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Método de Gauss - Contenido educativo

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Subido el 30 de junio de 2023 por Olga F.

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Explicación de cómo se resuelve, con un ejemplo, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de Gauss y las matrices.

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Vamos a resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. 00:00:03
Para ello vamos a utilizar el método de Gauss, que debe su nombre a un matemático alemán. 00:00:07
Además nos apoyaremos en las matrices y os preguntaréis ¿qué es eso? 00:00:12
Nada, tranquilos, porque básicamente son cajas con números. 00:00:16
Vamos a verlo con un ejemplo. 00:00:21
Imaginemos que queremos resolver este sistema, ¿vale? 00:00:24
Tiene tres ecuaciones y tres incógnitas. 00:00:26
lo primero que vamos a hacer es expresar este sistema en forma matricial. 00:00:29
Como os he dicho, las matrices son cajas de números. 00:00:36
Esta barra lo que hace es separar los coeficientes de las variables de los términos independientes. 00:00:40
Fijaros, aquí hay un 1 porque el coeficiente de la x es 1. 00:00:51
Aquí hay un 1 porque el coeficiente de la y es 1. 00:00:55
Hay un menos 1 porque el coeficiente de la z es menos 1 y aquí hay un 1 porque el término independiente de la primera ecuación es un 1. 00:00:59
3 porque el coeficiente de x es un 3, menos 5 porque el coeficiente de y es un menos 5, 4 porque el coeficiente de z es un 4 y 2 que es el término independiente. 00:01:07
Fijaros que son los coeficientes y el término independiente de la primera ecuación. 00:01:20
los coeficientes y el término independiente de la segunda ecuación, los coeficientes y el término independiente de la tercera ecuación, ¿vale? 00:01:27
¿En qué consiste el método de Gauss? Bueno, pues el método de Gauss lo que persigue es obtener un sistema equivalente a este escalonado. 00:01:38
¿Qué quiere decir escalonado? Si os imagináis una escalerita aquí, lo que vamos a pretender es sacar un cero debajo de esa escalera. 00:01:47
Estos numeritos que están aquí, lo que vamos a perseguir es que sean ceros. 00:01:58
¿Escalonado? Pues porque al final va a aparecer todo lo que hay por aquí arriba, alguno puede no aparecer, 00:02:02
pero lo que no va a aparecer seguro es lo de aquí, porque van a ser ceros. 00:02:08
¿Cómo vamos a conseguir eso? Aplicando reducción. 00:02:12
¿Vale? Simplemente vamos a aplicar reducción, que es un método que ya conocéis. 00:02:15
Cuando aplico reducción, lo que quiero tener es coeficientes opuestos. 00:02:20
Entonces, si tengo aquí un 3 y utilizo la primera ecuación, necesitaría que aquí hubiera un menos 3 para que al sumar se me fuera. 00:02:25
¿Cómo lo voy a hacer? Voy a multiplicar toda esta fila por menos 3, porque lo que no puedo hacer es multiplicar solamente un número. 00:02:34
Pero si a un número de una ecuación la multiplico por un número, lo tengo que hacer con todos los términos que haya en esa ecuación para que la ecuación sea equivalente. 00:02:41
Entonces, me interesaría multiplicar esta fila, que es la fila 1, por menos 3 y sumárselo a la fila 2. 00:02:51
De esa manera me saldría aquí un 0. 00:02:58
De igual forma, si quiero sacar un 0 aquí y utilizo la primera fila, necesitaría tener un 2. 00:03:01
Lo mismo, si multiplico este elemento por 2, lo tengo que hacer con todos los elementos de la fila. 00:03:08
La primera la voy a dejar como está. Vamos a expresar esto que acabamos de decir. 00:03:15
Mira, ¿qué hemos dicho? La primera fila la vamos a multiplicar por menos 3 para que al sumarlo con la segunda fila, aquí me quede un 0. 00:03:20
¿Y dónde lo voy a escribir? En la segunda fila del siguiente sistema. 00:03:31
De igual manera, hemos dicho que la fila 1 la vamos a multiplicar por 2, esta fila la vamos a multiplicar por 2 y se lo vamos a sumar a la fila 3. 00:03:35
¿Veis? Se lo vamos a sumar a esta de aquí. 00:03:46
¿Dónde vamos a poner el resultado? En la fila 3 del siguiente sistema. 00:03:48
Y la fila 1 se va a quedar tal cual está. Esta fila se va a quedar tal cual. 00:03:52
Cuando hagamos estas cuentas, el resultado va a ser el siguiente. 00:03:57
Vamos a explicarlo un poquito más despacio. 00:04:01
Hemos dicho que la fila 1 se queda como está. 00:04:03
Entonces, 1, 1, menos 1, 1, 1, 1, menos 1, 1. 00:04:06
Se queda tal cual. 00:04:10
Ahora lo que vamos a hacer es que la fila 1 la voy a multiplicar por menos 3 00:04:11
y se lo voy a sumar a la fila 2. 00:04:15
Si yo a este elemento le multiplico por menos 3, menos 3 más 3, mirad, 0. 00:04:17
Si a este le multiplico por menos 3, menos 3 más menos 5, menos 8. 00:04:24
Menos 1 por menos 3, 3 más 4, 7 00:04:30
Menos 3 por 1, menos 3 más 2, menos 1 00:04:36
¿Lo veis? Así que el resultado lo he escrito en la fila 2 del siguiente sistema 00:04:43
Lo mismo con la fila 1 y la fila 3 00:04:48
Pero ahora multiplicada por 2 00:04:52
Hemos dicho dos veces la fila 1 00:04:54
1 por 2, 2 00:04:56
2 menos 2, 0 00:04:58
1 por 2, 2, más 1, 3. Menos 1 por 2, menos 2, menos 2, menos 3, menos 5. 1 por 2, 2, 2, menos 4, menos 2. 00:05:00
¿Qué hemos conseguido con estas operaciones con las ecuaciones? Conseguir dos ceros aquí, que era lo que perseguíamos. 00:05:15
¿Vale? Todavía nos falta sacar un 0 aquí. ¿Cómo voy a sacar un 0 aquí? Bueno, pues la primera fila la voy a dejar como está, la segunda la voy a dejar como está, pero la voy a utilizar para sacar un 0 aquí. 00:05:23
Esta es un poquito más difícil porque en este caso al utilizar la primera, ¿qué es lo que ha pasado? Que he multiplicado por menos 3 y se me ha ido. 00:05:36
Como aquí tengo un 8, va a ser un poquito más complicado la operación que tengo que hacer para que me quede aquí un 0. 00:05:45
¿Cómo lo hago? Igual que lo hacíamos por reducción, imaginaros que aquí tenéis menos 8i y aquí tenéis 3i. 00:05:51
Si os imagináis eso y pensáis en cómo lo haríais por reducción, esta la multiplicaríais por 3 y esta la multiplicaríais por 8. 00:05:57
¿Vale? ¿Qué vamos a hacer? Tres veces los elementos de la fila 2, le voy a sumar ocho veces los elementos de la fila 3. 00:06:05
¿Y dónde lo voy a escribir? En la fila 3 del siguiente sistema. La primera y la segunda se van a quedar tal cual. 00:06:16
¿Cuál sería el resultado? Este de aquí. Hemos dicho, la primera se queda tal cual, la segunda se queda tal cual. 00:06:23
Vamos a ver de dónde salen estos números de aquí, ¿vale? 00:06:32
Cogemos tres veces los elementos de la fila 2 y le sumamos ocho veces los elementos de la fila 3. 00:06:37
0 por 3, 0, más 8 por 0, 0. Si lo sumo, 0. 00:06:43
Esta de aquí, 3 por menos 8, menos 24. Y esta hemos dicho por 8. 00:06:50
8 por 3, 24, menos 24, más 24, 0. 00:06:55
Vamos con este elemento de aquí. 00:07:00
La fila 2 hemos dicho que la multiplicamos por 3, así que la fila 2 la vamos a multiplicar por 3. 00:07:03
3 por 7, 21. 21 más esta por 8. 00:07:10
8 por menos 5, menos 40. 00:07:15
Si lo opero, me queda menos 19. 00:07:18
¿Cuál es la siguiente cuenta que tenemos que hacer? 00:07:24
Esta la tengo que multiplicar por 3. 00:07:26
3 por menos 1, menos 3. 00:07:29
Y esta la voy a multiplicar por 8. 00:07:32
Así que será 8 por menos 2, menos 16, menos 16 y el menos 3 que teníamos antes, me queda el menos 19. 00:07:35
Así que ya sabemos de dónde sale este de aquí y este de aquí. 00:07:48
Ya hemos conseguido lo que perseguíamos. 00:07:54
mirar, chicos, lo que perseguíamos eran ceros aquí y aquí. Ya tengo mi sistema escalonado, 00:07:55
tengo aquí como una escalera imaginaria, ¿vale? Igual que hemos pasado de este sistema a la 00:08:01
forma matricial, ahora vamos a pasar de la forma matricial al sistema. Fijaros, los elementos 00:08:06
de esta columna correspondían a los coeficientes de las x, los coeficientes de esta columna 00:08:14
corresponden a los de las y y los coeficientes de esta columna corresponden a los de z. 00:08:20
Pues ahora va a pasar lo mismo. Esta columna será x, esta columna será y y esta columna será z. 00:08:25
Así que será x más y menos z igual a 1. 0x, que no lo pongo, menos 8y más 7z igual a menos 1. 00:08:31
0x más 0y, que no lo voy a poner, menos 19z igual a menos 19. 00:08:41
Mirad lo que hemos conseguido con el sistema escalonado. Abajo solamente tengo una incógnita. 00:08:46
Al tener solamente una incógnita, puedo despejarla y obtener el valor de Z. 00:08:51
Una vez que tengo el valor de Z, me subo a esta ecuación y donde pone Z sustituyo el valor. 00:08:56
Z me ha salido 1, así que pondré menos 8Y más 7 por 1 y me quedará menos 1. 00:09:02
¿Qué he conseguido con esto? Que ya puedo calcular el valor de Y. 00:09:09
Ya tengo el valor de Y. Una vez que tengo el valor de Y y el valor de Z, 00:09:15
puedo venirme a esta ecuación y sustituir la y por su valor, que me ha quedado 1, 00:09:19
y la z por su valor, que me ha quedado 1. 00:09:24
Cuando sustituyo los valores, ya directamente me sale el valor de x. 00:09:27
Pues ya hemos resuelto el sistema. 00:09:33
La solución del sistema será x igual 1, y igual 1, z igual 1. 00:09:34
Espero que con esto ya haya quedado muy claro. 00:09:41
Idioma/s:
es
Idioma/s subtítulos:
es
Autor/es:
Olga Fermosel Fernández
Subido por:
Olga F.
Licencia:
Reconocimiento - No comercial
Visualizaciones:
8
Fecha:
30 de junio de 2023 - 10:15
Visibilidad:
Clave
Centro:
CPR INF-PRI-SEC VALLE II
Duración:
09′ 44″
Relación de aspecto:
1.78:1
Resolución:
1920x1080 píxeles
Tamaño:
82.59 MBytes

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