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Videoconferencia 5.4-19-04-24 - Contenido educativo

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Subido el 24 de abril de 2024 por Purificación A.

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Buenas tardes. Comenzamos la videoconferencia de hoy repasando la última parte que vimos en la videoconferencia de la semana pasada, correspondiente a la propagación de incertidumbres y a los ejercicios que os he subido al aula virtual que se encuentran resueltos. 00:00:01
que tenéis tanto los enunciados como las soluciones. Bien, un breve inciso referente a la propagación de 00:00:22
incertidumbres, pues bueno, ya vimos que la incertidumbre está relacionada con todo el proceso 00:00:29
de medida y en dicho proceso de medida intervienen los instrumentos de medición. Todo este tipo de 00:00:36
instrumental que veis aquí, ya sean balanzas, buretas, pipetas, termómetros, todos ellos están 00:00:43
caracterizados por una sensibilidad y una precisión. Es decir, a mayor sensibilidad, más preciso será 00:00:51
el instrumento. Luego, por tanto, cuando nosotros, a medida que hacemos las operaciones en el 00:01:00
laboratorio y luego trasladamos esas operaciones a una serie de cálculos matemáticos, igualmente 00:01:06
tenemos que tener en cuenta esa sensibilidad y esa precisión en los cálculos. La propagación de 00:01:14
nuestras incertidumbres se va a realizar no sólo a medida que nosotros vamos realizando una operación 00:01:20
a continuación de la otra, sino que también la vamos a propagar de manera matemática o analítica 00:01:26
cuando vamos realizando nuestros cálculos. De esta forma, cuando vamos a realizar las operaciones con 00:01:33
nuestros datos experimentales y vamos a estimar la propagación y la incertidumbres, nuestro resultado 00:01:40
final, no puede exceder de la precisión que está referida al instrumento de medición que se ha 00:01:49
utilizado en ese cálculo experimental. Es decir, si nosotros hemos realizado una operación de pesada, 00:01:58
por ejemplo, la diferencia del peso después en un filtro. Imaginaros, por ejemplo, que hemos 00:02:07
realizado una toma de muestra de aire en un filtro y hemos realizado la pesada del filtro antes y 00:02:14
después de realizar el ensayo pues lógicamente cuando nosotros demos el resultado final que va 00:02:20
a ser la diferencia entre el peso final del filtro y el peso inicial nosotros ese resultado final lo 00:02:26
vamos a acompañar de una incertidumbre pues esa incertidumbre tiene que tener el mismo número de 00:02:32
cifras significativas que tiene la precisión del aparato. Es decir, como veis en el ejemplo 00:02:39
de la diapositiva, no tiene sentido que yo dé un resultado de 0,0234234 gramos cuando 00:02:45
la precisión de mi balanza llega hasta, por ejemplo, los miligramos. A eso es a lo que 00:02:54
se refiere con la, digamos, incertidumbre en el resultado final. Entonces, lo que tenemos que 00:03:03
tener en cuenta es que todos los errores sean aleatorios o sistemáticos a medida que se van 00:03:11
a ir propagando en las operaciones que yo realice en el laboratorio, también los voy a ir arrastrando 00:03:17
en mis operaciones matemáticas y tenemos que tenerlos en cuenta a la hora de realizar dichos 00:03:24
cálculos. Para ello, lo que se van a seguir son una serie de reglas como las que tenéis 00:03:31
precisamente en esta tabla. Es decir, aquí vemos que para sumas o restas nosotros siempre 00:03:38
en nuestro resultado final de nuestro problema se va a dar como una cifra que corresponde 00:03:46
al resultado de la operación matemática, ya sea una resta, una suma, por ejemplo una 00:03:54
división, si estoy calculando una concentración, que va a ir acompañada de la incertidumbre del 00:04:00
resultado final. Y en esta incertidumbre es donde yo voy a tener en cuenta esta fórmula o bien esta 00:04:07
otra en función de que mi operación matemática sea suma o resta o bien multiplicación y o división. 00:04:15
Aquí tenemos un ejemplo resuelto en el cual se realiza una valoración en el laboratorio y se efectúa una lectura inicial de la bureta donde nos marca 3,51 mililitros y una lectura final de 15,67 mililitros. 00:04:24
Y ambas lecturas tienen una desviación estándar o una incertidumbre de 0,02 mililitros. 00:04:44
Nos pregunta cuál es el volumen devalorante utilizado y la desviación estándar de la medición. 00:04:53
Bien, el volumen utilizado se resuelve mediante una resta entre el volumen final menos el volumen inicial. 00:05:01
Luego tenemos un resultado de 12,16 mililitros. 00:05:09
Nuestra operación matemática que hemos realizado en este cálculo es la correspondiente a una resta. Luego la incertidumbre que vamos a utilizar para calcular la incertidumbre del resultado corresponde a esta expresión que veis aquí. 00:05:13
En una suma y o resta la incertidumbre del resultado es la raíz cuadrada, cuando yo elevo un número a un medio es lo mismo que una raíz cuadrada, de la suma al cuadrado de las distintas incertidumbres que acompañan a cada uno de los elementos o a cada uno de los sumandos de mi operación principal. 00:05:33
Luego en el ejemplo que estamos viendo la desviación estándar del resultado va a ser igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las distintas desviaciones estándar. 00:05:58
Como aquí estamos utilizando únicamente un labureta como único instrumento de medida, la desviación estándar es la misma, pero afecta a las dos lecturas, es decir, afecta a la lectura de 15,67 más la lectura de 3,51. 00:06:13
De ahí que la desviación estándar o incertidumbre del resultado se calcule como la raíz cuadrada de la suma al cuadrado de las distintas incertidumbres. 00:06:33
Aquí vemos una cosa que tenemos que tener en cuenta cuando nos enfrentamos a este tipo de problemas y es que tanto la unidad de medida, la medida principal como de la desviación estándar son concordantes. 00:06:45
Tengo mis lecturas en mililitros y la desviación estándar viene dada en mililitros. Es importante que las unidades siempre sean concordantes cuando yo aplico la fórmula. 00:07:00
Por tanto, vemos que la desviación estándar, el resultado es 0,028. 00:07:13
Como la desviación estándar que viene dada de las, digamos, lecturas originales, 00:07:21
viene dada con una cifra significativa, pero el nivel de apreciación es las centésimas, 00:07:29
vamos a redondear nuestra desviación estándar con una cifra significativa y a las centésimas. 00:07:35
Luego, por tanto, nuestro resultado final será 12,20, estamos redondeando, más menos 0,03. 00:07:45
Vemos aquí que la última cifra significativa en el valor de una magnitud física 00:07:56
y en su error o incertidumbre debe de corresponder al mismo orden de magnitud. 00:08:01
Si la incertidumbre está dada en las centésimas, el redondeo en el resultado final en cuanto a cifra significativa debe de ser también en las centésimas 00:08:06
Y aquí vemos que concuerdan, en este sentido, tanto el resultado de la medida como el resultado de la incertidumbre. 00:08:19
¿Vale? Bueno, antes de pasar a la siguiente diapositiva, en los ejercicios para practicar del aula virtual os subí unos problemas de propagación de incertidumbres, tanto los enunciados como la solución. 00:08:32
Bien, entonces analizando los problemas que tenemos resueltos tenemos en el problema número 9 que tenemos. En el primero vamos a realizar la pesada de un precipitado por diferencia, luego nosotros ya sabemos que nuestra operación matemática principal va a ser una resta. 00:08:50
Tenemos que expresar el resultado de la masa del precipitado y la incertidumbre asociada a ese resultado si la desviación estándar de las pesadas que proporciona la balanza es 0,2 miligramos. 00:09:10
Entonces, tenemos el peso de la cápsula con el precipitado dado en gramos, es la cifra que tenéis aquí. 00:09:26
La incertidumbre de la balanza, si yo tengo el peso del precipitado en gramos, voy a expresar la incertidumbre en la misma unidad. 00:09:34
Aquí en el enunciado la tenéis dada en miligramos, nosotros la vamos a expresar en gramos. 00:09:46
La incertidumbre en gramos es la que tenéis aquí, 0,0002 gramos. 00:09:53
Tenemos una cifra significativa en la posición de las diez milésimas. 00:10:00
El peso de la cápsula sin el precipitado sería el que tenéis dado aquí en el problema 00:10:07
y su incertidumbre asociada a ese peso vuelve a ser la misma porque estamos utilizando el mismo aparato. 00:10:14
Luego por una parte vamos a calcular el resultado del peso del precipitado que es el peso final menos el peso inicial, luego realizamos la diferencia y la desviación estándar del resultado como hemos visto anteriormente al tratarse de una resta en la operación matemática nosotros vamos a calcular la incertidumbre aplicando esta fórmula. 00:10:20
Es decir, la desviación estándar del resultado, su incertidumbre, será la raíz cuadrada de las incertidumbres asociadas a cada pesada al cuadrado. 00:10:49
Siguiendo con las reglas del redondeo y el número de cifras significativas 00:11:04
La incertidumbre del resultado tiene una cifra significativa en la posición de las diez milésimas 00:11:11
Por tanto el resultado final vendrá dado como 0,5709 más menos 0,0003 00:11:19
En el siguiente problema vamos a tener que calcular la concentración expresada en normalidad y la incertidumbre asociada a esa concentración de una disolución patrón que se ha preparado de la siguiente manera. 00:11:31
Vamos a disolver 4,8496 más menos 0,1 miligramos de dicromato potásico, con este peso equivalente, que se disuelve en 250 más menos 0,5 mililitros de agua desionizada. 00:11:49
No se considera el peso del error equivalente. 00:12:12
Bien, vamos a ver qué quiere decir esto. 00:12:16
cuando nosotros vamos a calcular la normalidad en el caso que nos describe el problema, las 00:12:18
principales fuentes de incertidumbre que nos vamos a encontrar son, por una parte, la incertidumbre 00:12:25
que va asociada a la operación de la pesada de la sustancia, donde nosotros vamos a pesar una 00:12:32
determinada cantidad de dicromato potásico y vamos a utilizar una balanza. Una balanza cuya 00:12:39
precisión es 0,1 miligramo. Como nosotros estamos trabajando en gramos, en lo que respecta a mi 00:12:46
cantidad de sustancia a pesar, la incertidumbre transformada en gramos es la que tenéis reflejada 00:12:55
aquí en el problema. En la siguiente fuente de incertidumbre, en la siguiente operación que 00:13:02
nosotros hacemos después de pesar la masa de dicromato potásico que necesitamos es disolverla 00:13:08
en una determinada cantidad de agua, enrasar a 250 mililitros. Luego, la siguiente fuente de 00:13:16
incertidumbre es el enrase del matraz aforado. El matraz tiene una incertidumbre de 0,5 mililitros. 00:13:26
¿A qué significa o qué quiere decir que no se considera el error del peso equivalente? Que esa sería otra fuente de incertidumbre asociada. 00:13:36
El peso equivalente está relacionado, como ya habéis estudiado en otros módulos como análisis químico, con los pesos atómicos de los determinados elementos que forman parte de ese compuesto químico. 00:13:47
Cada uno de esos pesos atómicos lleva asociada una incertidumbre. Las incertidumbres asociadas a los pesos atómicos son anualmente revisadas o periódicamente, disculpadme, por la IUPAC y además dichas revisiones se van publicando con la periodicidad en la que se revisan. 00:14:00
En este caso el propio problema nos dice que no se van a considerar el error del peso equivalente, a eso es a lo que se refiere. 00:14:19
En caso de que dicho error se considerase la incertidumbre asociada al mismo debería de calcularse e incluirse, pero no se va a considerar en este caso. 00:14:28
Luego, una vez que hemos identificado nuestras fuentes de incertidumbre, que son la balanza y el matraz, vamos a calcular la normalidad de la disolución. 00:14:38
Una disolución de dicromato potásico, su normalidad viene dada por el número de equivalentes de soluto partido por el volumen de disolución en litros. 00:14:50
La masa molar del dicromato potásico la tenéis dada como dato en el problema, el peso equivalente también. Luego, realizando una simple operación, la normalidad se calcula como la masa partido por el volumen en litros y multiplicando, utilizando factores de conversión por el peso equivalente. 00:15:00
No me voy a detener en esta operación de cálculo porque ya es un tipo de operación en el que estáis familiarizados en los cálculos de las concentraciones molares, normales, etcétera, que habéis visto en otros módulos. 00:15:24
Aquí vemos que el resultado de la normalidad es 0,3956 equivalentes litro. 00:15:38
Ya hemos realizado nuestro cálculo principal, es decir, lo que hace referencia a la RF en la diapositiva. 00:15:47
La RF es el resultado principal. 00:15:56
Nuestro resultado principal viene dado por una división, puesto que es una concentración, es una masa partido por un volumen. 00:15:58
Luego la incertidumbre del resultado asociado a una división se calcula mediante esta fórmula. 00:16:06
La incertidumbre es igual al resultado final, a este Rg que ya he calculado, que multiplica a la raíz cuadrada de la relación que existe entre la incertidumbre asociada a cada factor de medida al cuadrado. 00:16:13
Es decir, perdonad, aquí tenéis la fórmula. La incertidumbre partido por el resultado final es lo mismo que cuando yo me llevo este Rf que está aquí multiplicando, me lo llevo aquí dividiendo. 00:16:30
es igual a la raíz cuadrada de la incertidumbre asociada 00:16:47
digamos al resultado de medidas A 00:16:55
la incertidumbre de A partido por el resultado de A elevado al cuadrado 00:17:00
pues me vengo aquí, igual tengo 00:17:05
tengo por una parte la incertidumbre asociada a la balanza 00:17:08
En gramos, puesto que la medida está realizada en gramos, pongo las unidades concordantes. 00:17:13
Su incertidumbre es 0,0001 dividido por su resultado y todo ello elevado al cuadrado más. 00:17:20
¿Cuál es la siguiente incertidumbre que yo tengo? La asociada al matraz. 00:17:31
Aquí, en este caso, he realizado el resultado en mililitros porque coincide, en este caso, la medida de la incertidumbre de 250, tal y como viene expresado aquí, 250 más menos 0,5 mililitros. 00:17:35
Tanto 250 como 0,5 están expresados en mililitros. Aquí, sin embargo, no existe esa concordancia. 4,8496 son gramos, pero 0,1 son miligramos y deben de estar tanto la incertidumbre como su medida en la misma unidad. 00:17:54
Aquí, en este caso, al estar expresada en la misma unidad, puedo utilizar 0,5, que es la incertidumbre, dividido entre 250 y elevado al cuadrado. 00:18:12
Es decir, esta fórmula que tenéis aquí es nada más y nada menos que la aplicación de esta otra que tenéis aquí. 00:18:23
Lo que ocurre es que, en lugar de poner raíz cuadrada, lo que está poniendo es todos los elementos que forman los distintos sumandos que están dentro de la raíz cuadrada los eleva a un medio. 00:18:30
Una raíz cuadrada es una potencia que está elevada a un medio. 00:18:42
Entonces calculamos este resultado que sale 0,002, luego despejando la incertidumbre asociada a la medida, 00:18:48
será igual al resultado que me sale por el RF, que es el valor que yo he calculado anteriormente. 00:18:59
Y procedo de la misma forma que os he explicado en el apartado anterior, es decir, yo voy a redondear, en este caso el resultado, disculpadme, sale 0,0008, luego tiene una cifra significativa en la posición de la diez milésimas 00:19:07
Y voy a realizar, cuando voy a expresar el resultado, el resultado de la medida lo voy a expresar también con el mismo orden de, digamos, precisión en las cifras decimales. 00:19:29
Milésimas, o sea, décimas, centésimas, milésimas y diez milésimas, más menos 0,0008. 00:19:44
Es cierto que aquí se podría haber redondeado el 56 y poner 0,3960 más menos 0,0008. También sería correcto. 00:19:53
¿De acuerdo? Y entonces, el último problema, lo tenéis resuelto, es una combinación de los dos anteriores, combinación en el sentido de las operaciones matemáticas que se realizan, o sea, es un problema completamente distinto, 00:20:10
pero para llegar a su resultado final tenemos que realizar primero una resta, la cual lleva asociada su desviación estándar, 00:20:25
y luego tenemos que realizar una división, donde utilizamos la masa del residuo seco previamente calculada y la dividimos por su volumen. 00:20:35
Luego, por tanto, en este caso, la desviación estándar será aplicada con esta fórmula de la misma forma que os he explicado anteriormente. 00:20:45
Es únicamente tener en cuenta las distintas operaciones que yo voy a ir realizando y ir arrastrando su incertidumbre a medida que voy operando con las distintas, digamos, unidades, o sea, con los distintos valores que me va dando el problema. 00:20:55
Bueno, pues entonces, una vez que ya hemos repasado las cifras significativas, vamos a continuar con la siguiente parte de nuestra diapositiva dentro de la evaluación experimental, que es la determinación de los datos anómalos o los datos sospechosos. 00:21:17
En este caso, cuando se está realizando un mismo análisis en varias veces repetidas, puede ocurrir que obtengamos algún dato que se aleje demasiado del resto de datos de la serie y estos datos pueden considerarse poco representativos. 00:21:41
Los datos que son poco representativos deben de eliminarse, pero no se pueden eliminar porque a mí a simple vista me parezca un poco representativo. 00:22:04
Se deben de eliminar a través de unos criterios lógicos de una manera objetiva. 00:22:12
Entonces, cuando nosotros en una serie de medidas repetidas queremos detectar un valor sospechoso, se pueden proceder de dos formas. 00:22:19
Primero, una forma fácil de visualizar ese valor sospechoso consiste en ordenar los valores de la serie de menor a mayor y calculamos el valor medio. 00:22:29
A continuación, lo que hacemos es calcular el error absoluto o la distancia que hay entre cada extremo de la serie y el valor medio. 00:22:40
El valor que presente una distancia superior respecto al valor medio será el valor sospechoso y la forma en la que normalmente se procede en los laboratorios es aplicando métodos matemáticos, ya sea basados en intervalos de confianza o basados en tablas. 00:22:52
Esta es la forma que normalmente vais a utilizar en el mundo real. 00:23:14
Esto se suele aplicar cuando tenemos una serie de datos muy pequeño y vamos un poquito rápido, 00:23:20
pero lo más normal es que apliquéis métodos matemáticos. 00:23:25
Bien, entonces, cuando nosotros vamos a determinar datos anómalos, 00:23:30
desde el punto de vista matemático, existen cinco formas de determinar los datos sospechosos 00:23:35
Y las vamos a agrupar en dos bloques diferentes, como veis en la diapositiva que tenemos en pantalla. 00:23:42
Los métodos que están basados en tablas o métodos estadísticos son dos. 00:23:50
El método de groups, basado en el parámetro R, o el método de Dixon, que está basado en el parámetro Q. 00:23:56
El que más se suele utilizar es el método de Dixon, es el menos restrictivo, pero es, como os acabo de comentar, el más habitual. 00:24:05
Tanto el método de Grubbs como el método de Dixon se suelen utilizar cuando tenemos tres o más resultados. 00:24:15
Por ejemplo, en el método de Grubbs, el parámetro estadístico que calculamos es la media aritmética y la desviación estándar. 00:24:23
Y lo que hacemos es calcular un parámetro R de cálculo que luego vamos a comparar con su valor correspondiente tabulado y al realizar la comparación decidimos si se rechaza o se acepta de acuerdo al criterio que tenéis aquí. 00:24:34
Es decir, la R de cálculo o la R experimental, que veis aquí, esta RE es R experimental, en otros manuales podéis verla como RC, R de cálculo, es igual al valor absoluto del dato sospechoso, este dato que yo he considerado sospechoso, menos la media aritmética, dividido por la desviación estándar. 00:24:53
Una vez que yo he calculado este parámetro, voy a la tabla de R de groups, que ahora lo veremos con una serie de ejemplos, que lo entenderemos mejor, y comparo la R experimental con la R tabulada. 00:25:18
Si la R experimental supera a la R tabulada, rechazamos este valor que hemos considerado sospechoso. 00:25:32
¿De acuerdo? Y una vez que el valor sospechoso se rechaza, se elimina de nuestra serie de datos y continuamos el resto de nuestras operaciones con los datos que nos quedan. 00:25:41
La Q de Dixon, por su parte, veis que el parámetro Q de cálculo o Q experimental es el valor absoluto de la diferencia entre el valor sospechoso y el dato de nuestra serie que es más cercano a ese valor sospechoso. 00:25:52
Esta diferencia en valor absoluto la divido por el rango del intervalo en el cual se enmarca mi serie de datos. 00:26:11
Recordemos que el rango de un intervalo de datos es el valor menor, el valor máximo menos el valor mínimo. 00:26:20
Esto lo vimos en una videoconferencia anterior cuando estuvimos hablando de los errores aleatorios y experimentales. 00:26:29
experimentales. Entonces vemos que el rango de un intervalo es la diferencia entre su valor máximo y 00:26:41
su valor mínimo. Pues cuando vamos a calcular la Q de Dixon vamos a utilizar el rango, mientras que 00:26:46
en la R de Groups utilizamos la desviación estándar. Procedemos de la misma manera que con la R de 00:26:54
Groups. Comparamos nuestro valor Q experimental o Q de cálculo con el valor tabulado. Si el valor 00:27:00
de cálculo supera el valor tabulado rechazamos nuestro valor sospechoso y lo eliminamos de 00:27:09
nuestra serie de datos. Esto es la forma de proceder con los métodos que están basados 00:27:16
en tablas estadísticas. Pero luego tenemos tres métodos que están basados en intervalos 00:27:21
de confianza. Estos tres métodos son los métodos del 4D, 2,5D y 2S. Estos tres métodos se suelen 00:27:28
aplicar cuando nos encontramos, por ejemplo, el método 4D y 2,5D se suelen aplicar en series de 00:27:40
cuatro o más resultados y el 2s cuando tenemos series de muchos datos. Es verdad que no nos dice 00:27:49
cuál, porque por ejemplo cuando yo tengo 10 datos, yo tengo más de tres datos y también tengo más de 00:27:58
cuatro, es decir, ahora mismo podría aplicar cualquiera de estos parámetros, digamos de estos 00:28:08
métodos para determinar el valor sospechoso. En este caso, tendríamos que utilizar o que recurrir 00:28:16
a nuestro procedimiento normalizado de trabajo en nuestro laboratorio, en el cual se debería 00:28:22
de especificar cuál es el procedimiento a seguir para calcular nuestro valor sospechoso. Aquí 00:28:27
tenéis en este cuadro resumen dentro de los, digamos, métodos que os estoy explicando cuáles 00:28:34
son más restrictivos que otros, pero no existe ningún valor o ningún corte en el cual se diga 00:28:41
cuál se tiene que utilizar en cada caso u otro. En este caso tendríamos que recurrir a lo especificado 00:28:50
en nuestro PNT con el que estamos trabajando. Entonces vemos que de los métodos basados en el intervalo 00:28:56
de confianza, el que es el más restrictivo de todos es el 2,5D porque está basado, tanto el 4D 00:29:04
como el 2,5D, está basado en la desviación media. Tener cuidado que no es la desviación estándar y 00:29:13
el 2S está basado en un intervalo de confianza que considera la desviación estándar. En el método 00:29:21
basado en el intervalo de confianza 4D, lo que vamos a realizar es un cálculo de un intervalo 00:29:28
de confianza donde el valor central es la media aritmética y los extremos del intervalo viene 00:29:35
dado por cuatro veces la desviación media. El 2,5D se procede de la misma forma, aquí faltaría el 00:29:43
valor de la x media aquí que no ha salido más menos 2,5 veces la desviación media y en el 00:29:51
método de 2s mi intervalo de confianza viene dado por la media aritmética y los extremos dos veces 00:29:58
el intervalo de confianza. Cuando rechazamos nuestro valor sospechoso, cuando ese valor que 00:30:07
nosotros hemos detectado como sospechoso queda fuera de este intervalo de conciencia. 00:30:16
Bien, vamos a analizar cada uno de estos datos con unos ejemplos resueltos que os he puesto 00:30:24
en la... Aquí tenemos la tabla del parámetro R de groups para calcular el parámetro tabulado. 00:30:30
Este es nuestro número de datos que tenemos en la serie y aquí tenemos nuestros niveles de confianza. 00:30:40
Luego, en función del nivel de confianza que nuestro enunciado del problema nos diga, y os recuerdo que en caso de análisis químicos será el 95%, nosotros calcularemos nuestra R o nuestro parámetro tabulado. 00:30:49
Por ejemplo, si yo estoy en un nivel de confianza del 95% y tengo una serie de seis datos, mi parámetro R de groups tabulado sería 1,822. 00:31:04
La siguiente diapositiva os muestra la tabla de Dixon, la Q de Dixon, que sigue el mismo, digamos, orden que la R de groups. 00:31:17
aquí tenéis el nivel de confianza dado por probabilidad y debajo os pone el nivel de 00:31:28
significación que ya lo hemos explicado en videoconferencias anteriores. Procedemos de la 00:31:35
misma manera para un número de datos de 6 y un nivel de significación. Imaginaros que nos dice 00:31:41
el problema que nuestro nivel alfa es 0,05. Yo sé que estoy en un 95% de nivel de confianza. Mi Q 00:31:46
de Dixon sería 0,560. Bien, y ahora vamos a analizar un ejemplo resuelto. Nos dan una serie 00:31:56
de datos que son los que tenéis aquí, 10, 15, 20, 50 y 70. Y tenemos que decidir los valores que se 00:32:07
rechazan cuando aplicamos cada uno de los criterios de determinación de datos anómalos que acabamos 00:32:15
deber, es decir, cuando lo aplicamos todos, los métodos basados en tablas y los basados 00:32:22
en el intervalo de confianza. Comenzamos con la Q de Dixon, que nos dice el problema que 00:32:27
nuestro nivel de confianza es del 95%. Cuando nosotros tenemos nuestros datos que aparecen 00:32:34
ordenados, vemos que el valor sospechoso, digamos el que se aleja más en este caso, 00:32:42
es el 70. Este es nuestro valor sospechoso y como vamos a aplicar el criterio de Dixon la fórmula 00:32:49
de cálculo era el valor considerado como sospechoso menos el valor más cercano en la serie dividido 00:32:58
por el rango. Aplicando la fórmula de Dixon mi valor sospechoso es 70, el más cercano 50 y el 00:33:07
Rango es el valor más grande menos el más pequeño. 00:33:16
Cuando yo aplico la fórmula, la Q de cálculo es 0,33. 00:33:20
Si yo me voy a la tabla de la Q de Dixon, hemos dicho que tenemos, en este caso, tenemos 5 datos. 00:33:27
1, 2, 3, 4 y 5. 00:33:39
Y nuestro nivel de significación es 0,05 o del 95%. 00:33:42
Pues entonces, con 5 datos y 0,95, nuestra Q de cálculo es 0,642. 00:33:51
Aquí hemos apreciado una cifra más, pero sería 0,642. 00:34:04
Al comparar los dos valores, veo que mi Q de cálculo 0,33 es menor que 0,642. Como es menor, aceptamos el valor de 70 y el resto de valores. 00:34:09
Si nosotros realizamos el mismo criterio pero aplicando la R de Gruss, nuestro valor sospechoso es 70 y la R experimental o R de cálculo se calculaba, perdonadme que me repito, como el valor absoluto entre mi valor sospechoso menos la media aritmética partido por la desviación estándar. 00:34:27
Calculo la media aritmética de mi serie de datos, que es 23,75, calculo la desviación estándar y aplico la fórmula de cálculo. 00:34:51
Mi valor de cálculo es 1,429. 00:35:02
Me voy a la tabla de la, digamos, aquí os he puesto Q de cálculo, ha sido un error por mi parte, es R de cálculo, porque la Q es de Dixon. 00:35:07
He copiado y he pegado para ir corrigiendo los datos y se me ha olvidado cambiaros. Esta es R, ¿vale? Disculpadme. Entonces, me voy a la tabla que os he mostrado anteriormente al 95% con 5 datos y vemos el valor. 00:35:20
Como estamos en la R de groups, 95% con 5 datos es 1,672. ¿Veis? Entonces, lo que hacemos es comparar la R de cálculo con la R tabulada y vemos que la R de cálculo es más pequeña, aceptamos el valor sospechoso igual que nos pasaba con el criterio de Dixon. 00:35:37
A continuación, vamos a hacer, a repetir el mismo proceso, pero ahora en lugar de aplicar los métodos tabulados, vamos a aplicar los métodos basados en el intervalo de confianza. 00:36:03
Comenzamos con el criterio de 2,5D. Nuestro valor sospechoso sigue siendo 70. 00:36:16
La única diferencia que tenemos aquí es que el valor medio lo vamos a calcular sin considerar nuestro valor sospechoso, cosa que sí considerábamos en los parámetros tabulados. 00:36:23
La desviación media se calcula como el sumatorio de la diferencia entre xy menos el valor medio partido por n. 00:36:38
Y aquí lo xy, en este caso, es el valor sospechoso. 00:36:54
Y n, nuestro número de datos, sin considerar mi valor sospechoso porque tampoco lo he considerado al calcular la media. 00:36:59
Tengo un resultado de 13,125. 00:37:10
Una vez que ya he calculado mi desviación media, el intervalo de confianza es igual al valor medio más menos 2,5 veces esa desviación media. 00:37:15
Pues sustituyo mi valor medio y luego 2,5 por 13,125 que es el valor que me ha salido de desviación media. 00:37:28
Mi intervalo de confianza es 23,75 más menos 32,81. 00:37:38
Si este intervalo de confianza yo lo traduzco a sus límites, es decir, al límite inferior, menos 9,06, el límite superior, veo que mi valor sospechoso 70 está fuera porque el límite superior es 55,56. 00:37:46
Como se queda fuera del intervalo de confianza se rechaza dicho valor y entonces no se considera. 00:38:05
Entonces vemos que en este caso aplicando el método del 2,5D rechazamos el valor sospechoso mientras que si aplicábamos los criterios basados en tablas dicho valor era aceptado. 00:38:14
Veis aquí, a la hora de comparar la aplicación matemática, vemos que el método 4D y 2,5D son bastante más restrictivos que los de la R de Crookes o la Q de Dixon. 00:38:29
Seguimos con el método del 4D que en este caso sigue el mismo criterio que el que os acabo de explicar con los mismos parámetros estadísticos y el mismo cálculo y nos resulta que el intervalo de confianza es menos 28,75 y el valor superior 76,25. 00:38:46
En este caso, nuestro valor sospechoso 70 está dentro del intervalo. Luego, en este caso, de acuerdo al criterio 4D, aceptaríamos dicho valor. 00:39:13
Y por último, tenemos el criterio 2S. El criterio 2S, basado en un intervalo de confianza en el que vamos a considerar la desviación estándar, nuestros parámetros estadísticos van a ser la media aritmética y la desviación estándar, pero sin considerar el valor que hemos considerado como sospechoso. 00:39:25
Aquí vamos a hacer un inciso. Aquí tenemos una serie de pocos datos, tenemos cinco datos y aunque no siguen una distribución estándar, dicho criterio no sería de aplicación, lo vamos a aplicar para que veáis cómo se calcula. 00:39:49
Pero en este caso no sería de aplicación puesto que tenemos una serie con muy poquitos datos que no siguen una distribución, digamos, distribución normal o una distribución normal estandarizada. 00:40:05
Lo vamos a aplicar entonces, aplicamos la fórmula del intervalo de confianza igual al valor medio más menos dos veces la desviación estándar, sustituimos los distintos valores y calculo los límites superior e inferior. 00:40:19
El valor sospechoso 70 queda fuera del intervalo porque el límite es superior a 59,69. Luego este valor sería rechazado. Pero insisto que en esta serie de datos no se podría aplicar este criterio porque el número de datos es pequeño. Lo he aplicado para que veáis cómo se calcula. 00:40:36
Aquí tenéis otro ejemplo resuelto donde solamente se pide que determinéis si existe un valor dudoso según el contraste de Dixon. 00:40:59
Y entonces aquí vemos que los números de nuestra serie de datos se encuentran desordenados. Yo los puedo ordenar de menor a mayor y veo que el valor que se considera como sospechoso en nuestro caso es el 85, porque es el que más se aleja. 00:41:14
Porque tengo 72, 73, 73, 75, 77 y automáticamente saltamos a 85. También, si nosotros tenemos un número de datos muy alto, en lugar de ordenarlos y ver cuál es el valor sospechoso, podemos utilizar en la hoja de cálculo la identificación del dato dudoso mediante su función estadística adecuada. 00:41:32
En este caso, nosotros, como es una serie de datos pequeñita, aplicamos la fórmula de cálculo de la Q de Dixon y vemos que nuestro valor sospechoso 85, el valor más cercano a 85 en mi serie de datos es 77, lo divido por el rango y me sale que la Q de Dixon de cálculo es 0,615. 00:42:00
Mi Q tabulada, como no me dice nada, yo voy a considerar el 95% de nivel de confianza y mi número de datos va a ser 6. 00:42:22
1, 2, 3, 4, 5 y 6, porque aquí consideramos todos los datos de la serie. 00:42:34
Me voy a mi tabla y veo que mi valor tabulado con 6 datos y al 95% es 0,560. 00:42:39
Pues aquí debe de haber un 0,55624, porque yo he utilizado una tabla de otro texto estadístico. 00:42:54
Si es cierto que podéis encontraros en función del tipo de manual que se utilice, puede haber pequeñas variaciones en los parámetros de cálculo. 00:43:21
Os insisto que de cara al examen sí os daría yo todas las tablas que vais a tener que utilizar, lo que pasa que vosotros tendréis que decidir qué tabla vais a utilizar en cada caso y lógicamente saberla manejar. 00:43:33
Aquí sale 0,5624, mientras que en la tabla que yo os he puesto aquí en el aula virtual tenéis, para seis datos en la Q de Dixon, veis que sale 0,560, es decir, no aproxima las centésimas, o sea, las milésimas y las diez milésimas. 00:43:45
En este caso, si yo pondría 0,560, también veo que mi Q de cálculo, al compararla con la Q tabulada, es mayor. 00:44:06
Luego, en este caso, rechazamos el dato dudoso y lo eliminamos de la serie de datos. 00:44:20
¿Vale? Entonces, pues bueno, en este caso sí es verdad que cuando vosotros estáis trabajando los procedimientos normalizados de trabajo, 00:44:25
En caso de que tengáis que utilizar tablas estadísticas, sí tienen que tener el tipo de tabla recogida. Es verdad que dependiendo de los manuales que se utilicen estadístico podéis encontraros pequeñas variaciones en los valores tabulados a partir de las milésimas o diez milésimas en función de los niveles de aproximación de esas tablas. 00:44:33
que ha sido lo que a mí me ha pasado aquí, que he utilizado el valor de la Q de Dixon de un manual diferente del que os he subido en el aula virtual, 00:44:55
que es la que más se suele utilizar. 00:45:05
La evaluación del error experimental, que ya vimos con los intervalos de confianza, os he puesto aquí una pequeña aclaración que os la comenté en la videoconferencia anterior 00:45:07
de lo que significaría la utilización de las tablas TED-STUDEN de una o de dos colas. 00:45:22
Cuando nosotros hablamos de un ensayo de una cola, que hablaremos de esto mismo más adelante 00:45:31
cuando estemos tratando de lo que son los ensayos o las pruebas de significación, 00:45:37
cuando hablamos de una cola estamos hablando de una prueba estadística 00:45:44
que estamos utilizando para determinar si una media de una muestra es significativamente mayor o menor que un valor de referencia. 00:45:47
Cuando yo establezco mayor o menor, estoy estableciendo un sentido. 00:45:59
Ya sea mayor, por ejemplo, estoy desplazándome hacia la derecha o menor hacia la izquierda, 00:46:05
es decir, estoy poniendo un sentido, estoy hablando de una cola. 00:46:13
Estas pruebas se denominan también hipótesis unidireccionales 00:46:19
porque prueba que la media de mi muestra es significativamente mayor o menor 00:46:23
que un valor que se ha dado de diferencia. 00:46:30
Las pruebas de una cola las soléis utilizar siempre o se suelen utilizar 00:46:33
cuando un investigador tiene una hipótesis específica sobre la dirección de la relación de 00:46:38
esas variables que está comprobando. Normalmente esas variables suele ser un valor de referencia 00:46:46
que puede ser un material certificado, puede ser un valor legal y luego un valor de referencia de 00:46:51
una serie de datos que es la media aritmética. Cuando está comparando esos dos valores los 00:46:57
puede comparar en el sentido de que sean significativamente iguales o diferentes, ahí no estamos estableciendo 00:47:04
si es mayor o menor, ahí estaríamos en dos colas, o bien si estoy yo estableciendo esa 00:47:13
hipótesis comparándola en una dirección, mayor o menor estaría en una cola. Si nos 00:47:21
fijamos en las figuras que tenemos aquí, vemos que las pruebas de una cola se prefieren siempre a 00:47:27
las pruebas de dos colas, porque en la prueba de una cola, ya sea a izquierda o a derecha, yo voy 00:47:36
a tener los valores críticos en una cola de distribución. Es decir, mi valor crítico lo voy 00:47:43
a centrar o en este lado o en este otro, luego la probabilidad de que el resto de valores se 00:47:51
encuentren en la otra cola, vemos en este caso en este lado o en este vemos que es mucho mayor que 00:47:58
si estoy en dos colas, porque en dos colas lo que estoy es acotando mi intervalo de probabilidad 00:48:04
tanto a izquierda como a derecha, luego lo estoy haciendo más pequeño, si estoy utilizando una 00:48:14
cola mi intervalo de probabilidad es mucho mayor. Cuando veamos los ensayos de significación esto 00:48:19
lo vais a entender mucho mejor porque ahí ya vamos a establecer nuestras hipótesis y en la forma en 00:48:26
la que nosotros redactemos nuestras hipótesis vamos a determinar claramente si va a ser 00:48:33
unidireccional mayor o menor o si va a ser bidireccional. Bien, pues una vez que ya hemos 00:48:38
hablado de la evaluación de los datos anómalos antes de meternos en el siguiente bloque que es 00:48:46
los métodos de calibración, límites de detección y de cuantificación, volviendo al aula virtual, 00:48:55
os he subido en la carpetita de práctica con la hoja de datos una nueva práctica resuelta de 00:49:02
utilización de la hoja Excel con la aceptación de los valores, o sea, con los criterios que 00:49:11
hemos visto estadísticos y basados en los intervalos de confianza para calcular los 00:49:18
valores anuales. Si nosotros la descargamos, la aplicación de la práctica y al mismo 00:49:24
tiempo la hoja Excel, que también la tenéis resuelta. Vamos a abrir nuestro LibreOffice. 00:49:35
Perdona, me he equivocado. No es el procesador de textos. Es la hoja de cálculo que es LibreOffice 00:49:46
Voy a abrir mi archivo y aquí tenéis el ejercicio que os he explicado analíticamente en la presentación, lo tenéis aquí resuelto en la hoja de cálculo. 00:49:56
Veis que he utilizado cada pestañita del libro, esto se llama libro, para utilizar un criterio de aceptación o de rechazo. 00:50:20
Vamos a empezar con los criterios basados en los intervalos de confianza y luego los basados en las tablas estadísticas. 00:50:33
Volviendo a la explicación de este ejercicio práctico, vamos a ver cómo utilizamos la hoja de cálculo para resolver un problema típico de determinación de valores sospechosos. 00:50:43
Se han efectuado seis valoraciones para determinar la concentración de una disolución de clorhídrico y aquí tenéis expresados los resultados. 00:51:03
Se pide que se realice un tratamiento estadístico de esta serie con la utilización de diversos criterios para aceptar o rechazar los valores sospechosos. 00:51:13
En primer lugar, a la hora de ponernos a aplicar los distintos criterios, lo primero que vamos a hacer es que vemos que el problema no nos da ningún tipo de referencia. 00:51:23
Luego, a la hora de estudiar la aplicación de los distintos criterios de aceptación o rechazo que hemos visto en los contenidos teóricos, vamos a utilizar un nivel de confianza del 95%. 00:51:36
Y lo que vamos a hacer es comenzar situando los datos de nuestro análisis en la columna A de nuestra hoja de cálculo y vamos a ordenar todos los valores que los tenemos aquí ordenados. 00:51:49
ordenados, para ordenar los valores utilizamos estas dos teclas que tenemos aquí, que los 00:52:07
podemos ordenar en orden ascendente o en orden descendente. En este caso nosotros empezamos 00:52:13
del pequeño al mayor. Entonces aquí los tenemos ordenados y a la hora de ordenarlos 00:52:19
nos damos cuenta que el valor sospechoso, el que se aleja de la tendencia de los datos 00:52:26
es 0,1082. Vamos a comenzar con los criterios que están basados en los intervalos de confianza. 00:52:33
Comenzamos con el 2,5D y recordemos que los parámetros estadísticos eran la desviación 00:52:44
media y la media aritmética. Entonces vamos a empezar en la celda C2 introduciendo el 00:52:50
n y en la celda D2 el número de datos. Es decir, nosotros aquí comenzamos poniendo 00:53:02
n, que es nuestro número de datos, tenemos 5 datos, 1, 2, 3, 4 y 5, sin considerar nuestro 00:53:09
dato sospechoso. En la siguiente celda, en la C3, siguiendo el orden que tenéis aquí 00:53:17
explicado, en la C3 vamos a poner nuestra media aritmética y aquí cómo calculamos nuestro valor 00:53:27
de la media. Recordad que tal y como os he explicado anteriormente, nuestro valor de la media se 00:53:35
calcularía con la fórmula promedio desde el valor primero de mi intervalo, el A2, hasta el A6, porque 00:53:41
no consideramos el valor sospechoso. Y luego calculamos la desviación media. La desviación 00:53:52
media se calcula con esta fórmula que tenéis aquí. Una vez que ya hemos calculado nuestros 00:53:58
parámetros estadísticos, aplicamos nuestra fórmula. Esta fórmula la tecleamos en Excel 00:54:11
tal cual, porque esto no es una fórmula que nosotros hayamos metido, esto lo he metido 00:54:17
yo pues con el signo igual y con los distintos símbolos el más menos pues lo 00:54:22
podéis encontrar aquí desplegamos más caracteres y 00:54:28
buscamos el más menos que lo tenéis aquí vale lo seleccionáis lo seleccionáis y 00:54:33
le dais a insertar entonces escribimos nuestra fórmula y aquí sustituimos los 00:54:40
datos. Nuestro valor medio es el que tenéis aquí, más menos 2,5 por la desviación media. Y aquí pongo 00:54:46
el resultado de 2,5 por la desviación media. Aquí aplico la fórmula. ¿Veis? De 3 es la desviación 00:54:58
media más 2,5 por d4 que es la desviación estándar. Este sería el límite superior del intervalo y este 00:55:10
sería el límite inferior del intervalo. Y fijaros lo que pasa en la celda C10. En la celda C10 he 00:55:22
incluido una fórmula condicional estadística en la cual me va a dar ya directamente la aceptación 00:55:33
o el rechazo de mi parámetro dudoso o sospechoso. Una vez que yo he calculado los límites superiores 00:55:42
e inferiores, lo tenéis aquí, aplico en esta celda la siguiente fórmula igual a si mi valor 00:55:50
Y, abro paréntesis, si A7, vemos que A7 es el valor sospechoso. 00:56:01
Si el valor sospechoso es más pequeño que E7, E7 es mi límite inferior. 00:56:11
El siguiente condicionante es si mi valor sospechoso es mayor que mi límite superior. 00:56:22
Entonces, si el valor sospechoso, que es A7, es más pequeño que el límite inferior, E7, que es este valor que tenéis aquí, aceptamos. 00:56:27
Perdona, escape. 00:56:43
Y si es mayor, rechazamos. 00:56:47
Nosotros vemos que nuestro límite superior, veis que el límite superior del intervalo es 0,10398. 00:56:50
Este límite, nuestro valor sospechoso a 7 es mayor que el límite superior. Luego, por tanto, rechazamos. Ya me da directamente el rechazo. 00:56:58
Nuestro valor sospechoso no se encuentra dentro de los límites del intervalo y, por tanto, se rechaza. 00:57:13
Aquí tenéis, en el aula virtual, tenéis explicado todo el proceso que yo he ido siguiendo en la hoja Excel 00:57:18
Os lo he puesto explicado para que vosotros intentéis resolverlo y os vayáis familiarizando con el manejo de una hoja de cálculo 00:57:31
para aquellos que no estáis muy familiarizados 00:57:40
¿Vale? Entonces, este proceso que se ha descrito aquí se aplica al resto de criterios basados en el intervalo, teniendo en cuenta los parámetros estadísticos que consideramos en cada caso. 00:57:43
Es decir, en el criterio 4D procedemos de la misma manera. 00:57:58
La desviación media se calcula con la fórmula del promedio, 00:58:03
la desviación, perdón, la fórmula, la media aritmética con el promedio, 00:58:09
la desviación media con la fórmula que tenéis aquí 00:58:15
y luego lo que vamos haciendo es calculando el intervalo de confianza, 00:58:18
límite superior, límite inferior 00:58:23
y al aplicar la fórmula que os he comentado anteriormente, 00:58:26
Se rechaza porque el valor sospechoso queda fuera del intervalo. 00:58:30
Este es mi intervalo superior, luego vemos al compararlo que queda fuera, por tanto se rechaza. 00:58:35
Y de la misma forma se procede con el criterio 2S, lo que cambia es el parámetro a considerar, que es la desviación estándar en lugar de la desviación media. 00:58:40
Pero vemos que procedemos de la misma forma que os he comentado anteriormente. 00:58:50
A continuación, tenemos el criterio Q de Dixon y el R de Groups. Comentaros que la Q de Dixon y la Q de Groups tabulada no se encuentran metidas en la hoja Excel como sí ocurría con la T de Student. Luego, en este caso, nosotros la Q tabulada la vamos a incluir de la lectura de la tabla que tenéis en el aula virtual. 00:58:56
Luego, cuando yo voy a aplicar la Q de Dixon, los parámetros que yo voy a utilizar es el rango. 00:59:20
Aquí tenéis la fórmula de cálculo del rango, el valor máximo del intervalo menos el mínimo. 00:59:25
Y luego, ¿cuál es mi valor más cercano? Pues el valor que más se acerca a 10.82 es 10.59. 00:59:30
Aplico la fórmula de la Q de Dixon. Esta ABS significa valor absoluto. 00:59:40
absoluto. Esta fórmula sería el valor absoluto de mi valor sospechoso, que es A7, menos el más 00:59:46
cercano, que lo tenéis aquí, dividido por el rango, que es D3, el rango lo tenéis calculado aquí. La 00:59:55
cutabulada la introduzco de la tabla y automáticamente al aplicar en la celda C9 la 01:00:02
fórmula estadística nos da el rechazo del dato. Y procedemos de la misma forma con la R de grupo. 01:00:09
calculando la media aritmética y la desviación estándar. 01:00:16
Aplicamos la R de cálculo, ¿veis la fórmula? 01:00:20
Y la R tabulada. 01:00:25
Lo que he hecho aquí al aplicar la fórmula 01:00:26
es sencillo y llanamente ir sustituyendo, 01:00:29
por ejemplo, digo igual a B, S es valor absoluto 01:00:33
de la R de Dixon, la R de Grubbs, 01:00:39
disculpadme, un poco de jaleo, 01:00:42
Se calculaba el valor absoluto, si nosotros volvemos a la presentación, vemos que la fórmula era el valor sospechoso menos la media aritmética. 01:00:45
Pues volvemos aquí y tenemos el valor sospechoso, que hemos dicho que es este, a7 menos, que es el guión, la media aritmética, cierro paréntesis, 01:01:02
dividido por la barra, que la división es con la barra, y dividido por la desviación estándar. 01:01:21
¿Veis? Y aquí tenéis el resultado que coincide con el que tenéis aquí, 01:01:34
que yo lo he redondeado al mismo número de cifras decimales que la he retabulado. 01:01:39
Así se meten las fórmulas normales, una fórmula matemática en Excel 01:01:43
Se ponen los distintos datos y luego se introduce la fórmula como hemos visto en videoconferencias anteriores 01:01:52
La R de Groups no está incluida en la hoja de datos, luego yo de la tabla la tecleo 01:01:58
Y automáticamente de la fórmula estadística pues rechazamos 01:02:04
¿Vale? Entonces, así tenéis una aplicación práctica de los distintos criterios de cálculo, de aceptación o rechazo de datos anómalos. 01:02:08
Bien, pues voy a cerrar aquí y ya hemos completado la parte que correspondía al punto número 4 de evaluación del error experimental. 01:02:20
Bien, no os he subido en el aula virtual en la parte de práctica, disculpadme, en la parte que tenéis aquí de ejercicios para practicar, no tenéis ejercicios subidos con aceptación o rechazo porque os lo voy a subir en ejercicios posteriores combinados con los ensayos de significación y así ya podemos hacer ejercicios más combinados. 01:02:36
Además, también os he puesto en la presentación ejercicios resueltos. Luego creo que queda ya suficientemente comprendida la parte correspondiente a los datos anómalos. 01:03:09
Vale, pues vamos a continuar la semana que viene con el punto número 5 correspondiente a lo que son los métodos de calibración, límites de detección y límites de cuantificación. 01:03:22
Y aquí vamos a calcular, a aprender a calcular lo que son los parámetros de una recta de calibrado, tanto de una forma matemática como utilizando nuestra hoja Excel. 01:03:39
Bien, pues entonces lo dejamos aquí y nos vemos en la siguiente videoconferencia. 01:03:54
Idioma/s:
es
Autor/es:
Purificación Alba Baena
Subido por:
Purificación A.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
84
Fecha:
24 de abril de 2024 - 21:18
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES LOPE DE VEGA
Duración:
1h′ 04′ 02″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1092x614 píxeles
Tamaño:
217.63 MBytes

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