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2º de bachillerato ciencias sociales_tema 2_ejercicio 11_ ecuación matricial - Contenido educativo

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Subido el 14 de abril de 2021 por Jose S.

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Vamos a ver, esto del cálculo de la matriz inversa es algo importante y vamos a ver por qué. 00:00:00
Entre otras razones, hay varias razones, pero una de ellas es porque me va a permitir resolver 00:00:07
lo que entendemos por ecuaciones matriciales. Esto lo vamos a ver. 00:00:12
Vamos a hacer el ejercicio 11 del tema 2, de segundo de bachillerato de Ciencias Sociales. 00:00:18
tenemos este ejercicio que dice, dadas las matrices A y B, comprueba que A a la menos 1 igual a esto. 00:00:26
Esto tendríamos, o sea, nos están dando por un lado la matriz A, nos dicen que es esta, ¿vale? 00:00:36
Y nos están dando B. Y nos dicen que comprobemos que A a la menos 1 es igual a un cuarto por 9, por esta matriz. 00:00:51
¿Sí o no? La pregunta es, ¿cómo podríamos hacer esto? ¿Cómo podríamos hacer esta comprobación? Nos dicen, primero, apartado A, que comprobemos que la inversa de A es esta matriz. ¿Cómo podríamos hacerlo? 00:01:04
Venga, estaríamos tentados de calcular a a la menos uno. 00:01:31
Calcular la inversa tal y como sabemos, con esto, la fórmula del cálculo de la inversa. 00:01:40
¿Sí o no? 00:01:45
Pero en realidad sería un poco, y realmente la calculamos, 00:01:46
y si llegamos a esta expresión, pues diríamos, pues oiga, sí, es la inversa. 00:01:50
Pero hay una manera mucho más sencilla, y es comprobando que si multiplico la matriz A 00:01:55
por esta que dice ser A a la menos 1, pues que, repito, que multiplicando la matriz A por lo que dice ser que es la inversa de A, 00:02:01
si dieran la identidad, entonces efectivamente se comprueba que es la inversa. 00:02:14
Y no sería necesario desarrollar esta fórmula, que es, como sabemos, un poco aparatosa. 00:02:20
¿Se ve la idea o no? 00:02:30
¿Sí o no? 00:02:33
Ya digo que para comprobar que esta es la matriz inversa de esta 00:02:34
Tendría dos maneras 00:02:37
Una calculándola 00:02:38
Que no lo aconsejo 00:02:40
Y otra, mucho más sencilla 00:02:42
Comprobando que esta matriz 00:02:45
Por esta me da la identidad 00:02:48
Hagámoslo 00:02:52
Y aquí obtenemos 00:02:53
Hacemos A por A a la menos uno 00:02:59
¿De acuerdo? 00:03:06
Hacemos el producto de matrices 00:03:08
Por cierto, 9 cuartos pongo 00:03:10
¿De acuerdo? 00:03:21
Hacemos este producto de matrices 00:03:53
Pero bueno, más sencillo sería 00:03:55
Dejar el 1 cuarto fuera 00:03:56
Perdón 00:03:59
Y así es más sencillo el cálculo 00:04:00
Y multiplicamos por 1 cuarto al final 00:04:04
¿Vale? ¿De acuerdo? 00:04:08
Pondríamos aquí 1 cuarto 00:04:12
¿De acuerdo? Entonces, si operas, te da un cuarto por la matriz y te va a salir 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 4, que al multiplicar por un cuarto es la identidad. Esto lo dejo para vosotros, porque es la multiplicación de dos matrices. 00:04:13
¿Se ha visto la idea o no? ¿De acuerdo? Así pues, tenemos que efectivamente la que dice ser la matriz inversa efectivamente lo es y lo hemos demostrado, porque al multiplicar nos da la identidad. ¿Vale? Bien. 00:04:32
Bien, paso número 1, ya el apartado A está resuelto. Y ahora viene la parte interesante. El apartado B dice, haya la matriz X, una matriz X tal que A por X es igual a B. 00:04:51
Nos piden que calculemos X, una matriz X, que le pasa que A por X es igual a la matriz B, que por cierto, la tenemos aquí, B es igual a esta matriz. 00:05:08
¿De acuerdo? 00:05:30
La cuestión está en 00:05:35
¿Qué tenemos aquí? 00:05:37
¿Qué es esto? 00:05:39
Hay que entender bien qué es esto que tenemos aquí 00:05:41
Para poder resolver el problema 00:05:43
Nos están diciendo que encontremos una matriz X 00:05:47
Que verifique que si coges la matriz A 00:05:50
Que es perfectamente conocida, es esta 00:05:55
Y la multiplicas por la matriz esta que desconozco 00:05:57
que es la que tengo que encontrar, el resultado de todo va a ser esta matriz B que si conozco, que la tengo aquí, ¿se ve? ¿Qué es esto? ¿Cómo interpretáis que es esto que tengo aquí? 00:06:03
¿Cómo llamaríamos a esta expresión? Repito, tengo una matriz conocida que multiplicado por una matriz desconocida es igual a una matriz conocida. 00:06:30
¿Podemos llamar a esto ecuación matricial? 00:06:48
Es ecuación porque tengo una incógnita 00:06:54
Que es la X 00:07:00
Y esto de aquí son valores conocidos 00:07:03
¿Se entiende? 00:07:17
Si me traslado esto al concepto de ecuación numérica 00:07:19
¿Cómo diríamos? 00:07:23
Pues mira, 3X igual a 9. Aquí tiene la misma estructura. 3, que es un número conocido, multiplicado por una incógnita que quiero encontrar, es igual a un número conocido. ¿Se entiende o no? 00:07:24
Bien, ¿cómo resolver esta matriz que me piden? Insisto, lo que tengo aquí es una ecuación matricial, porque sus elementos son matrices. ¿Se ve? 00:07:38
Bien. Pues pensemos cómo resuelvo una ecuación de este tipo numérica. Por ejemplo, esta. 3x igual a 9. ¿Cómo despejas x? Pasando a dividir el 3, ¿no? Tú dices, x igual a 9 tercios, que es 3. ¿Sí o no? 00:07:54
Pero en realidad hay que pensar, yo no puedo dividir matrices, yo puedo multiplicar matrices, ¿sí o no? Pero fijaos, si solo existiera la multiplicación para despejar esta incógnita X, ¿qué haríamos? 00:08:17
Pues multiplicas un tercio por 3x y un tercio por 9. ¿Qué he hecho? Este miembro lo multiplico por un tercio y este mismo miembro lo multiplico también por un tercio. 00:08:34
Entonces la igualdad se conserva. 00:08:51
¿Entendéis o no? 00:08:54
¿Se ve? 00:08:55
Y mirad qué pasa. 00:08:59
Un tercio por tres, ¿cuánto da? 00:09:00
Se va. 00:09:02
¿Por qué? 00:09:04
Porque un tercio es el inverso de tres. 00:09:04
Por eso se va. 00:09:09
Por eso lo he multiplicado por un tercio, para que se vaya. 00:09:11
He multiplicado, como quiero eliminar este tres, pues voy y lo multiplico por el inverso de tres. 00:09:14
Pero para que la ecuación se conserve 00:09:20
Si multiplico este miembro por el inverso de 3 00:09:24
Este también lo tengo que multiplicar por el inverso de 3 00:09:27
¿Se ha entendido o no? 00:09:30
Y así queda, como esto da 1, 1 por x, x 00:09:32
Queda despejada 00:09:37
Y esto es igual a 9 tercios 00:09:38
Por eso decimos que el 3 pasa a dividir 00:09:42
Eso es un salto lógico, en realidad 00:09:47
Lo que pasa a dividir por todo esto que está aquí explicado. 00:09:49
¿Se entiende la idea o no? 00:09:54
Pues de esta misma manera vamos a resolver la ecuación matricial esta. 00:09:56
¿Cómo? Pues mira, no olvidemos que tanto A como B son matrices conocidas. 00:10:00
Lo único que no las pongo escritas porque es un rollo. 00:10:08
Lo dejo simbolizado con las letras. 00:10:11
¿Cómo despejaríamos X? 00:10:14
Pongo aquí la ecuación. 00:10:16
¿Cómo despejamos X? Pues mira, no puedo decir que la matriz A pasa a dividir. No puedo. Pero puedo multiplicar ambos miembros ¿por quién? Por la inversa de A, con la intención de que A, este elemento que está multiplicando a la X, desaparezca. 00:10:18
desaparezca. Pongo a a la menos 1 por a por b igual a, y como este miembro lo he multiplicado por a a la menos 1 por la izquierda, 00:10:39
ahora digo por qué es importante esto de por la izquierda, pues este elemento lo tengo que multiplicar también por a a la menos 1 por la izquierda. 00:10:55
Digo por la izquierda y no por la derecha, que podría haber escrito esto, porque la multiplicación de matrices no es conmutativo, ¿os acordáis? ¿Se recuerda o no? Por lo tanto, es muy importante tener en cuenta que si a este miembro lo multiplico por la izquierda, a este también lo tengo que multiplicar por la izquierda, no por la derecha. 00:11:07
¿Se entiende? Porque en matrices no pasa que el orden de los factores no altera el producto 00:11:28
Si, si lo altera, ¿vale? 00:11:34
Bien 00:11:37
Entonces fijaros, perdón, aquí hay que poner una X, que me he equivocado, ¿eh? 00:11:37
Cuidado, ¿vale? 00:11:46
Este miembro por A a la menos uno y este miembro por A a la menos uno 00:11:48
Por tanto, esto por cierto, ¿a qué es igual? 00:11:54
A la identidad 00:12:01
al 1, a la matriz unidad 00:12:03
que multiplicado por X 00:12:06
¿cuánto da? 00:12:08
X, ¿sí o no? 00:12:10
esto sí puedes decir 00:12:12
este por este se va 00:12:13
y te queda que X es igual a 00:12:14
A a la menos 1 por B 00:12:17
oye, ¿qué nos piden en el ejercicio? 00:12:18
que encontremos la matriz 00:12:23
fijaos en el ejercicio B 00:12:25
en el apartado B 00:12:27
que encontremos la matriz X 00:12:28
tal que A por X es igual a B 00:12:31
Esa matriz X está aquí despejada 00:12:33
Para encontrar esa matriz, ¿qué tendría que hacer? 00:12:37
Calcular a la menos 1 00:12:43
Multiplicarlo por B y me da X 00:12:45
La matriz buscada 00:12:49
Por eso es importante aprender a calcular la matriz inversa 00:12:51
Para resolver ecuaciones matriciales 00:12:57
¿Se entiende o no? 00:13:00
Entonces, fijaos que sencillo es ahora 00:13:02
La matriz X que verifica esta igualdad 00:13:05
O esta ecuación 00:13:10
La solución de esta ecuación 00:13:12
Es la que viene dada por esta expresión 00:13:14
Lo único que tengo que hacer es multiplicar 00:13:17
A a la menos 1 por B 00:13:20
¿Cuánto vale A a la menos 1? 00:13:22
Aquí la tienes 00:13:23
Hagámoslo 00:13:24
Los pongo aquí en pequeñito 00:13:26
Se ven, entonces coloco aquí 00:13:28
Lo he puesto aquí abajo para que se vea mejor 00:13:33
¿De acuerdo? Entonces la matriz X es A a la menos 1 por B 00:13:36
Esta es la matriz A a la menos 1 00:13:40
Y esta es B 00:13:42
Y lo único que hemos de hacer es multiplicarlo 00:13:44
Y dar como resultado 00:13:47
Bien, aquí ya os he puesto la solución 00:13:50
Aquí tenemos lo que hemos visto 00:13:53
¿De acuerdo? 00:13:57
Que X es igual a A a la menos 1 por B 00:13:58
aquí lo operamos, esto es a la menos 1 00:14:01
esto es b, multiplicando me da este resultado 00:14:04
y así hemos resuelto 00:14:08
esta ecuación matricial 00:14:11
¿qué valor de x verifica que a por x es igual a b? 00:14:14
importancia, por tanto, tiene 00:14:26
el cálculo de la matriz inversa 00:14:28
¿de acuerdo? 00:14:31
Subido por:
Jose S.
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Fecha:
14 de abril de 2021 - 16:02
Visibilidad:
Público
Centro:
IES BARRIO SIMANCAS
Duración:
14′ 34″
Relación de aspecto:
1.67:1
Resolución:
1800x1080 píxeles
Tamaño:
136.54 MBytes

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