14:02
¿vale? 01:14:05
también está bien así, ¿por qué? porque doy una aproximación 01:14:07
total, 659,76 01:14:10
pues es casi 660 01:14:12
pues ya está, puedo decir 660 metros cuadrados 01:14:14
¿vale? 01:14:17
de estos de aquí 01:14:19
pues 01:14:20
este, lo que tengo es un área de una elipse 01:14:22
la elipse no la hemos visto, ¿vale? la elipse 01:14:26
el área es parecida a la 01:14:29
del círculo, es pi en vez de por el radio, porque este tiene dos 01:14:34
radios, un radio mayor y un radio menor, pues en este caso sería 01:14:38
el radio menor es la distancia más corta 01:14:41
esta y el radio mayor es esta otra, entonces es pi por 01:14:46
el radio mayor por el radio menor, ¿vale? pero bueno, esto es una fórmula 01:14:50
que si a esto lo preguntaros, daría la fórmula si no la tenéis 01:14:54
¿vale? esto es lo único que necesitaríamos para hacer este ejercicio 01:14:57
pues luego todo lo demás es restar, ¿vale? restar al grande y al pequeño 01:15:01
etcétera, etcétera, en este otro de aquí, pues 01:15:06
esto no es un hexágono, tal cual 01:15:10
1, 2, 3, 4, 5, no es un pentágono normal 01:15:14
y corriente, entre comillas, podríamos decir, ¿vale? Es casi un hexágono, porque el hexágono 01:15:18
se cerraría aquí, pero tiene que ir todo triangulito. Pero realmente, fijaros que tenemos 01:15:22
tres triángulos equiláteros rojos y estos dos verdes y estos dos verdes, ¿vale? Entonces 01:15:27
puedo calcular el área de uno y después calculo los demás, ¿vale? Porque esto me 01:15:36
dice las medidas, ¿vale? Entonces al decirme las medidas, yo ya veo que esto es un, como 01:15:40
si lo cortásemos por aquí sería un hexágono regular, entonces como en el hexágono 01:15:47
regular el radio y el lado miden lo mismo, pues por eso sé que es 01:15:51
un triángulo equilátero, este todo aquí es muy interesante 01:15:55
porque dice, oye, tenemos una oveja que está aquí atada, bueno una cabra 01:15:59
que está aquí atada y entonces lo máximo que puede llegar es hasta aquí 01:16:03
porque la cuerda mide 30 metros, entonces ¿cuánto se puede mover? 01:16:07
pues toda esta zona perfectamente, si esta casa no existiese 01:16:11
Daría toda la vuelta completa 01:16:15
Una circunferencia 01:16:17
Pero claro, digamos que hasta aquí 01:16:18
Hasta aquí, si cortamos esto 01:16:21
Serían tres cuartos de circunferencia 01:16:23
¿Vale? Eso lo podemos calcular 01:16:26
¿Cuánto sería lo que queda? 01:16:28
Pues realmente cuando llega aquí 01:16:29
Es como si ahora se atase aquí 01:16:31
A este puntito 01:16:32
Y hiciese este 01:16:34
Este arquito 01:16:36
¿Cuánto mide esta distancia? 01:16:37
Si de aquí a aquí hay 30 01:16:41
Y de aquí a aquí hay 20 01:16:42
pues de aquí a aquí hay 10, ¿vale? 01:16:44
esto es 10, pues tengo este 01:16:46
este cuarto 01:16:48
de circunferencia y este otro cuarto 01:16:50
de circunferencia que son exactamente iguales 01:16:52
entonces dos cuartos de circunferencia 01:16:55
que es media circunferencia 01:16:56
pues media circunferencia pequeñita 01:16:58
¿vale? esto sería otra 01:17:00
otra opción para hacer este 01:17:02
bueno, aquí hay alguno más y tal 01:17:04
había uno 01:17:06
espérate que lo he cerrado y 01:17:08
voy a buscarlo un segundo 01:17:10
este otro también es muy interesante 01:17:13
dice, calcula la pintura 01:17:16
de rojo, calcula cuánta pintura de color rojo 01:17:21
se necesita para pintar una señal de tráfico, si el diámetro de la 01:17:25
circunferencia es 40 cm, las dimensiones del 01:17:29
rectángulo son 25 x 8 y sabemos que un kilogramo 01:17:33
de pintura puede pintar 4 m2 de superficie 01:17:37
Entonces este es bastante completo y este está bastante bien. A mí me gusta este mucho porque solo con una pregunta ya sabemos un montón de cosas. 01:17:41
Bueno, pues este, lo primero que decimos es, bueno, pues vamos a ver 01:17:52
El radio, el diámetro es 40, entonces el radio es 20, ¿vale? 01:17:58
Porque es la mitad de 40 01:18:10
Si el radio es 20, área del círculo será pi por 20 al cuadrado 01:18:11
que será 400 pi por pi 01:18:19
luego calculamos el número y se me da igual 01:18:23
y este de aquí mide 25 por 8 01:18:26
entonces el área del rectángulo 01:18:31
es 25 por 8 01:18:34
que son 25 por 4 es 100, pues 200 01:18:38
el área de la señal 01:18:41
¿Vale? De color rojo, ¿vale? Lo rojo porque no me interesa todo, pues será el área del círculo menos el área del rectángulo y esto es 400 por 3,14, 1256 menos 200 por 1056, 1056 centímetros cuadrados, ¿vale? 01:18:46
Estos también son centímetros cuadrados, y estos también son centímetros cuadrados. 01:19:14
Centímetros cuadrados, ¿vale? 01:19:22
Entonces, si el área son 1056 centímetros cuadrados, si un kilo de pintura puede pintar 4 metros cuadrados de superficie, 01:19:25
superficie, pues con 1056 centímetros cuadrados de superficie necesitaremos X kilogramos. 01:19:38
No podemos hacer la regla de tres tal cual, ¿vale? Tenemos que hacer un cambio y es ponerlo 01:19:47
todo en centímetros cuadrados o en metros cuadrados, ¿vale? Como centímetros cuadrados 01:19:53
es más pequeño que metros cuadrados, si, esto lo recuerdo, si un centímetro, o sea, si un metro son 10 centímetros, 01:20:02
un metro cuadrado será igual a 100 por 100, 100 al cuadrado centímetros cuadrados. 01:20:18
Vale, entonces 4, 1, 2, 1, 2 centímetros cuadrados, vale, esto lo primero que tenemos que hacer es este cambio y entonces esto será x y esto es una simple regla de 3, pues x es igual a este por este dividido entre este, 1056 entre 40.000, 1, 1, 2, 3, 4, me he pasado con 1, 01:20:33
Es igual a 01:21:02
0,026 01:21:06
Kilogramos 01:21:15
De pintura, bueno, ya lo ponemos exacto 01:21:19
Ahora no, porque lo hemos 01:21:21
Hecho aproximado 01:21:25
Kilogramos 01:21:26
Es decir, ¿cuánta pintura 01:21:28
De color rojo necesitamos para una señal? 01:21:31
Pues necesitamos 01:21:33
226 gramos de pintura 01:21:34
¿Vale? 01:21:39
¿Vale? Aproximadamente 01:21:41
Vale, bueno, pues 01:21:44
Yo creo que 01:21:47
Con esto ya tenemos 01:21:48
Unos cuantos 01:21:50
Ejercicios 01:21:53
Vistos de distinto tipo 01:21:55
De teorema de Tales 01:21:57
De teorema de Pitágoras 01:21:59
Y bueno, pues 01:22:00
La idea es seguir practicando un poco con los que vienen ahí 01:22:01
que os he dejado 01:22:05
todavía no os he abierto el cuestionario 01:22:06
ya lo abriré en cuanto 01:22:09
meta alguna pregunta más que me queda por hacer 01:22:11
y podéis seguir 01:22:13
practicando 01:22:15
la semana que viene seguimos con 01:22:16
la parte de movimientos en el plano 01:22:18
y ya está 01:22:21
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Autor/es:
Luis Alonso Izquierdo
Subido por:
Luis A.
Licencia:
Reconocimiento - Compartir igual
Visualizaciones:
82
Fecha:
18 de febrero de 2021 - 17:59
Visibilidad:
Público
Centro:
CEPAPUB SIERRA NORTE
Duración:
1h′ 22′ 26″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
538.93 MBytes

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