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CÁLCULO DE ASÍNTOTAS - Contenido educativo

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Subido el 18 de febrero de 2024 por M. Sonia De La I.

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Vamos a calcular las asíntotas de esta función. 00:00:00
Las asíntotas de una función son rectas a las cuales se aproxima la gráfica de la función 00:00:03
pero nunca llega a cortarla. 00:00:08
Existen tres tipos de asíntotas. 00:00:10
Vamos a empezar por las primeras, que son las asíntotas verticales. 00:00:13
Las asíntotas verticales son rectas verticales y la expresión general de una recta vertical es x igual a a. 00:00:16
Pues diremos que x igual a a es asíntota vertical 00:00:22
si sólo si se cumple que el límite cuando la x tiende a a de la función es más menos infinito. 00:00:25
No sabemos este valor de a al que tenemos que hacer tender la x para que este límite de como resultado el más menos infinito. 00:00:35
Para ello lo que vamos a hacer es calcular el dominio de la función porque los puntos en los que no esté definida la función 00:00:42
es donde tendremos asíntotas verticales. En este caso, el dominio de esta función, por ser racional, 00:00:48
es todos los reales menos el valor menos 4. En este punto es donde tendremos una asíntota vertical. 00:00:55
Para corroborarlo, lo que hacemos es calcular el límite cuando la x tiende a ese punto. 00:01:03
Pero a ese punto nos podemos acercar tanto por la derecha como por la izquierda de la función. 00:01:08
Calculamos estos límites y nosotros sabemos que al sustituir el resultado será la indeterminación que ha partido por 0 00:01:13
que sabemos que como resultado es un infinito, solo falta saber el signo 00:01:28
para ello tomamos un valor próximo al menos 4 por la derecha 00:01:33
Un valor próximo al menos 4 por la derecha sería, por ejemplo, el menos 3,9. 00:01:37
Menos 3,9 al cuadrado sería positivo, menos 3,9 más 4 sería positivo, más entre más, más. 00:01:44
Vamos a coger un número que se aproxime al menos 4 por la izquierda. 00:01:54
Por ejemplo, menos 4,1. 00:01:59
Menos 4,1 al cuadrado sería positivo, pero menos 4,1 más 4 quedaría negativo. 00:02:01
luego más entre menos me quedaría menos. Por lo tanto, puedo afirmar que en x igual a menos 4 voy a tener una asíntota vertical. 00:02:05
Representamos esta función en el sistema de ejes de coordenadas. Aquí tengo el eje de las x, el eje de las y. 00:02:19
las asíntotas se representan por líneas discontinuas, x igual a 1, 2, 3 y 4, este es el menos 4, entonces una línea discontinua. 00:02:25
Bien, si me aproximo al menos 4 por la derecha, o sea, por aquí, la gráfica de la función se va al más infinito, por lo tanto, la función iría por ahí arriba. 00:02:38
Y si me acerco al menos 4 por la izquierda, lo que ocurre es que va al menos infinito, es decir, que la función iría por aquí. 00:02:56
Bien, el siguiente tipo de asíntotas son las asíntotas horizontales 00:03:04
Las asíntotas horizontales son rectas para las al eje de las x que tienen por expresión general y igual a b 00:03:12
Bien, pues diremos que igual a b es asíntota horizontal si y solo si se cumple que el límite cuando la x tiende al más o al menos infinito de la función me da un valor numérico b 00:03:19
Bien, en este caso lo tenemos más fácil puesto que sabemos a quién tiende la x para calcular ese límite 00:03:33
Pues calculamos el límite cuando la x tiende a más infinito de x cuadrado partido por x más 4 00:03:40
Al sustituir en el numerador me sale un infinito y en el denominador otro infinito 00:03:47
Comparando grados, el monomí del mayor grado es x al cuadrado 00:03:51
Por lo tanto el resultado de este límite es un más infinito 00:03:56
Vamos a ver qué ocurre si la x tiende al menos infinito 00:03:59
Ocurriría lo mismo, puesto que el grado del numerador es 2, el grado del denominador es 1, 00:04:03
luego sustituyéndolo, el menos infinito en el x al cuadrado me sale un más infinito. 00:04:11
Por lo tanto, con esto tenemos que podemos afirmar que no existen asíntotas horizontales. 00:04:16
Bien, si no existen asíntotas horizontales, pueden existir asíntotas oblicuas. 00:04:26
Lo que es seguro es que si existen asíntotas horizontales, entonces no existen asíntotas oblicuas. 00:04:32
Como esta función no tiene asíntotas horizontales, puede tener otro tipo de asíntotas, que son las asíntotas oblicuas. 00:04:49
Las asíndotas oblicuas son rectas cuya expresión general es y igual a mx más n. 00:04:58
Como su propio nombre indica, al ser oblicuas tiene una pendiente determinada. 00:05:05
Esos parámetros m y n se calculan de la siguiente manera. 00:05:10
m va a ser el límite, o se calculará calculando el límite cuando la x tiende al más infinito de la función entre x. 00:05:15
y el valor de n se calculará calculando el límite cuando la x tiende al más infinito de la función f de x menos el valor m que me ha salido antes por x. 00:05:25
Vamos a calcularlos en este caso. En este caso m va a ser el límite cuando la x tiende a más infinito de f de x entre x, 00:05:39
Luego tengo x al cuadrado partido por x más 4 entre x. Operando esto de aquí nos queda el límite cuando la x tiende a más infinito de x cuadrado entre x cuadrado más 4x. 00:05:49
Calculando este límite tengo la indeterminación del tipo infinito partido por infinito cuyo resultado en este caso es 1. 00:06:04
Calculamos n y n va a ser el límite cuando la x tiende a más infinito de la función, 00:06:11
que en este caso la función es x cuadrado partido por x más 4 menos el valor de m que me ha salido antes, 00:06:23
que es 1 por x, 1 por x es x, por lo tanto voy a poner simplemente x. 00:06:33
Voy a operar esta fracción que tengo aquí, esto es el límite cuando la x tiende a más infinito de, en el denominador tengo el x más 4 y en el numerador tengo x al cuadrado menos, y ahora sería x por x más 4, es decir, x al cuadrado menos 4x. 00:06:38
Simplificando y operando tengo que el límite cuando la x tiende a más infinito de x cuadrado menos x cuadrado se va 00:06:57
Por lo tanto me queda menos 4x dividido por x más 4 00:07:07
Si calculamos este límite tengo la determinación del tipo infinito partido por infinito cuyo resultado es menos 4 00:07:11
Por lo tanto, tengo que la expresión o la ecuación, mejor dicho, y igual a x menos 4 es una asíntota oblicua de la función. 00:07:17
Ahora solo queda por determinar cómo se coloca o cómo se va a colocar o representar la función con respecto a esta asíntota oblicua. 00:07:31
Para ello, lo primero que tenemos que hacer es representar esta recta. 00:07:39
Al representar esta recta necesitamos una tabla de valores, solo dos. 00:07:42
Si la x vale 0, la y vale menos 4 y si la y vale 0, la x vale 4. 00:07:47
Intentamos pintar lo mejor que podamos. 00:07:55
Solo nos queda por determinar si la función se va a aproximar a esta recta o bien por encima 00:08:06
o bien por debajo. Y lo mismo en este caso, o bien por encima o bien por debajo. 00:08:12
Lo que vamos a hacer para ello es estudiar el signo de una expresión que viene dada por lo siguiente. 00:08:17
Queremos ver qué ocurre con el signo, sólo el signo de la función menos la asíntota oblicua. 00:08:26
En este caso es el signo de la expresión x cuadrado partido por x más 4 menos la asíntota oblicua, que en este caso es x menos 4. 00:08:36
Desarrollamos esto de aquí y tenemos que es el signo de x al cuadrado menos x menos 4 por x más 4 para poner el mismo denominador. 00:08:48
esto de aquí es una identidad notable 00:09:00
por lo tanto queremos calcular el signo de 00:09:06
x al cuadrado menos x al cuadrado menos 4 00:09:08
dividido por x más 4 00:09:13
es decir, el signo de 00:09:17
x al cuadrado menos x al cuadrado se va 00:09:22
con lo cual arriba me queda un 4 00:09:25
y abajo me queda un x más 4 00:09:27
¿A qué nos referimos con esto de ver el signo? 00:09:30
Lo que vamos a hacer es tomar valores muy grandes de x y valores muy pequeños de x. 00:09:32
Si el valor que me da al tomar esos valores de x muy grandes, si el signo es positivo, 00:09:37
significa que la función se aproximará por arriba. 00:09:43
Si el signo es negativo, significa que la aproximación será por debajo. 00:09:45
Es decir, vamos a sustituir. 00:09:49
Cogemos un número muy grande, un número muy grande puede ser un millón. 00:09:51
Entonces lo que hacemos es coger x muy grande, voy a ponerlo de esta manera, ¿vale? 00:09:55
Si cogemos un millón tenemos que lo de arriba es positivo siempre y lo de abajo, un millón más 4 es positivo, por lo tanto, más entre más me queda positivo. 00:10:00
¿Esto qué significa? Significa que la función se aproxima cuando los valores de x tienden al más infinito, se aproximan a la asíntota por encima, porque me ha dado positivo. 00:10:10
Voy a ver qué pasa cuando la x es muy pequeña. Voy a coger un número muy pequeño, por ejemplo, el menos infinito. 00:10:23
Si cojo el menos infinito, tengo arriba 4, que es positivo, y abajo menos infinito más 4, que es negativo. 00:10:29
Por lo tanto, significa que cuando la x se va hacia el menos infinito, 00:10:37
lo que ocurre es que la función se aproxima a la asíntota por debajo. 00:10:42
De tal manera que, voy a recolocar esto un poquito mejor para que se distinga, 00:10:50
en este caso me daba que se acercaba por aquí y en este caso me está diciendo ahora que se acerca por debajo 00:10:54
de forma que si nos fijamos ahora podríamos representar gráficamente la función sin tener todos los datos completos 00:11:01
porque si nos fijamos si tiene que acercarse por aquí y tiene que acercarse por aquí 00:11:09
tengo que la función perfectamente podría ser esta de aquí 00:11:12
y tiene que acercarse por aquí y tiene que acercarse por aquí gráficamente podría ser algo de este estilo 00:11:17
Gracias. 00:11:24
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
SONIA DE LA IGLESIA MARTÍN
Subido por:
M. Sonia De La I.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
6
Fecha:
18 de febrero de 2024 - 12:34
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES SIMONE VEIL
Duración:
11′ 27″
Relación de aspecto:
1.80:1
Resolución:
854x474 píxeles
Tamaño:
18.48 MBytes

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