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Potencias de Enteros. Propiedades. - Contenido educativo

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Subido el 31 de mayo de 2020 por Yolanda A.

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En este vídeo vamos a ver las propiedades de las potencias de números enteros. 00:00:01
Recordamos la definición. Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto. 00:00:07
No cualquier producto, sino aquellos que están formados por un único factor que se repite un número de veces. 00:00:12
Así que podemos escribirlo como el factor 5 elevado a la octava, el número de veces que se repite. 00:00:19
Está formada esta potencia por dos números, la base y el exponente. 00:00:27
La base será el número que se multiplica, mientras que el exponente es el número de veces que se repite. 00:00:32
Usar potencias nos permite escribir cuentas muy largas o repetitivas de una forma abreviada. 00:00:42
Por ejemplo, podemos escribir estos 100 millones como un 10 a la octava, 00:00:47
o este producto de 7 es como 7 elevado a 6. 00:00:53
Y esto está muy bien, pero queremos más. 00:00:57
Nos gustaría sacarle más rendimiento a la notación en potencia. 00:01:01
Buscamos identificar los casos en los que al operar con potencias el resultado también es una potencia. 00:01:06
Solo nos vamos a encontrar cinco de estos casos. 00:01:14
Cuando al operar dos potencias el resultado también se puede escribir como una potencia. 00:01:19
Se tienen que dar dos condiciones. 00:01:25
La operación entre las potencias tiene que ser un producto o una división 00:01:28
y ambas potencias han de tener igual la base o el exponente. 00:01:33
Vamos con la primera de las propiedades de las potencias. 00:01:41
Tenemos un producto y lo que coincide en este caso son las bases, 00:01:47
así que el resultado será otra potencia, lo que coincide permanece, es decir, la base es la misma 00:01:51
y en el exponente sumamos los exponentes. 00:01:59
La segunda propiedad o el segundo caso es una división de potencias que tienen la misma base 00:02:04
y el resultado será otra potencia con base la misma y en el exponente una resta. 00:02:13
No hay más casos en los que la base sea igual. 00:02:21
Así que nos vamos a pasar a la tercera propiedad, vamos a tener un producto de potencias pero ahora lo que coincide son los exponentes. 00:02:25
El resultado será otra potencia con el mismo exponente y la base será el producto de las bases. 00:02:35
La cuarta propiedad tiene que ver con la división de potencias con igual exponente. 00:02:43
el resultado será otra potencia de exponente el mismo 00:02:51
y las bases se dividen 00:02:55
y ya no tendríamos más casos de potencias con igual exponente 00:02:58
todavía nos queda una propiedad 00:03:04
que sería una potencia elevado a un exponente 00:03:05
el resultado sería otra potencia de base la misma 00:03:10
y en el exponente tendríamos el producto de los exponentes 00:03:14
esto se conoce como potencia de una potencia 00:03:17
La segunda propiedad, la división de potencias de igual base, nos trae varias consecuencias. 00:03:20
Vamos a verlas. Las vamos a estudiar viendo los posibles resultados de esa resta en el exponente. 00:03:32
Puede ocurrir que la n sea mayor que la m y entonces la resta sea positiva. 00:03:40
puede ocurrir que la n sea igual que la m y entonces la resta sea exactamente cero 00:03:45
y puede ocurrir que la n sea menor que la m y en este caso la resta n-m será negativa. 00:03:52
Vamos a empezar a estudiar el primero de los casos. 00:04:00
Tengo 7 elevado a 5 entre 7 elevado a 3. 00:04:05
Lo vamos a poner como una fracción para verlo más claramente. 00:04:09
aplicamos la definición de potencia, es decir, escribimos los productos 00:04:13
y tengo 7 por 7 por 7 por 7 por 7 dividido por 7 por 7 por 7. 00:04:18
Vamos a ir cancelando los 3 7 del numerador con 3 7 del denominador 00:04:26
y nos va a quedar 7 por 7 partido por 1, ese 1 se puede no poner 00:04:33
y finalmente nos quedará 7 elevado al cuadrado. 00:04:40
Bien, vamos a realizar la misma cuenta, pero ahora la vamos a hacer aplicando la propiedad. 00:04:45
O sea, restando exponentes nos va a quedar 7 elevado al cuadrado, 00:04:51
exactamente igual que si lo hiciésemos por el otro lado. 00:04:56
Veamos más ejemplos. 00:04:59
En este caso, ¿qué tendríamos que hacer? 00:05:00
Vamos a restar los exponentes y nos va a quedar 7 elevado a 134. 00:05:03
No queremos realizarlo como en el primer ejemplo, haciendo el producto, queremos hacerlo aplicando la propiedad, ¿de acuerdo? 00:05:08
Vamos a ver qué ocurre en el segundo caso, cuando la n y la m coinciden, lo ponemos como una potencia, perdón, lo ponemos como una fracción, 00:05:21
Realizamos la extensión y se vemos que tenemos lo mismo, lo mismo arriba que abajo 00:05:29
Así que se nos va y nos queda como resultado 1 00:05:36
Vamos a hacer ahora la misma cuenta aplicando la propiedad, es decir, restando exponentes 00:05:40
Nos queda 7 elevado a 5 menos 5, que nos va a quedar 7 elevado a 0 00:05:47
Partiendo del mismo sitio hemos llegado a dos resultados diferentes 00:05:52
Y eso quiere decir que esos resultados no son diferentes, sino que son iguales. 00:05:57
Es decir, 7 elevado a 0 da 1. 00:06:02
Y esto lo vamos a generalizar porque no va a depender de la base. 00:06:05
Cualquier número elevado a 0 nos va a dar 1. 00:06:09
Mirad los siguientes ejemplos. 00:06:13
75 elevado a 0 será 1. 00:06:15
1325, por muy grande que sea el número, si está elevado a 0 me va a dar 1. 00:06:18
E incluso si la base es negativa pero el exponente es cero, el resultado es 1. 00:06:22
El último caso, el caso en el que la resta queda negativo, mirad cómo lo vamos a estudiar exactamente igual que siempre. 00:06:30
vamos a ponerlo como una fracción, vamos a escribirlo de manera extendida y ahora vamos 00:06:40
otra vez a simplificar los tres 7 que tengo arriba con tres 7 del denominador. Y me va 00:06:46
a quedar arriba, se van todos los 7 y me queda el 1, que es la nada del producto, el elemento 00:06:54
neutro, y abajo me quedarán cuatro 7 multiplicados. Así que el denominador lo puedo poner como 00:07:01
una potencia. En realidad en el denominador voy a tener un 7 a la cuarta. Vamos a resolver 00:07:10
esta misma cuenta aplicando la propiedad. Si aplicamos la propiedad tenemos que restar 00:07:16
exponentes y nos va a quedar 7 elevado a menos 4. Otra vez partimos de la misma expresión 00:07:21
y llegamos a dos expresiones visualmente diferentes. ¿Cuál es la conclusión? Pues que realmente 00:07:29
esos dos resultados visualmente diferentes, matemáticamente son iguales. 00:07:36
Así que 7 elevado a menos 4 es lo mismo que poner 1 partido de 7 a la 2. 00:07:42
Lo podemos generalizar diciendo que a elevado a un número negativo es igual que cambiar esa potencia de sitio 00:07:50
dentro de una fracción donde si la potencia original estaba en un numerador, 00:08:01
ahora va a ir a un denominador. 00:08:11
¿Y qué queda en el numerador? El 1. 00:08:13
Mirad los siguientes ejemplos. 00:08:16
Si yo tengo 2 elevado a menos 3, lo puedo escribir como 1 partido de 2 al 1. 00:08:17
Y si tengo, fijaos ahora que la base es negativa, 00:08:22
menos 3 elevado a menos 2, lo voy a poder poner como 1 partido de menos 3, 00:08:25
Todo ello elevado a 2, ¿vale? 00:08:29
Bien, vamos con los errores comunes, que en estas dos últimas propiedades hay bastantes. 00:08:32
Mira, lo primero, las bases negativas elevadas a 0 también dan 1. 00:08:40
Hay gente que piensa que las bases negativas elevadas a 0 dan menos 1, pero no es así, ¿de acuerdo? 00:08:45
Siempre dan 1. 00:08:53
Luego, cuando la base es muy grande, aunque sea negativa, el número es en valor absoluto muy grande 00:08:54
Todavía nos cuesta más asumir que ese resultado no es menos 1, sino que es 1 00:09:03
Las propiedades de las potencias no se cumplen ni con sumas ni con restas 00:09:10
Mira, si yo tengo 5 al cubo más 3 al cubo, a pesar de que los exponentes coinciden, 00:09:17
no hay ninguna propiedad que tenga que ver con la suma. 00:09:23
Las propiedades solo tienen que ver con el producto y con la división. 00:09:27
Así que no puedo sumar las bases. 00:09:31
Vamos a ver cómo esta expresión no es una igualdad. 00:09:33
Mirad, 5 al cubo es 125, más 3 al cubo es 27, y 8 al cubo es 512. 00:09:39
Si yo sumo 125 más 27, me da 152, que aunque tiene las mismas cifras que 512, no las tiene en la misma posición, no son números ni parecidos. 00:09:48
Mirad otro ejemplo, con la resta, 12 al cuadrado menos 7 al cuadrado. 00:10:01
Nos encantaría poder restar las bases y decir que eso es igual a 5 al cuadrado, pero no es cierto. 00:10:05
12 al cuadrado es 144, 7 al cuadrado es 49 y 5 al cuadrado es 25. 00:10:12
Si a 144 le quito 49, me queda 95, no 25. ¿De acuerdo? 00:10:20
Otro error común es que los exponentes negativos hay gente que piensa que afectan al signo del resultado. 00:10:28
No es así. Afecta a la posición. 2 elevado a menos 3 no es menos 2 al cubo. 00:10:34
Mirad, 2 elevado a menos 3 es 1 partido de 2 elevado al cubo y menos 2 al cubo es menos 8. 00:10:42
Así que 2 elevado a menos 3 realmente es 1 partido por 8. 00:10:50
Es positivo porque la base es positiva y además es más pequeño que 1. 00:10:56
está entre 0 y 1 00:11:03
y menos 2 al cubo es menos 8 00:11:05
es un número absolutamente diferente 00:11:08
es un número negativo 00:11:10
mira este otro ejemplo 00:11:12
hay gente que piensa 00:11:14
que ese 4 elevado a menos 5 00:11:16
sí, se pone en el denominador 00:11:18
y el exponente se pone positivo 00:11:20
pero el signo se pone delante 00:11:22
no, eso no es así 00:11:24
fijaos 00:11:27
4 elevado a menos 5 00:11:28
es 1 partido de 4 a la 5 00:11:31
y menos uno partido de cuatro a la quinta es menos uno partido de mil veinticuatro. 00:11:32
Así que tenemos, por un lado, en el primer miembro, un mil uno partido de mil veinticuatro 00:11:38
y en el segundo miembro tenemos menos uno partido de mil veinticuatro. 00:11:43
Obviamente, no son iguales. 00:11:47
Tened cuidado con los arreglos. 00:11:49
Autor/es:
Y.Alcántara
Subido por:
Yolanda A.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial - Sin obra derivada
Visualizaciones:
134
Fecha:
31 de mayo de 2020 - 21:16
Visibilidad:
Público
Centro:
IES MATEO ALEMAN
Duración:
11′ 51″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
48.07 MBytes

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