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Longitud de la gráfica de una función continua - Contenido educativo

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Subido el 29 de diciembre de 2019 por Pablo M.

110 visualizaciones

Aplicación de la integral de Riemann para el cálculo de longitudes.

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Hola a todos, en este tutorial vamos a usar la integral de Riemann para calcular la longitud 00:00:00
de la gráfica de una función continua. El problema que nos ocupa es que tenemos una 00:00:06
función continua definida en un intervalo cerrado a b. Además de la continuidad que 00:00:11
nos asegura la derivabilidad por Riemann, la integrabilidad por Riemann, vamos a exigir 00:00:31
que sea derivable en el abierto. Pues vamos a utilizar el teorema del valor medio del cálculo diferencial. 00:00:37
La integral de Riemann nos dice que necesitamos crear una partición de mi intervalo AB 00:00:49
en una serie de puntos que nos creen una serie de subintervalos cuya longitud máxima tiende a cero. 00:00:55
Bien, pues si dividimos el intervalo AB en n más 1 puntos, que nos creen n subintervalos, todos ellos de longitud b menos a partido por n, 00:01:03
vamos a poder garantizar que cuando la n es suficientemente grande, esa longitud tiende a cero y estamos en las hipótesis de la integral de Riemann. 00:01:23
¿Cómo vamos a hacer uso de la integral para aproximar la longitud? 00:01:33
Bien, mediante la poligonal que une las imágenes de estos valores. 00:01:40
Si yo me centro en cualquiera de estos segmentos, voy a poder calcular su longitud por el teorema de Pitágoras. 00:01:46
De la siguiente manera. 00:02:09
Ahora, el triángulo generado tiene de base la diferencia de los puntos y de altura la diferencia de las imágenes. 00:02:11
Así pues, utilizando el teorema de Pitágoras, si elevamos los catetos al cuadrado y tomamos la raíz cuadrada, 00:02:33
vamos a obtener exactamente la longitud de esa hipotenusa buscada. 00:02:55
y como en nuestro caso la diferencia de las bases es constantemente b menos a partido por n 00:02:59
y lo hemos llamado incremento de x, esta expresión se transforma en esta otra 00:03:05
que sacando incremento de x, factor común, pues es una cantidad positiva 00:03:18
y sale incremento de x fuera. 00:03:23
Ahora aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral 00:03:44
que nos dice que si en unos intervalos cerrados 00:03:50
la función es continua y en los abiertos derivable 00:03:56
cosa que vamos a aplicar a cada uno de los subintervalos 00:04:01
existe un valor entre medias 00:04:04
cuya derivada es justamente 00:04:07
paralela a la secante de los puntos que los une 00:04:19
es decir, el cociente que tenemos en la fórmula de arriba 00:04:23
lo que hace que nuestra fórmula se simplifique todavía más. 00:04:29
En estas condiciones, si hacemos que la n tienda a infinito, esa longitud tiende a cero 00:04:39
y podemos crear el sumatorio de esta nueva hipotenusa por el incremento de x 00:04:51
que hace, según la integral de Riemann, que sea exactamente el valor de la raíz cuadrada 00:05:13
de la función derivada al cuadrado por el diferencial de x. 00:05:25
Ya hemos podido calcular la longitud de estas poligonales 00:05:30
que cuando la n tiende a infinito 00:05:37
va a coincidir exactamente 00:05:40
con el valor 00:05:42
de la longitud de la gráfica buscada 00:05:44
bien, espero que se haya entendido 00:05:46
un saludo 00:05:49
Autor/es:
Pablo Martínez Dalmau
Subido por:
Pablo M.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Compartir igual
Visualizaciones:
110
Fecha:
29 de diciembre de 2019 - 22:14
Visibilidad:
Público
Enlace Relacionado:
http://cloud.educa.madrid.org/index.php/s/rXuhrmqIdQJ6tUu
Centro:
IES CARMEN CONDE
Descripción ampliada:
Otra aplicación de la integral de Riemann fuera del cálculo del área bajo la gráfica de una función.
Duración:
05′ 51″
Relación de aspecto:
4:3 Hasta 2009 fue el estándar utilizado en la televisión PAL; muchas pantallas de ordenador y televisores usan este estándar, erróneamente llamado cuadrado, cuando en la realidad es rectangular o wide.
Resolución:
960x720 píxeles
Tamaño:
44.63 MBytes

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