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Tema 4.- Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones 1ª Sesión 08-01-2026 - Contenido educativo

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Subido el 9 de enero de 2026 por Angel Luis S.

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Buenas tardes, esta es la clase de matemáticas del día 8 de enero. 00:00:00
Lo primero, pues, feliz año. 00:00:07
Espero que este año nuevo que comenzamos hoy, pues, os sea muy fructífero 00:00:11
y consigáis todas vuestras metas, entre ellas, pues, esa pelea que tenemos con las matemáticas, 00:00:18
que salgáis vendedor de ellas. 00:00:25
Espero que hayáis cogido mucha energía estas navidades. 00:00:27
para que ahora nos pongamos a tope con lo que nos toca 00:00:30
y lo que nos toca hoy es empezar a aplicar 00:00:35
toda la parte que hemos aprendido anteriormente de cuenta 00:00:39
esas operaciones que hemos aprendido en el tema de números racionales y enteros 00:00:43
esas operaciones que hemos aprendido en el tema de polinomios 00:00:49
pues ahora es tiempo de llevarlo un pasito más allá 00:00:54
que es aplicarlo en ecuaciones 00:00:59
veremos ecuaciones de primer grado, de segundo grado 00:01:03
y sistemas de ecuaciones lineales, que son aquellos en los que 00:01:07
los grados que aparecen en las ecuaciones son solo 00:01:10
grado 1, o sea que no nos vamos a mover más allá 00:01:14
pero esto lo tenemos que controlar muy bien, ¿por qué? porque luego 00:01:18
lo vamos a utilizar como herramienta para resolver problemas 00:01:22
Lo vamos a utilizar para que con los conocimientos que tenemos ya aritméticos y algebraicos darles una vueltecita de tuerca más para que luego nos ayude a poder aplicarlo a problemas del día a día. 00:01:26
Entonces, lo que vamos a ver ahora en este tema que empezamos, lo primero es terminar de ver cómo se opera con esas ecuaciones para luego utilizarlas de herramienta para resolver esos problemas. 00:01:43
entonces vamos a ir poquito a poco 00:01:59
viendo las ecuaciones más sencillas 00:02:01
complicándolas un poquito en cada vuelta 00:02:04
con nada que no conozcamos ya de números enteros 00:02:07
o sea que es más el que nos quedemos un poco con la notación 00:02:11
que ya la sabemos también de polinomios 00:02:15
y dos truquitos de cómo trabajar aquí 00:02:17
para que luego nos salga todo 00:02:21
pues divinamente con un poco de paciencia y cuidado 00:02:23
¿Vale? Entonces, empezamos esta unidad 6 de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. 00:02:27
Y lo primero que vamos a ver, pues es precisamente a qué llamamos ecuación. 00:02:34
Y una ecuación, en matemáticas, es aquella expresión algebraica que describe una igualdad 00:02:41
que sólo se va a cumplir para cientos de valores de la incógnita. 00:02:49
O sea, lo que va a haber aquí es una igualdad entre dos polinomios y esa igualdad solo se va a cumplir para un valor concreto de la variable, de la x. 00:02:54
Fuera de ese valor, la igualdad no tendrá ningún sentido. 00:03:05
A ese valor que hace que la igualdad sea cierta, eso es lo que llamaremos solución de nuestra ecuación. 00:03:10
Entonces, diremos que la incógnita es ese número que no conocemos dentro de la ecuación, que lo vamos a representar con una x, y que las soluciones son esos valores que puede tomar esa incógnita, esa x, y que hacen que se verifique la igualdad, que se verifique la ecuación. 00:03:17
Ejemplo, yo tengo aquí que digo que x al cuadrado menos 4 quiero que sea igual que x más 2 00:03:39
Esta ecuación tiene dos soluciones 00:03:49
Las ecuaciones van a poder tener como máximo tantas soluciones como el exponente más grande que aparezca en las variables que intervienen en la ecuación 00:03:55
Aquí hay un exponente 2, esta sería lo que se llama una ecuación de segundo grado y va a haber dos soluciones. En este caso me dicen que las soluciones son menos 2 y 3. 00:04:05
¿Cómo veo yo que esto es cierto? Pues como hacíamos cuando calculábamos el valor numérico de un polinomio, sustituyendo las x por estos valores y después haciendo las cuentas. 00:04:19
Entonces digo, si la x vale menos 2, ¿qué ocurriría? Que tendría menos 2 al cuadrado menos ese 4, tiene que ser lo mismo que el 2 más 2. 00:04:34
Vamos a ver si es verdad. Menos 2 al cuadrado sería 4, menos 4, 0. 00:04:48
y si yo pongo aquí en la x un menos 2, menos 2 más 2 también es 0 00:04:55
o sea que el resultado del valor numérico de este polinomio que hay a la izquierda del igual 00:05:00
cuando la x vale menos 2 y el valor numérico de este polinomio de la derecha 00:05:05
cuando la x vale menos 2, los dos ha sido 0 00:05:10
y entonces lo que ha ocurrido a este lado del igual 00:05:14
es lo mismo que lo que ocurre a este otro lado del igual 00:05:18
Pues entonces, ese menos 2 es verdad, que hace que la igualdad sea cierta. 00:05:21
Cuando la x es 3, volvemos a hacer la misma historia. 00:05:28
3 al cuadrado menos 4, pues menos 4 es 5. 00:05:31
Y si hago 3 más 2, también me da 5. 00:05:34
O sea que resulta que tengo que en los dos lados del igual sale el mismo resultado. 00:05:37
Otra forma de pensar esto es pensar que la ecuación es como si fuese una balanza 00:05:45
Que yo tengo que mantener siempre en equilibrio 00:05:55
Entonces, imaginaos que yo quiero ver cuánto 2x más 3 vale lo mismo que x más 4, ¿vale? 00:06:00
Entonces, el que esté en equilibrio es lo mismo que esos dos platillos pesen los mismos. 00:06:18
Entonces yo digo, bueno, ¿cómo puedo hacer si yo tuviese esa balanza para pesar lo que vale la X? 00:06:27
Bueno, pues lo que se hace es una cosa que se llama transponer términos. 00:06:35
O sea, la idea es dejar la X en un lado solita y todo lo que no es X en el otro, porque así veré lo que pesa esa X. 00:06:40
Estoy viendo un poco la forma gráfica de lo que vamos a ver luego de cómo se resuelve una ecuación. 00:06:50
entonces yo digo, bueno, pues yo quiero 00:06:55
que desaparezca el 3 en los dos sitios 00:06:59
pues si aquí quito 3 00:07:02
para que el platillo se quite en equilibrio, tendría que quitar aquí también otros 3 00:07:06
y me quedaría 2x 00:07:11
en el primer platillo y en el segundo que me va a quedar 00:07:14
pues x y ahora 00:07:18
4 menos 3 00:07:21
me quedaría un 1 00:07:24
la balanza está en equilibrio 00:07:26
porque he hecho la misma operación 00:07:29
en los dos platillos 00:07:31
que ha sido quitar el 3 00:07:33
y bueno, pero es que 00:07:36
ahora en uno tengo dos X 00:07:38
en otro una X con un 1 00:07:41
¿qué puedo hacer para que en los dos haya lo mismo? 00:07:42
voy a quitar esta X de aquí 00:07:45
y si quito una X aquí 00:07:48
tengo que quitar otra x aquí para que el platillo esté en equilibrio 00:07:50
2x menos una x me quedaría x 00:07:53
y x menos x desaparecería 00:07:58
en el platillo de la derecha solo me queda el 1 00:08:02
entonces fijaos que a lo que he llegado es que 00:08:06
el peso de la x para que los platillos 00:08:09
queden en equilibrio es 1, entonces la solución 00:08:13
de la ecuación que nosotros estábamos resolviendo era 00:08:17
S1. Si comprobamos como hemos hecho 00:08:20
antes, solo tengo que sustituir 00:08:25
las X por 1 00:08:30
y ver que el lado de la izquierda 00:08:33
da como resultado lo mismo que el lado 00:08:38
de la derecha, que es lo que hemos estado haciendo antes 00:08:42
en el ejemplo. ¿Es verdad que 2 por 1 00:08:45
que es 2 más 3 da lo mismo que 00:08:49
1 más 4 que es 5? Pues yo creo que sí. 00:08:53
Entonces, esta solución es la correcta. 00:08:58
El peso que yo buscaba de la X es 1. 00:09:02
Pues eso es lo que vamos a hacer en el fondo cuando resolvamos 00:09:06
ecuaciones de primer grado. Ver cuánto pesa la X. 00:09:09
y eso es lo que vamos a ver ahora 00:09:13
cómo tratarlo matemáticamente 00:09:19
para que todos sepamos de qué estamos hablando 00:09:22
primero os voy a contar una serie de conceptos 00:09:26
de cómo llamamos a las cosas en matemáticas 00:09:30
y cómo llamamos las cosas en las ecuaciones 00:09:33
que es en lo que estamos ahora 00:09:36
llamaremos miembros a cada uno de los lados del igual 00:09:37
a cada uno de los polinomios que aparecen a cada lado del igual. 00:09:43
Como nosotros leemos de izquierda a derecha, pues llamaré primer miembro 00:09:46
a la expresión algebraica que está a la izquierda y segundo miembro 00:09:50
a la expresión algebraica que está a la derecha. 00:09:56
Entonces, si recordamos nuestra ecuación de antes, pues el primer miembro será 00:09:57
este x al cuadrado menos 4 y el segundo miembro el x al cuadrado más 2. 00:10:03
¿vale? ningún problema 00:10:08
solo es poner nombres a las cosas para que todos sepamos 00:10:10
a quién nos estamos refiriendo en cada momento 00:10:15
ahora, que ya os avance antes 00:10:18
digo que el grado de una ecuación 00:10:21
es el número del mayor exponente 00:10:24
a lo que se le va la incógnita 00:10:28
o sea, igual que ocurría en los polinomios 00:10:30
¿os acordáis que el grado de un polinomio era el exponente más alto 00:10:32
que apareciese en los términos del polinomio, que acordaos que el término de un polinomio 00:10:36
era cada uno de los sumandos, cada uno de los monomios que componían el polinomio. 00:10:42
Pues aquí sería un poco lo mismo, el grado es el exponente más alto de todos los términos 00:10:48
que aparecen en cada uno de los polinomios de cada uno de los miembros que componen la ecuación. 00:10:56
O sea que estamos utilizando cosas que ya sabíamos del tema anterior de cuando hicimos las operaciones con polinomios. 00:11:03
Bueno, pues visto esto e identificados estos dos nombres que vamos a utilizar y nos van a aparecer un montón de veces en este tema, 00:11:13
vamos a ir viendo cómo resolver ecuaciones de primer grado. 00:11:24
entonces, lo primero, ¿quién será una ecuación de primer grado? 00:11:29
pues aquella que tenga como exponente más grande 00:11:35
en las X que tenemos de incógnitas, un 1 00:11:38
no haya ningún exponente más grande que 1, como hemos dicho antes 00:11:42
como el mayor número de soluciones que puede tener una ecuación es 00:11:48
igual que el grado de la ecuación, pues en las ecuaciones 00:11:52
de primer grado puede ocurrir dos cosas, que obtenga una solución 00:11:56
solo o no tenga ninguna, lo que no puedo tener es más de una 00:12:00
porque lo máximo que puedo llegar a conseguir es tantas soluciones 00:12:04
como el grado de la ecuación. Bueno, pues nosotros ahora estamos en ecuaciones 00:12:08
de primer grado que podrán tener una solución o no tener 00:12:12
ninguna. ¿Cómo las resolvemos? Bueno, pues vamos a ver 00:12:17
que lo más sencillito que me puedo encontrar es que no haya ni paréntesis 00:12:20
ni fracciones, ni nada de nada, solo haya términos 00:12:25
de grado 1 y términos de grado 0 00:12:28
en lo que son 00:12:30
los distintos términos 00:12:33
de mi ecuación 00:12:34
o sea, los distintos términos 00:12:36
de cada una de las expresiones algebraicas 00:12:38
de los dos miembros 00:12:40
de la ecuación, del lado izquierdo y del lado derecho 00:12:42
entonces, ¿qué haré? 00:12:44
pues, lo que hemos hecho 00:12:47
antes con la balanza 00:12:48
esa es la idea principal 00:12:49
pero lo vamos a 00:12:52
digamos 00:12:54
que describir 00:12:55
en pasitos. Primer pasito, ¿qué es lo que haré? Pues escribir todos los monomios que 00:12:57
tengan grado 1 en el primer miembro y los monomios que tengan grado 0, o sea, los términos 00:13:05
independientes, en el segundo miembro, teniendo en cuenta una cosa, que es lo que ocurría 00:13:13
cuando nosotros estábamos pensando en la balanza de antes, que cuando yo quito un término 00:13:18
de uno de los platillos le tengo que quitar del otro 00:13:25
y esto me lleva a que tengo que tener en cuenta 00:13:29
lo que voy a decir que es muy importante 00:13:36
cuando yo cambie un miembro de un lado al otro del igual 00:13:38
tendré que cambiarle el signo siempre 00:13:43
porque quitar era restar y cuando yo resto algo 00:13:47
si estaba sumando se convierte en negativo 00:13:51
si estaba restando se convierte en positivo por la regla de los signos. 00:13:56
O sea, que lo que voy a hacer es como multiplicar por un menos aquel término que me estoy llevando. 00:13:59
¿Vale? Lo vemos aquí en este primer paso. 00:14:04
Tengo este primer miembro, 3x menos 4 más 7x, igual a menos 10 más 2x más 2. 00:14:08
Yo quiero traer todas las x a la izquierda y lo que no tiene x a la derecha. 00:14:15
Entonces, este 4 que estaba restando, al llevármelo al otro lado, va a cambiar a sumando. 00:14:19
Porque nos quedamos con algo más práctico. 00:14:28
Cada vez que pase el puente, que es el igual, hay que cambiar el signo. 00:14:30
Más que el signo, la operación. 00:14:34
Entonces, lo que resta pasa a sumar y lo que sume, como aquí, ese más 2x va a pasar a restar. 00:14:37
O sea que este menos 4 me lo he llevado al otro lado y se ha convertido en un más 4. 00:14:44
Este más 2 que estaba a la derecha me lo he traído a la izquierda y se ha convertido en un menos 2. 00:14:50
O sea que cada término que cambie de lado tengo que cambiar la operación que estaba haciendo. 00:14:55
¿Vale? 00:15:01
Aquí solo es sumas y restas, pues es como si cambiase el signo nada más. 00:15:03
Cuando tengamos multiplicaciones y divisiones, pues ya lo veremos más adelante. 00:15:09
¿Qué pasa? 00:15:12
O sea, cuando ya he hecho esos cambios y tengo todas las X en un lado 00:15:13
y todo lo que no tiene X en el otro, lo que hago es juntarlo. 00:15:17
3X más 7X menos 2X, pues 3 más 7, 10, menos 2, 8. 00:15:23
O sea que sumo aquellos monomios que son semejantes, que tienen el mismo grado. 00:15:28
Y en el lado de la derecha hago lo mismo. 00:15:33
Menos 10 más 2, menos 8. 00:15:36
Y más 4, menos 4. 00:15:39
entonces me ha quedado que 8x 00:15:41
por así decirlo de alguna manera 00:15:44
y recordar lo de la balanza 00:15:46
pesa menos 4 00:15:47
pero yo no quiero saber lo que pesa 8x 00:15:49
quiero saber lo que pesa 1 00:15:52
¿qué haré? 00:15:53
pues despejar la incógnita que se llama 00:15:55
y despejar la incógnita es que 00:15:58
este 8 desaparezca de aquí 00:16:00
pero si pensamos 00:16:02
en lo que os decía antes 00:16:04
como este 8 está multiplicando 00:16:05
si yo me lo quiero llevar al lado 00:16:08
contrario, le tengo que pasar con la operación contraria. 00:16:10
¿Y qué es lo contrario de multiplicar? Dividir. 00:16:14
O sea, que este 8 que estaba multiplicando pasa dividiendo. 00:16:18
¿Vale? Y ya tengo la x sola, 00:16:22
que es lo que yo pretendía. ¿Cuál es el valor de esa x? 00:16:26
Pues hago la cuenta de esta fracción. Si la división es exacta, 00:16:30
hago. Si no, lo que hago es simplificar. Lo que ya sabíamos 00:16:34
el tema de números racionales. Como aquí no se puede dividir 4 entre 8, pues no me va a salir un número entero, 00:16:38
pero sí que puedo simplificar dividiendo al numerador y al denominador entre 4, me quedaría menos 4 entre 4, 00:16:45
menos 1 y 8 entre 4, 2. Pues la solución que yo quiero es menos 1 medio, porque puedo aprovechar y hacer ya la regla 00:16:53
los signos, si digo negativo dividido entre positivo 00:17:02
pues resultado negativo, y así me olvido de si el menos 00:17:06
es del numerador, es del denominador, no, este menos va a ser de toda 00:17:10
la fracción, pues la solución de mi ecuación 00:17:14
es x igual a menos un medio 00:17:18
si yo quisiese comprobar que esta solución es correcta 00:17:21
acordaos que lo único que tengo que hacer es 00:17:27
sustituir en la ecuación original 00:17:29
cada x por este valor 00:17:33
y hacer las cuentas y ver si lo que me sale de resultado 00:17:37
en el lado izquierdo del igual y lo que me sale en el lado derecho es lo mismo 00:17:41
¿Qué me sale lo mismo? Pues la ecuación está bien 00:17:46
resuelta. ¿Qué no me sale lo mismo? Pues 00:17:50
alguna cosa he hecho mal. Vamos a verlo 00:17:53
en este primer ejemplo que ocurre así. 00:17:57
Entonces, a ver si me deja escribir aquí 00:18:00
y así perdemos menos tiempo. 00:18:03
Digo, tengo S3 multiplicado por S menos un medio 00:18:07
que acabo de decir que vale la X. 00:18:16
Menos el 4 y más 7 por menos un medio que vale la X. 00:18:19
Voy al otro lado del igual y tendría menos 10 00:18:26
más 2 por menos un medio que vale la X 00:18:29
y más 2. 00:18:34
He cambiado cada X por el valor que hemos dicho 00:18:37
que tenía que tener la solución. 00:18:41
Voy a hacer estas operaciones combinadas que me han quedado 00:18:43
a ver si me sale lo mismo a un lado que al otro del igual. 00:18:46
Acordaos, lo primero que hacíamos era quitarnos los paréntesis. 00:18:50
Aquí sería lo mismo que hacer las multiplicaciones. 00:18:55
3 por menos 1 medio me daría menos 3 medios, menos 4 y ahora más 7 pero menos 1 medio, menos 7 medios, voy al otro lado y tengo menos 10 más 2 por menos 1 medio, pues menos 2 medios, del más por menos, sale menos y el más 2 aquí. 00:18:58
Para sumar esto, tendríamos que hacer denominador común, pero fijaos que si somos un poco cucos, digo, ¿y por qué no junto primero las fracciones? A ver qué pasa, menos 3 medios menos 7 medios me daría menos 10 medios y luego el menos 4 que estaba solo. 00:19:21
si voy al otro lado, tengo el menos 10 00:19:45
y ahora, menos 2 entre 2 es lo mismo que 00:19:49
menos 1 y más 2, lo que he hecho ha sido simplificar 00:19:53
esta operación, 2 entre 2 da 1, voy a ver si puedo simplificar 00:19:58
también esta, menos 10 entre 2 00:20:01
división exacta, menos 5, o sea que me he deshecho de las 00:20:04
operaciones, voy a ver ahora si el resultado 00:20:12
de esta operación del lado izquierdo, menos 5 menos 4 00:20:17
que sería menos 9, me sale lo mismo que el de aquí 00:20:21
de la derecha, menos 10 menos 1 menos 11 y más 2 00:20:25
menos 9, entonces como me ha salido lo mismo 00:20:29
en los dos lados del igual, pues la ecuación 00:20:32
el resultado de esta ecuación, la solución de esta ecuación 00:20:37
es el menos 1 medio es correcto 00:20:41
No va a haber ningún otro valor de la X que cumpla esta igualdad, ¿vale? Porque dijimos que las ecuaciones de primer grado como máximo podían tener una solución, ¿vale? 00:20:44
Entonces, fijaos que, bueno, que en este tema yo voy a poder comprobar siempre si las soluciones que me han salido son correctas, o sea, que voy a poder comprobar siempre si he hecho bien los ejercicios, ¿vale? 00:20:58
Bueno, pues vamos a seguir un poquito más adelante y digo, bueno, vamos a meterle una pequeñísima dificultad y es que me aparezcan paréntesis. 00:21:17
Hemos visto antes ecuaciones de primer grado sencillas, solo había sumas, restas, multiplicaciones, ahora voy a meter paréntesis. 00:21:40
¿Algún problema? Ninguno 00:21:47
Solo que voy a tener que trabajar un poquito más 00:21:51
Pero con cosas que ya conozco 00:21:55
Entonces, ¿qué hago si en una ecuación aparecen paréntesis? 00:21:59
Pues lo primero que voy a hacer es quitar esos paréntesis 00:22:03
¿Vale? Hacer el orden de las operaciones correspondientes 00:22:07
Es primero quitar esos paréntesis haciendo estas multiplicaciones que hay delante de ellos 00:22:10
Vamos a verlo, 2 por x, 2x, 2 por 5, 10 00:22:16
Y la x que estaba sumando se queda como estaba 00:22:22
Esto es lo que hacíamos cuando decíamos 00:22:25
¿Cómo se multiplica un número por un polinomio? 00:22:29
Pues multiplicar ese número por todos los términos del polinomio 00:22:31
Pues eso es lo que hemos hecho 00:22:34
Si voy al otro lado del igual, la misma historia 00:22:35
Menos 3 por 6 menos 5x, pues ¿qué me va a dar? 00:22:39
menos 3 por 6, menos 18, menos 3 por menos 5x, menos por menos más, 3 por 5, 15, x, y el 16 que estaba fuera del paréntesis se queda como está. 00:22:43
Lo que parecía una ecuación un poco más difícil ha terminado siendo una exactamente igual que las de antes. 00:22:59
Una ecuación sencilla que llamábamos, ¿qué es lo que dijimos allí que había que hacer? 00:23:07
juntar todas las x en un lado, lo que no tiene x en el otro 00:23:12
pues vamos a hacer eso, el 2x y el más x 00:23:17
que ya estaban a la izquierda se quedan como están 00:23:21
y este 15x positivo que estaba a la derecha 00:23:23
al traernosle para el lado izquierdo se convierte 00:23:29
en negativo, o sea, cambio esa suma por una resta 00:23:33
miro el lado derecho de la ecuación que en él 00:23:37
quiero dejar todos los términos que no tengan x. 00:23:41
Pues bueno, lo primero, el menos 18 y el más 16 se quedan como estaban. 00:23:44
Y ahora, el más 10 que tenía en el lado izquierdo, al traerme al lado derecho, 00:23:51
viene como un menos 10. 00:23:56
He cambiado el signo, nada más. 00:23:58
Ya tengo todas las x a la izquierda, lo que no tiene x a la derecha. 00:24:01
Bueno, pues vamos a agrupar. 00:24:06
Sumamos esos términos semejantes. 00:24:09
Digo 2x más 1x, 3x. 00:24:11
3x menos 15x, pues menos 12x. 00:24:15
Estoy sumando números enteros. 00:24:19
Voy al otro lado. 00:24:22
Menos 18 más 16 me daría menos 2. 00:24:23
Que con el menos 10 que viene detrás me da un menos 12. 00:24:29
¿Vale? Genial. 00:24:33
Ya he dejado todo agrupado en un solo término en cada lado del igual. 00:24:34
¿Qué me falta por hacer? 00:24:39
quitarme este menos 12 de aquí, yo no quiero saber lo que vale 00:24:41
el menos 12x, quiero saber lo que vale una x sola 00:24:44
¿qué hago? pues ese menos 12 que está multiplicando 00:24:47
me lo llevo al otro lado dividiendo y miro a ver si se puede 00:24:52
hacer la división o si se puede simplificar y en este lado 00:24:57
esta ecuación, pues fíjate que bien, porque menos 12 dividido entre menos 12 00:25:00
es 1, pues la solución de mi ecuación es 00:25:05
1, vamos a hacer lo mismo que antes 00:25:08
vamos a comprobar que esa solución está bien 00:25:12
¿vale? pues yo llego 00:25:16
en esa comprobación y digo aquí arriba, en todos los sitios 00:25:20
que había una x yo tengo que poner un 1 00:25:24
2 por 1 más 5 00:25:27
más 1 00:25:32
tiene que ser igual a menos 3 00:25:35
por 6 00:25:38
menos 5 00:25:40
por 1 00:25:42
y más 00:25:43
me he quedado sin sitio por no fijar 00:25:53
más 16 00:25:55
vale, pues hacemos las cuentas 00:26:04
2 por 00:26:06
1 más 5 es 6 00:26:08
aquí sí que hago en las operaciones 00:26:10
como números enteros, haciendo paréntesis primero, después multiplicaciones y lo último sumas y restas, menos 3 por 6 menos 5 por 1 que sería 5, pues me va a dar 1 y más el 16 del final, 00:26:13
por 2 por 6, 12 más 1 00:26:29
tiene que ser igual a que menos 3 por 1, menos 3 00:26:33
más 16, pues 12 más 1 es 13 00:26:37
y menos 3 más 16 es 13 00:26:42
como nos ha salido lo mismo en los dos lados, pues divinamente 00:26:45
la ecuación está bien resuelta 00:26:50
vale, pues seguimos entonces 00:26:53
Las ecuaciones sencillas y las ecuaciones con paréntesis están controladas. 00:26:57
¿Qué pasa si aparecen fracciones, si aparecen denominadores? 00:27:03
Pues no pasa nada. Vamos despacito y lo primero que hago es deshacerme de ellos, porque no me gustan. 00:27:09
¿Cómo me voy a deshacer de ellos? Pues como ya sabíamos hacer de los números racionales, 00:27:19
haciendo denominador común en toda la ecuación. 00:27:24
Cuando echo de un denominador común a todos los términos de esa ecuación, lo que hago es quitar los denominadores directamente 00:27:29
y me quedará una ecuación con paréntesis porque, para hacer las cuentas bien despacito, 00:27:37
ya he ido poniendo paréntesis a los términos de los numeradores de esas fracciones que me han salido 00:27:45
para ver por quién los tenía que multiplicar. 00:27:51
Pues quito los paréntesis como hemos dicho en el paso anterior 00:27:54
Y me queda ya una ecuación sencilla 00:27:57
Que lo que hago es agrupar términos semejantes 00:28:00
Sumarlos y despejar la x 00:28:03
Pues vamos a verlo 00:28:06
Tengo x menos 4 dividido entre 6 00:28:08
Menos x más 6 dividido todo entre 4 00:28:12
Y eso quiero que sea igual a menos x dividido entre 2 más 2 00:28:16
pues hago el denominador común de todos los denominadores 00:28:20
que han aparecido en toda la ecuación 00:28:24
denominador común sería hacer el mínimo común múltiplo de 6 00:28:26
de 4 y de 2 00:28:30
pues el mínimo común múltiplo de 6, 4 y 2 es 12 00:28:31
pues quiero que en todos los términos de la ecuación 00:28:35
aparezca el denominador 1, 12 00:28:39
pues le pongo pero acordaos que 00:28:42
si cambiamos el denominador 00:28:45
teníamos que corregir también el numerador 00:28:49
¿Cómo hacíamos eso? 00:28:52
Decíamos, denominador nuevo 00:28:54
el 12 que yo quiero del mismo como múltiplo 00:28:57
lo divido entre el denominador antiguo, entre 6 00:29:00
y me da un 2 00:29:03
y ese 2 va a multiplicar a todo el numerador que tuviese antes 00:29:05
como antes tenía un x-4 00:29:11
para ver que ese 2 multiplica a esos dos términos 00:29:13
lo pongo entre paréntesis, voy a la siguiente ecuación, perdón, al siguiente término. 00:29:17
Denominador nuevo, 12, dividido entre el antiguo que era un 4, pues me va a dar el resultado un 3, 00:29:23
pues ese 3 multiplicará a todo el numerador antiguo, al x más 6. 00:29:31
Para saber que multiplica a los dos, tanto al x como al 6, lo pongo entre paréntesis. 00:29:37
Vamos al lado derecho de la ecuación, al segundo miembro. 00:29:43
denominador nuevo, 12 00:29:45
dividido entre 2 me da 6 00:29:48
y ese 6 le tengo que multiplicar por la X 00:29:51
pues me da 6X 00:29:53
último término 00:29:55
denominador nuevo, 12 00:29:57
entre el antiguo 00:29:59
cuando no había denominador era un 1 00:30:01
pues 12 entre 1 es 12 00:30:03
ese 12 multiplicado por el 2 00:30:04
me da un 24 00:30:07
o sea que lo que voy haciendo es 00:30:09
lo que ya sabíamos de fracción es que es 00:30:11
divido por el de abajo 00:30:13
multiplico por el de arriba, y como decíamos antes 00:30:14
una vez que he conseguido que todos los denominadores 00:30:19
sean iguales, me los cargo 00:30:22
digo S12, S12, S12, S12 00:30:25
los puedo quitar, porque esto es como decir 00:30:30
a ver, quiero comparar a personas que tienen 00:30:34
todas el mismo pantalón, y ahora lo que les distingue son las camisetas 00:30:38
si todas tienen el mismo pantalón que sería el denominador 00:30:43
no me tengo que fijar en los pantalones, me tendría que fijar en las camisetas 00:30:46
para poder distinguir a esas personas, pues eso es lo que estamos haciendo aquí en definitiva 00:30:50
quedarme con todos los numeradores y olvidarme 00:30:54
de los denominadores, pues de los denominadores no saco ninguna información 00:30:59
puesto que todos son iguales, o sea que me he quedado 00:31:03
con esta nueva ecuación que ya no tiene 00:31:06
denominadores, pero tiene paréntesis. Entonces, tendremos que hacer como hicimos en el caso 00:31:11
anterior, deshacernos de esos paréntesis. ¿Cómo nos deshicimos de ellos? Pues multiplicando 00:31:16
el numerito que había afuera por todos los términos que había dentro del paréntesis. 00:31:22
Pues 2 por x, 2x. 2 por menos 4, menos 8. Voy al siguiente. Menos 3 por x, menos 3x. 00:31:26
menos 3 por más 6, menos por más menos 00:31:35
3 por 6, 18, el menos 6x y el 24 se quedan 00:31:39
como están porque no hay paréntesis y lo que encontrarás es una ecuación 00:31:44
de las que llamábamos sencillas, que ya solo tienen 00:31:48
términos con x y términos sin ellas, que es lo que hacíamos 00:31:51
agrupar todos los términos que tengan x los pongo a la izquierda 00:31:55
los que no tengan x a la derecha, pues venga 00:32:00
El 2x y el menos 3x que ya estaban colocados en su sitio se quedan como están 00:32:03
Pero el menos 6x que estaba a la derecha al traérmelo a la izquierda se convierte en un más 6x 00:32:10
Vamos a los de la derecha 00:32:17
Los términos independientes 00:32:20
El 24 se queda como está porque ya estaba colocado en su sitio 00:32:23
Pero el menos 8 que estaba a la izquierda cuando me lo llevo a la derecha se convierte en un más 8 00:32:26
y el menos 18 que estaba a la izquierda, cuando me lo llevo a la derecha, se convierte en un más 18. 00:32:32
O sea, cambio las sumas, las restas, por sumas. 00:32:37
Cuando ya tenemos todos los términos semejantes juntos, lo que hago es sumarlos. 00:32:42
2x menos 3x, menos 1x, más 6x, 5x. 00:32:48
24 más 8, 32 00:32:54
32 más 18, 50 00:32:59
Cuando ya he conseguido agrupar esos términos semejantes 00:33:02
Decíamos que el numerito que estaba con las X 00:33:06
Que está multiplicando, me lo llevo al otro lado dividiendo 00:33:09
Y ahora 50 entre 5, el resultado 10 00:33:14
Pues esa es la solución que nosotros queremos 00:33:19
X igual a 10 00:33:22
Bien, como antes, vamos a ver que puedo comprobar la solución y que no hay ningún problema, solo tengo que ir cambiando cada x por un 10. 00:33:24
Pues digo, en esta ecuación original, tengo que cambiar las x por 10, pues 10 menos 4 dividido entre 6, menos 10 más 6 dividido entre 4. 00:33:35
Quiero ver si es igual que menos 10 dividido entre 2 y más 2. 00:33:52
Vamos a verlo. 00:33:59
10 menos 4, 6. 00:34:00
6 partido de 6. 00:34:02
Menos 10 más 6, 16. 00:34:04
16 partido de 4. 00:34:07
Quiero que sea igual a menos 10 partido de 2 más 2. 00:34:10
Vamos a ver. 00:34:15
Si se pueden simplificar las fracciones, pues buena ganancia el denominador común. 00:34:17
6 entre 6 es 1, menos 16 entre 4 00:34:20
es 4, menos 10 entre 2 00:34:24
menos 5, y el 2 que estaba solita 00:34:28
1 menos 4, menos 3, y menos 5 menos 2 00:34:31
más 2, menos 3, pues hemos visto 00:34:36
que esta solución es correcta, pues nada 00:34:40
genial, el ejercicio está bien resuelto 00:34:44
bueno, vamos a ver para rematar 00:34:47
lo más difícil que nos podemos encontrar 00:34:50
que es que me mezclen paréntesis y fracciones 00:34:53
o sea, que tenga paréntesis y denominadores 00:34:58
pues no pasa nada 00:35:00
va a ser un poco más largo el ejercicio 00:35:02
pero no hay nada que no sepamos hacer ya 00:35:05
solo es ir en orden 00:35:08
de esta forma que os voy a decir 00:35:10
primero, quito los paréntesis 00:35:13
haciendo las multiplicaciones que correspondan. 00:35:16
Pues en este caso, ese 2 le quiero multiplicar por el x menos 3, 00:35:20
que me quedará 2x menos 6. 00:35:25
Y este 1 tercio le quiero multiplicar por el x y por el menos 1, 00:35:28
pues menos 1 tercio por x, menos x partido de 3, 00:35:33
porque acordaros que para multiplicar fracciones 00:35:36
se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador, 00:35:38
y menos un tercio por menos uno 00:35:42
pues menos por menos más 00:35:44
uno por uno, uno 00:35:46
y dividido entre tres 00:35:48
ya me he cargado los paréntesis 00:35:49
me voy a quitar ahora los denominadores 00:35:53
como dijimos que nos los quitamos 00:35:57
haciendo el mínimo común múltiplo 00:35:59
de todos los denominadores que hubiese en la ecuación 00:36:02
pues el mínimo común múltiplo del tres y del seis 00:36:04
va a ser el seis 00:36:07
la misma historia de antes 00:36:08
El denominador nuevo va a ser 6, pero cuando yo corrijo el denominador, el numerador también hay que corregirle. 00:36:11
¿Cómo veíamos esa corrección? 00:36:19
Pues decíamos, el denominador nuevo lo divido entre el antiguo, 6 entre 3, 2, y ese 2 que me sale lo multiplico por todo el numerador. 00:36:20
Para hacerlo pasito a pasito, pues lo pongo entre paréntesis para recordar que multiplica todo. 00:36:31
denominador nuevo 6 entre el antiguo que era 6 00:36:36
pues 6 entre 6 es 1 con lo cual esto se queda como está 00:36:41
pero fijaos que ese menos 00:36:45
estaba fuera de la fracción entonces tengo que tener cuidado de acordarme 00:36:49
de que ese menos multiplica todo el numerador para que no se os olvide 00:36:52
el consejo que os doy es que cuando no tenga 00:36:57
que multiplicar por nada pero hay un menos delante igual que hicimos aquí 00:37:02
y con el paréntesis al 2x menos 6, se le pongáis también aquí. 00:37:06
Porque si no, tendéis a multiplicar solo la x por el menos, 00:37:10
y a no multiplicar el más 2, y ya me lo he cargado. 00:37:15
Yo pongo el paréntesis ahí, diciendo que he multiplicado por un 1, 00:37:19
que no hace falta que le ponga, pero que yo sé que eso va entre paréntesis. 00:37:24
6 entre 3, 2, por esa x, por 2x. 00:37:29
6 entre 3 es 2, por ese 1 es un 2. 00:37:33
Como todos los denominadores son iguales, lo puedo quitar. 00:37:37
Acordaos que una vez que teníamos todos los denominadores iguales y habíamos corregido los numeradores, 00:37:43
podíamos cargarnos los denominadores. 00:37:48
Y ahora me queda una ecuación con paréntesis. 00:37:51
¿Cómo resolvíamos la ecuación con paréntesis? 00:37:54
Multiplicando el numerito de fuera por todo lo que había dentro. 00:37:57
pues tengo 00:38:00
ese 2 por 2x 00:38:03
2 por menos 6 00:38:07
menos 12 y ojo 00:38:09
que cuando teníamos un menos de un paréntesis 00:38:11
estábamos 00:38:14
delante de un paréntesis, decíamos que ese menos 00:38:15
cambiaba de signo a todo lo de dentro 00:38:18
es lo que en su día 00:38:20
decíamos en el tema de polinomios que 00:38:22
restar un polinomio era como sumar el opuesto 00:38:23
pues vamos a hacer eso 00:38:26
o pensar regla de los signos 00:38:27
menos por más menos, menos x, menos por más menos 00:38:30
menos 2, y el menos 2x y el más 2 se quedaban 00:38:34
como estaban porque no había paréntesis por ningún lado 00:38:38
¿Qué hacemos ahora que ya me desecho de las raciones de los paréntesis? Pues agrupar términos 00:38:40
las x a la izquierda, lo que no tiene x a la derecha 00:38:47
pues ya está, el 4x y el menos x 00:38:51
se quedan como estaban, y ese menos 2x que tenía 00:38:54
a la derecha del igual, al traerlo a la izquierda se convierte en un más 2. El 2 que tenía 00:38:58
a la derecha se queda como estaba y ese menos 12 y ese menos 2 que tenía a la izquierda 00:39:03
al llevármelos a la derecha se convierte en un más 12 y un más 2. Con lo cual si 00:39:09
sumamos tengo 4x menos una x, 3x, más 2x, 5x, 2 más 12, 14, 2, 16, o sea que 5x es 00:39:15
igual a 16. Como yo no quiero saber lo que vale en 5x, sino que quiero saber 00:39:28
lo que vale una x sola, ¿qué hago? Pues ese 5 que está multiplicando 00:39:32
me lo traigo dividiendo. Y el resultado final que yo quiero es 00:39:36
que la x vale 16 quintos. 00:39:40
Como no se puede simplificar, ni se puede dividir porque no sale 00:39:44
la división exacta, pues lo dejo tal cual. 00:39:48
Nos vale cualquier número de los que conocemos. Pero ya nos da igual que sean naturales 00:39:51
que enteros que racionales, nosotros sabemos operar con cualquiera de ellos 00:39:56
pues ya está, esa es mi solución, para comprobarlo 00:39:59
pues como siempre nos iríamos a la ecuación original 00:40:07
y cada una de las X la cambio por un 15 sextos 00:40:10
no pasa nada, voy a hacer las cuentas 00:40:16
despacito y me salen igual, bueno 00:40:19
pues lo vamos a dejar aquí, en la semana que viene 00:40:23
no tenemos clase porque hay exámenes de recuperación 00:40:29
o sea, no tenemos clase hasta el día 22 00:40:33
¿qué quiero que hagáis mientras tanto? 00:40:35
sobre todo los que no tenéis que hacer recuperación 00:40:38
pues que vayáis haciendo ejercicios 00:40:41
de operaciones con ecuaciones de primer grado 00:40:44
que el próximo día haremos alguno 00:40:47
y si hay alguien que tenga dudas 00:40:50
pues me preguntáis para que 00:40:53
practiquemos un poco antes de pasar a problemas 00:40:55
luego ya haríamos problemas con ecuaciones de primer grado 00:40:58
que vamos a ver que la única dificultad que tienen es 00:41:02
escribir bien las cosas de las condiciones 00:41:04
para escribir bien esa ecuación 00:41:07
que me represente los datos del problema y las condiciones 00:41:09
porque a partir de ahí las operaciones son lo que hemos visto 00:41:13
y sí que en los problemas es muy importante 00:41:16
que compruebe las soluciones 00:41:20
que el resultado que me salga tenga sentido 00:41:22
no sea algo que no tiene ni pies ni cabeza 00:41:25
y ahí será donde os haga más hincapié 00:41:29
cuando hagamos problemas 00:41:31
y os enseñaré distintos modelos de problemas 00:41:32
que se hacen igual y que se atacan igual 00:41:37
para que cojáis un hábito 00:41:40
y sobre todo perdáis el miedo 00:41:43
que soléis tener de entrada a los problemas 00:41:45
que ya os digo de antemano 00:41:47
que suelen ser más fáciles al final 00:41:49
que cuando me ponen las ecuaciones 00:41:51
a resolver directamente escritas. 00:41:53
Bueno, pues lo dejamos aquí por hoy. 00:41:56
Que tengáis buena tarde. 00:41:58
Materias:
Matemáticas
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Ángel Luis Sánchez
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9 de enero de 2026 - 8:25
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