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Corrección bach CCSS 1 límites y derivadas parte 1 - Contenido educativo

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Subido el 2 de mayo de 2021 por José Javier B.

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Se muestra la corrección de los 5 primeros ejercicios del examen de límites y derivadas

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Bueno, venga, buenos días. Vamos a empezar corrigiendo el examen de bachillerato que puse el otro día, 00:00:01
que es un poco la idea de lo que os puede entrar, es decir, ejercicios de límites y derivadas del estilo de lo que hemos visto. 00:00:08
Entonces, este es el examen. Si veis, tenemos los cuatro primeros ejercicios son de límites y continuidad, 00:00:17
y los siguientes son de derivadas. 00:00:26
Vamos a empezar haciendo el primero. 00:00:31
Aquí nos dice que calculamos el límite de una función en tres puntos, en cero, en tres y en cinco. 00:00:36
Esto es una función definida a trozos, donde el único problema que nos podríamos encontrar es el punto de ruptura, 00:00:41
porque las funciones son continuas en los otros dos trozos, así que el apartado a y el apartado c no tienen ningún problema. 00:00:46
Lo único que tengo que hacer es, en el apartado a, calculo el límite de la función cuando x tiende a cero, 00:00:53
sustituyendo el punto como 0 menor que 3, pues 2 por 0 00:00:58
esto es 2 por 0, 0, y no hay ningún problema 00:01:02
calculo primero el c, que tampoco tiene ningún problema, el límite de la función 00:01:06
cuando x tiende a 5, pues me tendría que ir a la derecha del 3 00:01:10
entonces sustituyo arriba 25 menos 9, 16 00:01:14
y abajo 25 menos 15, 10 00:01:17
pues esto entre 2, pues 8 quintos 00:01:20
este sería el límite del A y del C 00:01:25
en el caso del B, ahí tengo que calcular el límite por la izquierda 00:01:29
y por la derecha 00:01:33
el límite por la izquierda, si yo me acerco al 3 por la izquierda 00:01:34
tendré que coger el primer trozo, 2 por 3 es 6 00:01:39
y el límite, si me acerco al 3 por la derecha 00:01:42
tendré que sustituirlo aquí, 9 menos 9 es 0 00:01:49
con lo cual nos obliga, esto es una indeterminación 00:01:51
pues nos obliga a hacer una factorización 00:01:56
en este caso, como la parte de arriba es una identidad notable 00:01:59
y abajo puedo sacar factor común 00:02:03
pues arriba es x más 3 por x menos 3 00:02:04
y abajo es x por x menos 3 00:02:07
esto se nos va 00:02:10
y ahora ya sí que puedo sustituir el 3 00:02:11
porque he eliminado la indeterminación 00:02:13
3 y 3 es 6, 6 entre 3 es 2 00:02:15
bueno, ese sería el primer ejercicio 00:02:19
en el segundo ejercicio nos dice que 00:02:21
resolvamos los límites y que representemos 00:02:25
que representemos significa que si me sale una asíntota 00:02:28
tengo que escribir cómo se aproxima la función a esa asíntota 00:02:32
bueno, pues en el primer caso, por ejemplo 00:02:36
si yo sustituyo el 1 00:02:39
en el apartado A, si sustituimos el 1 00:02:41
tenemos el límite cuando x tiende a 1 00:02:44
de 1 menos 1, 0 00:02:49
y arriba me queda 1 entre 0 00:02:51
1 entre 0 es una indeterminación 00:02:55
a ver que bajo esto un poco, que parece que hay mucha luz de fuera 00:02:57
esto es una asíntota vertical 00:03:04
esto es una asíntota vertical en x igual a 1 00:03:09
y lo que tengo que hacer es representarla 00:03:14
es decir, ver que le pasa a la función 00:03:18
cuando nosotros nos acercamos al 1, ¿vale? 00:03:23
Esta es la asíntota vertical 00:03:26
y tengo que estudiar lo que pasa a la izquierda y a la derecha. 00:03:27
¿Cómo hago eso? 00:03:31
Con una calculadora o mirando directamente la función. 00:03:32
Si yo me acerco al 1 por la izquierda, 00:03:37
yo ya sé que se va a ir a infinito, ¿vale? 00:03:39
Yo ya sé que esto se va a ir a infinito 00:03:42
porque es una asíntota vertical. 00:03:43
Lo que tengo que elegir es si es más infinito o menos infinito. 00:03:45
Vale, pues nos fijamos en el numerador, ¿vale? 00:03:49
Nos fijamos en el numerador. 00:03:52
Si yo me acerco al 1 por la izquierda, lo estoy haciendo por valores menores que 1, por ejemplo el 0,9. 00:03:53
El numerador siempre va a ser positivo. 00:04:00
Y el denominador, como me estoy acercando por valores más pequeños que 1, el denominador va a ser negativo. 00:04:03
Pues más entre menos, menos. 00:04:09
Más entre menos, menos. 00:04:11
Esto es menos infinito. 00:04:13
Luego, si me acerco al 1 por la izquierda, la función se va a menos infinito. 00:04:15
si hago lo mismo por la derecha 00:04:20
entonces el límite 00:04:22
cuando me acerco al 1 por la derecha 00:04:25
de x cuadrado partido de x menos 1 00:04:27
pasa lo mismo, vuelve a ser o más infinito 00:04:29
o menos infinito 00:04:33
vuelvo a mirar el numerador 00:04:34
como está al cuadrado el numerador siempre va a ser positivo 00:04:36
y ahora me estoy acercando por valores mayores que 1 00:04:41
luego el denominador también va a ser positivo 00:04:46
En este caso es muy sencillo. Si no, metéis un valor 1,1 en la calculadora, más y más, más, es decir, en este caso es más infinito. 00:04:49
Me quedo con más infinito y significa que cuando me acerco al 1 por la derecha, la función se aproxima al más infinito. 00:04:59
en el apartado B hacemos exactamente lo mismo 00:05:06
es decir, nos está pidiendo el límite cuando x tiende a menos 2 00:05:09
y ahora la función es x cuadrado partido de x cuadrado más 2x 00:05:19
bueno, pues si yo me acerco al menos 2 por la izquierda 00:05:24
bueno, primero sustituimos, arriba me queda 4 00:05:27
y abajo me queda 4 menos 4 es 0 00:05:29
luego vuelvo a tener una asíntota vertical en este caso 00:05:31
en x igual a menos 2 00:05:35
bueno, por lo mismo de antes 00:05:38
tengo que decir 00:05:41
qué pasa ahora 00:05:42
este es menos uno, este es menos dos 00:05:44
yo ya sé que hay una asíntota vertical 00:05:47
en menos dos 00:05:49
y tengo que estudiar su comportamiento 00:05:50
el comportamiento de la función 00:05:56
vamos a ver lo mismo 00:05:57
si me acerco al menos dos 00:05:58
por la izquierda 00:06:00
si me acerco al menos dos por la izquierda 00:06:02
de nuevo sé que esto es 00:06:05
¿Más infinito o menos infinito? 00:06:09
Volvemos a jugar con el numerador. 00:06:11
Entonces, x cuadrado, si yo me acerco, como el numerador es al cuadrado, yo ya sé que eso es positivo. 00:06:14
Y el denominador, si me acerco por la izquierda, pues podéis sustituir en la calculadora menos 2,1. 00:06:20
Pero menos 2,1 al cuadrado más 2 por menos 2,1, como esto va a ser positivo y esto negativo, el positivo va a ser mayor. 00:06:26
Así que esto va a ser más entre más, más infinito. 00:06:36
Si me acerco por la izquierda, la función se va a más infinito. 00:06:39
Y si me acerco por la derecha, de nuevo tengo que elegir entre más infinito o menos infinito. 00:06:44
Y digo, numerador positivo y denominador, si me acerco por la derecha, lo hago por valores menores, es decir, menos 1,9. 00:06:56
Bueno, pues en ese caso lo que voy a tener es un valor negativo. 00:07:05
tendré que dibujar que la función se aproxima 00:07:11
a la asíntota pero hacia menos infinito 00:07:20
bueno, pues este era el ejercicio 2, nos vamos al ejercicio 3 00:07:22
en el ejercicio 3 nos vuelve a pedir un límite puntual 00:07:27
dos límites en un punto, si sustituimos en el apartado A 00:07:30
el límite cuando x tiende a 1 00:07:35
en este caso tengo 1 menos 1, es decir 0 entre 0 00:07:38
indeterminación en la que tengo que factorizar como en uno de los apartados del ejercicio 1 00:07:43
si factorizo tengo que hacer Ruffini 00:07:48
pero bueno, aquí puedo jugar otra vez con las identidades notables 00:07:51
y decir que esto es el límite cuando x tiende a 1 00:07:54
y el numerador es x cuadrado más 1 por x cuadrado menos 1 00:07:57
y el denominador es x cuadrado menos 1 00:08:03
con lo cual esto y esto se va y ahora ya sí que puedo sustituir y el límite es 2 00:08:05
en el apartado b, el límite cuando x tiende a 2 00:08:09
si sustituyo aquí, me vuelve a quedar 4 menos 4 es 0 arriba 00:08:13
y 2 menos 2 es 0 abajo, vuelve a ser del mismo estilo, la indeterminación 00:08:17
tengo que volver a factorizar, vale, si factorizo 00:08:20
arriba, claro, porque abajo ya está descompuesto el polinomio 00:08:24
abajo me queda 00:08:29
x-2 y arriba me va a quedar x-2 por la otra solución 00:08:33
bueno, ¿cómo factorizo? como es una ecuación de segundo grado 00:08:37
pues puedo resolverla o puedo hacerlo fin y lo que queráis 00:08:41
entonces resuelvo por 00:08:44
la ecuación de segundo grado y esto es menos b más menos raíz cuadrada 00:08:48
de 1 más 4, esto es 9, la raíz de 9 es 3 00:08:53
partido por 2, 3 y 1, 4 entre 2, 2, 1 menos 3 menos 2 entre 2 00:08:57
menos 1, vale, pues esta es la x menos 2 de arriba 00:09:01
y abajo x más 1 00:09:04
x menos 2, x menos 2 se van, y ahora ya, como esto es el límite cuando x tiende a 2 00:09:08
pues ya puedo sustituir 2 y 1, 3 00:09:14
y como se tengo el ejercicio 3 00:09:17
nos vamos al ejercicio 4, y en el ejercicio 4 ya nos piden discontinuidades 00:09:20
y nos dice que estudiemos donde son discontinuas estas funciones 00:09:25
Vale, en el apartado A. El apartado A es una función definida a trozos. El lado de la izquierda es una parábola, luego es continua, el lado de la derecha es una recta, es continua, el único punto que puede ser problemático es el punto de ruptura. 00:09:30
Pues estudiamos la función cuando x se acerca a 1 por la izquierda, que es 1 menos 1 es 0, y estudiamos la función cuando x se acerca a 1 por la derecha. 00:09:46
Si me acerco por la derecha, 1 menos 1 es 0. 00:10:00
Luego, si os acordáis, para estudiar la continuidad había que comprobar tres cosas. 00:10:03
Primero, que los límites laterales existen y coinciden. 00:10:06
se da. Segundo 00:10:09
segunda cosa 00:10:11
la segunda cosa 00:10:13
que la función está definida en el punto 00:10:15
la función sí está definida en el punto 00:10:17
f está definida en el 1 00:10:18
y la tercera 00:10:21
cosa es que 00:10:26
la función en el 1 coincida 00:10:27
pero f de 1 vale 0 00:10:29
luego la función 00:10:32
es continua en todos los puntos 00:10:33
continua en todos los puntos 00:10:35
si nos vamos al segundo 00:10:37
me vuelve a pasar lo mismo 00:10:39
porque esta función que es un cociente 00:10:42
podría presentar un problema 00:10:44
bueno, presenta un problema 00:10:45
perdón, presenta un problema 00:10:48
en x igual 0, luego aquí hay que estudiar 00:10:49
dos puntos, vale 00:10:51
más que estudiar, como nos está pidiendo 00:10:53
donde son discontinuas, sabemos 00:10:55
que en el valor que anula 00:10:57
el denominador 00:10:59
es discontinua, hay una asíntota vertical 00:11:01
luego en x igual 0 00:11:04
decimos primero en x igual 0 00:11:06
hay una discontinuidad 00:11:08
¿Por qué? Porque hay una asíntota vertical. 00:11:10
Aquí no me está diciendo que dibuje la función si se va hacia arriba o hacia abajo, solamente donde es discontinua. 00:11:15
Pues en x igual a cero es discontinua. 00:11:20
¿Qué otro punto me puede dar problemas? 00:11:24
El punto de ruptura. 00:11:27
El punto de ruptura es x igual a 2. 00:11:28
Pues tendría que volver a hacer lo mismo. 00:11:30
El límite lateral por la izquierda. 00:11:33
El límite lateral por la izquierda. 00:11:36
Si yo me acerco al 2 por la izquierda, pues es 4 entre 2, 2. 4 entre 2, 2. Y el límite por la derecha es 2. Bueno, pues como coinciden los límites, el valor de la función, o mejor dicho, segundo, la función está definida en el punto y f de 2 es 2, es continua. 00:11:37
El único punto de discontinuidad es el x igual a 0. Solo hay un punto de discontinuidad en x igual a 0. 00:12:02
Y en la última, antes de volvernos locos a estudiar el límite lateral por la izquierda y por la derecha y demás, pues miramos que no está definida en 3. 00:12:09
La función no está definida en 3 porque hay un trozo para x menor y otro para x mayor. 00:12:19
La función no está definida en 3, luego no cumple la segunda condición, así que f no es continua. 00:12:23
esto es una discontinuidad evitable 00:12:29
no es continua en x igual 3 00:12:32
en el resto 00:12:35
no hay problema porque es una función exponencial 00:12:38
y una función raíz que está definida 00:12:40
para x mayor que 3, no hay ningún problema 00:12:42
termino este primer vídeo 00:12:44
con el ejercicio 00:12:47
de calcular la derivada 00:12:48
pero ojo, usando la definición 00:12:51
usando la definición 00:12:53
lo único que hay que tener 00:12:55
es un poco de cuidado con las operaciones aritméticas 00:12:57
que nos salen, y os recuerdo que como me dice la derivada 00:12:59
de f de x usando la definición, pues esto es f' de x 00:13:03
es el límite cuando h tiende a 0 00:13:08
de f de x más h 00:13:12
menos f de x partido por h, esa es la definición 00:13:15
si yo sustituyo, eso es el límite cuando h tiende a 0 00:13:20
f de x más h, es sustituir donde pone x 00:13:24
pongo 1, donde pone x pongo x más h 00:13:27
es decir que esto es x más h más 2 al cuadrado 00:13:30
menos 1 partido f de x que es la propia definición 00:13:34
de la función x más 2 al cuadrado y todo dividido 00:13:38
entre h, pues ahora esto es operarlo 00:13:42
por eso os digo que hay que tener mucho cuidado con las operaciones, voy a coger esto 00:13:45
y lo voy a hacer aparte para no equivocarme 00:13:50
y lo que me dé, pues luego vuelvo aquí 00:13:54
voy a hacer esa operación del numerador 00:13:56
1 partido de x más h más 2 al cuadrado 00:13:58
menos 1 partido de x más 2 al cuadrado 00:14:03
a ver que nos sale 00:14:08
lo primero, eso será 00:14:10
si multiplico en cruz 00:14:13
pues x más 2 al cuadrado 00:14:15
menos x más h más 2 al cuadrado 00:14:17
y abajo el producto de los denominadores 00:14:22
x más h más 2 al cuadrado 00:14:25
por x más 2 al cuadrado 00:14:27
vale 00:14:30
pues hay que hacer la operación esta del numerador 00:14:30
donde lo único que hay 00:14:34
un poquito más problemático 00:14:35
es el x más h más 2 al cuadrado 00:14:38
porque es un trinomio 00:14:40
bueno, pues podría hacerlo 00:14:41
como un binomio de Newton 00:14:43
lo más sencillo 00:14:45
multiplico, esto es x más h más 2 al cuadrado 00:14:46
pues multiplico 00:14:50
x más h más 2, me voy aparte 00:14:51
a la hojita de operaciones que os damos 00:14:53
y cogeis x más h más 2 00:14:55
por x más h más 2 00:14:58
y lo multiplico con cuidadito 00:15:00
que esto lo hemos aprendido en segundo o tercero 00:15:02
es un producto de polinomios 00:15:05
venga, pues 2 por 2, 4 00:15:07
2 por h, 2h 00:15:09
y 2 por x, 2x 00:15:11
ahora el h, h por 2, 2h 00:15:14
lo vamos colocando debajo del monomio que le corresponde 00:15:16
H por H, H al cuadrado. Y H por X, XH, que todavía no hay ninguno, pues aquí. 00:15:19
Y por último el X. X por 2, 2X. Aquí hay uno, pues 2X. X por H, XH, que tengo aquí otro. 00:15:26
Y X por X, X al cuadrado, que también es el único que aparece. Así que ese producto es X al cuadrado más 2XH más H al cuadrado más 4X más 4H más 4. 00:15:34
vale, pues lo voy a colocar allí 00:15:49
o sea que esto es 00:15:51
este cuadrado 00:15:55
si que lo puedo desarrollar 00:15:57
porque el cuadrado es una identidad notable 00:15:59
cuadrado del primero más cuadrado del segundo 00:16:01
más el doble del primero por el segundo 00:16:03
y todo lo que viene a continuación 00:16:05
que es lo que me ha salido aquí 00:16:06
lo voy a ir colocando 00:16:08
con valor negativo 00:16:10
es decir, menos x al cuadrado 00:16:12
menos 2xh 00:16:14
menos h al cuadrado 00:16:17
menos 4x 00:16:19
menos 4H menos 4 00:16:20
y abajo sigo dejando el X más H más 2 al cuadrado 00:16:24
por X más 2 al cuadrado, y ahora lo vamos eliminando 00:16:28
X cuadrado de aquí y menos X cuadrado de aquí 00:16:32
me lo cargo, 4X de aquí menos 4X de aquí 00:16:36
me lo cargo, y menos 4 y 4 me lo cargo 00:16:40
¿qué nos ha quedado? pues nos queda 00:16:44
menos 2xh menos h al cuadrado menos 4h 00:16:47
es decir, menos h al cuadrado 00:16:53
menos 4h 00:16:57
y menos 2xh 00:17:00
partido por x más h más 2 al cuadrado 00:17:05
por x más 2 al cuadrado 00:17:13
bueno, pues si, estaréis pensando que este ejercicio es 00:17:15
yo no digo difícil, pero sí que es laborioso 00:17:19
porque realmente lo único que son 00:17:21
no equivocas en las operaciones, pero son operaciones 00:17:23
de polinomios, ¿vale? 00:17:25
bueno, pues no olvidar 00:17:28
no hay que olvidar que lo que estábamos 00:17:30
haciendo era el numerador 00:17:31
esto que tengo aquí en rojo, estábamos 00:17:33
haciendo eso, es decir que lo que 00:17:35
tengo ahora aquí es el resultado 00:17:37
del numerador, pues vuelvo 00:17:39
¿vale? vuelvo aquí 00:17:41
vuelvo aquí 00:17:44
pongo aquí el 1 00:17:45
para que veáis que continúo por allí 00:17:48
ya está casi hecho 00:17:50
el límite cuando h tiende a 0 00:17:52
del numerador, que el numerador me ha salido esto 00:17:55
le voy a sacar factor común a la h 00:17:58
le voy a sacar factor común a la h 00:18:00
arriba 00:18:02
h que multiplicará a menos h 00:18:04
menos 4, menos 2x 00:18:08
bien, y abajo me queda 00:18:12
x más h más 2 al cuadrado 00:18:14
por x más 2 al cuadrado 00:18:18
y ojo, dividido entre h 00:18:20
es decir, esto sería dividido entre h 00:18:23
aquí pongo un 1, este h, como las divisiones multiplican en cruz 00:18:26
este h se viene aquí 00:18:30
¿vale? se viene ahí 00:18:32
y ahora esta de aquí, estos son los trucos 00:18:34
este es el truco de la derivada usando la definición 00:18:39
tiene que desaparecer la h 00:18:42
para que pueda sustituir 00:18:43
tiene que desaparecer la h de abajo 00:18:46
para que pueda sustituir ahora 00:18:47
donde pone h pongo 0 00:18:49
¿vale? ahora 00:18:51
si que puedo sustituir donde pone h 00:18:53
pongo 0, pues ese límite 00:18:56
¿cuándo será? si yo aquí pongo un 0 me sale 00:18:58
menos 4 00:19:00
menos 2x en el numerador 00:19:01
y abajo me sale x más 2 00:19:03
al cuadrado porque hay una h 00:19:06
x más 2 al cuadrado por x más 2 00:19:07
al cuadrado 00:19:10
eso ya estaría bien, pero vamos a 00:19:10
ya que lo tenemos casi hecho, yo arriba voy a sacar 00:19:14
factor común a menos 2, a menos 2, si saco factor común 00:19:19
a menos 2, me queda x 00:19:23
más 2, mira que es lo mismo, menos 2x 00:19:26
menos 4, y abajo x más 2 00:19:31
elevado a 2 más 2, 4, porque esto es un producto 00:19:35
de potencias de la misma base, se suman los oponentes 00:19:39
bueno, pues aquí hay 00:19:41
un x más 2 y abajo hay 4 00:19:43
pues este se va y abajo 00:19:45
me van a quedar 3 00:19:47
menos 2 partido de x más 2 00:19:48
al cubo, esta es la 00:19:51
derivada de la función 00:19:53
que nos decían 00:19:55
usando la definición 00:19:56
¿vale? 00:19:59
bueno, pues voy a parar aquí este primer 00:20:01
archivo 00:20:03
para que no se haga demasiado grande 00:20:05
que llevo 20 minutos 00:20:07
y en el siguiente os hago los tres que faltan 00:20:08
Valoración:
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Idioma/s:
es
Autor/es:
José Javier Bueno Torres
Subido por:
José Javier B.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
195
Fecha:
2 de mayo de 2021 - 22:22
Visibilidad:
Público
Centro:
IES GONZALO CHACÓN
Duración:
20′ 15″
Relación de aspecto:
16:9 Es el estándar usado por la televisión de alta definición y en varias pantallas, es ancho y normalmente se le suele llamar panorámico o widescreen, aunque todas las relaciones (a excepción de la 1:1) son widescreen. El ángulo de la diagonal es de 29,36°.
Resolución:
848x480 píxeles
Tamaño:
232.41 MBytes

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