Saltar navegación

Activa JavaScript para disfrutar de los vídeos de la Mediateca.

ES2. 5 Distribuciones marginales. Ejercicios 5-7 resueltos - Contenido educativo

Ajuste de pantalla

El ajuste de pantalla se aprecia al ver el vídeo en pantalla completa. Elige la presentación que más te guste:

Subido el 17 de noviembre de 2025 por Raúl C.

3 visualizaciones

Más información Transcripción

Descargar la transcripción

Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 00:00:05
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 00:00:21
de la unidad ES2 dedicada a la estadística bivariante. 00:00:25
En la videoclase de hoy estudiaremos las distribuciones marginales. 00:00:30
En esta videoclase vamos a estudiar las distribuciones marginales, que tal y como mencioné en la 00:00:40
introducción se corresponden a las que corresponden al estudio de las variables estadísticas individuales 00:00:52
que forman la distribución bidimensional. Estudiamos x por separado como si no tuviéramos los valores 00:00:59
de y sin tener en cuenta la variabilidad en y y por otro lado estudiamos y sin tener en cuenta 00:01:06
la variabilidad en x. Estudiamos x por un lado y por otro. Como podéis ver aquí en el caso en el que 00:01:12
los datos bidimensionales se recojan en tablas bidimensionales simples, ya sea con o sin 00:01:19
frecuencias absolutas, no se suele hacer una construcción adicional sobre esa misma tabla 00:01:25
de frecuencias para estudiar la distribución marginal, puesto que en esos casos se toman 00:01:31
únicamente los valores de x o los de y y se hace un estudio como el que habíamos visto en la unidad 00:01:35
anterior de estadística univariante. Así pues nos vamos a centrar en esta videoclase únicamente 00:01:41
en el caso en el que los datos bidimensionales se recojan en una tabla de doble entrada, como la que podemos ver aquí. 00:01:46
En las tablas de doble entrada, lo que teníamos hasta este momento era lo que se encontraba aquí recogido en esto que estoy marcando, 00:01:54
sin tener en cuenta esta última columna y esta última fila, que son las que se deben añadir para recoger la distribución marginal. 00:02:01
Os recuerdo que en la tabla de frecuencias de doble entrada lo que teníamos era, 00:02:08
Aquí los encabezados por columnas de la variable estadística x, x1, x2, etc., hasta xcx, son los valores posibles, los valores observados de la variable estadística x y cx, era el número de categorías de la variable x. 00:02:12
Aquí tenemos en esta primera columna, por filas, la variable estadística y, y1, y2, etc., hasta y sub cx, son los valores observados, los valores posibles de la variable estadística y, y c y era el número de categorías, el número de valores posibles en la variable estadística y. 00:02:30
En la intersección, aquí lo que teníamos eran distintas celdas donde recogíamos las frecuencias absolutas. Aquí tenemos, por ejemplo, un valor genérico n sub ij. Os recuerdo que el primer subíndice i me indicaba la fila, así que se corresponde con el valor de la variable yi sub ij indicaba el número de columna, el segundo subíndice el número de columna. 00:02:52
Así que la variable estadística x que corresponde a esta frecuencia n sub ij es x sub j, de tal forma que n sub ij es la frecuencia absoluta que corresponde al vector bidimensional, a las observaciones del vector bidimensional x sub j y sub i. 00:03:17
Bien, lo que tenemos aquí es una columna y una fila adicionales donde vamos a recoger la suma de las frecuencias absolutas bien por filas y lo recogeremos en esta última columna, bien por columnas y lo recogeremos en esta última fila. 00:03:34
El valor que tenemos aquí, en esta primera celda de esta columna adicional, se representa por N1. El punto me indica una suma y N1. me dice que coja todas las frecuencias absolutas que se encuentran en la primera fila y sume a lo largo de las columnas. 00:03:53
De ahí el punto. Me están pidiendo que calcule n11 más n12 más n13 así hasta n1cx. Estoy sumando 00:04:13
en todas las columnas y lo que estoy haciendo es sumar en la primera fila. n1 punto primera fila, 00:04:23
sumo todas las columnas. ¿Qué es lo que estoy sumando? Todas las frecuencias absolutas con 00:04:29
independencia de cuál sea el valor de x que corresponden al valor de y y sub 1. Así que este 00:04:35
n1 punto es la frecuencia absoluta que corresponde a la distribución marginal de y. De hecho es la 00:04:42
frecuencia que corresponde a y sub 1. El número de observaciones en las cuales la variable estadística 00:04:50
y toma el valor y sub 1 con independencia del valor de la variable x. Fijaos que hemos sumado 00:04:58
todos los valores con independencia del valor de x. 00:05:05
¿Qué tenemos a continuación en la segunda celda, dentro de esta columna adicional? 00:05:10
Lo que hemos llamado n2. 00:05:16
Estoy sumando, porque tengo un punto, las frecuencias absolutas que se encuentran en la segunda fila 00:05:19
a lo largo de todas las columnas. 00:05:25
Estoy sumando n21 más n22 más n23, así hasta n2cx. 00:05:27
Estas son las frecuencias absolutas que tienen en común el valor de y sub 2. 00:05:33
Así pues, este n2 punto es la frecuencia absoluta que corresponde a la distribución marginal de y. 00:05:39
De hecho, es la frecuencia absoluta que corresponde al valor de y sub 2 con independencia del valor de x, 00:05:46
puesto que lo que estoy haciendo es sumar todas las frecuencias absolutas de todas las observaciones, 00:05:53
independientemente del valor de x, que tienen en común el valor de y sub 2. 00:05:57
Y así a lo largo de toda esta columna. Estos valores n1.n2.n etc. se representan ni. De tal forma que a cada valor de i sub i, i sub 1 le corresponde n1. i sub 2 le corresponde n2. etc. 00:06:01
Y este subíndice y guarda relación con el valor de y sub y que nosotros tenemos aquí. 00:06:21
Eso en lo que respecta a esta columna. 00:06:29
n sub y punto son las frecuencias absolutas de la distribución marginal de y, ignorando que ocurre con x. 00:06:31
A lo largo de esta fila que hemos añadido tendremos algo similar, pero será la distribución marginal de x. 00:06:40
Fijaos, igual que antes, el valor que tenemos en esta primera celda lo hemos representado por n.1. 00:06:47
Estamos sumando, porque tengo un punto, las frecuencias absolutas que tienen en común que el segundo subíndice es 1 y a lo largo de cualquier otro valor. 00:06:55
De tal forma que estamos sumando a lo largo de la primera columna con independencia del valor de la fila. 00:07:05
Estamos sumando n11 más n21 más n lo que quiera que sea 1. 00:07:10
Estamos sumando todas las frecuencias absolutas que tienen en común el valor de x sub 1, con independencia del valor de y. 00:07:15
Así que tenemos la frecuencia absoluta de la distribución marginal de x, en concreto, la que se corresponde con el valor de x1, con independencia del valor de y, porque estamos sumando. 00:07:23
¿Qué tenemos a continuación? n.2. 00:07:34
Estamos haciendo una suma porque tengo un punto de las frecuencias absolutas que se encuentran todas ellas en la segunda columna porque tengo punto 2 y este 2 me indica columna segunda. 00:07:36
Estoy sumando n1,2, n2,2, n3,2, n lo que quiera que sea 2. 00:07:48
¿Qué tienen en común todas estas frecuencias que estoy sumando? 00:07:53
pues el valor de x2 y con independencia del valor de y estoy sumando todas las frecuencias 00:07:56
absolutas con observaciones que tienen x igual a x sub 2. Así pues n.2 es frecuencia absoluta 00:08:02
que corresponde a la distribución marginal de x, en concreto es la frecuencia absoluta de x sub 2 00:08:10
con independencia de cuál es el valor de y. Y lo mismo con todos los demás valores que nos vamos 00:08:15
a encontrar aquí. A estos valores en general se los va a representar como n.j. Estos eran n y punto 00:08:20
y la y hacia referencia a los valores de y. Aquí tengo n.j, esta j me se refiere a columnas y las 00:08:28
frecuencias absolutas n.j se refieren a los correspondientes valores de x sub j. n.2 se 00:08:36
corresponde a x2, n.7 se corresponde a x7 y así sucesivamente. Este valor que tengo aquí, 00:08:43
al final del todo de la fila y corresponde con el final del todo de la columna es la suma de 00:08:50
todas las frecuencias absolutas en todas las filas y en todas las columnas. Lo puedo calcular como 00:08:56
la suma de todas estas frecuencias de la distribución marginal de y o bien como la suma 00:09:02
de todas estas frecuencias de la distribución marginal de x. En el fondo es la suma de todas 00:09:08
las frecuencias absolutas. Se representa por n punto a punto y es el tamaño de la población 00:09:13
o muestra. Se corresponde con n en el caso de las tablas bidimensionales simples. En este caso la 00:09:19
notación es diferente y es n punto punto. Os recuerdo que en el caso de las tablas bidimensionales 00:09:27
simples sin frecuencias absolutas, porque todos los vectores eran distintos, n, el tamaño de 00:09:31
población o muestra, se correspondía con el número de observaciones, el número de columnas. En el 00:09:37
caso en el que tenemos una tabla bidimensional simple con frecuencias absolutas, el número de 00:09:42
columnas era el número de valores observados o valores posibles de los 00:09:46
vectores bidimensionales, pero el tamaño de la población o muestra era la suma de 00:09:51
todas las frecuencias absolutas. En ambos casos utilizamos n para el tamaño de 00:09:55
población y muestra o muestra, análogamente a lo que ocurría con la 00:10:00
estadística univariante, en este caso concreto hemos de tener cuidado, el 00:10:04
tamaño de la población o muestra se denota n punto punto. Insisto, o bien es 00:10:07
la suma de todas las frecuencias absolutas o bien una vez que tengo las 00:10:12
distribuciones marginales, la suma de todos estos valores de la distribución marginal de y, o bien 00:10:15
la suma de todos estos valores en la distribución marginal de las x, debe coincidir y ser igual a 00:10:21
este. Como ejemplo vamos a considerar el estudio anterior conjunto del número de suspensos en una 00:10:27
cierta evaluación y el tiempo diario y medio de estudio. Teníamos la tabla de frecuencias 00:10:35
bidimensional que tenemos aquí, donde tenemos como encabezado de columnas la variable 00:10:40
estadística x, tiempo de estudio, valores x, j en horas, 0, 1, 2, 3, 4 horas. Y como encabezados de 00:10:46
filas, la variable estadística y, número de suspensos y sub i, 0, 1, 2, 3, 4, 5. Y aquí teníamos en el 00:10:54
interior las correspondientes frecuencias absolutas. Por ejemplo, este 2 que tenemos aquí sería el 00:11:02
valor de n sub 3, 2, puesto que se encuentra en la tercera fila y segunda columna. Es la frecuencia 00:11:08
absoluta que corresponde al vector de observaciones que contiene xj que sería x sub 2 e y sub i que 00:11:15
sería y sub 3. Así pues, es el número de observaciones con el vector 1, 2. Una hora media de estudio y 00:11:23
dos suspensos. Bien, lo que hemos hecho ha sido añadir, como mencionaba anteriormente, una nueva 00:11:31
columna y una nueva fila. La nueva columna va a contener las frecuencias absolutas que corresponden 00:11:37
a la distribución marginal de y, que también se encuentra en una columna. Corresponde a las 00:11:44
frecuencias absolutas de cada uno de estos valores de y sub i, independientemente del valor de x. Y 00:11:50
lo que se hace es determinar estos valores sumando por filas. 0 más 0 más 2 más 1 más 2 es este 5. 00:11:57
0 más 0 más 8 más 2 más 0 es este 10. Y así sucesivamente hasta 2 más 0 más 0 más 0 más 0, 00:12:05
que es este 2. Estos valores de n sub i punto se corresponden con estos valores de i sub i y 00:12:12
corresponden a, independientemente del tiempo de estudio, independientemente del valor de la x, 00:12:21
con 0 suspensos había 5 observaciones, 2 más 1 más 2, recordad, con 1 suspenso había 10 observaciones, 00:12:28
estas 8 más estas 2, y así sucesivamente. Estos valores de n sub i punto junto con estos valores 00:12:37
de i sub i forman la tabla de frecuencias, de frecuencias absolutas únicamente, claro, de la 00:12:44
distribución marginal de y, la que corresponde a las observaciones de i con independencia de los 00:12:51
valores de x. Si hacemos lo mismo pero esta vez completando esta fila, lo que tenemos es la 00:12:56
distribución marginal de x. Sumamos por filas. 0 más 0 más 0 más 0 más 1 más 2 es este 3. 0 más 0 00:13:03
más 2 más 2 más 1 más 0 es este 5 y así hasta llegar al final 2 más 0 más 0 más 0 más 0 más 0 00:13:11
que es este 2. Estos son los valores de n.j que guardan relación con estos valores de xj, de tal 00:13:18
manera que tres es el número de observaciones en los cuales el tiempo de estudio medio fue de 00:13:27
cero horas, cinco es el número de observaciones en que el tiempo de estudio medio fue igual a 00:13:35
una hora con independencia del número de suspensos. Estos valores de n.j junto con estos valores de 00:13:42
xj que tengo aquí en estas filas se corresponden con la tabla de frecuencias, únicamente con 00:13:49
frecuencias absolutas, claro, de la distribución marginal de x, la que corresponde al tipo de 00:13:55
estudio con independencia del número de suspensos. Si sumo todas las frecuencias absolutas que hay 00:14:00
aquí en estas celdas en blanco o bien si sumo en esta columna 5 más 10 más 8 más 2 más 3 más 2 o 00:14:06
bien si sumo en esta columna 3 más 5 más 16 más 4 más 2 obtengo este valor 30. No está indicado de 00:14:13
ninguna manera pero esto es n punto punto igual a 30 el tamaño de la población o muestra en este 00:14:21
caso de la población. Una parte importante del estudio de las distribuciones marginales es la 00:14:26
determinación de las medidas de centralización y de dispersión con independencia de si dependiendo 00:14:34
de cómo sea la tabla de frecuencias es una tabla simple o una tabla de doble entrada hemos necesitado 00:14:40
o no construir alguna fila o columna adicional. En lo que respecta a las medidas de centralización 00:14:46
nos vamos a centrar en la determinación de las medias marginales, que se van a anotar 00:14:52
x barra y barra, la media marginal de x, la media marginal de y, respectivamente. Se calculan 00:14:57
únicamente en variables cuantitativas y en el caso de que los datos se encuentren en 00:15:05
tablas bidimensionales simples se van a calcular haciendo uso de estas fórmulas. Sumamos todos 00:15:10
los valores de x o de y, dividimos entre el tamaño de la población o muestra. En el 00:15:14
caso en el que los datos estén recogidos en tablas bidimensionales simples con frecuencias absolutas 00:15:19
tenemos que multiplicar los distintos valores posibles por las correspondientes frecuencias 00:15:24
absolutas que tenemos recogidas en esa tercera fila y dividiremos entre el tamaño de la población 00:15:28
o muestra. En el caso en el que tengamos tablas de doble entrada lo que haremos será multiplicar 00:15:33
los valores posibles por las correspondientes frecuencias marginales que tendremos bien en 00:15:39
la columna adicional para la variable y bien en la fila adicional para la variable x y dividiremos 00:15:43
entre el tamaño de la muestra, que en este caso no será n como en los dos casos anteriores, sino n 00:15:49
punto punto como indicamos anteriormente en esta misma videoclase. Recordad que las medidas 00:15:54
marginales tienen unidades si las tiene la variable correspondiente, coinciden con las de esta. 00:15:59
En el caso de las medidas de dispersión vamos a centrarnos en las varianzas y desviaciones 00:16:06
típicas marginales. Las varianzas marginales se van a denotar sigma x al cuadrado y sigma y al 00:16:10
cuadrado, indicando x e y cuál es la variable a la que se refiere. Nuevamente se calculan únicamente 00:16:16
en el caso de variables cuantitativas. En el caso en el que tengamos tablas bidimensionales simples 00:16:24
se corresponderá con la media de los cuadrados menos el cuadro de la media que corresponda. Lo 00:16:29
mismo en el caso de tablas bidimensionales simples, lo único que en este caso habremos de multiplicar 00:16:35
los valores posibles por las correspondientes frecuencias absolutas. Igualmente en el caso en 00:16:40
que tengamos tablas de doble entrada en el que multiplicaremos los valores posibles por las 00:16:45
correspondientes frecuencias de las distribuciones marginales. Estas tienen las unidades de la 00:16:50
variable, si ésta las tiene, al cuadrado. En cuanto a las desviaciones típicas marginales se va a 00:16:55
denotar sigma x sigma y, la de x la de y, y se calculan únicamente en variables cuantitativas 00:17:01
puesto que únicamente en ese caso se calculan las varianzas como la red cuadrada positiva de la 00:17:07
varianza. Si la varianza tiene las unidades de la variable al cuadrado, la desviación típica 00:17:12
marginal va a tener las propias unidades de la variable. Como primer ejemplo vamos a considerar 00:17:17
el estudio conjunto anterior del consumo de combustible y la distancia recorrida por un 00:17:26
cierto vehículo. La tabla de frecuencias simple es la que teníamos aquí y lo que he hecho es 00:17:30
apuntar aquí arriba a la izquierda en igual a 10 el tamaño de la muestra. ¿Cómo calculamos las 00:17:36
Medias marginales, bueno, pues es conforme a la fórmula que habíamos visto anteriormente, 1 entre el tamaño de la muestra, la suma de todos los valores de x sub i, o bien en el caso de la media marginal de i, 1 partido por el tamaño de la muestra, la suma de todos los valores de i. 00:17:42
Y lo que hemos hecho es sumar 100 más 80 más 50 más 100 más 10 más 100 más 70 más 120 más 150 más 220 entre 10, igual a 100 kilómetros, esa es la media de X. 00:17:56
Y en el caso de Y, 6,5 más 6 más 3 más 6 más 1 más 7 más 5,5 más 7,5 más 10 más 15 entre 10, 6,8 litros, esa es la media de Y. 00:18:08
diga. Habitualmente nos solemos ayudar de una columna auxiliar, que aquí representado con 00:18:19
la letra sigma mayúscula, la suma de los valores de x, la suma de los valores de y, de tal forma 00:18:26
que en lugar de representarlo de esta manera, habitualmente uno suma de corrido a lo largo de 00:18:32
toda la fila, el resultado es este 1000, es el numerador en esta expresión, uno suma de corrido 00:18:37
en esta fila. El resultado es 67,5 y eso es el numerador de esta expresión. Para las 00:18:42
varianzas vamos a aplicar la fórmula de la media de los cuadrados menos el cuadrado de 00:18:50
la media. Lo que vamos a hacer es ir sumando los valores al cuadrado entre el tamaño menos 00:18:55
la media al cuadrado para la x y para la y. Aquí tenemos la varianza marginal de x, la 00:19:01
varianza marginal de idea igualmente en lugar de hacer esta operación entera en 00:19:07
la calculadora habitualmente hay personas que van a calcular la suma de 00:19:12
los cuadrados 100 al cuadrado más 80 al cuadrado más 50 al cuadrado etcétera más 00:19:17
220 al cuadrado es este 129 mil 200 lo mismo con la variable y 6,5 al cuadrado 00:19:21
más 6 al cuadrado más 3 al cuadrado etcétera hasta este más 15 al cuadrado 00:19:29
el resultado es este 584,75. En ese caso el encabezado no se pone sigma como suma de los 00:19:34
valores sino sigma al cuadrado pretendiendo indicar la suma de los valores al cuadrado. 00:19:41
Si utilizamos estos valores auxiliares o bien si directamente introducimos estos valores en la 00:19:48
calculadora, suma de cuadrados entre el tamaño de la muestra menos la media al cuadrado y aquí lo 00:19:53
mismo, suma de los cuadrados entre el tamaño de la muestra menos la media al cuadrado, obtenemos 00:19:58
para la varianza marginal de X 2.920 kilómetros al cuadrado, para la varianza marginal de Y 00:20:04
12,91 litros al cuadrado. Las desviaciones típicas marginales son las redes cuadradas positivas de 00:20:12
estas varianzas. Para X tenemos como desviación típica marginal 54 kilómetros, para Y tenemos 00:20:19
como desviación típica marginal 3,6 litros. En este segundo ejemplo vamos a considerar el 00:20:25
estudio conjunto anterior del número de suspensos en una cierta evaluación y el tiempo diario medio 00:20:32
de estudio. Aquí tenemos la tabla bidimensional con las frecuencias absolutas originaria. Vemos 00:20:37
como también tenemos sombreada la fila y la columna adicionales con las que teníamos las 00:20:46
medias marginales, perdón, las frecuencias absolutas marginales. Aquí tenemos n.j, las frecuencias 00:20:53
absolutas de la distribución marginal de x, ni. las frecuencias absolutas de la distribución 00:21:00
marginal de y, y este 30, n.o, la suma de todas las frecuencias, el tamaño de la población. 00:21:06
Vamos a calcular las medias marginales y las varianzas y desviaciones típicas marginales con 00:21:14
las fórmulas que habíamos visto anteriormente. En el caso de las medias 00:21:18
marginales, x barra y barra será 1 entre el tamaño de la población, n punto a 00:21:22
punto, que es este 30, y tenemos la suma de los distintos valores de xj o bien 00:21:27
y sub i multiplicados por sus frecuencias absolutas de la distribución 00:21:33
marginal, xj por n.j y en el caso de y sub i por ni punto. 00:21:37
Lo que hemos hecho ha sido, para ayudarnos con los cálculos, añadir una fila y una columna extra adicionales con el producto de, en el caso de esta columna adicional, i sub i por n.i, 00:21:43
Y así, 0 por 5 es este 0, 1 por 10 es este 10, 2 por 8 es este 16 y así sucesivamente, la suma de todos estos elementos es este 54, que tenemos aquí como el numerador 54 entre 30 para calcular la media marginal de y. 00:21:59
Lo mismo hemos hecho para las filas 0x3 es este 0, 1x5 es este 5, 2x16 es este 32 y así sucesivamente la suma de estos valores xj por n.j es este 57 que es el numerador dividido entre 30 que tenemos aquí para calcular la media marginal de x. 00:22:17
Operando de esta manera tenemos media marginal de x 1,90 horas puesto que x tiene unidades y media marginal de y 1,80. 00:22:37
Fijaos que esto que estamos haciendo es muy similar a lo que hacíamos en su momento, en la unidad anterior, 00:22:47
hablando de estadística univariante, para el cálculo de la media de la varianza de desviación típica. 00:22:52
Utilizábamos en ciertos momentos columnas adicionales, en aquel momento las tablas de frecuencia se iban por columnas, 00:22:57
para ayudarnos en estos cálculos. No son obligatorias, igual que en este caso, pero en un momento dado pueden ser de mucha ayuda. 00:23:03
Para el caso de las varianzas marginales vamos a utilizar la fórmula que conocemos todos. 00:23:10
La media de los cuadrados menos el cuadrado de la media. 00:23:16
En este caso nos hemos ayudado xj cuadrado por n.j o bien y sub i cuadrado por ni punto de una columna y una fila adicionales. 00:23:19
Igual que antes teníamos una con, por ejemplo, y sub i por ni punto o bien xj por n.j, lo mismo pero con los cuadrados. 00:23:29
Una columna adicional auxiliar y sub i al cuadrado por n y punto xj al cuadrado por n punto j. 00:23:37
En el caso de esta última, 0 al cuadrado por 3 es este 0, 1 al cuadrado por 5 es este 5, 2 al cuadrado por 16 es este 64 y así sucesivamente. 00:23:47
La suma de este 137 es la que entra aquí en este numerador, 137 entre 30 menos la medida al cuadrado. 00:23:58
vemos que la varianza marginal de x es 0,957 horas al cuadrado. 00:24:06
Análogamente, en esta columna, 0 al cuadrado por este 5 es este 0, 00:24:13
1 al cuadrado por este 10 es este 10, 00:24:18
2 al cuadrado por este 8 es este 32 y así sucesivamente. 00:24:21
La suma de todos ellos es 158, que es quien viene en este numerador. 00:24:25
158 entre 30 menos la correspondiente media marginal al cuadrado 00:24:30
es este 2,027, que es la varianza marginal de Y. 00:24:33
¿Cómo calculamos las desviaciones típicas? 00:24:38
Más la raíz cuadrada de las correspondientes varianzas marginales. 00:24:41
Así que desviación típica de marginal para X es 0,98 horas, esta raíz cuadrada. 00:24:45
Desviación típica marginal de Y es 1,42, esta raíz cuadrada. 00:24:51
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 00:24:55
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web 00:25:04
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual 00:25:09
Un saludo y hasta pronto 00:25:14
Idioma/s:
es
Materias:
Matemáticas
Etiquetas:
Flipped Classroom
Niveles educativos:
▼ Mostrar / ocultar niveles
  • Bachillerato
    • Primer Curso
Autor/es:
Raúl Corraliza Nieto
Subido por:
Raúl C.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
3
Fecha:
17 de noviembre de 2025 - 11:39
Visibilidad:
Público
Centro:
IES ARQUITECTO PEDRO GUMIEL
Duración:
25′ 43″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
65.06 MBytes

Del mismo autor…

Ver más del mismo autor

EducaMadrid, Plataforma Educativa de la Comunidad de Madrid

Plataforma Educativa EducaMadrid