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Problemas sistemas de ecuaciones EVAU - Contenido educativo

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Subido el 25 de mayo de 2024 por Jesús Pascual M.

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Problemas sistemas de ecuaciones EVAU

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Esta es una recuperación de problemas del EBAU algo más difíciles. 00:00:02
Ya tenéis realizado los más fáciles en la solución de la hoja para la preparación del examen. 00:00:07
Pero hay algunos que no son tan evidentes y por ello he preferido hacer un vídeo para explicarlos. 00:00:16
No obstante, mi recomendación es que antes de que veáis la solución del problema que yo propongo, 00:00:23
Intentéis hacer vosotros un planteamiento del problema 00:00:29
Y ya después lo pongáis 00:00:35
Un segundo aviso es que hay un truco para significar las cosas cuando se hace Kramer 00:00:37
Que explicaré aquí, en algún ejemplo 00:00:44
Y además, no todos los ejercicios es fácil hacerlos con Kramer o con Gauss 00:00:48
A veces es más fácil con Gauss 00:00:54
Y otras veces es más fácil haciendo una sustitución previa o lo que sea 00:00:56
Bien, procedo a realizar los ejercicios 00:01:00
Para la grabación, para poder leer bien el enunciado del problema 00:01:06
Además en este caso el problema es fácil 00:01:13
Con lo cual podéis hacerlo o intentarlo 00:01:15
Y ya por último mirar la corrección 00:01:19
Nos piden el número de unos matriculados en cada idioma 00:01:21
Siendo estos inglés, francés y alemán 00:01:27
Entonces lo más lógico es poner tres variables 00:01:29
x y z, que representen el número de alumnos que están en cada idioma, es decir, x el número de alumnos que están en inglés, y el número de alumnos que están en francés, y z el número de alumnos que están en alemán. 00:01:32
Bien, vamos a ver cuáles son las ecuaciones que hay que poner y seguimos leyendo el enunciado. 00:01:52
Nos dicen, el número de alumnos matriculados en inglés representa el 60% del total. 00:01:59
X, que son los que están en inglés, serían el 60, que es 60 entre 100, que es 0,6, el total. 00:02:08
¿Cuál es el total? Pues vamos a ver los alumnos de inglés más los de francés más los de alemán. 00:02:16
Ya que nos dicen que cada uno está matriculado en un único idioma. 00:02:23
Entonces es la suma. 00:02:29
Bien, esa sería la ecuación. 00:02:35
Bueno, esta se puede simplificar. 00:02:37
X es igual a 0,6X más 0,6Y más 0,6Z. 00:02:41
Multiplicamos todo por 10 para quitar decimales. 00:02:47
10X es igual a 6X más 6Y más 6Z. 00:02:49
E incluso podemos dividir entre 2 para significar 5x es igual a 3x más 3y más 3z. 00:02:53
Una solución breve es que si hubiéramos puesto en vez de 0,6, 0,6, esto es 6 entre 10, o si queréis 60 entre 100, 00:03:02
pero que significando es 3 partido por 5, tendríamos que x es igual a 3 quintos de x más y más z, 00:03:11
Y pasándole 5 al otro lado, 5x es igual a 3x más y más z, esto es 3x más 3y más 3z. 00:03:18
Ahí hemos tenido también la misma ecuación de abajo. 00:03:27
Bueno, voy a borrar esto y seguimos. 00:03:30
Pasamos todo a un solo lado, 5x menos 3x menos 3y menos 3z es igual a 0, 2x menos 3y menos 3z es igual a 0. 00:03:37
Ya tenemos la primera ecuación. 2X menos 3Y menos 3Z es igual a 0. 00:03:48
Veamos por la segunda condición. 00:03:58
Nos dicen, si 10 alumnos de francés se hubiesen matriculado en alemán, ambos idiomas tendrían el mismo número de alumnos. 00:04:01
Vamos a ver. A ver, tenemos los alumnos de francés, los de alemán. 00:04:09
Ahora, los de francés son la Y, los de alemán son la Z. 00:04:15
Y si 10 alumnos subiesen de francés, subiesen matrícula alemán, pues tendríamos 10 menos de francés y 10 más de alemán. 00:04:18
Y en tal caso tendríamos que tenemos los mismos alumnos y menos 10 es igual a z más 10. 00:04:28
lo que es lo mismo pasando todo a un solo lado, y menos z es igual a 10 más 10, esto es y menos z es igual a 20. 00:04:37
Y tenemos la segunda ecuación, y menos z, vamos a pasarlo todo mejor, un poco más por allá, ordenado, y menos z es igual a 20. 00:04:49
Una pequeña observación, es que aquí hay un poquito de ambigüedad en el enunciado. 00:05:03
Bueno, se supone que seguimos con la norma de que cada alumno esté matriculado en un único idioma, de modo que si se matricula en alemán, entonces tiene que desmatricularse de francés. 00:05:07
Pero si no fuera así, lo que tendríamos es que y alumno de francés, por ejemplo, y Z más 10 de alemán, y sería otra igualdad. 00:05:19
Esto nos da, porque si cogemos esta igualdad y las demás condiciones del problema, nos van a dar números decimales, entonces tendríamos una cosa absurda como un número decimal de alumnos, y no es la intención de la que puse el problema. 00:05:27
Pero bueno, es un poquito ambiguo en este punto el enunciado. Bueno, sigamos, ya tenemos dos ecuaciones, nos falta la tercera. 00:05:44
La tercera nos dice, además, la cuarta parte de alumnos de inglés excede en 8 al doble de la diferencia entre los alumnos matriculados en francés y alemán. 00:05:55
Eso es casi más intérprete del lenguaje que otra cosa. Vamos a escribirlo. 00:06:10
La cuarta parte de alumnos de inglés, que esto es x partido por 4, excede en 8, pues es igual a 8 más el doble de, pues el doble de. 00:06:13
Ahora, la diferencia entre los matriculados en francés y alemán 00:06:25
Como hay más algunos en francés que en alemán, por lo que hemos dicho antes 00:06:29
Sería y menos z 00:06:33
Y tenemos otra ecuación 00:06:36
Bueno, voy a hacer lo que uno haría rápidamente 00:06:38
Si no piensa mucho 00:06:42
Y luego voy a decir lo que uno haría si piensa un poco más 00:06:43
Lo que uno haría rápidamente 00:06:47
Es poner x partido por 4 00:06:50
ir calculando estos 8 más 2y menos 2z, multiplica todo por 4, x es igual a 32 más 8y menos 8z, y tendría, pasando todo a un lado, bueno, todas las letras a un lado, x menos 8y menos 8z, perdón, más 8z es igual a 32. 00:06:53
y obtendría la ecuación x menos 8y más 8z es igual a 32. 00:07:15
Estaría bien y podríamos calcular el sistema, sería fácil con Gauss, porque aquí tendríamos una x, aquí no hay x, etc. 00:07:28
O sea, una x libre, pero pensando un poquito más podemos simplificar un poco el problema, 00:07:35
porque aquí tenemos y menos z ya directamente 00:07:42
y aquí nos están diciendo que y menos z vale 20 00:07:46
por tanto esto sería 8 más 2 veces 20 00:07:50
que es 8 más 40 que es 48 00:07:55
entonces x partido por 4 es 48 00:08:00
por tanto x es 4 por 48 00:08:03
Es decir, 192. Y ya, pues con estas dos ecuaciones, sustituyendo la x, 2 por 192 menos 3y menos 3z es igual a 0. 00:08:07
Pasamos al otro lado, el 3i más 3z, que es el 2 por 192, que es 384. 00:08:29
Podríamos dividir todo incluso entre 3, porque 384 es múltiplo de 3, y tendríamos que i más z es igual a 128. 00:08:43
128. Ya tenemos dos ecuaciones. i más z es igual a 128 e i menos z es igual a 20. Aquí se ha todo puesto directamente para hacerlo ya con una suma y sería muy fácil. 00:08:59
Tendríamos que 2i es igual a 148, luego i es igual a 148, partido por 2, que son 74. 00:09:15
Y la z, pues, con esta parte de aquí, se puede calcular si menos z es igual a 20. 00:09:28
Entonces tenemos que, pasando la z al otro lado, z más 20 es igual a i, perdón. 00:09:39
Luego Z es igual a 20 menos Y menos 20, es decir, 74 menos 20 que es 54. 00:09:44
De modo que tenemos que X serían 192, Y sería 74 y Z sería 54. 00:10:07
Aunque esa no sea la solución. La solución sería poner que hay, tenemos, 122 alumnos matriculados en inglés, 74 matriculados en francés y 54 matriculados en alemán. 00:10:18
Hombre, en realidad si ponemos esto a la vez y esto se podría entender lo que es 00:10:46
Pero sería mucho más correcto escribirlo así 00:10:50
Pues nada, leéis el enunciado y después intentáis resolverlo, o mejor dicho, lo resolvéis 00:10:53
Y ya por último, pues ya corregimos 00:11:09
A ver, antes de nada, este problema no tiene especial dificultad 00:11:13
Lo único que son números muy grandes 00:11:16
Y además, pues son... 00:11:18
Y además hay que redondear 00:11:23
porque os van a aparecer fracciones periódicas en el resultado 00:11:26
y los euros solo se pueden tener hasta el segundo decimal, hasta los céntimos 00:11:30
Bueno, pues teniéndose en cuenta, empezamos 00:11:35
Nos piden el precio del kilo de la dorada, la lubina y el rodaballo 00:11:38
Entonces, bueno, pues lo único que habrá que hacer es el cambio de unidades 00:11:46
Entonces, X sería el precio del kilo de la dorada y el precio del kilo de la lubina y Z el precio del kilo del rodaballo. 00:11:51
nos ponen 278 millones de euros 00:12:14
bueno, hay un punto 00:12:20
en el fondo es una coma 00:12:21
quiere decir que es notación 00:12:22
inglesa igual que aquí 00:12:25
bueno, pues 00:12:27
lo digo porque yo para hacerlo un poco 00:12:29
para intentar ser un poco más pedagógico 00:12:31
voy a intentar poner los puntitos para que se vean bien 00:12:32
en las separaciones de los miles 00:12:34
¿cuánta cantidad 00:12:36
se comercializa 00:12:39
de cada uno de los pescados? 00:12:41
pues 00:12:43
13.440 toneladas doradas, con lo cual hay que poner 00:12:43
como son kilos, pues tres ceros más, porque en otra edad son mil kilos 00:12:53
de dorada. ¿Cuántos de lubina? 00:12:57
Pues 23.440, que como son toneladas 00:13:01
hay que poner tres ceros más, multiplicando por mil. 00:13:05
Y de rodaballo, pues 00:13:09
7400. Bien, lo segundo que nos dicen 00:13:14
bueno, esos son los precios, esos son las cantidades 00:13:24
esos precios en dinero, pues serían esto multiplicado por el precio de X por Y por Z 00:13:28
entonces nos dicen que toda esta suma 00:13:32
275,8 millones de euros 00:13:35
entonces como que, si aquí lo tenemos en euros, en millones 00:13:40
pues habría que añadir, multiplicar por un millón 00:13:43
¿qué sería dejarlo así? 00:13:48
bien, por otra parte nos dicen 00:13:54
que el precio 00:13:56
de los rodaballos 00:13:58
han sido 00:14:01
6,3 00:14:03
363,6 00:14:05
que habría que multiplicar por millones, con lo cual sería 00:14:07
600 00:14:09
estos son los euros que hemos 00:14:11
ganado con los rodaballos 00:14:15
con lo cual tenemos dos ecuaciones 00:14:17
la primera es 00:14:19
que 00:14:23
1, 3, 7, 4, 0, 0, 0, x, más 2, 3, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, y, más 7, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, z, es 2, 7, 5, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, z. 00:14:24
Bueno, en realidad esto ya nos lo han dado, en vez de poner la Z con esto, que es el precio del rodaballo, perdón, lo que hemos ganado con los rodaballos, podríamos poner directamente esta cantidad y nos ahorramos una variable. 00:14:46
Tendríamos que esto ya es 6.300, con lo cual yo tenía lo más sencillo, ¿no? 00:15:00
Otra opción sería, bueno, la segunda ecuación sería que 7400000z es igual a 6360000, un momento, si es correcto, vale. 00:15:11
Y aquí la Z se puede despejar directamente. De hecho, lo lógico aquí serían esas ecuaciones, pues simplificar, aquí quitamos 5 ceros, y aquí 5 ceros también, y nos queda que 74Z es igual a 636, lo que significa que Z es igual a 636 partido por 74. 00:15:39
A ver, si lo volvamos a ver en la calculadora, esto sería 8,59459, etc. 00:16:05
Pero como tenemos que redondearlo, lo extendimos y este 4 es menor que 5. 00:16:16
Redondeamos así, 8,59. 00:16:25
Otra opción ahora sería sustituir aquí la z, etc. 00:16:29
pero en este caso particular pues es más fácil poner directamente el precio 00:16:31
y la última ecuación nos dice 00:16:36
sabiendo que el kilo de dorada fue 11 centimos más caro que el kilo de lubina 00:16:39
entonces eso sería un kilo de dorada 00:16:43
pues el precio del kilo de dorada es 00:16:49
X, pues X es 11 centimos 00:16:51
que es 0,11 euros más caro que el precio del kilo de lubina 00:16:57
que es la y 00:17:02
en este caso 00:17:04
podríamos quitar decimales multiplicando por 00:17:06
multiplicando 00:17:09
pero bueno, teniendo 00:17:12
una sustitución tan sencilla como x igual a 00:17:13
algo más y 00:17:16
es que no vale la pena ni hacer más 00:17:17
bueno 00:17:19
esta ecuación la hemos utilizado ya 00:17:21
para resolver la z 00:17:23
y aquí ya o bien 00:17:24
pues ponemos las demás 00:17:27
podemos quitar las x 00:17:29
podemos dividir todo entre 10.000 00:17:30
Aquí quitamos cuatro ceros, cuatro ceros, cuatro ceros aquí o directamente aquí, y aquí cuatro ceros. 00:17:33
Entonces podemos resolver y nos queda la ecuación 1, 3, 7, 4, x más 2, 3, 4, 4, y, perdón, más 6, 3, 6, 0 es igual a 2, 7, 5, 8, 0. 00:17:42
Luego, vamos a seguir, tenemos que 1, 3, 7, 4, x más 2, 3, 4, 4, y es igual a 2, 7, 5, 8, 0 menos 6, 3, 6, 0, lo que nos da 2, 1, 2, 2, 0. 00:18:06
Y ya tenemos dos ecuaciones. 1, 3, 7, 4, x más 2, 3, 4, 4, y es igual a 2, 1, 2, 2, 0 y esta ecuación, que es que x es igual a y más 0, 11. 00:18:30
Pues lo más sencillo era sustituirla. 1, 3, 7, 4 por i más 0,11 más 2, 3, 4, 4i es igual a 2, 1, 2, 2, 0. 00:18:50
Y ahora ya pues lo que nos da. 1, 3, 7, 4i más 151,14 que es lo que nos da este producto más 2, 3, 4, 4i es igual a 2, 1, 2, 2, 0. 00:19:07
Y ahora ya, vamos a seguir por aquí arriba, pues 1, 3, 7, 4i más 2, 3, 4, 4i es igual a 2, 1, 2, 0, 0 menos 151,14. 00:19:24
Y ya operando obtenemos que 3718I es igual a 21048,86. Luego I es igual a 21048,86 entre 3718, lo que nos da 5,6613394, etc. 00:19:48
Pero como redondeamos esta segunda cifra y esto es menor que 5, lo dejamos en 5,66. 00:20:24
Por último, x es igual a 0,11 más y, luego x es igual a 0,11 más 5,66, que nos da 5,77. 00:20:31
Y ya podemos poner la solución. 00:20:46
Tenemos que la dorada, que es la X, son 5,77 euros el kilo, la lubina, que es la Y, son 5,66 euros el kilo y el rodaballo, que es la Z, son 8,59 euros el kilo. 00:20:48
Leéis el enunciado, realizáis o intentáis realizar los apartados y después corregimos. 00:21:22
Bien, empezamos la operación. 00:21:36
Comenzamos con el apartado A, donde nos piden saber cuántos litros de nitrógeno, oxígeno y argón son necesarios para tener 2000 litros de invernadero. 00:21:38
Sabiendo que el 78%, que esto es 78 entre 100, esto es 0,78, es de nitrógeno. 00:21:51
El 21, que es 0,21, 21 entre 100, es de oxígeno. Y el 1%, que es 1 entre 100, 0,01, es de argón. 00:21:57
Pues nada, si de los 2000 litros tenemos que el 0,78 lo son de nitrógeno, esto quiere decir que el producto, que es 1560 litros, lo son de nitrógeno. 00:22:06
Si de los 2.000 litros, 0,21, que es 21%, los cuales son 420, son de oxígeno, pues eso es lo que nos piden. 00:22:20
Y de los 2.000 litros, el 1%, que es multiplicado por 0,01, son 20 litros, que son los litros de argón que necesitamos. 00:22:38
Y nada, pues esta es la solución. 00:22:50
Vamos ahora al apartado B. 00:22:54
En el apartado B nos piden saber cuántos litros tenemos de cada mezcla A, B y C. 00:22:55
De modo que lo lógico es poner que las variables X y Z, X es el número de litros de la mezcla A y el número de litros de la mezcla B y Z el número de litros de la mezcla C. 00:23:08
Y ahora, pues eso, vamos a ponerlo aquí. Tendríamos X litros de A, y de B, y Z de C. 00:23:29
Ahora vamos a aplicar lo que hemos hecho antes. El 80% de los litros de X van a ser de nitrógeno. 00:23:41
80 es 0,8, 80 es 100. De modo que podemos traducir la tabla. Aquí tenemos el nitrógeno, aquí el oxígeno, y aquí el argón. 00:23:48
Entonces nos dicen que el 80% de X, es decir, 0,8X, son de nitrógeno. 00:24:04
El 20% de X, 0,2X, es de oxígeno. 00:24:13
Y hay 0 litros de X de argón, porque es el 0%. 00:24:17
Después lo mismo con la Y. 00:24:20
El 0,7 de Y son de nitrógeno. 00:24:24
El 0,2 de Y es de oxígeno. 00:24:30
Y el 0,1, que es el 10% de Y, es de argón. 00:24:33
Por último, con Z igual, el 0,6 de Z, el 0,4 de Z y el 0 de Z es de argón. 00:24:42
Eso tiene que sumar la mezcla original, que son 1560 litros de nitrógeno, 420 de oxígeno y 20 de argón. 00:24:52
De modo que tenemos que las ecuaciones, que sería coger cada columna, 0,8X más 0,7Y, la primera columna, más 0,6Z, que son los litros de nitrógeno de cada una de las mezclas, 00:25:08
Han de sumar 1.560. 00:25:23
0,2X más 0,2Y más 0,4Z han de ser los de oxígeno. 00:25:27
Y por último, pues 0,1Y han de ser los litros de argón, que suman 20. 00:25:38
Y ya está. 00:25:48
Si queréis, podemos multiplicar todas las ecuaciones por 10 para que salgan exactas. 00:25:49
Entonces, podríamos tener 8x más 7y más 6z es igual a 15600, 2x más 2y más 4z es igual a 4200, 00:25:55
este también se puede dividir luego entre 2, x más y más 2z es igual a 2100, y por último, tenemos que y es igual a 200. 00:26:21
Bueno, aquí ya tenemos resuelto una ecuación, igual a 200, con lo cual, pues lo más sencillo es sustituirlo a las demás. 00:26:38
Aquí tendremos ya que 8X más 7Y más 7 por 200 es igual a, que esto es 1400, es 15600. 00:26:45
De modo que, perdón, me falta la Z, más 6Z es igual a 15600. 00:27:01
De modo que tenemos la primera ecuación, que sería 8x más 6z es igual a 15600. 00:27:10
Y esto además se puede dividir entre 2. 4x más 3z es igual a... 00:27:19
Disculpad, me he despistado y aquí no he puesto la resta del otro. 00:27:27
Esto es igual a 15600 menos 1400, que es 142000. 00:27:32
Y ahora ya dividiendo esto entre 2, obtenemos que 4X más 3Z es igual a 7100. 00:27:44
Ahora vamos con la segunda ecuación. Tenemos que X más Y más Z más 2Y es igual a 2100. 00:27:52
Entonces tendríamos que x más 200 más 2z es igual a 2100, pasando al otro lado, x más 2z es igual a 2100 menos 200, que son 1900. 00:27:59
Entonces ya tenemos las dos ecuaciones, vamos a ponerlas, que son esta y esta. 00:28:17
Vamos a ponerlas a la izquierda, tenemos que 4x más 3z es igual a 7100, y x más 2z es igual a 1900. 00:28:23
Aquí es muy fácil hacer gauss, porque tenemos aquí la x que está multiplicada por 1. 00:28:45
También se puede hacer cramer, lo que se quiera. 00:28:51
Voy a hacer cramer porque voy a hacer una pequeña observación, ¿vale? 00:28:53
X serían, ¿vale? 7100, 1900 y aquí 32 entre 4132. 00:28:59
Y la Y sería, pues, el 417100, 1900 y aquí entre 4132. 00:29:14
bueno calculamos lo debajo de 5 y aquí voy a hacer una observación 4 por 2 es 8 menos 3 es 5 00:29:30
aquí lo mismo a ver una matriz si una columna está multiplicada por un número en este caso 00:29:37
por 100 se puede sacar fuera estos 100 veces el determinante 71 19 3 y 2 también podéis 00:29:43
calcular sobre todo si tienes calculadora lo otro y os sale pues la solución directa en este caso 00:29:54
tendréis 100 por 85 partido por 5 lo que nos da 1700 y aquí tenéis pues lo mismo sacamos 00:30:06
recién fuera de la segunda columna sería eso por 4, 1, 71, 19 y obtendríamos pues 100 por 5 partido por 5 que nos da 100 00:30:21
Con lo cual la solución sería que tenemos 1700 litros de A, 100, perdón, esto es la, me he despistado, esta es la Z, hay un despiste que habréis notado que esta es la Z, ¿vale? 00:30:44
Tenemos 100 litros de B y, perdón, 200 litros de B y 100 litros de C. 00:31:07
Y esta es la solución del problema, del apartado B del problema. 00:31:25
Bien, sigamos. 00:31:32
Para la grabación, después lees bien el enunciado, después haces el problema o intentas hacerlo y ya después miráis la corrección. 00:31:33
Bien, empezamos la corrección. 00:31:55
Este problema contiene algunos detalles que pueden confundir. 00:31:59
El primero es que nos piden cuántas acciones de cada tipo le corresponden a cada hermano, añadiendo que se reparten de forma equitativa. 00:32:02
Bueno, podría parecer que faltan datos o lo que sea. En rigor eso significa que cada hermano cobra lo mismo. 00:32:13
Lo que pasa es que si calculamos el número de acciones que hay de la empresa, cuántas de la B y cuántas de la C, vamos a ver que los tres números son múltiplos de tres. 00:32:22
De forma que lo único que hay que hacer es dividir el número de acciones entre tres y ahí sabemos cuánto le corresponde a cada hermano. 00:32:33
De modo que ponemos tres variables, X, Y y Z, que son respectivamente el número de acciones de la empresa A, el número de acciones de la empresa B y el número de acciones de la empresa C. 00:32:40
La segunda dificultad es que no nos dicen directamente cuánto valor tiene cada acción, 00:33:00
sino que nos ponen otro problema con eso. 00:33:07
De modo que tenemos otras tres variables, la variable a, la variable b y la variable c, 00:33:10
de C que son respectivamente el valor de cada acción A, el valor de cada acción B y el valor 00:33:18
de cada acción C. No nos dicen directamente el valor de las acciones salvo en el caso de la 00:33:32
acción B, puesto que nos dicen que B, el valor de la acción de B, que es B, vale 1€. Ahora bien, 00:33:44
Nos dicen que el valor en bolsa de la acción A es el triple que la de B, es decir que, bueno vamos a poner aquí A y C para ver cuánto valen, que A vale 3B, esto es 3 por 1, que es 3. 00:33:52
Y también nos dicen que el valor de la acción de A es la mitad que la de C, es decir que A es un medio de C, o lo que es lo mismo, que C es igual a 2A. 00:34:09
Como ya sabemos que A vale 3, eso sería 2 por 3, que vale 6. 00:34:20
De modo que ya tenemos que B vale 1, A vale 3 y C vale 6. 00:34:25
Podemos entonces continuar con el problema. 00:34:33
A ver, la siguiente cosa que nos dicen es que hay un total de 500 conectaciones. 00:34:36
X de A y de B y Z de C, es decir, que la suma de las tres, X más Y más Z, vale 540. 00:34:41
Además, están valoradas en 1560 euros. 00:34:56
A ver, el valor de las acciones de A sería su precio, que es 3, por el número de acciones, que es X. 00:35:00
Las de B, su precio, que es 1, por el número de acciones, que es Y, 1 por Y es Y. 00:35:08
Y la de C, pues 6 euros cada acción por Z acciones, que es 6Z. 00:35:13
La suma total tiene que ser 1560 euros. 00:35:18
De modo que la segunda ecuación es 3X más Y más 6Z igual a 1560. 00:35:22
Por último, nos dicen que el número de acciones de C es la mitad que el de B. 00:35:38
El número de acciones de C es Z y es un medio de las de B que es Y. 00:35:49
Esto es lo mismo que decir, pasando el 2 multiplicando a otro lado, que Y vale 2Z. 00:35:57
Podemos hacer un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, despejando esta, Y menos 2Z es igual a 0 y aplicando Gauss. 00:36:02
Lo cual además no sería difícil, ya que aquí la X está multiplicada por 1 y aquí no hay X. 00:36:11
No obstante, en este caso es un poco más fácil sustituir y igual a 2z en las dos ecuaciones 00:36:15
Puesto que tenemos que x la iba a 2z más 2z más z es igual a 540 00:36:20
Que 3x más 2z más 6z es igual a 1560 00:36:29
Y que, bueno, ya está 00:36:37
Si luego simplificamos, tenemos que x más 3z es igual a 540, y 3x más 8z es igual a 1560. 00:36:40
Esto es muy fácil de hacer con Gauss, porque la x está multiplicada por 1. 00:36:55
de modo que si ponemos la matriz 00:36:58
tenemos 1, 3, 3, 8 00:37:02
540, 1560 00:37:04
de modo que tenemos 00:37:09
por ejemplo 00:37:11
hacemos la segunda fila 00:37:13
la restamos 3 veces la primera fila 00:37:17
menos 9 00:37:21
3 por 540 es 1620 00:37:22
realizamos la resta 00:37:27
0, menos 1, menos 60. Podemos multiplicar todo por menos 1 y tendríamos 0, 1, 60. De modo que la matriz pasaría a ser 1, 3, 540, 3, 8, 60. Perdón, 0, 1, 60. 00:37:28
De ese modo, tenemos que X más 3Z es igual a 540, Z es igual a 60, y ya tenemos resuelto directamente lo que es la Z. 00:37:51
Sustituimos en la X y X es igual a 540 menos 3Z que es 540 menos 3 veces 60, esto es 540 menos 180 que vale 360. 00:38:08
Ya tenemos resuelta la X, la Z y nos falta la Y, pero como Y es 2Z, esto es 2 veces por 60, que es 120. 00:38:25
De ese modo, tenemos que X vale 360, Y vale 120 y Z vale 60. 00:38:40
También se podría haber hecho con Cramer directamente, pues por ejemplo haciendo x es igual a 540, 60, perdón, estamos mirando esto de aquí, 540, 1560, 38, abajo, 1, 3, 3, 8, 00:38:53
luego nos daría menos 360, y aquí menos 1, que es 360, y z, que sería 1, 3, 540, 1560, entre 1, 3, 3, 8, lo de abajo sabíamos que era menos 1, 00:39:26
y lo de arriba nos daría menos 60, con lo cual sería 60. Y la y sustituiríamos como ya hemos hecho, y ya tendríamos. 00:39:47
No obstante, esta no es la solución. La solución sería decir lo que se lleva cada hermano. 00:39:54
Entonces, como X y Z, que es la cantidad de acciones que hay en A, B y C, son múltiplos de 3, pues habría que dividir entre 3. 00:40:05
Entonces, entre 3 sería 120, entre 3 sería 40 y entre 3 sería 20. 00:40:13
De modo que la solución sería, cada hermano se lleva 120 acciones de la empresa A, 40 acciones de la empresa B y 20 acciones de la empresa C. 00:40:27
Y esa sería la solución del problema. 00:41:21
Esto de aquí arriba es el cálculo, nada más. 00:41:25
Vamos a dejarlo así, que se quede claro cuánto se hace y ya está 00:41:27
Bien, paráis la grabación, leéis el enunciado 00:41:31
Intentáis resolverlo y después corregimos 00:41:40
Vale, corregimos 00:41:44
Nos piden el precio de un bocadillo, un refresco y una bolsa de palatas 00:41:47
Por lo tanto, ellas son nuestras incógnitas 00:41:53
X es el precio del bocadillo 00:41:55
y el precio de la bolsa, perdón, del refresco 00:41:59
y Z, el precio de la bolsa de patatas. 00:42:05
Inicialmente nos dicen que el estudiante 00:42:18
ha comprado tres bocadillos, dos refrescos y dos bolsas de patatas 00:42:22
pagando 19 euros. 00:42:26
Pero ojo, le han cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. 00:42:29
O cualquier decir que le han cobrado, como si fueran 4 bocadillos, 2 refrescos y 3 bolsas de patatas teniendo en cuenta esto. 00:42:34
De modo que, por 4 bocadillos, 2 refrescos y 3 bolsas de patata, cuyo precio son X y Z, le han cobrado 19 euros. 00:42:49
La primera ecuación es que 4X más 2Y más 3Z es igual a 19 00:42:59
Después le dicen, reclama y le devuelven 4 euros 00:43:08
Lo cual quiere decir que el bocadillo de más, cuyo precio es X 00:43:14
Y la bolsa de palatas de más, cuyo precio es Z 00:43:21
Suman 4 euros, es decir, X más Z es igual a 4 00:43:24
Por último, dicen que le ofrecen llevarse un bocadillo de refresco por 3 euros, pero sabiendo que eso es un 40% del precio. 00:43:31
A ver, si hay un 40% de descuento respecto del precio original, si hay un 40% de descuento, eso significa que el precio es el 60%, que es 100 menos 40. 00:43:46
Que es lo mismo puesto que esto es 60 es 60 partido por 100, esto es 0,6. De nuevo que el nuevo precio sería 0,6X por el bocadillo y 0,6Y por el refresco, lo cual suman 3 euros. 00:44:03
La tercera ecuación sería 0,6x más 0,6y igual a 3. 00:44:31
Si multiplicamos por 10 para quitarnos los decimares, tendríamos que 6x más 6y es igual a 30. 00:44:39
Y si ahora dividimos entre 6 para simplificar un poco, pues tendríamos que x más y vale 5. 00:44:51
De modo que la tercera ecuación es x más y igual a 5 00:45:00
Eso se puede resolver por Kramer, por Gauss o sustituyendo 00:45:06
En este caso es un poco más fácil sustituir 00:45:12
Y también se puede hacer cosas mixtas 00:45:14
Voy a hacer, a ver, sustituyendo lo que tenemos es 00:45:19
Por ejemplo, que z es igual a 4 menos x 00:45:25
y que y es igual a 5 menos x, con lo cual si sustituimos aquí la y y la z tenemos que 4x más 2 veces 4 menos x más 3 veces 5 menos x, esto es igual a 19. 00:45:30
Por tanto, tenemos que 4x más 8 menos 2x más 15 menos 3x es igual a 19, luego 4x menos 2x menos 3x es igual a 19 menos 8 menos 15, 00:45:47
lo cual significa que menos X es igual a menos 3, luego X vale 3. 00:46:08
Y ahora aquí vamos a sustituir, eso sería 4 menos 3 que vale 1, y 5 menos 3 que vale 2. 00:46:23
De modo que el precio de bocadillo tendríamos que el bocadillo, que es la X, cuesta 3 euros, el refresco, que es la Y, cuesta 1 euro, perdón, sí, 1 euro, perdón, me he despistado, el refresco es la Y, están aquí cambiados. 00:46:29
el refresco, que es la Y 00:47:08
cuesta dos euros 00:47:11
y la bolsa de patatas 00:47:14
que es la Z 00:47:17
cuesta un euro 00:47:19
y ya tendríamos la solución 00:47:21
bueno, también se podría haber hecho Kramer 00:47:23
habríamos hecho 00:47:27
X es igual a 00:47:28
19, 4, 5 00:47:29
3, 0, 1 00:47:32
3, 1, 0 00:47:40
entre 4, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1, 0, aquí tendríamos, nos daría 3 entre 1 que es 3, la I haciendo 00:47:41
lo propio sería aquí 19, 4, 5 para la I y luego aquí el 4, 1, 1, 3, 1, 0 entre este 00:47:58
determinante, que vale 1, que nos daría 2 partido por 1, que es 2, y la Z, que sería 00:48:06
19, 4, 1, 3, 0, 1, 4, 1, 1, y aquí, bueno, esto que ya sabíamos que era 1, que sea 00:48:13
1 partido por 1, que nos da 1. Y luego también se puede hacer cosas mixtas, ¿eh? Pues por 00:48:30
ejemplo, si ya hemos despejado aquí la Z y la Y respecto de la X, también se puede 00:48:34
calcular x con Cramer, obtener que es 3, y luego hacer la sustitución. Quiero decir, 00:48:40
podemos mezclar métodos. Y nos daría lo mismo. O sea, paso 1, paso 2 y paso 3. Vale, 00:48:49
siguiente problema. En este problema, antes de nada, vamos a tener que explicar cómo 00:49:03
se realizan los repartos directamente proporcionales, ya que es una parte fundamental del enunciado. 00:49:07
En efecto, podéis ver que tres primos se van a repartir una cantidad de forma directamente proporcional a sus edades. 00:49:12
Si ya recordáis cómo se realizan los repartos directos y proporcionales, ya podéis parar la grabación y realizar el problema para luego ver la corrección. 00:49:23
Pero si no, os recomiendo que antes miréis la explicación que voy a hacer. 00:49:32
Vamos a hacerlo con un ejemplo. 00:49:37
Vamos a suponer que tenemos tres personas, A, B y C, que trabajan tres horas, cuatro horas y cinco horas en un trabajo 00:49:38
y reciben una bonificación de 72 euros. 00:49:49
Entonces, quieren repartirlas de forma directamente proporcional a las horas trabajadas. 00:49:55
Entonces, si ha trabajado tres horas, pues A cobra X, B cobra Y y C cobra Z. 00:50:00
¿Qué condiciones tenemos? Por una parte, el segundo reparto, pues que X más Y más Z sea igual a 72. 00:50:06
Y por otra parte, pues lo de que es la proporción directa, que X partido por 3 es igual a Y partido por 4, que es igual a Z partido por 5. 00:50:15
De hecho, si os fijáis, esto es lo que significa la edad de 3, que X es igual a 3, lo que Y es a 4. 00:50:25
Y la solución, efectivamente, en ambos casos es que X es igual a 3Y partido por 4, pasando este 3 multiplicando. 00:50:30
Bueno, borro esto. 00:50:37
Eso tiene solución porque tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, pero se puede hacer directamente con un truco y es el siguiente. 00:50:39
Vamos a suponer que esto es igual a k. Despejando, x partido por 3 es igual a k, luego x es igual a 3k. 00:50:49
Lo mismo, y partido por 4 es igual a k, luego y es igual a 4k, y por la misma razón z es igual a 5k. 00:51:00
Si sumamos, aquí tenemos x más y más z es igual a 3 y 4 es 7 y 5 es 12, 12k. 00:51:10
Es decir, pero x más y más z hemos dicho que es 72, de modo que va que k es igual a 72 partido por 12, que es 6. 00:51:19
Entonces tenemos que X es igual a 3 por 6, Y es igual a 4 por 6 y Z es igual a 5 por 6 00:51:34
Y estos serían 18, 24 y 30 00:51:41
Vale, antes de nada unas observaciones, ¿qué significa la K? 00:51:46
Bien, vamos a verlo 00:51:52
A trabaja 3 horas y cobra X euros 00:51:54
Entonces tenemos X entre 3 00:51:58
Si cobra X euros en 3 horas, por 3 horas trabajadas, K es el número de euros que cobra por hora. Lo mismo se puede decir con la Y. Cobra Y euros en 4 horas, pues K es lo que cobra por hora. Con lo cual, K sería el sueldo por hora o los euros por hora. 00:52:01
Entonces, cuando hacemos esta suma, que tenemos aquí 3K más 4K más 5K, tenemos 3 horas más 4 horas más 5 horas. 00:52:21
Tenemos 12 horas. 12 horas son las horas trabajadas. 00:52:32
Y este aquí, más I más Z, es el dinero que han cobrado. 00:52:36
Entonces, lo que estamos haciendo es, tenemos 72 euros. 00:52:39
Y ahora tenemos 3 más 4 más 5 horas, que son 12 horas. 00:52:44
K es el dinero cobrado por hora 00:52:50
72 euros entre 12 horas en total 00:52:52
que son 6 euros por hora 00:52:56
y ahora ya esto no es más que escoger 00:52:58
si X trabaja 3 horas y son 6 euros la hora 00:53:01
será 3 por 6 00:53:04
lo mismo la Y que trabaja 4 horas y son 6 euros por hora 00:53:06
y Z que trabaja 5 horas y son 6 euros por hora 00:53:09
y tendríamos el resultado 00:53:12
bien, sigamos 00:53:15
La siguiente observación es que, si tenemos esto de acá, vale, lo que tenemos es que k es igual a 72 partido por 12, pero 72 era x más y más z, y este 12 era 3 más 4 más 5. 00:53:20
Y es que cuando tenemos fracciones que son iguales, como es este caso, precisamente por ser iguales a una constante K y a esta división que hacemos, entonces también son iguales a la suma entre las tres. 00:53:46
Eso sólo ocurre cuando tenemos esta igualdad. Habitualmente no podemos separar cosas. No se puede separar raíz de 3 más raíz de 2 partido por raíz de 5 más raíz de 7. 00:54:00
Esto no se puede separar en dos, por supuesto que no, pero es que no estamos haciendo esto, estamos partiendo de unas fracciones que son iguales a otra que es igual, es muy diferente. 00:54:10
muy diferente bien y la siguiente observación es que si ponemos la solución vale tenemos que 00:54:21
x es igual a hemos dicho que 3k y acá vale acá es el número de horas es 72 por 12 pero este 12 cuánto 00:54:29
Entonces, 3 partido por 3 más 4 más 5, perdón, voy a borrar un momento 72 para poder escribir. 00:54:53
Vale, continuamos. 00:55:03
Pero esto es igual a 3 por 72 entre 3 más 4 más 5 y esto es igual a 3 entre 3 más 4 más 5 por 72. 00:55:05
Lo mismo, y sería 4 entre 3 más 4 más 5 por 72, y z sería 5 entre 3 más 4 más 5 por 72. 00:55:15
Bueno, pues esta sería la fórmula general. Vamos a poner todo esto junto otra vez. 00:55:29
Esa sería la fórmula general de cómo se realiza el reparto en un solo caso, ¿vale? 00:55:40
Pero bueno, la idea es la que hemos explicado, ¿vale? 00:55:45
bueno, pues 00:55:49
vamos a esa explicación 00:55:53
paráis la grabación 00:55:54
y después 00:55:56
realizáis el problema 00:55:58
y nada, y esperéis a la corrección 00:56:05
bien, corrijamos 00:56:08
nos dicen 00:56:12
que calculemos la edad de cada primo 00:56:18
y también el dinero que recibe 00:56:20
cada uno por el premio 00:56:23
bueno, si conocemos la edad de cada primo 00:56:24
puesto que conocemos la cantidad de tal 00:56:26
y ya sabemos hacer repartos 00:56:28
vamos a conocer la cantidad de dinero que cobra cada uno. De modo que lo que hay que calcular 00:56:30
primeramente es esto. Entonces vamos a poner las variables 00:56:34
x va a ser la edad 00:56:38
de Pablo y la edad 00:56:44
de Alejandro y z la edad 00:56:49
de Alicia. Vamos a empezar 00:56:53
haciendo las ecuaciones sencillas. Primera de ellas 00:56:58
La edad de los tres primos juntos es 45 años 00:57:03
Pues nada, X más Y más Z es igual a 45 00:57:06
Segundo, la suma de las edades de Pablo y Alejandro 00:57:11
Pablo y Alejandro son los primeros 00:57:15
X más Y excede en 3 años 00:57:19
Es igual a 3 veces más 00:57:22
Al doble de la edad de Alicia 00:57:24
Pues 2Z 00:57:27
Ya tenemos el segundo problema 00:57:29
De hecho, con esto ya podríamos calcular a Z. 00:57:32
Y lo siguiente que tenemos es lo del reparto. 00:57:38
Quieren repartirse 9.450 euros de forma directamente corporacional. 00:57:43
Bueno, pues vamos a hacerlo como he hecho antes. 00:57:51
¿Qué hacíamos? 00:57:55
O bien poníamos, ¿cuánto se llevaría X? 00:57:58
O bien ponemos la fórmula. 00:58:01
Pues sería x partido, perdón, ¿cuándo sería Pablo? Pues x por x más y más z por 9450 y partido por x más y más z por 9450 y z partido por x más y más z por 9450. 00:58:02
Eso sería una forma. Y luego sustituiríamos, bueno, si no tuviésemos la suma de las edades, habría que utilizar estas variables para el siguiente problema. 00:58:22
Y se podría hacer, ¿eh? Pero ya que nos dan que la suma es 45, pues eso sería x partido por 45, 9.450, y partido por 45, 9.450, y z partido por 45, 9.450. 00:58:36
Y esto es 210X, 210Y y 210Z. 00:58:55
También podemos hacerlo como he dicho antes. 00:59:01
Vamos a ver. 00:59:03
¿Cuántos años tienen en total? 00:59:05
Años totales. 00:59:08
Nos los dan. 00:59:09
45 años. 00:59:10
Que es X más Y más Z. 00:59:12
¿Cuántos euros es por año? 00:59:15
Pues por año tenemos 9.450 euros entre 45 años y esto dividiendo son 210 euros por año. 00:59:19
Y sabiendo esto, pues podemos decir que Pablo se lleva 210 euros por año por su edad, Alejandro 210 euros por año por su edad y Alicia 210 euros por su edad. 00:59:30
Eso sería más fácil. Pero pongo las dos formas de hacerlo porque cada cual piensa de una manera. 00:59:44
¿Vale? Ya tenemos esta parte y nos queda ya la última ecuación. Sabiendo que en el reparto del premio Pablo recibe 400 euros más que Alicia, vamos a verlo. 00:59:50
Entonces, ¿Pablo cuánto recibe? Pues, Pablo recibe 210X, y esto es 400 euros más de lo que recibe Alicia, que recibe 210Z. 01:00:06
Bueno, si os fijáis, 420 es el doble de 210, podemos simplificar. 01:00:26
Si no, podríamos ir simplificando, pues primero dividiendo por 10, quitando esto, luego por 3 y luego por 7, en fin. 01:00:30
Si dividimos todo por 210, tenemos que X es igual a 2 más Z, y ya tenemos las tres ecuaciones. 01:00:41
X, si pasamos a un solo lado, esto es X menos Z es igual a 2. 01:00:51
Entonces, x más y más z es igual a 45, esta pasaría como x más y menos 2z igual a 3, x más y menos 2z es igual a 3, y por último, x menos z es igual a 2. 01:00:57
Bueno, pues eso se puede realizar fácilmente por Gauss y por Kramer, también se puede hacer haciendo directamente ecuaciones o sustituciones. 01:01:23
De hecho, vamos a ver, si vemos que aquí están iguales la X y la Z, podemos restarlas, 01:01:30
X más Y más Z es igual a 45, menos X menos Y menos 2Z más 2Z es igual a menos 3, 01:01:37
y tenemos que 3Z es igual a 42, de lo que se deduce que Z es igual a 42 entre 3, que es 14. 01:01:48
Ya con esto tenemos la X, porque X es igual a 2 más Z, que es 2 más 14, que es 16, y también podemos bajar la Y, por ejemplo, con esta ecuación. 01:01:59
Y es igual a 45 menos X menos Z, 45 menos 16 menos 14, y esto es 45 menos 30, que es 15. 01:02:17
Entonces ya tenemos que la edad de Pablo serían 15 años 01:02:28
Perdón, Pablo es el primero 01:02:37
Pablo es la X 01:02:43
Entonces tenemos que X igual a 16 01:02:45
Y igual a 15 01:02:49
Z igual a 14 01:02:51
Pablo tiene 16 años 01:02:52
Alejandro tiene 15 años 01:02:56
Y Alicia tiene 14 años. ¿Cuánto cobran? Pues Pablo cobraría 210 por X, Alejandro 210 por Y, 210 por Z, que serían 210 por 16, esto es 3.360. 01:03:06
eso sería 210 por 15 que serían 3.150 y eso serían 210 por 14 que son 2.940 01:03:29
y cobra 3.360 euros, 3.150 euros y 2.940 euros y esa sería la solución. 01:03:40
También se puede por Cramer o por Gauss, pero bueno, es suficiente 01:03:58
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Autor/es:
Jesús P Moreno
Subido por:
Jesús Pascual M.
Licencia:
Todos los derechos reservados
Visualizaciones:
31
Fecha:
25 de mayo de 2024 - 12:11
Visibilidad:
Público
Centro:
IES LA ESTRELLA
Descripción ampliada:
Problemas sistemas de ecuaciones EVAU
Duración:
1h′ 04′ 06″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
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