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AR3. 5 Amortización. Ejercicios 12 y 13 - Contenido educativo

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Subido el 21 de agosto de 2025 por Raúl C.

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Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:12
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:17
de la unidad AR3 dedicada a la matemática financiera. En la videoclase de hoy estudiaremos 00:00:21
la amortización de préstamos y resolveremos los ejercicios propuestos 12 y 13. 00:00:33
En esta última sección de la unidad vamos a amortizar una deuda, vamos a cancelar una 00:00:47
deuda. Como vemos aquí en la introducción teórica supongamos que contemos una deuda de mayúscula y la 00:00:52
queremos pagar durante un periodo de t años haciendo ingresos de anualidades a minúscula al finalizar 00:00:58
cada uno de los años de vida de la deuda para que estas anualidades junto con sus intereses 00:01:07
compuestos calculados con un rédito r que estarán 30 por 1 podamos cancelar. Hemos de pagar no sólo 00:01:12
la deuda D, sino que además hemos de pagar los intereses compuestos de esta deuda que se calculan 00:01:20
con el mismo rédito R-. Para ver el desarrollo teórico vamos a hacer algo muy similar a lo que 00:01:26
hicimos en la sección anterior hablando de capitalización. En primer lugar vamos a calcular 00:01:32
el capital que se puede juntar con las anualidades y sus intereses compuestos. Empezamos año tras 00:01:37
año. La primera anualidad, como vemos aquí, va a estar depositada durante T-1 años. La 00:01:44
gran diferencia entre la amortización y la capitalización es que en el caso de la capitalización 00:01:51
las anualidades se pagan al inicio de cada año, mientras que en el caso de la amortización 00:01:55
las anualidades se pagan al final de cada año. De tal forma que la primera anualidad 00:02:00
la pagó cuando ya ha transcurrido un año. Si el préstamo vive T años, esa anualidad 00:02:05
ha estado depositada en el banco T-1 años. ¿Cuál es el capital que se forma con esa anualidad y sus 00:02:12
intereses compuestos cuando han transcurrido T-1 años? Hemos de ir a la fórmula del capital del 00:02:19
interés compuesto y esa primera anualidad va a generar un capital transcurridos T-1 años que se 00:02:25
calcula de esta manera. Anualidad por 1 más R elevado a T-. La segunda anualidad cuando han 00:02:31
transcurrido dos años estará depositada durante t menos dos años y el capital que forma se calculará 00:02:37
con esta fórmula a por 1 más r elevado a t menos 2. La tercera anualidad estará depositada t menos 00:02:43
tres años y el capital que se forma con esa tercera anualidad es anualidad por 1 más r elevado a t 00:02:50
menos 3. Vemos que obtenemos expresiones análogas al caso de la capitalización. En este caso los 00:02:56
exponentes son T-1, T-2, T-3, para la cuarta anualidad T-4, para la quinta anualidad T-5 00:03:04
y así sucesivamente. ¿Qué es lo que ocurre con la última anualidad? La última anualidad 00:03:11
se paga al final del todo, no llega a estar depositada en el banco ningún tiempo, sino 00:03:16
que con el último pago de la última anualidad se amortiza la deuda. Así pues, la última 00:03:22
anualidad, la teésima, la última, a la cancelación de la deuda, produce un capital que es igual 00:03:27
a la anualidad. No hay un término extra puesto que no genera intereses. ¿Cuál es el capital 00:03:33
total? Que entonces obtenemos con estas anualidades y sus intereses compuestos. Análogamente 00:03:39
como hicimos en la sección anterior, lo que vamos a hacer es sumar capital 1, capital 00:03:44
2, capital 3, etcétera, capital T-1 hasta el último, el capital T. Esta expresión 00:03:49
sustituimos cada uno de los capitales por estas fórmulas que vemos aquí. Anualidad 00:03:55
por 1 más el rédito elevado a t-1 más anualidad por 1 más el rédito elevado a t-2 y así sucesivamente 00:04:00
hasta el último, más la anualidad. Vemos que podemos sacar de factor común en este caso sólo 00:04:07
a la anualidad puesto que el último término no contiene más que ello. Así que vamos a poner esto 00:04:13
como anualidad factor común de 1 más r elevado a t-1 más 1 más r elevado a t-2 etcétera etcétera 00:04:18
hasta finalmente 1. Cuando sacamos del factor común a la a, nos queda un 1. 00:04:26
Igual que nos pasaba en la sección anterior, podemos identificar dentro de estos corchetes 00:04:31
la suma de los t primeros términos de una progresión geométrica, 00:04:36
cuyo primer término es 1, y cuya razón es 1 más r. 00:04:40
Aquí veo 1, 1 por 1 más r, el siguiente término sería 1 más r al cuadrado, 00:04:44
y así sucesivamente hasta llegar a este 1 más r elevado a t menos 1. 00:04:49
Lo que hacemos es utilizar la fórmula para la suma de los T primeros términos y lo que vamos a hacer es obtener para el capital final esta expresión que vemos aquí, anualidad por y lo que tendríamos como la suma de estos términos. 00:04:53
1 más r elevado a t menos 1 dividido entre r. 00:05:06
Este capital, como he dicho hace unos minutos, tiene que ser capaz de ser igual a la deuda más sus intereses compuestos. 00:05:11
Este capital no es igual a la deuda, sino a el capital final de esta deuda con los intereses compuestos. 00:05:21
Ese capital sería igual a deuda por 1 más r elevado a t, utilizando la fórmula del interés compuesto. 00:05:29
Y entonces lo que vamos a hacer es igualar el capital que hemos obtenido anteriormente con este que vemos aquí, que es el que corresponde a la deuda, para poder amortizarla. 00:05:36
Así pues, lo que vamos a hacer es tomar a por esta fracción, 1 más r elevado a t menos 1 dividido entre r, igual a la deuda por 1 más r elevado a t. 00:05:45
Nosotros lo que queremos hacer es calcular la anualidad, cuáles son esos pagos anuales que debemos hacer al final de cada año. 00:05:57
y entonces lo que podemos hacer es despejar de aquí la anualidad. 00:06:04
Esta r, el rédito que tenemos aquí dividiendo, lo vamos a pasar al otro miembro multiplicando 00:06:09
y en cuanto a 1 más r elevado a t menos 1 que está aquí multiplicando, lo pasamos al otro miembro dividiendo. 00:06:13
Y entonces vemos que la anualidad se puede calcular de esta forma. 00:06:18
Deuda por rédito por 1 más rédito elevado a t, todo ello dividido entre 1 más rédito elevado a t menos 1. 00:06:22
No aquí la deducción, pero podríamos calcular cuál es la deuda que podríamos contraer, teniendo en cuenta que podemos permitirnos pagar una cierta anualidad con un cierto rédito durante un cierto tiempo, sin más que de esta expresión despejar la deuda en función de la anualidad y el resto de elementos. 00:06:29
Asimismo, de forma análoga a como habíamos operado en las secciones anteriores, si los pagos no son anuales, sino mensuales, trimestrales, cuatrimestrales, lo que quiera que sea, 00:06:47
hacemos en general n pagos cada año, lo que tenemos que hacer es modificar esta expresión que tenemos aquí, 00:06:56
sustituyendo el rédito por el rédito entre n, el número de pagos que se hace en cada año, como podéis ver, he hecho esas tres sustituciones, aquí, aquí y aquí. 00:07:02
Y en cuanto a T, en lugar de ser el número de años, ahora va a ser el número de pagos realizados, el número de periodos que han transcurrido. 00:07:09
Esa sustitución, en estos dos exponentes, son las que podemos ver aquí. 00:07:18
Como ejemplo, se nos pide que resolvamos este ejercicio 12. 00:07:24
Se nos dice que vamos a contar un préstamo de 50.000 euros que queremos pagar en 5 años al 15% anual. 00:07:28
Y se nos pregunta cuál es la anualidad con la que amortizamos el préstamo y también cuál es la mensualidad, si en lugar de pagar anualmente queremos pagar mensualmente. 00:07:35
Para calcular las anualidades lo que vamos a hacer es tomar directamente la fórmula que acabamos de deducir, sustituyendo la deuda por 50.000 euros, el rédito por 0,15, el tanto por 1 al que equivale este 15%, 00:07:44
Y en cuanto al tiempo, al número de periodos, pues sería 5 años. Operando, llegamos al valor de la anualidad de 14.915,78 euros. 00:07:55
Fijaos que en total, si multiplicamos 5 por la anualidad, no hemos pagado 50.000 euros, sino que hemos pagado un total de 74.578,90, puesto que no estamos pagando solo la deuda, sino la deuda y sus intereses compuestos. 00:08:07
Hemos pagado más o menos una vez y media la deuda que hemos contraído. 00:08:24
En cuanto a las mensualidades, si no queremos hacer los pagos anualmente, si no queremos hacer 12 pagos cada año, 00:08:28
lo que vamos a hacer es tomar la expresión que teníamos y en lugar de poner rédito, pondremos rédito entre n. 00:08:34
En este caso n vale 12, puesto que estamos pagando mensualmente y hay 12 meses en un año. 00:08:40
Y en lugar de t minúscula, pondremos t mayúscula, número de periodos. 00:08:45
No van a ser 5 años, sino el número de meses en 5 años. 00:08:49
Así que vamos a poner 5 por 12, que es un total de 60 meses. Operando adecuadamente, llegamos al valor de, en este caso, las mensualidades de 1.189,50 euros. 00:08:52
Algo interesante es, si multiplicamos esta mensualidad por 12 para ver cuánto hemos pagado en un año, vemos que obtenemos una cantidad de 14.274 euros, que no coincide con los 14.915,78 de la anualidad. 00:09:04
La razón de ser esto es porque si estamos haciendo pagos mensualmente, el primer pago lo hemos hecho transcurrido un mes, no transcurrido un año. 00:09:19
Y todos esos pagos que vamos haciendo antes de que transcurra el año van generando intereses. 00:09:27
Así pues, si hacemos pagos mensuales en lugar de anuales, se genera una mayor cantidad de intereses y entonces los pagos que estamos haciendo transcurrido un año o transcurrido el préstamo completo va a ser menor. 00:09:32
¿Cuánto sería el pago haciendo pagos mensuales una vez ha transcurrido el préstamo completo? 00:09:44
Bueno, pues si multiplicamos 60 mensualidades por 1.189,50, vemos que en ese caso tenemos que pagar un total de 71.370 euros. 00:09:50
Es más que los 50.000 euros, por supuesto, puesto que tenemos que pagar los 50.000 euros y sus intereses compuestos, pero es menos que si pagamos únicamente cada año. 00:09:59
Insisto, porque en ese caso, haciendo pagos en periodos más cortos, se generan más intereses porque estamos pagando antes. 00:10:09
Un segundo ejemplo sería este ejercicio número 13. 00:10:17
En este caso se nos pregunta cuál es la deuda que podemos contraer con una cierta entidad financiera 00:10:22
si podemos permitirnos pagar hasta 400 euros mensuales durante dos años al 10,5% anual. 00:10:26
¿Qué deuda podría contraer? 00:10:33
Como mencioné anteriormente, lo que vamos a hacer es tomar la fórmula de la anualidad y de ella despejar la deuda. 00:10:35
Esto que tenemos aquí dividiendo lo vamos a pasar multiplicando a la anualidad y esto que tenemos aquí multiplicando a la deuda, 00:10:41
el rédito entre n por 1 más r entre n elevado a t, lo vamos a pasar también dividiendo a la anualidad. 00:10:48
La fórmula que tenemos sería esta. Vamos a calcular la deuda sustituyendo los datos que tenemos. 00:10:56
No es anualidad sino mensualidad. Vamos a sustituir 400 euros. Uno más el rédito, el tanto por uno que equivale 10,5%, que será 0,105. N es el número de pagos que hacemos a lo largo de cada año. Puesto que los pagos son mensuales, aquí pondremos 12. 00:11:01
Y este T mayúscula es el número de periodos que pagamos mensualmente durante dos años, así que 2 por 12 es el número de meses que hay en dos años, que va a ser 24. 00:11:19
Sustituimos todos los datos, operamos y vemos que podemos contraer una deuda de hasta 8.625,14 euros. 00:11:30
Por ejemplo, si nosotros nos planteamos que estamos guardando en casa 400 euros cada mes durante dos años, vemos que 24 por 400 son 9600 euros, más que lo que nosotros estamos pudiendo gastar si financiamos esta deuda. 00:11:39
¿Qué sentido tiene que nosotros hagamos una financiación de una compra en el banco si pagando 400 euros mensuales solo puedo llegar a gastarme 8600, pero si me lo guardo en casita puedo guardar hasta 9600 euros? 00:12:00
La diferencia está en cuándo puedo juntar todo el dinero para poder hacer la compra, para poder tener la deuda. 00:12:16
Si yo me espero al final de los dos años para hacer el gasto, entonces puedo ahorrar hasta 9.600 euros. 00:12:24
Pero si necesito el dinero ahora y ya lo iré pagando, en ese caso, puesto que tengo que pagar no solamente la deuda, sino además sus intereses compuestos, puedo contraer una deuda menor. 00:12:31
Estos 8.625 euros que vemos aquí. 00:12:43
Así, disponer del dinero ahora en lugar de pasados dos años tiene un coste 00:12:47
y es esta diferencia que podemos apreciar en este momento. 00:12:51
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:12:54
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 00:13:04
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 00:13:09
Un saludo y hasta pronto. 00:13:14
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
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  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
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Fecha:
21 de agosto de 2025 - 18:20
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
13′ 42″
Relación de aspecto:
1.78:1
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Tamaño:
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