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4º ESO Trigonometría ejercicios resueltos - Contenido educativo

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Subido el 6 de abril de 2024 por Eduardo Jose P.

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4º ESO Trigonometría ejercicios resueltos

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Hola, pues en el siguiente vídeo voy a intentar explicar los ejercicios del aula virtual, los últimos del tema de trigonometría. 00:00:03
El ejercicio 1 pide completar la tabla pasando los ángulos de grados, parradianes y dejar el resultado en función de pi, 00:00:12
o sea, sin multiplicarlo en la calculadora. 00:00:19
Al contrario de los otros ejercicios, donde ya siempre se va a pedir calcularlo con la calculadora y dejar el resultado lo más simplificado posible. 00:00:22
Entonces, en todos los ejercicios me voy a apoyar en el documento de teoría que os he colgado también en el aula virtual. 00:00:30
En este caso, lo que se pide en este ejercicio es que sepáis, a partir de un ángulo, saber expresarlo tanto en grados como en radianes. 00:00:36
Saber pasar de grados en radianes, en este caso. 00:00:44
Entonces, siempre se hace igual. Hay que plantear una regla de tres donde tenemos que saber este primer paso, que 180 grados es pi. 00:00:47
También se puede hacer, como hicimos en clase, pasando de 360 a 2pi. 00:00:54
Es más fácil así, con 180. 00:01:01
Entonces sabemos que si 180 grados son pi radianes, 00:01:03
en este caso, para saber los radianes que corresponden a 60 grados, 00:01:07
pues tenemos que poner aquí x. 00:01:12
Se resuelve la regla de 3, que es con producto cruzado, 00:01:13
o sea, 180x es igual a 60pi y se despeja. 00:01:17
El 180 pasa abajo, entonces x sería 60pi entre 180. 00:01:20
Luego aquí, muchos habéis operado dejando esto en forma de decimal, que no está mal, pero no es lo que se pedía en este ejercicio. 00:01:26
En este ejercicio se pedía en usar la calculadora y dejarlo en la forma más simplificada posible de fracción. 00:01:33
Aquí, si divides arriba y abajo por 60, te queda 60 entre 60, 1, o sea, pi, y 180 entre 60, tercios. 00:01:39
o sea, aquí el ángulo de un radian es correspondiente a 60 grados, sería pi tercios. 00:01:47
Haciendo lo mismo con todos los demás ángulos, se obtienen estas fracciones. 00:01:54
5 pi sextos, 7 pi sextos, 5 pi tercios y 7 pi cuartos. 00:01:59
Pues este sería el ejercicio número 1. 00:02:04
Bien, en el ejercicio 2 nos piden que a partir de las dos relaciones fundamentales 00:02:10
calculemos el coseno y el seno de un ángulo, 00:02:15
del que conocemos que la tangente de alfa es igual a menos 2 00:02:17
y que está entre 270 grados y 360 grados. 00:02:21
Bien, esta es la parte de teoría que estudia las relaciones fundamentales 00:02:29
de las razones trigonométricas. 00:02:32
¿Para qué sirve esto? 00:02:35
De un ángulo decíamos, hemos estado diciendo estas semanas, 00:02:37
que se pueden obtener unas propiedades que son las razones trigonométricas. 00:02:41
Las más importantes son el seno, el coseno y la tangente. 00:02:44
Lo que se pretende en este ejercicio es que conozcáis cómo a partir de estas relaciones, si conocemos una de las tres, podemos sacar las otras dos. 00:02:48
Siempre, si en un ejercicio, en una situación real, tenemos el seno, el coseno o la tangente, una de las tres, con estas relaciones fundamentales, lo que nos van a permitir es conocer las otras dos. 00:03:00
O sea, a partir de uno, poder conocer las otras dos. 00:03:13
Da igual la que conozcamos. 00:03:17
No da igual porque se hace de forma distinta, pero siempre que conozcamos una de ellas, 00:03:19
si sabemos el cuadrante donde está el ángulo, podemos obtener las otras dos. 00:03:23
¿Cuáles son las relaciones fundamentales? 00:03:29
Son estas dos, que hay que saberse de memoria. 00:03:31
Que el coseno del ángulo del cuadrado más el seno de ese mismo ángulo del cuadrado es uno 00:03:34
y que la tangente es igual al seno partido por el coseno. 00:03:37
Entonces, si en un ejercicio nos dan una de ellas, o podemos leer una de ellas con estas dos relaciones, 00:03:41
operando podemos conocer las otras dos. 00:03:47
Lo otro que tenemos que saber es el cuadrante en el que está. 00:03:50
Para eso estaban estas otras dos figuras. 00:03:53
Si sabemos que está en el primer cuadrante, como el eje x es el que representa el coseno y el eje y el que representa el seno, 00:03:55
pues esta figura nos va a dar el ángulo. 00:04:06
En el ejercicio que nos dicen que el ángulo está entre 270 grados y 360 grados. 00:04:09
Entonces, si yo me voy a esta figura que tengo que saber deducir, 00:04:15
sé que entre 270 grados y 360 grados es este cuadrante. 00:04:20
Entonces, el coseno va a ser positivo y el seno va a ser negativo. 00:04:25
¿Por qué? Porque el coseno está en este gx y el seno está en el y. 00:04:31
entonces aquí vemos que el seno está en la parte negativa de este eje 00:04:36
y que el coseno está en la parte positiva 00:04:41
por eso ponemos que el coseno es positivo y el seno es negativo 00:04:43
¿qué quiere decir? que cuando en el ejercicio del que nos dan la tangente 00:04:47
nos salgan operaciones donde podamos saber qué coseno es y qué seno es 00:04:52
si tenemos dos ángulos entre los que elegir, uno positivo y uno negativo 00:05:00
vamos a tener que elegir el signo positivo cuando hablemos del coseno 00:05:03
y el signo negativo cuando hablemos del seno. 00:05:13
¿Por qué sabemos cómo se puede deducir en esta figura los distintos grados para los cuadrantes? 00:05:17
Sabiendo que un ángulo recto son 90 grados. 00:05:24
Entonces, para pasarte aquí a aquí, sé que son 90 grados. 00:05:27
Y luego, la regla 3, no, la tabla de multiplicar del 9, ¿vale? De 0 aquí, 90, porque es el primero, es ángulo recto. 00:05:30
Después, 90 por 2, 180. 180 por 3, 27. 270. Y 9 por 4, 36. Pues 360, repito. 00:05:44
El primero no lo sabemos, que es 90, ¿vale? Como 1 por 9, 90. Pues 2 por 9, 18, 180. 3 por 9, 27, 270. 4 por 9, 36, 360 grados. ¿Vale? 00:05:55
Entonces, vuelvo al ejercicio. Tengo que utilizar estas dos relaciones fundamentales para hallar el coseno y el seno, que es lo que nos piden. 00:06:10
porque tenemos la tangente. 00:06:21
Entonces, este es el ejercicio. 00:06:24
Escribo las relaciones que son las que tengo que usar 00:06:29
y como sé que la tangente es menos 2, lo escribo. 00:06:31
Menos 2 tiene que ser igual al seno de alfa por el coseno de alfa. 00:06:35
Entonces, despejo el seno de alfa y me queda que el seno de alfa es igual a menos 2 coseno de alfa. 00:06:38
Y esta relación es la que meto en esta fórmula. 00:06:44
Como que sé que el seno de alfa es menos 2 coseno de alfa, 00:06:46
Pues lo pongo aquí. Donde aquí pone seno de alfa, lo pongo aquí. 00:06:51
Menos 2 coseno de alfa al cuadrado más coseno de alfa al cuadrado. 00:06:54
¿Qué consigo? Pues tener ya solo una ecuación con el coseno. 00:06:57
El error más común aquí es que el 2 no lo habéis elevado al cuadrado, pero hay que elevarlo también. 00:07:03
Menos 2 al cuadrado, el síndrome te queda positivo porque esta potencia es par, 00:07:08
y te quedaría 4 coseno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa igual a 1 dentro de esta relación, que es la que estoy usando. 00:07:11
Y ahora ya es operar. 4 coseno al cuadrado de alfa más coseno al cuadrado de alfa, te quedaría 5. 00:07:18
4 más 1, 5 coseno al cuadrado de alfa. 00:07:25
Esto ahora pasa dividiendo, 1 partido por 5, y para sacar el coseno de alfa hago la raíz, que te quedan dos signos, más, menos. 00:07:28
¿En qué signo me tengo que quedar? 00:07:38
Pues como hemos dicho antes, como estamos en el cuarto cuadrante, me voy a esta figura, 00:07:40
Como sé que está en el cuarto cuadrante, el coseno de alfa tiene que ser positivo. 00:07:46
Entonces, como tiene que ser positivo, me quedo con el coseno de alfa positivo. 00:07:50
Coseno de alfa igual raíz de 1 partido por 5. 00:07:55
Ahora, para tener el seno, que es lo que más hace falta, vuelvo a la relación que había deducido aquí. 00:07:59
Cambio donde pone coseno de alfa por este resultado y me queda que el seno de alfa es igual a menos 2 por raíz de 1 partido. 00:08:07
5. Y este sería el ejercicio número 2. 00:08:16
El ejercicio 3 nos pide que observemos la figura y que a partir de ella 00:08:26
indiquemos el valor de la razón trigonométrica que se puede leer 00:08:31
y luego deducir las otras dos a partir de esta. 00:08:34
Estos dos apartados son iguales a los del ejercicio 2, 00:08:38
aunque cuando tengamos una de las razones, como he explicado antes, 00:08:40
mediante las relaciones fundamentales se pueden obtener las otras dos. 00:08:45
Entonces, ¿para qué está puesto este ejercicio? 00:08:48
Pues para que aprendamos la parte de teoría esta que tiene que ver con la circunferencia goniométrica, 00:08:51
que es una circunferencia en la que se pueden leer los ángulos directamente. 00:08:59
Y está aquí en la segunda hoja de la teoría, es esta circunferencia. 00:09:06
Entonces, vamos a repasarla. 00:09:11
¿Cómo se puede obtener aquí directamente el coseno y el seno de un ángulo? 00:09:12
O si tenemos este ángulo, que en este caso, por ejemplo, es de 45 grados, como decía en el ejercicio anterior, el eje X representa el coseno y el eje Y representa el seno. 00:09:16
Entonces, si tú tienes un ángulo, en este caso este de 45 grados, y cortas la circunferencia en este punto, cuando bajas hacia abajo y leas, esta distancia de aquí es el coseno de alfa. 00:09:29
Y al revés, cuando lo lleves hasta este eje, hasta el eje Y, pues esta distancia de aquí, que en este caso te viene marcado por el lado rojo, sería el seno de alfa. 00:09:41
Entonces en el ejercicio en el que estamos nos dicen indicar el valor de la razón que se puede leer directamente de los datos. 00:09:58
Si nos ponen aquí que esto es menos 0,27, pues entonces, ¿cuál nos están dando? 00:10:05
Si estamos diciendo que el coseno es la que se puede leer directamente en el eje X, 00:10:10
pues nos están dando el coseno. 00:10:14
Y la primera respuesta sería inmediata, es decir, 00:10:17
que el coseno del ángulo este que nos están dando sería menos 0,27. 00:10:21
Si en vez de este de aquí nos dieran este de aquí, ¿cuál nos estarían dando? 00:10:26
El seno. 00:10:31
La otra cosa que se puede ver de la figura es en qué ángulo está el cuadrante, en qué ángulo está, o sea, en qué cuadrante está el ángulo. 00:10:32
Está en el segundo, ¿vale? Porque este punto está aquí, este es el segundo cuadrante. 00:10:40
Entonces, como hemos visto antes también, si sabemos que está en el segundo cuadrante, a partir de las relaciones fundamentales, 00:10:46
cuando tengamos el seno, tenemos que decir cuál va a ser su signo y el signo será, por tanto, el positivo, lo vemos en esta figura. 00:10:53
En el segundo cuadrante, como estamos en la parte positiva del eje Y, el signo del seno de alfa va a ser positivo. 00:11:02
Pues una vez que tenemos el coseno de alfa igual a menos 0,27, que es lo que hemos leído en esta figura, 00:11:10
deducir las otras razones es exactamente igual que en el ejercicio anterior. 00:11:17
Hay que usar las dos relaciones fundamentales, que son esta de aquí, que es el coseno al cuadrado de alfa más el seno al cuadrado de alfa, 00:11:22
es igual a 1 y cuando tengamos 00:11:32
el seno en la siguiente 00:11:35
relación que es la de la tangente 00:11:36
igual al seno partido por el coseno 00:11:39
vamos a tener la tangente 00:11:40
entonces este es más fácil que el anterior 00:11:41
porque ya se puede hacer directamente 00:11:44
aquí sabemos que el coseno de alfa es 00:11:47
menos 0,27 entonces si en la primera 00:11:48
relación fundamental de las dos 00:11:51
sustituyes aquí donde pone el coseno de alfa 00:11:52
por menos 0,27 00:11:55
y lo elevas al cuadrado 00:11:57
pues ya puedes obtener el seno 00:11:58
cuadrado de alfa. Subscribimos aquí. En vez de coseno de alfa, menos 0,27. Y operamos. 0,27 al cuadrado. 00:12:01
En la calculadora te queda 0,073 más seno cuadrado de alfa igual a 1. Despejas el seno cuadrado de alfa, 00:12:08
sacas la raíz, igual que antes, y te quedan dos resultados. Uno positivo y uno negativo. 00:12:15
¿Por qué cojo el positivo? Porque estoy en el segundo cuadrante y sé que el seno en el segundo cuadrante, 00:12:21
según esta figura de aquí, tiene que ser positivo, ¿vale? 00:12:27
El seno de alfa en el segundo cuadrante es positivo. 00:12:33
Repito, en el eje de y sirve para representar el seno de alfa y el eje de x para el coseno de alfa. 00:12:36
Valores positivos del coseno de alfa serían estos dos cuadrantes y los valores positivos del seno de alfa, 00:12:43
estos dos cuadrantes y los negativos al revés. 00:12:50
Pues con esto estaría hecha la primera parte del ejercicio 3 00:12:53
El coseno lo tenemos de aquí, el seno ya lo hemos sacado 00:12:58
Y nos queda ir a la tangente 00:13:03
Pues la tangente se tiene con la otra relación fundamental 00:13:04
Volvemos a la teoría 00:13:07
Recuerdo, las dos relaciones fundamentales 00:13:08
La primera esta y la segunda esta 00:13:10
Pues como tenemos el coseno y el seno 00:13:12
Con esta de la tangente igual al seno partido por el coseno 00:13:14
Sacamos la otra 00:13:17
Tangente de alfa, seno de alfa partido del coseno de alfa 00:13:18
El seno de alfa ya lo teníamos de la parte anterior y el coseno de alfa lo habíamos visto aquí en la figura. 00:13:21
Pues operas las dos, divides y te queda 3,56. 00:13:29
¿Qué nos pide más el ejercicio? Indicar la amplitud del ángulo expresándolo tanto en grados como en radianes. 00:13:33
Pues aquí volvemos a la teoría. 00:13:40
En este bloque de aquí nos dice que si conocemos las razones pero no conocemos el ángulo, 00:13:45
podemos obtenerlo con las funciones recíprocas, que son las funciones alto. 00:13:49
La función recíproca del seno de alfa es el arco seno, la del coseno de alfa el arco seno, y la de la tangente la arco tangente. 00:13:54
¿Para qué sirven? Pues como en este ejercicio, si por ejemplo aquí tenemos, sabemos ya que el coseno de alfa vale menos 0,27, 00:14:02
pero no sabemos cuál es el ángulo, pues si usamos la función recíproca, o sea, el arco coseno, podemos obtener el ángulo alfa. 00:14:09
¿Cómo se hace eso en la calculadora? 00:14:18
Pues en la calculadora las teclas para el seno, el coseno y la tangente son estas 00:14:26
Aquí hay que tener la precaución de que el modo del ángulo esté en grados hexagesimbles 00:14:31
Y eso lo podéis configurar con el menú 00:14:40
Aquí con esta tecla del menú 00:14:44
Entonces, estas son las razones, seno, coseno y la tangente 00:14:46
Y para las funciones arco, el arco coseno y el arco tangente, ¿qué hay que hacer? 00:14:50
Pues cuando tú metes un valor, para obtener el arco coseno o el arco coseno o el arco tangente de ese valor, 00:14:58
tienes que darle aquí primero al amarillo, al shift y luego a esta. 00:15:04
Porque aquí arriba del seno está el arco coseno, arriba del coseno el arco coseno y arriba de la tangente el arco tangente. 00:15:08
Entonces, dando aquí antes al amarillo, y aquí lo que te hace es calcular la función recíproca. 00:15:15
Así que si volvemos al ejercicio del que ya teníamos, del primer apartado, que el coseno de alfa es menos 0,27, 00:15:22
y queremos saber cuál es el ángulo, pues simplemente haciendo el arco coseno de menos 0,27, ya tendríamos el ángulo de partida. 00:15:29
Esto hay que usarlo en todos los ejercicios que vienen después también. 00:15:40
Siempre que tengamos una razón, que conozcamos el valor de una razón, podemos saber el ángulo de esa razón con la función recíproca, ¿vale? 00:15:42
Y luego ya lo siguiente es lo del apartado 2, lo del ejercicio 1, es hacer el mismo procedimiento. 00:15:52
Si tú tienes un ángulo ya en grados, pues pasar a radianes es con la regla de 3, sabiendo que si 180 son pi, 00:15:58
105,66 que es el ángulo que tenemos x 00:16:08
hacemos la regla de 3 y lo tendríamos en radianes 00:16:12
y con esto ya quedaría resuelto el ejercicio 3 00:16:16
En el ejercicio 4 se trata de resolver dos triángulos rectángulos 00:16:19
que sabemos que son rectángulos porque lo dice el enunciado 00:16:28
este ángulo de aquí es 90 grados y este ángulo de aquí es 90 grados 00:16:31
La diferencia entre los dos es que en estos dos nos dan el dato de los lados 00:16:35
que acaban en el ángulo recto, o sea, los catetos. 00:16:40
Este es un cateto, este es otro cateto y este es la hipotenusa. 00:16:44
Y en este, en cambio, me dan un cateto y me dan la hipotenusa. 00:16:48
Voy a empezar a resolver el triángulo ángel. 00:16:52
Pero antes de eso, vamos a recordar que nos hacía falta de teoría para resolver triángulos. 00:16:56
Para resolver triángulos distinguíamos si eran rectángulos de si no eran rectángulos. 00:17:04
Si eran rectángulos podemos usar todo esto. 00:17:12
El teorema de Pitágoras, la suma de los ángulos igual a 180 grados y las razones trigonométricas. 00:17:15
Era la parte del tema que todavía nos faltaba volver en estos ejercicios y que vamos a practicar en este ejercicio número 4. 00:17:23
Entonces, vamos a empezar por el primero. En el triángulo A, como decía, tenemos los dos lados. 00:17:34
El lado AB de 3 centímetros y el otro lado, el AC de 5 centímetros, que son los catetos. 00:17:40
Para resolver los triángulos, de lo que se trata, es de, a partir de los elementos conocidos, en este caso estos dos lados, 00:17:47
y este ángulo, que es de 90, sacar los desconocidos. 00:17:57
Aquí, ¿qué es lo que no conocemos? El lado A, que es la hipotenusa, este ángulo de aquí, el ángulo en B y el ángulo en C. 00:17:59
Para el ángulo A vamos a usar el teorema de Pitágoras y para los ángulos B y C vamos a usar las razones. 00:18:07
Las razones, lo que nos van a dar, son el seno, el coseno o la tangente de estos ángulos, del B y el C. 00:18:13
Y luego, con lo que hemos visto en el ejercicio anterior de las funciones recíprocas, cuando conocemos una de ellas, 00:18:21
el coseno, el arcoseno, o sea, perdón, el coseno, el seno, la tangente, 00:18:27
cuando conozcamos alguna de las tres, da igual cuál, 00:18:32
si nos vamos a la función arco, con la función arco vamos a tener el ángulo. 00:18:35
Entonces los pasos van a ser, en Pitágoras tenemos este lado, 00:18:40
luego, con las razones, uno de los dos ángulos, el b o el c. 00:18:45
Cuando tengamos la razón del ángulo b, con la función arco sacamos el ángulo en b, 00:18:51
y ya cuando tengamos dos ángulos, el A y el B, podemos tener el otro ángulo y ya tenemos resuelto el triángulo. 00:18:55
Pues aquí en la resolución viene explicado un poco lo que controlo. 00:19:07
Como son triángulos rectángulos, puedo usar que la suma de ángulos es 180 grados, 00:19:11
Pitágoras o las razones, el conocimiento de las razones. 00:19:15
Entonces, empiezo primero por conocer el... 00:19:19
¿Por qué coloco el triángulo de esta forma en vez de de esto? 00:19:23
Porque yo las razones las recuerdo mejor, las he aprendido mejor, colocando el ángulo recto en esta esquina de aquí. 00:19:26
Entonces, el lado pequeño que llega al ángulo recto, ¿cuál es el de 3 centímetros? Pues lo pinto aquí. 00:19:37
El más largo, el cateto más largo, que acaba en el ángulo recto, ¿cuánto vale 5? Pues lo pinto aquí. 00:19:43
Y después, lo otro que no conozco es la hipotenusa, que se llama planteo pitágoras. 00:19:49
La hipotenusa al cuadrado es igual al cateto al cuadrado más cateto al cuadrado. 00:19:55
Despejo la ecuación y me sale 5 o son de 3 centímetros. 00:20:00
Esto lo habéis hecho prácticamente todos bien. 00:20:03
Los problemas vienen ahora. 00:20:07
Conocemos los lados y cómo puedo conocer el ángulo en metro. 00:20:09
Para eso lo que hay que saberse de memoria es qué significan las razones en un triángulo rectángulo. 00:20:12
Es esta parte de aquí de la teoría. 00:20:21
Y esto es lo que hace falta aprenderse de memoria. 00:20:24
Para este año, estas tres, estas, son menos importantes. 00:20:30
Las hemos dado y en el futuro tendrán su importancia, 00:20:34
pero este año nos conformamos con conocer bien el seno, el coseno y la tangente. 00:20:37
Venga, pues repasamos la teoría. 00:20:46
¿Qué había dicho? Pues que colocaba el triángulo de esta forma para poder recordarlo mejor. 00:20:48
Lo importante es que el ángulo de 90 grados esté en esta esquina. 00:20:53
Entonces, ¿cómo se tienen que recordar? 00:20:58
Pues, da igual el orden, pero la tangente la dejamos para el final. 00:21:03
Ponemos seno de alfa, coseno de alfa y tangente de alfa. 00:21:09
Entonces, lo que tenemos que acordarnos es que son razones porque es una división, una fracción, 00:21:13
donde vamos a tener dos números. 00:21:19
Un número en la parte de arriba de la fracción y otro en la parte de abajo. 00:21:22
Bien, para el seno y para el coseno en la parte de abajo siempre vamos a tener la hipotenusa, este lado de aquí 00:21:24
Y luego tenemos que acordarnos que el seno es este de aquí y el coseno este de aquí 00:21:31
Como habíamos dicho igual antes, en la circunferencia siempre hay que pensar que el seno es el vertical y el coseno el horizontal 00:21:38
Pues en esta figura igual, para el coseno vamos a coger el de aquí abajo y para el seno el de aquí arriba 00:21:46
Entonces, ¿el seno cuál es? 00:21:52
Tenemos que dividir este lado, el vertical, entre la hipotenusa. 00:21:54
C partido de A. 00:21:58
Y el coseno, este de aquí, que se llama cateto contiguo entre la hipotenusa. 00:22:00
B partido por A. 00:22:05
No os aprendéis de memoria las letras, porque en un triángulo te pueden cambiar 00:22:06
y llamar a la hipotenusa B y a este cateto A, 00:22:10
y ya si te has aprendido esto de memoria no te sirve. 00:22:14
Lo que hay que aprender es la figura. 00:22:16
Colocar aquí el ángulo de 90 grados y después pensar 00:22:18
¿Cuál es el seno? Pues el seno es el vertical entre la hipotenusa. 00:22:21
El vertical entre la hipotenusa. 00:22:26
Y el coseno, el horizontal entre la hipotenusa. 00:22:28
Otra forma, cuando tienes que recordarlo, cuando tienes el ángulo aquí, el seno es el cateto opuesto. 00:22:34
¿Por qué se llama cateto opuesto? Porque es el único lado que no acaba en este ángulo. 00:22:40
Entonces el seno es el cateto opuesto, que es este, el C, que es el que no acaba en este ángulo, partido de la hipotenusa. 00:22:44
¿Cuál es el coseno? El cateto contiguo, o sea, el que llega al ángulo partido de la hipotenusa. 00:22:51
Bien, pues así tenemos el seno y el coseno. 00:22:57
Para la tangente, ¿qué hay que hacer? Pues dividir el cateto opuesto o el vertical, 00:23:00
el que representa al seno, partido por el contiguo, el del coseno, o sea, c partido por b. 00:23:07
Si en el seno y el coseno la hipotenusa es el que estaba aquí abajo, 00:23:13
la que está aquí abajo, para la tangente no hay hipotenusa, para la tangente lo que hay que hacer es dividir este de aquí entre este de aquí, C entre B. 00:23:16
Alguna forma de memorizar estas expresiones tenéis que encontrar, porque son muy importantes y lo pueden servir no para este año, 00:23:27
sino ya para el bachillerato, para la carrera, para todo. Es uno de los contenidos más importantes del curso, saber deducir bien estas razones. 00:23:35
pie de esta figura, ¿vale? Entonces volvemos al ejercicio. Recuerda, aquí en este ejercicio 00:23:46
tenemos, ya conocemos las tres, conocemos esta que vale 3, este lado que vale 5 y el 00:23:52
lado A lo habíamos obtenido que era 583. Y tenemos que saber ahora los dos ángulos, 00:23:59
el B y el C. Podría haber puesto el C, pero podría haber deducido primero el C, pero 00:24:05
vamos a deducir primero el B. Como ya conozco los tres lados, planteando las razones que 00:24:10
que hemos visto antes, puedo sacar las tres de ellas. ¿Hacen falta las tres para calcular 00:24:16
el ángulo? No. Con haber calculado una de ellas, o con poder calcular una de ellas, podría 00:24:21
obtener el ángulo. En este caso podemos sacar las tres porque ya tenemos todos los datos. 00:24:27
Según lo que hemos visto antes, ¿cuánto sería el seno de este ángulo B? Pues el 00:24:35
seno de este ángulo B sería el cateto opuesto, o sea, 5 dividido entre la hipotenusa que 00:24:38
que es 5,83, lo que hemos tenido antes aquí en la ejercicio. 00:24:43
El coseno sería 3 entre esto, y la tangente, 5 entre 3. 00:24:47
Como los datos del problema eran 5 y 3, 00:24:53
lo más inteligente es, para calcular el ángulo en B, usar esta, 00:24:57
porque imaginaros que en esta os habéis equivocado al calcular. 00:25:04
Pues a lo mejor después esto lo tenéis mal. 00:25:11
Pero si usáis ya esta, que es la de la tangente, donde vienen los datos del problema, 00:25:13
ya os quitáis ese riesgo de poderos haberos equivocado antes, 00:25:18
y por lo menos esta parte del ejercicio la tenéis bien. 00:25:21
Entonces, a partir de aquí, si ya sé que la tangente en B es 5 tercios, 00:25:25
¿cómo puedo hacer para sacar el ángulo en beta? 00:25:29
Pues igual que en el ejercicio 2 y en el ejercicio 3. 00:25:32
Recordamos esta parte de la teoría, que dice que si conoces la razón de algún ángulo, 00:25:37
se puede obtener ese ángulo con las funciones recíprocas o funciones arco. 00:25:40
¿Cuál voy a usar si conozco la tangente de B? 00:25:46
Pues la arco tangente, que es lo que hago aquí. 00:25:49
Como sé que la tangente en B es 5 tercios y meto esto en el calculador y me queda 1,66, 00:25:51
pues para calcular el ángulo en B uso la arco tangente de 1,66. 00:25:57
Y me quedan 56,44 grados. 00:26:03
Ahora ya conozco dos ángulos. 00:26:06
este ángulo que es 90 y este de aquí que es 56,44 y de esto nos acordamos siempre 00:26:08
igual que en la evaluación anterior cuando hablábamos de semejanza 00:26:14
cuando conocemos dos ángulos de un triángulo el tercero lo mejor siempre es 00:26:19
obtenerlo con la fórmula de que los tres ángulos suman 180 grados 00:26:23
entonces el ángulo en C por esa propiedad quedaría 180 menos en A menos el de A 00:26:27
que lo conocemos que como es rectángulo son 90 grados y menos el de B 00:26:33
que es el que habíamos calculado antes. 00:26:37
Haces esta operación y te queda 33,56 grados. 00:26:39
Y así ya habremos resuelto el apartado A. 00:26:44
Para el apartado B había la diferencia. 00:26:47
¿Qué diferencia había? 00:26:50
Aquí decíamos que teníamos los dos catetos 00:26:51
y aquí en vez de los dos catetos tenemos un cateto y le podemos usar. 00:26:54
Pero se resuelve exactamente igual. 00:26:58
Lo más importante es colocarlo bien al principio. 00:27:00
Lo coloco igual, en la posición en que el ángulo recto de 90 grados me queda aquí, en la esquina de la derecha. 00:27:02
¿Por qué? Porque me sé, me conozco las razones, sé deducirlas mejor con esta figura. 00:27:10
No hace falta ponerlas en esta figura. 00:27:16
Mucha gente, cuando ya tengáis más experiencia, podréis deducir las razones directamente, lo tengáis colocado como lo tengáis colocado. 00:27:18
Pero ahora al principio, a mí me parece buena cosa el colocarlo así. 00:27:26
Igual, tengo dos lados. ¿Cómo tengo el tercer lado que no conozco? 00:27:34
Pues como habéis hecho casi todos en el ejercicio y bien hecho, 00:27:39
con pitágoras. 00:27:42
El error que ha habido aquí muchas veces, en algunos casos, 00:27:44
que habéis confundido y habéis puesto 00:27:47
que esto es un cateto, o sea, 00:27:49
que a al cuadrado 00:27:51
es igual a la suma de los dos catetos 00:27:53
al cuadrado. 00:27:57
reanudamos la grabación. Cosas del directo. Decía que algunos os habíais equivocado aquí al usar 00:28:11
Pitágoras y habíais puesto que esto era un cateto. Aquí no. Este de aquí, el lado A, es la hipotenusa 00:28:19
y hay que colocarlo bien. Y el que no conocemos es un cateto, pero se hace igual. Lo colocas en la 00:28:26
fórmula, luego despejas la B, que aquí lo que la diferencia con la ejercicio anterior es que te va 00:28:32
Va a pasar que aquí esto va a ser una resta porque el 10,5 al cuadrado aquí va a pasar al otro lado. 00:28:37
Vas arrestando, operas esto, las raíces y te queda que el lado B son 21,13 centímetros. 00:28:43
A ti de aquí el resto del ejercicio es exactamente igual que el anterior. 00:28:50
Ahora, ¿cuál elijo, qué razón elijo aquí para obtener el ángulo en B? 00:28:55
Pues usando el mismo razonamiento que antes. 00:29:01
¿Cuáles son los datos del problema? 00:29:04
estos dos, pues voy a usar los datos 00:29:05
porque a lo mejor en esta me he equivocado 00:29:07
y si me he equivocado en esta, pues ya lo arrastro 00:29:09
el error al siguiente aplastado 00:29:11
¿que lo puedo hacer? 00:29:13
¿y obtener el ángulo a partir 00:29:15
del seno y la tangente? sí 00:29:17
pero si te has equivocado aquí, pues ya vas a 00:29:19
arrastrar el faldo, entonces 00:29:21
por la b 00:29:23
digo que elijo calcular 00:29:25
el coseno, ¿cuál es el coseno? 00:29:27
pues según lo que hemos dicho 00:29:29
antes en la teoría, el coseno de este 00:29:31
ángulo es dividir este lado 00:29:33
que es el cateto adyacente 00:29:35
se llama, o si nos acordamos 00:29:38
el que está en la horizontal 00:29:40
entre la hipotenusa 00:29:41
10,5 entre 23,6 00:29:43
lo operas con la calculadora y te queda 00:29:46
0,446 00:29:47
y como hemos dicho todo el rato 00:29:49
en estos ejercicios 00:29:52
volvemos aquí, si conocemos una de las razones 00:29:53
con las funciones arco 00:29:56
podemos tener el ángulo, que es lo que 00:29:57
al final queremos, tener este ángulo 00:29:59
pues como ya sé que el coseno de beta 00:30:01
es de b, perdón, 0,445, si calculo el arco coseno de este numerito, pues me va a dar el ángulo, 00:30:03
que son 63,58 grados. El enunciado ponía pasarlo a radianes, pero yo aquí en esta solución, 00:30:11
mal hecho, pero no lo he hecho bien. Ya tenemos entonces este ángulo, que es el de 90, 00:30:19
y este que es 63,58. ¿Cómo tengo el otro? Pues con la operación de restar C, 180 menos A menos B. 00:30:26
¿Por qué? Porque la suma de ángulos en un triángulo son 180. Resto a 180 el ángulo de 90, que es este, 00:30:36
y el ángulo que acabo de calcular y me da el ángulo que me faltaba. Y con eso ya he resuelto el triángulo 00:30:43
porque ya conozco los tres ángulos, estos dos ángulos que son los que he calculado con el problema 00:30:50
y el lado que me faltaba, el cateto que me faltaba, que lo he calculado con el teorema de Pitágoras. 00:30:57
Y con esto se acaba el juego. 00:31:03
El último ejercicio es muy parecido al del proyecto que tenéis que entregar 00:31:09
y será muy parecido al de alguno de los exámenes que quedan por hacer. 00:31:13
Si no entran en el siguiente parcial, entrará uno muy parecido en el final o en el de la recuperación, 00:31:17
si no en más de uno. 00:31:22
Y se resuelve como se llama con el método de las dos tangentes. 00:31:23
En este caso no voy a deducir las fórmulas, ya las deduje en clase y os voy a pasar un vídeo también dentro de este PDF donde podéis ver cómo se deducen. 00:31:28
Vamos a plantear directamente las fórmulas. 00:31:40
Yo si siempre digo que es bueno saber deducirlas, en este caso casi recomiendo que las aprendáis de memoria, 00:31:42
porque os ahorraréis tiempo en el examen, aparte de que no son demasiado complicadas de recordar. 00:31:48
¿Cuál es el problema? El problema, igual que en el del proyecto, será medir una altura y una distancia a partir de qué datos conocemos. 00:31:57
Siempre vamos a conocer los ángulos y la distancia que tenemos entre donde hemos medido esos dos ángulos. 00:32:09
En este caso tenemos una marca que no sabemos a qué distancia está del acantilado y hemos llamado a X, 00:32:15
pero que forma un ángulo de 60 grados con el punto más alto del acantilado. 00:32:21
Y una segunda marca de la que sabemos que está separada a 50 metros de la primera y que tiene un ángulo de 30 grados. 00:32:26
Esta sería la figura correspondiente a esta situación y donde tenemos la H, la distancia que no conocemos y la distancia que conocemos. 00:32:32
¿Cómo se memoriza esta fórmula o cómo la memorizo yo mejor? 00:32:44
Pues ponemos aquí las dos cosas que no conocemos, h y la x. 00:32:49
La altura se relaciona con la primera cosa que no conocemos, o sea, con la segunda cosa, con la x, 00:32:54
por esta fórmula, a la altura es igual a x por la tangente de 60, el ángulo que tienes más cerca de aquí. 00:32:59
Entonces la h, x partido de x por tangente de sesenta. 00:33:07
La x, pues parecido a la anterior, tenemos una distancia por una tangente. 00:33:12
¿Qué distancia? Pues la que sí que conoces, la que está en el lado. 00:33:16
50 por qué tangente? La del otro ángulo. 00:33:19
Entonces tenemos en la primera parte de la fórmula, h igual a x por el tangente del ángulo que tiene más cerca 00:33:22
y la x, la otra distancia, 50 por la tangente del otro ángulo. 00:33:28
y luego abajo recordar que es la resta de las dos tangentes, 00:33:31
la del ángulo mayor menos la del ángulo menor, 00:33:36
que siempre el ángulo mayor va a ser el que esté más cerca del acantilado 00:33:39
o del edificio que tengamos que medir. 00:33:42
Esta es la forma que me parece más práctica de recortar estas fórmulas. 00:33:45
Y ya, cuando tengáis esto planteado, el ejercicio es fácil. 00:33:51
Hay que saber meter las tangentes en la calculadora, 00:33:57
calcularlas con la calculadora 00:34:00
tened en precaución de que el módulo de la calculadora 00:34:01
esté en la D 00:34:04
de grados exagesimales 00:34:06
con la D 00:34:09
ni con la R 00:34:10
que es de radianes 00:34:12
ni con la G 00:34:13
que es de grados 00:34:15
centesimales 00:34:18
con la D 00:34:19
es una calculadora 00:34:20
entonces la tangente de 30 te da esto 00:34:22
la tangente de 60 esto 00:34:24
y la tangente de 30 por la misma esto 00:34:25
se opera con cuidado 00:34:27
y se saca la X. Primero, lo que tenemos que sacar es la distancia X. 00:34:29
La X en este caso te da más o menos 25 metros. 00:34:34
Pues cuando ya sabes la X, sustituyes aquí, cambias el valor de X por el que te ha dado aquí, 00:34:36
24,98 por la tarjenta de 60 y ya tienes la altura. 00:34:42
Muchos os habéis equivocado aquí y habéis restado en vez de multiplicar. 00:34:46
No sé si es que se apuntó esta fórmula mal y aquí ponía un menos 00:34:52
o que muchas veces lo que os pasa también es que como hacéis los signos menos tan pequeños, 00:34:58
después cuando los vayáis y los tenéis que operar, a veces confundís algún signo por por un menos 00:35:02
o al revés, algún menos por un por. 00:35:08
Esto es un por, tiene que ser 24,98 por 1,732 y te queda 43,26. 00:35:10
Con esto ya estaría resuelto el último ejercicio de la actividad de la obra virtual. 00:35:16
Autor/es:
Eduardo Parro
Subido por:
Eduardo Jose P.
Licencia:
Dominio público
Visualizaciones:
21
Fecha:
6 de abril de 2024 - 9:53
Visibilidad:
Clave
Centro:
IES ELISA SORIANO FISCHER
Duración:
35′ 27″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1280x720 píxeles
Tamaño:
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