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2º de bachillerato_ejercicios de la evau_1.2.4 - Contenido educativo

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Subido el 14 de abril de 2021 por Jose S.

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Bien, vamos a hacer el ejercicio 1.2.4 de los exámenes de la EBAU, ¿de acuerdo? 00:00:00
Entonces, dice, nos dan, veis que nos dan una matriz, dos matrices A y B, ¿de acuerdo? 00:00:11
En primer lugar nos piden, dice, determínese si A y B son inversibles. 00:00:19
Y en su caso, calcular la matriz inversa. Claro, para poder calcular la matriz inversa, tiene que ser inversible. ¿Sí o no? ¿De acuerdo? Vamos a ello. 00:00:25
Bien, en principio, ¿cuándo una matriz es inversible? Cuando tiene inversa. 00:00:41
Pero, ¿qué condición utilizamos nosotros para ver si es inversible? Pues que el determinante sea distinto de cero. 00:00:47
¿De acuerdo o no? Bien, vamos a ello 00:00:55
Os pongo aquí la condición 00:00:59
Una matriz A es inversible si y solamente si el determinante de A es distinto de 0 00:01:02
¿Vale? Por lo tanto, lo único que tenemos que hacer es calcular el determinante de A y el determinante de B 00:01:11
Para ver cuáles de las dos son inversibles 00:01:19
¿Es claro? Vamos a ello. Tenemos aquí la matriz A. Vamos a ver cómo es el determinante de A. ¿De acuerdo? Bien, el determinante de A, permitirme que lo sobrescriba aquí, sería, quito esto así, es este determinante. 00:01:23
¿Vale? Hacemos este determinante 00:01:45
Primero, multiplicamos los elementos de la diagonal principal 00:01:50
Que es igual a cero 00:01:54
Porque está aquí el cero, ¿sí o no? 00:01:58
Bien 00:02:01
Segundo, cogemos una diagonal paralela a la principal 00:02:02
La cruzamos con el opuesto y multiplicamos 00:02:07
Sería menos 3 por menos 4 por menos 3 por menos 4 por menos 1. Y esto es igual a menos por menos más, más por menos menos, 12. 00:02:11
¿De acuerdo? 00:02:28
Ahora hacemos lo mismo con 00:02:32
La otra diagonal secundaria 00:02:34
Que es paralela a la 00:02:38
La diagonal principal 00:02:39
Cogemos la paralela 00:02:40
Y la cruzamos con el opuesto 00:02:42
Y entonces nos da lugar 00:02:44
Al siguiente elemento 00:02:47
Que hay que sumar 00:02:50
Que es 5 por 1 00:02:51
Por menos 3 00:02:52
Menos 15 00:02:54
¿Bien hasta aquí? 00:02:56
¿Y ahora qué hacemos? Pues cogemos la diagonal secundaria, que es esta, y multiplicamos sus elementos. 00:02:59
Estos ya van a restar, ¿verdad? Luego voy a coger esta otra, ¿se ve? Y luego esta otra, ¿se entiende? 00:03:10
Entonces, y todos estos van a restar, ¿vale? Entonces, venga, el primero, la diagonal secundaria, menos 1 por menos 4 por menos 3. Primero el signo es negativo, porque hay tres negativos, ¿no? 1, 4 por 3, 12. Menos 12. 00:03:27
Pero hay que poner menos menos 12 00:03:48
¿Se entiende o no? 00:03:54
¿Se ve o no? 00:03:58
Porque es diagonal secundaria, está restando 00:03:59
La siguiente, ¿cuál sería? 00:04:02
La de esta, la del amarillito, ¿no? 00:04:03
Que es 1 por menos 4 por 4 00:04:06
Menos 16 00:04:10
Hay que poner menos menos 16 00:04:13
¿Sí o no? 00:04:16
Y finalmente este, el rojito, que da 0 porque tiene un factor que es 0 00:04:18
¿Se ve o no? Por lo tanto es menos 0 00:04:24
Y ahora, bueno, ponemos menos 12, limpiamos la operación 00:04:26
Esto es más 12, menos por menos más, menos por menos más 00:04:31
16, este de aquí se va con este 00:04:35
Esto es 15 00:04:38
Esto es 1, es distinto de 0 00:04:40
Entonces es inversible 00:04:44
La matriz A es inversible 00:04:46
¿De acuerdo? 00:04:55
Ahora calculemos, por tanto, la inversa de A 00:04:58
Me dicen que si es inversible, calcule la inversa 00:05:01
Bien, haríamos, por tanto, la matriz inversa 00:05:05
¿Vale? Mediante esta expresión 00:05:08
¿Vale? 00:05:12
¿De acuerdo? 00:05:14
Bien 00:05:16
Bien, vais a ver que el resultado es el siguiente. Bien, si calculamos la matriz inversa veréis rápidamente que la matriz inversa es esta de aquí, ¿de acuerdo? No la hago porque eso sería, digamos, motivo de otro vídeo, para no enmarañar, ¿vale? 00:05:17
Entonces, ya tenemos la matriz inversa. Lo hacéis vosotros en casa y comprobáis que es esa, ¿vale? Bien, en cuanto a B, faltaría ver si la matriz B es inversible, para lo cual calcularíamos el determinante de B. 00:05:39
¿Y una duda? ¿Vale? Me he saltado el paso, ¿vale? ¿Algún inconveniente? Vale, seguimos. Pasadla al otro lado. O mejor, sumar en ambos miembros B. ¿Se entiende o no? 00:05:58
Sumaremos B a ambos miembros de la ecuación 00:06:32
¿Y ahora qué haríamos? 00:06:40
Pues lo que haríamos es despejar de aquí X 00:06:55
¿Cómo? 00:07:00
Mandando al otro lado esta matriz A 00:07:03
¿Sí o no? Pero con cuidado, ¿eh? 00:07:08
¿Qué es esto de mandando al otro lado? En realidad no se puede hacer eso 00:07:12
Lo que hago es multiplicar ambos miembros por la inversa de A. ¿Entendéis? Multiplicaríamos esto por A a la menos 1 y esto por A a la menos 1. ¿Para qué? Para que A por A a la menos 1 se transforme en la identidad. ¿Qué es la identidad? 00:07:16
Y así quedará despejada la X. Vamos a verlo. X por A por A a la menos 1. Como este miembro lo he multiplicado por A a la menos 1 por su derecha, recordad que la multiplicación de matrices no es conmutativo. 00:07:42
Por lo tanto, es importante distinguir si estoy multiplicando por la izquierda o por la derecha. 00:08:07
¿Estamos de acuerdo con esto o no? 00:08:14
Entonces, según esto es, ¿cómo multiplico este miembro por a a la menos 1? 00:08:17
Pues para conservar la igualdad, debo de multiplicar este miembro por a a la menos 1. 00:08:22
¿Entendéis o no? 00:08:30
Y ahora la pregunta es, ¿estaría bien si escribo esto? 00:08:31
¿Estaría bien? 00:08:38
No oigo. 00:08:39
Ahora, no está bien, porque tiene que ser por la derecha. ¿Se entiende o no? Y mirad, ya tengo despejada la X, porque esto de aquí, ¿a qué es igual? A la identidad. 00:08:43
O sea que se va uno con otro 00:09:06
Y me queda que 00:09:10
Es igual a 00:09:13
Más B 00:09:18
Por A a la menos 1 00:09:20
Lo único que me queda es operar 00:09:22
2Y más B 00:09:26
Y multiplicarlo por A a la menos 1 00:09:27
Tengo todo esto 00:09:29
¿Sí o no? Lo hacemos 00:09:30
¿Vale? Venga 00:09:33
2Y más B 00:09:34
¿A qué es igual? Bien, B, ¿B qué matriz es, por cierto? B es esta matriz, ¿no? Es de orden 3x3, por lo tanto, ¿y cómo tiene que ser? La identidad de orden 3x3. ¿Esto se entiende o no? 00:09:37
Más B 00:10:00
Bien, vemos que 00:10:02
Simplificar esto 00:10:04
Y esto al operar me quedaría 00:10:07
2, 0, 0 00:10:08
0, 2, 0 00:10:13
Más la matriz B 00:10:15
¿De acuerdo? 00:10:19
Y al sumar esto 00:10:30
Me quedaría 5, 2 00:10:32
Menos 1 00:10:34
1, perdón 00:10:36
1, 1, 0 y menos 3 00:10:42
¿Se entiende? 00:10:48
Perdón, que es un error, es 2 más menos 3 00:10:52
Que es menos 1, ¿vale? 00:10:55
Ya tenemos 2i más b 00:10:57
Y faltaría multiplicar por la inversa de a 00:11:02
Para sacar la incógnita x 00:11:07
¿Se entiende o no? 00:11:09
¿Vale? 00:11:13
Congelar la imagen porque esto lo voy a borrar, ¿vale? 00:11:14
Congelar la imagen en el vídeo, parar el vídeo, copiando y lo borro, ¿de acuerdo? 00:11:19
Bien. 00:11:24
Bien, ya tenemos aquí 2i más b, que multiplicaremos por la inversa de 2i, que ponemos aquí y que lo que nos queda es multiplicarlo, ¿de acuerdo? 00:11:24
Multiplicar esas dos matrices para obtener la matriz X. ¿Es claro? Lo hacemos. Venga. Sería primera fila por primera columna para obtener el elemento de aquí. ¿No? Bien. Multiplicamos las dos matrices y obtenemos esta matriz resultado, que es la matriz incógnita X. ¿Es claro? 00:11:41
Y vamos al apartado 3, que dice calcular A elevado a 86. Bien, ¿qué es esta matriz elevado a 86? Atención, este ejercicio aparenta complicado, ¿sí o no? 00:12:07
Tendríamos que multiplicar A por sí misma 86 veces. 00:12:29
Esto no hay quien lo haga. 00:12:35
¿Estamos de acuerdo? 00:12:37
Vayamos al enunciado a ver si algo nos da alguna pista para ver si puedo calcular esto. 00:12:39
En base a lo que ya sabemos de A. 00:12:46
Sabemos que es invertible y que verifica esta ecuación. 00:12:48
Nada, no nos dice nada de momento. 00:12:52
Yo lo que propongo es lo siguiente. 00:12:55
empecemos a elevar al cuadrado 00:12:57
luego al cubo 00:12:59
una cosa, a elevado a 4 00:13:01
va a ser elevado al cuadrado al cuadrado 00:13:02
¿no? entonces podemos 00:13:05
yo lo que propongo es que veamos 00:13:08
calculemos las primeras potencias de A 00:13:11
para ver si hay algún patrón 00:13:15
que se repite 00:13:17
¿se entiende o no? lo que busco 00:13:17
esto es como se suele trabajar 00:13:20
si tienes que calcular una potencia 00:13:22
tan grande como esta 00:13:25
échate a rezar 00:13:26
Porque hay algún patrón que se repita 00:13:28
¿Se ve la idea o no? 00:13:31
Bien 00:13:33
Vamos a calcular primero A al cuadrado 00:13:34
¿Os parece? 00:13:38
Bien 00:13:40
Y si lo haces 00:13:40
Bien, si calculas A al cuadrado 00:13:41
Que es A por A 00:13:44
Obtienes esta matriz 00:13:45
Que casualmente 00:13:50
Es la inversa de A 00:13:51
¿Se ve o no? 00:13:55
Aquí está la clave, chicos 00:13:57
Porque ya sabemos que a al cuadrado es igual a a a la menos uno. 00:13:59
Por lo tanto, hay que aprovechar este fenómeno que es vital. 00:14:09
Porque ¿cuánto va a dar a al cubo? 00:14:15
Necesariamente, fijaos, a al cubo es igual a a al cuadrado por a. 00:14:20
¿Sí o no? 00:14:27
Que es lo mismo que 00:14:28
A a la menos 1 por A 00:14:30
¿Y esto a qué es igual? 00:14:33
A la identidad 00:14:36
¿Y cómo va a ser A a la cuarta? 00:14:37
Pues es A al cubo por A 00:14:44
Es lo mismo que la identidad por A 00:14:46
¿Y esto a qué es igual? 00:14:51
A porque la identidad es A 00:14:56
¿Se entiende o no? 00:14:58
¿Se entiende? 00:15:01
A a la cuarta vale A 00:15:02
¿Cuánto va a ser A a la quinta? 00:15:04
Pues mira eso 00:15:07
A a la cuarta por A 00:15:08
¿Pero A a la cuarta quién es? 00:15:10
A es igual a A 00:15:15
O sea que aquí es lo mismo que A por A 00:15:17
Que A es A al cuadrado 00:15:19
¿Pero A al cuadrado quién es? 00:15:21
A a la menos uno 00:15:24
Se está repitiendo ese patrón 00:15:25
¿Lo veis o no? 00:15:27
A a la sexta 00:15:29
Va a ser a a la quinta por a 00:15:30
Que es a a la menos uno por a, que es la identidad 00:15:35
Fijaos lo que se está repitiendo, qué patrón, mirad 00:15:40
Vamos a ver, mirad 00:15:44
A a la tres al cubo es la identidad 00:15:49
A a la sexta es la identidad 00:15:55
¿A qué va a ser igual a a la séptima? 00:15:58
Es A. A a la octava será igual a A a la menos uno. Y A a la nueve, ¿quién va a ser? Otra vez la identidad. ¿Se entiende o no? 00:16:02
Entonces, me están pidiendo a elevado a 86 00:16:17
Busquemos, veis que cuando la potencia a todos los exponentes 00:16:23
Múltiplos de 3, es igual a la identidad 00:16:31
Y por tanto, decimos un múltiplo de 3 00:16:36
Que se acerque mucho a 86 00:16:40
Pues el más cercano es 00:16:44
Buscamos, quiero decir, buscamos un múltiplo de 3 00:16:46
El múltiplo de 3 que esté más cerca de 86 00:16:51
84, vamos a ver, la suma de sus cifras es 12 00:16:55
Que es múltiplo de 3, por lo tanto, sí 00:17:02
84 es múltiplo de 3 00:17:05
¿De 3? ¿Sí o no? 00:17:08
Y por tanto, ¿a qué va a ser igual a elevado a 84? 00:17:13
Estamos viendo el comportamiento que cuando el exponente es múltiplo de 3 00:17:17
Es la identidad, ¿sí o no? 00:17:25
Esto es igual a la identidad 00:17:30
¿A qué va a ser igual a elevado a 85? 00:17:31
Pues es a elevado a 84 por a 00:17:36
¿Sí o no? 00:17:39
¿Y esto a qué es igual? 00:17:41
A la identidad 00:17:43
¿Se ha visto aquí? 00:17:44
Que esto es a 00:17:49
Y A elevado a 86 es igual a A elevado a 85 por A. A elevado a 85 es A por A, que es lo mismo que A al cuadrado, que sabemos que es igual a A a la menos 1. 00:17:49
Ya lo hemos calculado antes, que es la matriz esta. 00:18:11
Digo que esto es igual a A a la menos 1, lo hemos visto antes, ¿no? 00:18:19
Lo hemos visto aquí, hemos calculado primero A al cuadrado y hemos visto que daba lo mismo que A a la menos 1. 00:18:24
Esto es lo que nos ha permitido calcular la potencia de manera sencilla, porque si no sería imposible. 00:18:32
Bien, tenemos aquí A elevado a 86. 00:18:41
Subido por:
Jose S.
Licencia:
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Fecha:
14 de abril de 2021 - 16:05
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
18′ 51″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
190.12 MBytes

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